Email this article 
Generalization of Gershgorin Circle Theorem with Application to Analysis and Design of Control Systems
- Authors: Furtat I.B1
-
Affiliations:
- Issue: No 6 (2025)
- Pages: 3-23
- Section: Linear systems
- URL: https://journals.rcsi.science/0005-2310/article/view/301543
- DOI: https://doi.org/10.31857/S0005231025060012
- EDN: https://elibrary.ru/IJPPBD
- ID: 301543
Cite item
Open Access
Access granted
Subscription Access
Abstract
Рассмотрено применение теоремы о кругах Гершгорина и некоторых производных от нее результатов для оценки собственных значений матриц. Развиваются полученные результаты для создания области локализации собственных значений матриц с интервально неопределенными постоянными и нестационарными элементами. Вводится понятие e-кругов для получения более точных оценок данных областей, чем при использовании кругов Гершгорина. Полученные результаты применены к анализу устойчивости сетевых систем, где показано, что предложенные методы позволяют анализировать сеть с гораздо большим числом агентов, чем при использовании методов решения линейных матричных неравенств в CVX и Yalmip/SeDuMi, а также алгоритмов eig (для вычисления собственных чисел матрицы) и lyap (для решения уравнения Ляпунова) в MatLab. Показано, что если разработанные методы применять не к самой системе, а к результату, полученному с помощью метода функций Ляпунова, то можно исследовать системы с матрицами без диагонального преобладания. Это позволило рассмотреть модификацию условия Демидовича на системы с нестационарными параметрами и синтез закона управления для нестационарных систем с матрицами без диагонального преобладания. Все полученные результаты иллюстрируются численным моделированием.
References
- Теория автоматического управления. Часть 1. Под ред. А.А. Воронова. М.: Высш. шк., 1986.
- Фуртат И.Б., Гущин П.А. Методы анализа и синтеза линейных и нелинейных систем управления при наличии возмущений и запаздывания. Ижевск: Изд-во «ИКИ», 2021.
- Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969.
- Хорн Р.А., Джонсон С.Р. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.
- Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010.
- Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Сверхустойчивые линейные системы управления. I. Анализ // АиТ. 2002. № 8. С. 37–53.
- Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Сверхустойчивые линейные системы управления. II. Синтез // АиТ. 2002. № 11. С. 56–75.
- Поляк Б.Т. Обобщенная сверхустойчивость в теории управления // АиТ. 2004. № 4. С. 70–80.
- Uronen P., Jutila E.A.A. Stability via the theorem of Gershgorin // Int. J. Control. 1972. V. 16. No. 6. P. 1057–1061.
- Соловьев В.Н. Обобщение теоремы Гершгорина // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1983. № 47. Т. 6. С. 1285–1302.
- Curran P.F. On a variation of the Gershgorin circle theorem with applications to stability theory // IET Irish Signals and Systems Conference (ISSC 2009), Dublin, 2009. P. 1–5.
- Vijay Hote, Amar Nath Jha. New approach of Gerschgorin theorem in model order reduction // Int. J. Model. Simulat. 2015. V. 35. P. 143–149.
- Li C.-K., Zhang F. Eigenvalue continuity and Gersgorin’s theorem // Electron. J. Linear Algebra. 2019. V. 35. P. 619–625.
- Kazakova-Frehse N., Frick K. The estimation of a robust domain of attraction using Gersgorin theorem // Int. J. Robust and Nonlinear Control. 1998. V. 8. P. 295–303.
- Vijay Hote, Amar Nath Jha. Reduced order state feedback controller design // 2014 Int. Conference on Advances in Engineering & Technology Research (ICAETR – 2014), 2014. P. 1–6.
- Pachauri N., Rani A. Gerschgorin theorem based stability analysis of chemical process // 2014 Int. Conference on Advances in Engineering & Technology Research (ICAETR – 2014), 2014. P. 1–5.
- Xie L., Huang J., Tan E., He F., Liu Z. The Stability Criterion and Stability Analysis of Three-Phase Grid-Connected Rectifier System Based on Gerschgorin Circle Theorem // Electronics. 2022. V. 11. No. 20, 3270.
- Adom-Konaduy A., Albert Lanor Sackiteyz, Anokyex M. Local Stability Analysis Of Epidemic Models Using A Corollary Of Gershgorin’s Circle Theorem // Applied Mathematics E-Notes. 2023. V. 23. P. 159–174.
- Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория кон- струирования систем управления. М.: Высш. шк., 2003.
- Цыпкин Я.З., Бромберг П.В. О степени устойчивости линейных систем // Из- вестия АН СССР, ОТН. 1945. № 12.
- Рубинчик А.М. Приближенный метод оценки качества регулирования в линей- ных системах / Устройства и элементы теории автоматики и телемеханики. М.: Машгиз, 1952.
- Фельдбаум А.А. О распределении корней характеристического уравнения си- стем автоматического регулирования // АиТ. 1948. Т. 9. № 4. С. 253–279.
- Халил Х.К. Нелинейные системы. М.:-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009.
Supplementary files
