Analysis of Peak Effects of Solutions of a Class of Difference Equations

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

Рассматривается класс хорошо известных из литературы трехчленных линейных разностных уравнений высокого порядка и исследуется неасимптотическое поведение их решений при ненулевых начальных условиях из единичного куба. Показано, что для некоторых подмножеств коэффициентов из области устойчивости всегда найдутся начальные условия, приводящие к всплеску – большому отклонению решений от положения равновесия, и что эти отклонения могут быть сколь угодно велики. Исследованы разнообразные частные случаи, приводятся примеры.

About the authors

P. S Shcherbakov

Email: cavour118@mail.ru

References

  1. Техническая кибернетика. Теория автоматического регулирования // Под ред. д-ра техн. наук, проф. В.В. Солодовникова. Кн. 2. Анализ и синтез линейных непрерывных и дискретных систем автоматического регулирования. М.: Машиностроение, 1967.
  2. Первозванский А.А. Курс теории автоматического управления. М.: Наука, 1986.
  3. Danilova M., Kulakova A., Polyak B. Non-monotone Behavior of the Heavy Ball Method / In: Bohner M., Siegmund S., Simon Hilscher R., Stehlik P. (eds) Difference Equations and Discrete Dynamical Systems with Applications. Springer Proceedings in Mathematics and Statistics, V. 312. Springer, 2020. P. 213–230 (Proc. 24th International Conference on Difference Equations and Applications. Dresden, Germany, May, 2018).
  4. Поляк Б.Т., Тремба А.А., Хлебников М.В., Щербаков П.С., Смирнов Г.В. Большие отклонения в линейных системах при ненулевых начальных условиях // АиТ. 2015. № 6. С. 18–41. Polyak B.T., Tremba A.A, Khlebnikov M.V., Shcherbakov P.S, Smirnov G.V. Large Deviations in Linear Control Systems with Nonzero Initial Conditions // Autom. Remote Control. 2016. V. 76. No. 6. P. 957–976.
  5. Polyak B.T., Smirnov G. Large Deviations for Non-zero Initial Conditions in Linear Systems // Automatica. 2016. V. 74. No. 12. P. 297–307.
  6. Polyak B.T., Shcherbakov P.S., Smirnov G. Peak Effects in Stable Linear Difference Equations // J. Difference Eqs. Appl. 2018. V. 24. No. 9. P. 1488–1502.
  7. Поляк Б.Т., Смирнов Г.В. Переходные процессы в матричных дискретных линейных системах // АиТ. 2019. № 9. С. 112–121. Polyak B.T., Smirnov G.V. Transient Response in Matrix Discrete-Time Linear Systems // Autom. Remote Control. 2019. V. 80. No. 9. P. 1645–1652.
  8. Shcherbakov P., Dabbene F., Polyak B. Solutions of Stable Difference Equations Probably Experience Peak // IFAC-PapersOnLine. 2020. V. 53. No. 2. P. 4762–4767 (Proc. World Congress of IFAC, Jul 11-17, 2020, Berlin).
  9. Измайлов Р.Н. Эффект "всплеска" в стационарных линейных системах со скалярными входами и выходами // АиТ. 1987. № 8. С. 56–62. Izmailov R.N. The Peak Effect in Stationary Linear Systems with Scalar Inputs and Outputs // Autom. Remote Control. 1987. V. 48 No. 8. P. 1018–1024.
  10. Коган М.М., Кривдина Л.Н. Синтез многоцелевых линейных законов управления дискретными объектами при интегральных и фазовых ограничениях // АиТ. 2011. № 7. С. 83–95. Kogan M.M., Krivdina L.N. Synthesis of Multipurpose Linear Control Laws of Discrete Objects under Integral and Phase Constraints // Autom. Remote Control. 2011. V. 72. No. 7. P. 1427–1439.
  11. Агиевич В.Н., Парсегов С.Э., Щербаков П.С. Верхние оценки всплеска в линейных дискретных системах // АиТ. 2018. № 11. С. 32–46. Ahiyevich U.M., Parsegov S.E., Shcherbakov P.S. Upper Bounds on Peaks in Discrete-Time Linear Systems // Autom. Remote Control. 2018. V. 79. No. 11. P. 1976–1988.
  12. Delyon B., Izmailov R., Juditsky A. The Projection Algorithm and Delay of Peaking in Adaptive Control // IEEE Trans. Autom. Control. 1993. V. 38. No. 4. P. 581–584.
  13. Kozyakin V.S., Kuznetsov N.A., Pokrovskii A.V. Transients in Quasi-controllable Systems. Overshooting, Stability and Instability // IFAC Proceedings Volumes. 1993. V. 26. No. 4. P. 871–874.
  14. Elaydi S. An Introduction to Difference Equations. New York: Springer, 2005.
  15. Shcherbakov P., Dabbene F. A Probabilistic Point of View on Peak Effects in Linear Difference Equations // Eur. J. Control. 2022. V. 63. P. 107–115.
  16. Kuruklis S. The Asymptotic Stability of xn+1 − axn + bxn−k = 0 // J. Math. Anal. Appl. 1994. V. 188. P. 719–731.
  17. Dannan F. The Asymptotic Stability of x(n + k) + ax(n) + bx(n − l) = 0 // J. Difference Eqs. Appl. 2004. V. 10. No. 6. P. 589–599.
  18. Кипнис М.М., Нигматуллин М. Устойчивость трехчленных линейных разностных уравнений с двумя запаздываниями // АиТ. 2004. № 11. С. 25–39. Kipnis M.M., Nigmatullin M. Stability of the Trinomial Linear Difference Equations with Two Delays // Autom. Remote Control. 2004. V. 65. No. 11. P. 1710–1723.
  19. Cerm´ak J., J´anisk´y J. Stability Switches in Linear Delay Difference Equations // Appl. Math. Comput. 2014. V. 243. P. 755–766.
  20. Kipnis M., Komissarova D. Stability of a Delay Difference System // Advances in Difference Equations. 2006. Article ID 31409. https://doi.org/10.1155/ADE/2006/31409, 2006.
  21. Matsunaga H. Exact Stability Criteria for Delay Differential and Difference Equations // Applied Math. Lett. 2007. V. 20. No. 2. P. 183–188.
  22. Patade J., Bhalekar S. Analytical Solution of Pantograph Equation with Incommensurate Delay // Phys. Scie. Rev. 2017. V. 2. Issue 9, id. 5103. https://doi.org/10.1515/psr-2016-5103.
  23. Clark C.W. A Delay-Recruitment Model, with an Application to Baleen Whale Population // J. Math. Biol. 1976. V. 3. P. 381–391.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 The Russian Academy of Sciences

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».