Scattering matrix of the bidirectional x-coupler

Full Text

Введение

Двунаправленные оптические разветвители оптической мощности являются фундаментальными элементами во многих приложениях фотоники и оптоэлектроники. Их используют для разделения и суммирования оптических сигналов, реализации интерфейсов в волоконно-оптических линиях связи и для построения сложных топологий в интегральных оптических схемах. Возможность управления коэффициентами передачи и отражения (или, в более общем случае, распределения мощности) открывает путь к точной настройке характеристик систем, особенно при разработке элементов мультиплексирования, фильтрации, коммутации и преобразования поляризационных состояний. При этом учёт двунаправленности устройства является ключевым в задачах, где обратные отражения или перекрёстные помехи существенно влияют на качество передачи сигнала и энергетический баланс в системе.

Для обеспечения надёжного моделирования и дальнейшей оптимизации устройств требуется формально описать процессы переноса энергии во всех портах разветвителя, учитывая возможные нелинейности, дисперсионные эффекты и неоднородности материала. Необходима математическая модель, которая могла бы гибко учитывать особенности разветвителя в конструировании и отладке волоконно-оптических систем.

На первых этапах развития интегральной оптики широкое применение нашли матричные методы (например, S- или T-матрицы) [1, 2], позволяющие линеаризовать задачу  и свести моделирование к умножению матриц передачи для волноводных элементов. В простейших постановках принималось, что разветвитель имеет фиксированный коэффициент разделения мощности (50:50 или 75:25 и т.д.) и является однонаправленным [3]. Модификации такого подхода для частичного учёта двунаправленности заключались в добавлении соответствующих строк и столбцов, чтобы отразить обратный поток энергии в системе, однако точность таких решений могла снижаться при усложнении структуры.

С развитием фотоники стало понятно, что взаимодействие мод внутри волноводных структур, особенно при формировании полных направляющих переходов (полносвязных или частично-связных волноводов), лучше описывается теорией связанных мод (coupled-mode theory) [4]. В рамках данной теории составляются дифференциальные уравнения для коэффициентов амплитуд взаимодействующих мод, где коэффициент связи мог быть неоднородным вдоль структуры. Подобный подход дает более точные результаты и учитывает пространственную эволюцию сигнала, однако в классических постановках рассматривался чаще всего однонаправленный режим или же двунаправленность учитывалась посредством упрощённых граничных условий.

В более современных исследованиях для точного учёта топологических особенностей и неоднородностей волноводных каналов применяются прямые численные решения уравнений Максвелла (метод конечных разностей во временной области, или метод конечных элементов) [5, 6]. Такие подходы отличаются высокой вычислительной сложностью и обеспечивают высокую степень детализации, включая моделирование поляризационных эффектов и нелинейностей материала. Тем не менее, при проектировании комплексных схем требуется более аналитический и общий способ описания, чтобы снизить вычислительные затраты и упростить интерпретацию результатов.

На следующем витке развития стали появляться гибридные методы, совмещающие преимущества матричной формализации и численного решения дифференциальных уравнений, что позволяет учитывать одновременно неоднородное распределение коэффициентов связи и двунаправленность распространения сигнала [7]. Некоторые работы предлагают использовать вариант многопараметрической декомпозиции матричных уравнений, позволяющей настраивать произвольные коэффициенты разделения мощности для каждого порта в зависимости от геометрии, материала и требуемых рабочих длин волн [8].

Таким образом, несмотря на наличие обширного инструментария для моделирования оптических разветвителей, полноценных решений, полностью учитывающих произвольное распределение мощностей между всеми портами и двунаправленный характер распространения света, по-прежнему относительно мало. Предлагаемая модель служит дальнейшим развитием существующих методов и способствует созданию более универсальных, управляемых и оптимизированных x-разветвителей для широкого круга задач фотоники и интегральной оптики.

Математическая модель X-coupler

 

Задача состоит в построении матрицы рассеяния (S-матрицы) для двунаправленного X-образного делителя мощности (X-coupler), применяемого в волоконной оптике. Рассмотрим, как построить такую матрицу с учётом физических ограничений и свойств устройства. Рассмотрим четырехпортовый X-coupler с номерами портов 1 и 2, 3 и 4, рис.1.

 

Рис. 1. Схематичное изображение Х-coupler

 

Мощность входного сигнала делится между выходными портами по заданным пропорциям, симметрия устройства обеспечивает одинаковое поведение при инверсии входных и выходных портов. Обозначим основные пути передачи: сигнал из порта 1 передаётся в порты 3 и 4; сигнал из порта 2 передаётся в порты 3 и 4; сигнал из порта 3 передаётся в порты 1 и 2; сигнал из порта 4 передаётся в порты 1 и 2. Передача сигналов между портами 1 и 2 (2 и 1); портами 3 и 4 (4 и 3) отсутствует.

С учётом указанных особенностей матрица рассеяния для X-coupler примет следующий вид:

$\mathit{S}=\left(\begin{array}{cccc}{S}_{11}& 0& S_{13}& S_{14}\\ 0& S_{22}& S_{23}& S_{24}\\ S_{31}& S_{32}& S_{33}& 0\\ S_{41}& S_{42}& 0& S_{44}\end{array}\right).$ (1)

Определение элементов S-матрицы. Суть S_ik элемента матрицы определяется как коэффициент передачи сигнала из k-го порта устройства в i-ый. В общем виде, передача сигнала происходит как с изменением амплитуды, так и с фазовой задержкой, и, в общем случае, элементы матрицы рассеяния комплексные.

Диагональные элементы (S_ii) определяют долю обратно отражённого сигнала в тот же порт, в который он был направлен. Коэффициенты отражения на портах определим как:

$S_{i,i}=\sqrt{{\beta }_i}\cdot e^{j{\phi }_i},$ (2)

где β_i — коэффициент отражения, φ_i — фазовый сдвиг при отражении на порту.

Недиагональные элементы (S_ik, i ≠ k) определяют передачу сигнала между портами и зависят от: α — коэффициента затухания внутри самого устройства, коэффициента деления интенсивности (γ_ik, i ≠ k) и фазового сдвига (φ_ik, i ≠ k) для каждого пути:

$S_{ik}=\sqrt{{\gamma }_{ik}\left(1-\alpha \right)}\cdot e^{j{\phi }_{ik}}.$ (3)

Подставляя выражения (2) и (3) в (1), получим итоговую S-матрицу:

$\left(\begin{array}{cccc}\sqrt{{\beta }_1}\cdot {\text{e}}^{j{\phi }_{11}}& 0& \sqrt{{\gamma }_{13}\left(1-\alpha \right)}\cdot {\text{e}}^{j{\phi }_{13}}& \sqrt{{\gamma }_{14}\left(1-\alpha \right)}\cdot {\text{e}}^{j{\phi }_{14}}\\ 0& \sqrt{{\beta }_2}\cdot {\text{e}}^{j{\phi }_{22}}& \sqrt{{\gamma }_{23}\left(1-\alpha \right)}\cdot {\text{e}}^{j{\phi }_{23}}& \sqrt{{\gamma }_{24}\left(1-\alpha \right)}\cdot {\text{e}}^{j{\phi }_{24}}\\ \sqrt{{\gamma }_{31}\left(1-\alpha \right)}\cdot {\text{e}}^{j{\phi }_{31}}& \sqrt{{\gamma }_{32}\left(1-\alpha \right)}\cdot {\text{e}}^{j{\phi }_{32}}& \sqrt{{\beta }_3}\cdot {\text{e}}^{j{\phi }_{33}}& 0\\ \sqrt{{\gamma }_{41}\left(1-\alpha \right)}\cdot {\text{e}}^{j{\phi }_{41}}& \sqrt{{\gamma }_{42}\left(1-\alpha \right)}\cdot {\text{e}}^{j{\phi }_{42}}& 0& \sqrt{{\beta }_4}\cdot {\text{e}}^{j{\phi }_{44}}\end{array}\right).$ (4)

Закон сохранения энергии

Запишем закон сохранения энергии, который выражается в требовании унитарности матрицы S [9], то есть результат произведения матрицы S на ее эрмитово сопряженную матрицу¹ должен равняться единичной матрице S×S^† = E или, иными словами, S⁻¹ = S, где S^† = (S^T)^*, где ^T — оператор транспонирования, а ^* — комплексной сопряженности. Следуя свойствам унитарных операторов, можно записать S^†×S = S×S^† = E. Последнее соотношение означает, что сумма квадратов элементов каждой строки или столбца равняется единице. Фактически, это требование эквивалентно требованию закона сохранения энергии, когда количество входящей в устройство энергии равно количеству исходящей энергии, включая потери внутри самого устройства.

Тогда для каждого из портов сумма мощностей отражённых и переданных сигналов должна быть равна единице:

$\sum _i{\left|S_{i,k}\right|}^2=\sum _k{\left|S_{i,k}\right|}^2=1,$ (5)

или, если записать в терминах, введенных в (4) обозначений, получим:

$\left\{\begin{array}{cc}{\beta }_1+{\gamma }_{31}\left(1-\alpha \right)+{\gamma }_{41}\left(1-\alpha \right)=1,& {\beta }_1+{\gamma }_{13}\left(1-\alpha \right)+{\gamma }_{14}\left(1-\alpha \right)=1,\\ {\beta }_2+{\gamma }_{32}\left(1-\alpha \right)+{\gamma }_{42}\left(1-\alpha \right)=1,& {\beta }_2+{\gamma }_{23}\left(1-\alpha \right)+{\gamma }_{24}\left(1-\alpha \right)=1,\\ {\gamma }_{13}\left(1-\alpha \right)+{\gamma }_{23}\left(1-\alpha \right)+{\beta }_3=1,& {\gamma }_{31}\left(1-\alpha \right)+{\gamma }_{32}\left(1-\alpha \right)+{\beta }_3=1,\\ {\gamma }_{14}\left(1-\alpha \right)+{\gamma }_{24}\left(1-\alpha \right)+{\beta }_4=1,& {\gamma }_{41}\left(1-\alpha \right)+{\gamma }_{42}\left(1-\alpha \right)+{\beta }_4=1.\end{array}\right.$ (6)

Упростим (6), в предположении, что все отражения β_k от всех портов, и потери в самом устройстве α определены и заданы. Выбор этих параметров в качестве известных обосновывается тем, что они могут быть с легкостью измерены для любого устройства. Неизвестными останутся восемь коэффициентов деления γ_ik, связанных между собой восьмью соотношениями:

$\left\{\begin{array}{cc}{\gamma }_{31}+{\gamma }_{41}={\gamma }_{13}+{\gamma }_{14},& {\gamma }_{31}+{\gamma }_{41}=\frac{1-{\beta }_1}{1-\alpha },\\ {\gamma }_{32}+{\gamma }_{42}={\gamma }_{23}+{\gamma }_{24},& {\gamma }_{32}+{\gamma }_{42}=\frac{1-{\beta }_2}{1-\alpha },\\ {\gamma }_{13}+{\gamma }_{23}={\gamma }_{31}+{\gamma }_{32},& {\gamma }_{13}+{\gamma }_{23}=\frac{1-{\beta }_3}{1-\alpha },\\ {\gamma }_{14}+{\gamma }_{24}={\gamma }_{41}+{\gamma }_{42},& {\gamma }_{14}+{\gamma }_{24}=\frac{1-{\beta }_4}{1-\alpha }.\end{array}\right.$ или $\left\{\begin{array}{cc}{\gamma }_{13}+{\gamma }_{14}=\frac{1-{\beta }_1}{1-\alpha },& {\gamma }_{31}+{\gamma }_{41}=\frac{1-{\beta }_1}{1-\alpha },\\ {\gamma }_{23}+{\gamma }_{24}=\frac{1-{\beta }_2}{1-\alpha },& {\gamma }_{32}+{\gamma }_{42}=\frac{1-{\beta }_2}{1-\alpha },\\ {\gamma }_{31}+{\gamma }_{32}=\frac{1-{\beta }_3}{1-\alpha },& {\gamma }_{13}+{\gamma }_{23}=\frac{1-{\beta }_3}{1-\alpha },\\ {\gamma }_{41}+{\gamma }_{42}=\frac{1-{\beta }_4}{1-\alpha },& {\gamma }_{14}+{\gamma }_{24}=\frac{1-{\beta }_4}{1-\alpha }.\end{array}\right.$(7)

Внимательный анализ (7) показывает, что для того, чтобы соблюдался закон сохранения энергии, необходимо, чтобы сумма коэффициентов деления мощности, выходящей из данного порта, равнялась сумме коэффициентов деления мощности, входящей в этот порт. Перепишем (7) в матричной форме:

$\left(\begin{array}{cccccccc}1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 1& 0\\ 0& 0& 1& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 1& 1& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 1\\ 0& 1& 0& 1& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}{\gamma }_{13}\\ {\gamma }_{14}\\ {\gamma }_{23}\\ {\gamma }_{24}\\ {\gamma }_{31}\\ {\gamma }_{32}\\ {\gamma }_{41}\\ {\gamma }_{42}\end{array}\right)=\frac{1}{1-\alpha }\left(\begin{array}{c}1-{\beta }_1\\ 1-{\beta }_1\\ 1-{\beta }_2\\ 1-{\beta }_2\\ 1-{\beta }_3\\ 1-{\beta }_3\\ 1-{\beta }_4\\ 1-{\beta }_4\end{array}\right).$ (8)

Можно заметить, что если из первой строчки матрицы вычесть шестую, а из восьмой строчки третью, то получим две линейно связанные строки. Еще две линейно связанные строки получаются если из седьмой строки вычесть четвертую, а из второй вычесть пятую.

$\left(\begin{array}{cccccccc}0& 1& -1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& -1& 1& 0\\ 0& 0& 1& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 1& 1& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& -1& 1& 0\\ 0& 1& -1& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}{\gamma }_{13}\\ {\gamma }_{14}\\ {\gamma }_{23}\\ {\gamma }_{24}\\ {\gamma }_{31}\\ {\gamma }_{32}\\ {\gamma }_{41}\\ {\gamma }_{42}\end{array}\right)=\frac{1}{1-\alpha }\left(\begin{array}{c}{\beta }_3-{\beta }_1\\ {\beta }_3-{\beta }_1\\ 1-{\beta }_2\\ 1-{\beta }_2\\ 1-{\beta }_3\\ 1-{\beta }_3\\ {\beta }_2-{\beta }_4\\ {\beta }_2-{\beta }_4\end{array}\right).$ (9)

Как следствие, матрица 8×8 полученной неоднородной системы линейных уравнений (9) вырождена, её определитель равен нулю, а ранг матрицы равен 6.

Следовательно, и максимальное число линейно независимых уравнений тоже равно шести. Для того чтобы система уравнений (8) имела однозначное решение, необходимо, чтобы две переменные были определены заранее, и чтобы исключить вероятность выбора двух линейно зависимых между собой строк, необходимо определить одну переменную из 1, 3, 6 или 8 уравнений, а вторую переменную из 2, 4, 5 или 7 уравнений, что предоставляет довольно свободный выбор.

Система уравнений совместна тогда и только тогда, когда пара 1 и 8 и пара 2 и 7 совпадают, следовательно:

${\beta }_1+{\beta }_2={\beta }_3+{\beta }_4$(10)

тогда суммарный коэффициент отражения в портах 1 и 2 должен быть равен суммарному коэффициенту отражения в портах 3 и 4.

Частное решение

Пусть параметрами, дополнительно заданными к коэффициентам отражения и коэффициенту затухания, будут отношения распределения мощностей при передаче из первого порта в третий — γ₃₁ и из третьего порта в первый — γ₁₃. В этом случае система уравнений (9) сводится до системы линейных уравнений, которая решается аналитически:

$\begin{array}{l}{\beta }_4={\beta }_1+{\beta }_2-{\beta }_3\\ \begin{array}{cc}{\gamma }_{32}=\frac{1-{\beta }_3}{1-\alpha }-{\gamma }_{31}& {\gamma }_{23}=\frac{1-{\beta }_3}{1-\alpha }-{\gamma }_{13}\\ {\gamma }_{42}=\frac{{\beta }_3-{\beta }_2}{1-\alpha }+{\gamma }_{31}& {\gamma }_{24}=\frac{{\beta }_3-{\beta }_2}{1-\alpha }+{\gamma }_{13}\\ {\gamma }_{41}=\frac{1-{\beta }_1}{1-\alpha }-{\gamma }_{31}& {\gamma }_{14}=\frac{1-{\beta }_1}{1-\alpha }-{\gamma }_{13}\end{array}\end{array}$ (11)

При полностью заданных параметрах: α — коэффициента затухания внутри разветвителя, коэффициентов отражения на трех любых портах (для (11) это β₁, β₂, β₃ — коэффициенты отражения на первом, втором третьем портах), и отношения распределения мощностей при передаче света между портами (для (11) это коэффициент передачи из первого порта в третий — γ₃₁ и из третьего порта в первый — γ₁₃).

Фазовые соотношения

Помимо коэффициентов изменения амплитуды, матрица рассеяния (4) X-образного делителя мощности включат в себя фазовые φ_i,k приращения, которые принимает оптический сигнал при прохождении через устройство. Прошедшая через границу раздела волна, всегда совпадает по фазе с падающей волной и скачок фазы на границе отсутствует. Фазовые соотношения между падающей волной и отраженной волной зависят от показателей преломления сред и углов падения и отражения. В случае с X-образным разветвителем углы падения и отражения весьма близки к нулю и значительно меньше углов Брюстера. То есть параллельные компоненты поля в отраженной и падающей волне имеют одинаковые знаки, что обеспечивает скачок для отраженной волны фазы на π.

Волоконно-оптический X-образный делитель мощности — это устройство, состоящее из двух близко расположенных оптических волноводов, световые волны которых взаимодействуют через их эванесцентные поля (evanescent field). Когда свет вводится в один из волноводов, часть энергии передаётся во второй волновод благодаря перекрёстной связи мод. Этот процесс описывается с помощью теории связанных мод. Когда два волновода располагаются близко, их амплитуды влияют друг на друга. Согласно теории связанных мод, взаимодействие световых волн в двух близко расположенных волноводах приводит к периодической перекачке энергии между волноводами с периодом, определяемым коэффициентом связи мод. В результате такой интерференции фаза перекрёстно переданного сигнала на выходных портах X‑образного делителя мощности смещена на π/2 относительно друг друга [10].

Пусть прохождение излучения через устройство получает фазовую задержку φ, одинаковую как для прямого, так и для обратного распространения волны, тогда фазовые соотношения в матрице рассеяния могут быть записаны так:

$\left(\begin{array}{cccc}-\sqrt{{\beta }_1}{\text{e}}^{j\phi }& 0& \sqrt{{\gamma }_{13}\left(1-\alpha \right)}{\text{e}}^{j\phi }& j\sqrt{\left(1-{\beta }_1-{\gamma }_{13}\left(1-\alpha \right)\right)}{\text{e}}^{j\phi }\\ 0& -\sqrt{{\beta }_2}{\text{e}}^{j\phi }& j\sqrt{\left(1-{\beta }_3-{\gamma }_{13}\left(1-\alpha \right)\right)}{\text{e}}^{j\phi }& \sqrt{\left({\beta }_3-{\beta }_2+{\gamma }_{13}\left(1-\alpha \right)\right)}{\text{e}}^{j\phi }\\ \sqrt{{\gamma }_{31}\left(1-\alpha \right)}{\text{e}}^{j\phi }& j\sqrt{\left(1-{\beta }_3-{\gamma }_{31}\left(1-\alpha \right)\right)}\cdot {\text{e}}^{j\phi }& -\sqrt{{\beta }_3}{\text{e}}^{j\phi }& 0\\ j\sqrt{\left(1-{\beta }_1-{\gamma }_{31}\left(1-\alpha \right)\right)}{\text{e}}^{j\phi }& \sqrt{\left({\beta }_3-{\beta }_2+{\gamma }_{31}\left(1-\alpha \right)\right)}\cdot {\text{e}}^{j\phi }& 0& -\sqrt{{\beta }_1+{\beta }_2-{\beta }_3}{\text{e}}^{j\phi }\end{array}\right)$ (12)

Итоговая матрица (12) рассеяния двунаправленного X-образного делителя мощности отвечает и требованиям унитарности матрицы и фазовым соотношениям.

Заключение

Предложенная аналитическая модель S‑матрицы для двунаправленного X‑образного делителя мощности демонстрирует эффективность использования матричных методов для описания распределения оптической энергии в сложных волноводных структурах. Применение теории связанных мод и учет эванесцентных полей позволяют не только правильно предсказать фазовые соотношения между различными портами, но и обеспечить соблюдение принципа сохранения энергии через унитарность матрицы. Полученные результаты являются ценным инструментом при разработке и оптимизации оптических разделителей в волоконной оптике, а также открывают возможности для дальнейших исследований в области интегральной фотоники.

 

¹ Эрмитово сопряжённая матрица (сопряжённо-транспонированная матрица) — матрица A^∗ с комплексными элементами, полученная из исходной матрицы A транспонированием и заменой каждого элемента комплексно-сопряжённым ему

About the authors

A. Zh. Sakhabutdinov

Kazan National Research Technical University named after A.N. Tupolev-KAI

Author for correspondence.
Email: vskhayrova@kai.ru
Russian Federation, Kazan

V. I. Anfinogentov

Kazan National Research Technical University named after A.N. Tupolev-KAI

Email: vskhayrova@kai.ru
Russian Federation, Kazan

B. I. Valeev

Kazan National Research Technical University named after A.N. Tupolev-KAI

Email: vskhayrova@kai.ru
Russian Federation, Kazan

References

Supplementary files