Stimulated emission as a threshold phenomenon

Abstract

It is shown that stimulated emission is essentially the same spontaneous emission, but the emission of a photon occurs not in an empty mode, but in a mode containing photons. According to the number of photons in this mode, the phenomenon has a threshold character.

Full Text

1. Введение. Гипотеза Эйнштейна о вынужденном излучении

В 1917 году Альберт Эйнштейн [1] при выводе планковского спектра теплового излучения ввел понятие вынужденного излучения, показав, что помимо поглощения и спонтанного излучения нужно учитывать еще и этот процесс. Необходимость этого Эйнштейн обосновывал тем, что именно процесс вынужденного, а не спонтанного излучения является обратным процессу поглощения атомом кванта света (фотона).

Однако ценность работы [1] не ограничивается выводом формулы Планка. В ней было сделано утверждение, которое в настоящее время принято считать основой лазерной физики. Это утверждение Эйнштейна заключалось в том, что «если в результате облучения пучком лучей произойдет процесс $z_n\to z_m$ (т.е. переход молекулы из состояния $z_n$ в состояние $z_m$), то молекула получит импульс $\left({\epsilon }_m-{\epsilon }_n\right)/c$ в направлении распространения пучка. В результате обратного процесса вынужденного излучения $Z_m\to Z_n$ передаваемый импульс имеет такую же величину, но противоположное направление» [1]¹. Эти рассуждения послужили для Эйнштейна основанием считать, что излученный фотон полностью идентичен падающим фотонам. Именно это утверждение сделало вынужденное излучение ответственным за усиление волны, распространяющейся по инверсно населенной среде, что в конце концов привело к созданию лазера.

Однако физические причины, лежащие в различиях вынужденного и спонтанного излучений, до конца не были поняты. Очевидно, что вынужденное излучение связано с квантовыми свойствами излучения. С точки зрения классической электродинамики трудно себе представить, что в приближении дипольного взаимодействия поля с субволновой частицей вещества возможно дельтаобразное рассеяние вперед.

2. Попытки доказательства гипотезы Эйнштейна

Для доказательства идентичности фотонов вынужденного и падающего излучений Эйнштейн руководствовался наиболее общими соображениями о сохранении энергии и импульса (см. также [3, 4]). Однако в современных работах [2, 5] было показано, что сохранение энергии и импульса не гарантирует того, что свойства вынужденно излученного фотона дублируют свойства фотонов падающего излучения. Таким образом, утверждение Эйнштейна нужно воспринимать как гениальную догадку, которая вызывает чувство удивления и восхищения²

Строгое теоретическое объяснение идентичности испущенных фотонов падающим даже на уровне механизма отсутствует, что требует последовательного рассмотрения. Существуют лишь качественные рассуждения [6], связывающие это явление с бозе-статистикой фотонов, но эти рассуждения работают лишь в пределе очень большого числа фотонов и ничего не говорят о вероятности одновременного процесса спонтанного излучения.

Прямой эксперимент по наблюдению единичного акта вынужденного излучения в свободном пространстве затруднен, так как излучение нового фотона происходит в направлении падающего излучения, и чрезвычайно трудно зафиксировать появление одного нового фотона на фоне большого числа фотонов в падающем излучении. Если не предпринимать особых мер, то число падающих в одну секунду фотонов в лазере порядка ${10}^{17}$, что значительно больше единицы. С другой стороны, при уменьшении числа падающих фотонов до величины, сравнимой с единицей, становится крайне трудно отделить вынужденное излучение от спонтанного.

Для объяснения вынужденного излучения часто рассматривается одномодовая модель [6, 7, 8, 9, 10, 11]. В такой модели испущенному фотону некуда излучиться, кроме как в рассматриваемую моду. Иными словами, априори предполагается, что вынужденное излучение с точки зрения направления и частоты идентично падающему излучению. Надо помнить, что одномодовая модель – это полезная идеализация. Применительно к лазерам она отчасти оправдана наличием в лазерах резонатора. Резонатор создает особенность в плотности состояний электромагнитных мод. Вследствие эффекта Пёрселла [12, 13] это приводит к тому, что возбужденные атомы, находящиеся в резонаторе, начинают излучать преимущественно в моду резонатора [14]. В отсутствие резонатора вопрос о природе и свойствах вынужденного излучения остался до конца не решенным несмотря на то, что для этого было предпринято множество попыток.

Явление вынужденного излучения связывают также с нелинейными свойствами инвертированной среды. Так в обзоре В. С. Старунова, И. Л. Фабелинского [15] отмечается: «Прохождение интенсивного света в нелинейной среде вызывает вынужденное рассеяние и ряд других явлений, таких как самофокусировка и дефокусировка света, разрушение твердых прозрачных диэлектриков, кавитация в жидкостях, возникновение плазмы и т. д. В какой мере вынужденное рассеяние связано со всеми названными явлениями — пока неясно, но этот вопрос продолжает исследоваться» [15].

3. Вынужденное излучение с точки зрения квантовой оптики. Пороговый характер вынужденного излучения

Ниже мы рассматриваем вынужденное излучение не как явление, отдельное от спонтанного излучения, а как спонтанное излучение в неравновесное состояние резервуара мод свободного пространства, когда одна из мод занята падающим излучением. В нашем рассмотрении мы следуем логике работы Вайскопфа-Вигнера [18]: при релаксации возбужденного атома фотон с соответствующей амплитудой вероятности излучается в любую из $k-$мод свободного пространства, волновой вектор которой подчиняется дисперсионному соотношению $\left|k\right|={\omega }_{ext}/c$, где  ${\omega }_{ext}$– частота падающего излучения, совпадающая с частотой квантового перехода атома³. Но только когда фотон излучается в заполненную падающим излучением моду, интенсивность падающего поля меняется, а именно растет! Именно это Эйнштейн и назвал вынужденным излучением. Все остальное – это спонтанное излучение⁴.

Резонансное взаимодействие атома⁵ с квантованным полем мы описываем гамильтонианом Джейнса-Камингса [19], представленным в виде суммы трех членов:

$H_{JC}=\hslash {\omega }_{\sigma }{\sigma }^{†}\sigma +\sum _k\hslash {\omega }_{\sigma }{a}_k^{†}{a}_k+\sum _k\left(\hslash \Omega \right)\left({\widehat{a}}_k^{+}\widehat{\sigma }+{\widehat{a}}_k{\widehat{\sigma }}^{+}\right)\mathrm{.}$ (1)

Здесь $\hslash {\omega }_{\sigma }{\sigma }^{†}\sigma$ является гамильтонианом ДУС, ${\widehat{\sigma }}^{†}$, $\widehat{\sigma }$ - операторы рождения и уничтожения возбуждения ДУС, $\hslash {\omega }_{\sigma }$ – энергия возбуждения ДУС; $\sum _k\hslash {\omega }_{\sigma }{a}_k^{†}{a}_k$ является гамильтонианом мод резервуара свободного пространства, в которые переходит возбуждение атома при спонтанной релаксации, ${\widehat{a}}_k^{†}$, ${\widehat{a}}_k$ – операторы рождения и уничтожения фотонов в $k$-ой моде; $\sum _k\left(\hslash \Omega \right)\left({\widehat{a}}_k^{+}\widehat{\sigma }+{\widehat{a}}_k{\widehat{\sigma }}^{+}\right)$ – гамильтониан взаимодействия, ДУС с модами в приближении вращающейся волны⁶, $\Omega =-d_{eg}\sqrt{2\pi {\omega }_a/V\hslash }$ частота Раби⁷, описывающая дипольное взаимодействие электромагнитного поля с ДУС.

Решение уравнения Шрёдингера

$i\hslash \frac{\partial \left|\Psi \left(t\right)\right.⟩}{\partial t}=H_{JC}\left|\Psi \left(t\right)\right.⟩$  (2)

мы будем искать, следуя Плачеку [23], в виде волновой функции, разложенной по собственным состояниям системы при нулевой частоте Раби, т.е в пренебрежении взаимодействием атома с полем. Тогда амплитуда вероятности состояния системы, в котором атом возбужден, а в свободном пространстве возбуждена только мода $k_0$, которая содержит $n_{k_0}$ фотонов, записывается в виде (см., например, [24, 25])

$G_{e\mathrm{.}n\left(k_0\right)}\left(t\right)\exp \left(-i\left(n_{k_0}+1\right)\omega t\right)\left|e\mathrm{,0,...,}{n}_{k_0}\mathrm{,0...}\right.⟩\mathrm{.}$ (3)

 Экспоненциальный временной множитель образуется как произведение временного множителя возбужденного состояния атома и временного множителя «квантового осциллятора» $k_0$-моды, содержащей $n_{k_0}$ квантов.

Амплитуда вероятности состояния, в которое переходит система при стимулированном излучении, т.е. когда атом не возбуждён, а мода $k_0$ содержит $n_{k_0}+1$ фотон, имеет вид

$G_{g\mathrm{.}n\left(k_0\right)}\left(t\right)\exp \left(-i\left(n_{k_0}+1\right)\omega t\right)\left|g\mathrm{,0,...,}{n}_{k_0}+\mathrm{1,0...}\right.⟩\mathrm{.}$ (4)

 Амплитуды вероятности состояний, когда из-за спонтанного излучения возбуждены другие моды, можно записать как

$C_{g\mathrm{,}n\left(k\right)}\left(t\right)e^{-i\omega t}\left|g{\mathrm{,0,...,1}}_k\mathrm{,0,...,}{n}_{k_0}\mathrm{,0,...,0}\right.⟩\mathrm{,}k\ne k_0\mathrm{.}$

Отметим, что, так как полный базис, по которому идет разложение волновой функции, является набором собственных функций гамильтониана без учета взаимодействия атома с полем, то действие гамильтониана взаимодействия $\sum _k\left(\hslash {\Omega }_a\right)\left({\widehat{a}}_k^{+}\widehat{\sigma }+{\widehat{a}}_k{\widehat{\sigma }}^{+}\right)$ на волновые функции происходит согласно правилам [26]:

$\begin{array}{l}\widehat{a}\left|n_0\right.⟩=\sqrt{n_0}\left|n_0-1\right.⟩\mathrm{,}\\ {\widehat{a}}^{†}\left|n_0\right.⟩=\sqrt{n_0+1}\left|n_0+1\right.⟩\end{array}$  (5)

 и

$\begin{array}{l}\sigma \left|e\right.⟩=\left|g\right.⟩\mathrm{,}\sigma \left|g\right.⟩=0\\ {\sigma }^{†}\left|e\right.⟩=0,{\sigma }^{†}\left|e\right.⟩=\left|g\right.⟩\end{array}\mathrm{.}$  (6)

Следовательно, амплитуда вероятности перехода при излучении фотона в конкретную моду пропорциональна $\sqrt{\left(n_0+1\right)}$, где $n_0$ - число квантов в моде. При $n_0\gg 1$ основная часть фотонов будет излучаться именно в моду $k_0$. Для полной картины явления надо выяснить, достаточно ли «основной» является эта часть фотонов для обеспечения превосходства вынужденного излучения в одну моду над спонтанным излучением в континуум мод.

Напомним, что решение уравнения Шрёдингера (2) с начальным условием (3) приводит к периодическим колебаниям Раби [28]. Как было указано выше, чтобы описать переход между состояниями ДУС, необходимо перейти к открытой системе, введя в рассмотрение взаимодействие с резервуаром, содержащим континуум мод. В качестве такого резервуара мы будем рассматривать моды пучка падающего излучения, которые образуют узкую линию $\left|k_0\right|={\omega }_{ext}/c$. шириной $\delta k$ [28].

Ниже, для сравнения излучения атома в линию $k_0$ с излучением в остальное свободное пространство, мы группируем моды свободного пространства на сфере радиуса $\left|k\right|={\omega }_{ext}/c$ в пучки ширины ${\left|\delta k\right|}^2$. Тогда сумма в выражении гамильтониана взаимодействия $\sum _k\left(\hslash {\Omega }_a\right)\left({\widehat{a}}_k^{+}\widehat{\sigma }+{\widehat{a}}_k{\widehat{\sigma }}^{+}\right)$ становится конечной. При спонтанном излучении один фотон переходит в одно из $\left(4\pi {\left|k\right|}^2/{\left|\delta k\right|}^2-1\right)$ состояний, $\left(n_0+1\right)$ фотон переходит в пучок падающего поля. Поэтому при $n_0\gg 4\pi {\left|k\right|}^2/{\left|\delta k\right|}^2$ вынужденное излучение превалирует над спонтанным.

Резюмируя, можно сказать, что утверждение Эйнштейна об эквивалентности испущенного фотона падающим верно только в асимптотическом пределе, при $n_0\gg 4\pi {\left|k\right|}^2/{\left|\delta k\right|}^2$.

4. Заключение

Найден порог эйнштейновского вынужденного излучения. Оно проявляется лишь при превышении вероятностью излучения в падающую моду суммы вероятностей спонтанного излучения в остальные моды свободного пространства.

¹ Современная интерпретация данного утверждения звучит так: «излучение, возникающее при вынужденном излучении, во всех отношениях идентично падающему излучению, т.е частота, фаза и направление распространения вынужденного излучения совпадают с таковыми для падающего излучения» [2]

² Это подтверждается и самим Эйнштейном. Так в письме Микеланджело Бессо в ноябре 1916 года он писал: «На меня снизошло чудесное просветление о поглощении и испускании радиации» [2].

³ Здесь мы пренебрегаем эффектами, связанными с отдачей, которые не играют в нашем рассмотрении определяющей роли. Вопросам отдачи атомов при эмиссии фотонов, реакции излучения посвящена масса литературы (см., например, [3, 4]).

⁴ При взаимодействии атома с внешним полем происходит два основных процесса, которые надо разделять. Во-первых, это релеевское рассеяние, сопровождающееся при больших полях возникновением моловского триплета [19], во-вторых, это резонансное поглощение/испускание фотонов, связанное с переходами атома между стационарными состояниями. Здесь мы рассматриваем процессы поглощения и испускания фотонов, абстрагируясь от релеевского рассеяния.

⁵ Для простоты мы рассматриваем атом как ДУС [21].

⁶ В данном приближении в решении отбрасываются быстро осциллирующие члены, изменяющиеся с удвоенной частотой.

⁷ Заметим, что при стремлении объема квантования к бесконечности $(V\to \infty )$ частота Раби стремится к нулю $(\Omega \to 0)$. Для получения осмысленного результата нужно перейти к рассмотрению пакета фотонов. В этом случае, как показано в [22], в качестве объема квантования надо брать объем пакета, и все величины становятся конечными.