On the Partial Stability of Nonlinear Discrete-Time Systems with Delay

Capa

Citar

Texto integral

Resumo

A system of nonlinear discrete (finite-difference) of a general form with a bounded delay is considered. Interest in the tasks of qualitative analysis of such systems has increased significantly in recent years. At the same time, the problem of stability with respect to all variables of the zero equilibrium position, which has a great generality, is mainly analyzed in domestic and foreign literature. The main research method is a discrete-functional analogue of the direct Lyapunov method. In this article, it is assumed that the system under consideration admits a “partial” (in some part of the state variables) zero equilibrium position. The problem of stability of a given equilibrium position is posed, and stability is considered not in all, but only in relation to a part of the variables that determine this equilibrium position. Such a problem belongs to the class of problems of partial stability, which are actively studied for systems of various forms of mathematical description. The proposed statement of the problem complements the scope of the indicated studies in relation to the system under consideration. To solve this problem, a discrete version of the Lyapunov– Krasovskii functionals method is used in the space of discrete functions with appropriate specification of the functional requirements. To expand the capabilities of this method, it is proposed to use two types of additional auxiliary (vector, generally speaking) discrete functions in order to: 1) adjustments of the phase space region of the system in which the Lyapunov–Krasovskii functional is constructed; 2) finding the necessary estimates of the functionals and their differences (increment) due to the system under consideration, on the basis of which conclusions about partial stability are made. The expediency of this approach lies in the fact that as a result, the Lyapunov-Krasovskii functional, as well as its difference due to the system under consideration, can be alternating in the domain that is usually considered when analyzing partial stability. Sufficient conditions of partial stability, partial uniform stability, and partial uniform asymptotic stability of the specified type are obtained. The features of the proposed approach are shown on the example of two classes of nonlinear systems of a given structure, for which partial stability is analyzed in parameter space. Attention is drawn to the expediency of using a one-parameter family of functionals.

Sobre autores

V. Vorotnikov

Sochi Institute of the Peoples’ Friendship University of Russia

Email: vorotnikov-vi@rambler.ru
Kuibysheva St. 32

Bibliografia

  1. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. М.: Мир, 1971. 309 c.
  2. Фурасов В.Д. Устойчивость и стабилизация дискретных процессов. М.: Наука, 1982. 192 с.
  3. Elaydi S. An Introduction to Difference Equations, 3-ed. N.Y.: Springer, 2005. 540 p. doi: 10.1007/0-387-27602-5.
  4. Александров А.Ю., Жабко А.П., Платонов А.В. Устойчивость движений дискретных динамических систем. СПб.: Изд. Дом Федоровой Г.В., 2015. 154 с.
  5. Румянцев В.В. Об устойчивости движения по отношению к части переменных // Вестн. МГУ. Сер. Матем., Механика, Физика, Астрономия, Химия. 1957. № 4. C. 9–16.
  6. Воротников В.И. Частичная устойчивость и управление: состояние проблемы и перспективы развития // Автоматика и телемеханика. 2005. № 4. С. 3−59.
  7. Haddad W.M., Chellaboina V. Nonlinear Dynamical Systems and Control: A Lyapunov-Based Approach. Princeton: Princeton Univ. Press, 2008. 976 p.
  8. Ramírez‐Llanos E., Martínez S. Distributed Discrete‐Time Optimization Algorithms with Applications to Resource Allocation in Epidemics Control // Optimal Control Appl. Meth. 2018. vol. 39. no. 1. pp. 160−180.
  9. Shafiei M.H., Vazirpour N. The Approach of Partial Stabilization in Design of Discrete-Time Robust Guidance Laws against Maneuvering Targets // Aeronautical J. 2020. vol. 124. no. 1277. pp. 1114−1127.
  10. Игнатьев А.О. Метод функций Ляпунова в системах разностных уравнений: устойчивость относительно части переменных // Дифференц. уравнения. 2022. Т. 58. № 3. C. 407–415.
  11. Воротников В.И., Мартышенко Ю.Г. Об одном подходе к анализу устойчивости «частичных» положений равновесия нелинейных дискретных систем // Известия РАН. Теория и системы управления. 2022. Т. 63. № 3. С. 57–68.
  12. Shaikhet L. Lyapunov Functionals and Stability of Stochastic Difference Equations. N.Y.: Springer, 2011. 370 p.
  13. Astrom K.J., Wittenmark B. Computer Controlled Systems: Theory and Design. N.Y.: Dover Publ, Inc., 2013. 576 p.
  14. Fridman E. Introduction to Time-Delay Systems: Analysis and Control. Boston: Birkhauser, 2014. 362 p. doi: 10.1007/978-3-319-09393-2.
  15. Hetel L., Daafouz J., Iung C. Equivalence between the Lyapunov–Krasovskii Functionals Approach for Discrete Delay Systems and that of the Stability Conditions for Switched Systems // Nonlinear Analysis: Hybrid Systems. 2008. vol. 2. no. 3. pp. 697–705.
  16. Родионов А.М. Некоторые модификации теорем второго метода Ляпунова для дискретных уравнений // Автоматика и телемеханика. 1992. № 9. С. 86–93.
  17. Elaydi S., Zhang S. Stability and Periodicity of Difference Equations with Finite Delay // Funkcialaj Ekvacioj. 1994. vol. 37. no. 3. pp. 401–413.
  18. Анашкин О.В. Функции Ляпунова в теории устойчивости нелинейных разностных уравнений с запаздыванием // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38. № 7. C. 976–978.
  19. Pepe P., Pola G., Di Benedetto M.D. On Lyapunov–Krasovskii Characterizations of Stability Notions for Discrete-Time Systems with Uncertain Time-Varying Time Delays // IEEE Trans. Automatic Control. 2017. vol. 63. no. 6. pp. 1603–1617.
  20. Aleksandrov A.Y., Aleksandrova E.B. Delay-Independent Stability Conditions for a Class of Nonlinear Difference Systems // J. of the Franklin Institute. 2018. vol. 355. no. 7. pp. 3367–3380.
  21. Zhou B. Improved Razumikhin and Krasovskii Approaches for Discrete-Time Time-Varying Time-Delay Systems // Automatica. 2018. vol. 91. pp. 256–269.
  22. Li X., Wang R., Du S., Li T. An Improved Exponential Stability Analysis Method for Discrete‐Time Systems with a Time‐Varying Delay // Intern. J. Robust Nonlin. Control. 2022. vol. 32. no. 2. pp. 669–681.
  23. Guo Y., Xu X., Liu L., Wang Y., Feng G. New Results on Stability of Discrete-Time Systems with Infinite Delays // Automatica. 2022. vol. 136. no. 110043.
  24. Zhang K., Braverman E., Gharesifard B. Event-Triggered Control for Discrete-Time Delay Systems // Automatica. 2023. vol. 147. no. 110688.
  25. Seuret A., Gouaisbaut F., Fridman E. Stability of Discrete-Time Systems with Time-Varying Delays via a Novel Summation Inequality // IEEE Trans. Automatic Control. 2015. vol. 60. no. 10. pp. 2740–2745.
  26. Lin H., Zeng H., Wang W. New Lyapunov-Krasovskii Functional for Stability Analysis of Linear Systems with Time-Varying Delay // J. Systems Science and Complexity. 2021. vol. 34. no. 2. pp. 632–641.
  27. Zhu L., Zhu C. Enhanced Stability Criteria for Discrete-Time Systems with Time-Varying Delay // Intern. J. Control, Autom. Systems. 2021. vol. 19. no. 7. pp. 2385–2394.
  28. Demidenko G.V., Matveeva I.I. The Second Lyapunov Method for Time-Delay Systems // International workshop on Functional Differential Equations and Applications: FDEA-2019. Singapore: Springer, 2022. pp. 145–167.
  29. Zhang X.M., Han Q.L., Ge X., Peng C. Stability Analysis of Delayed Discrete-Time Systems based on a Delay-Square-Dependent Lyapunov Functional // Automatica. 2023. vol. 147. no. 110592.
  30. Diblík J. Exponential Stability of Linear Discrete Systems with Multiple Delays by Degenerated Lyapunov–Krasovskii Functionals // Applied Mathematics Letters. 2023. vol. 142. no. 110592.
  31. Liz E. Stability of Non-Autonomous Difference Equations: Simple Ideas Leading to Useful Results // J. Difference Equat. 2011. vol. 17. no. 2. pp. 203–220.
  32. Малыгина В.В. Асимптотические свойства решений линейных дифференциальных и разностных уравнений с последействием. Дисс. на соиск. уч. степени докт. физ.-мат. наук. Пермь: Пермский национальный исследовательский политехнический университет, 2021. 279 c.
  33. Дашковский С.Н., Ефимов Д.В., Cонтаг Э.Д. Устойчивость от входа к состоянию и смежные свойства систем // Автоматика и телемеханика. 2011. № 8. С. 3–40.
  34. Воротников В.И., Мартышенко Ю.Г. К задаче частичной устойчивости нелинейных дискретных систем // Мехатроника. Автоматизация. Управление. 2017. Т. 18. № 6. С. 371–375.
  35. Воротников В.И., Мартышенко Ю.Г. К задаче частичной устойчивости нелинейных дискретных стохастических систем // Автоматика и телемеханика. 2021. № 9. С. 116–132.
  36. Воротников В.И., Мартышенко Ю.Г. Об устойчивости по части переменных «частичных» положений равновесия систем с последействием // Матем. заметки. 2014. Т. 96. № 4. С. 496–503.
  37. Воротников В.И. К частичной устойчивости и детектируемости функционально-дифференциальных систем с последействием // Автоматика и телемеханика. 2020. № 2. С. 3–17.
  38. Vorotnikov V.I. Partial Stability and Control. Boston: Birkhauser, 1998. 448 p.

Arquivos suplementares

Arquivos suplementares
Ação
1. JATS XML
Baixar

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».