Том 24, № 126 (2019)

Классические теоремы об обратной функции гарантируют существование обратной функции в окрестности значения заданной точки, если в этой точке выполняется условие регулярности, т. е. первая производная в ней невырождена. Более общим условием существования неявной функции является условие 2-регулярности. Оно выполняется, например, для многих квадратичных отображений в нуле. Известно, что при естественных предположениях гладкости из 2-регулярности отображения в точке по некоторому направлению вытекает существование непрерывной обратной функции. В этой работе показано, что в известных утверждениях о существовании обратной функции при выполнении условия 2-регулярности предположения гладкости можно ослабить. При этом обратная функция может не быть непрерывной.

Работа посвящена разработке библиотеки процедур для системы компьютерной алгебры MathPartner. Разрабатывается программная реализация алгоритмов символьного интегрирования. Решение задачи символьного интегрирования разбивается на три этапа. На первом этапе подынтегральное выражение приводится к виду, необходимому для применения алгоритма Риша. Приведено описание соответствующих процедур, которые сводят подынтегральную функцию к выражению, содержащему конечный набор арифметических операций и композиций логарифмических функций и экспонент, а также формируют набор регулярных мономов. На втором этапе осуществляется интегрирование дробной части подынтегрального выражения. Дано описание процедур, позволяющих привести дробную часть к виду, необходимому для применения алгоритма интегрирования. На третьем этапе проводится интегрирование полиномиальной части подынтегрального выражения. Получены процедуры, позволяющие в зависимости от вида подынтегрального выражения применить соответствующие алгоритмы интегрирования. В приложении приводится описание команд языка пользователя системы MathPartner, которые предназначены для вычисления интегралов в символьном виде.

Рассматривается метод гармонического баланса для нахождения приближённых периодических решений динамической системы Лоренца. При разработке программного обеспечения, реализующего описываемый метод, был выбран математический пакет Maxima. Показаны недостатки символьных вычислений для получения системы нелинейных алгебраических уравнений относительно циклической частоты, постоянных членов и амплитуд гармоник, составляющих искомое решение. Для ускорения расчётов впервые эта система была получена в общем виде. Приведены результаты вычислительного эксперимента - коэффициенты тригонометрических полиномов, приближающих найденное периодическое решение, начальное условие и период цикла. Полученные результаты были проверены с помощью описанного ранее в работах авторов высокоточного метода интегрирования, основанного на аппроксимации степенными рядами.

В банаховом пространстве изучается линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) n -го порядка с постоянными ограниченными операторными коэффициентами. Нахождение общего решения ЛНДУ сводится к построению общего решения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения (ЛОДУ). Характеристическое операторное уравнение для ЛОДУ рассматривается в банаховой алгебре комплексных операторов. В общем случае, когда среди корней характеристического операторного уравнения имеются как действительные, так и комплексные операторные корни, указывается n -параметрическое семейство решений ЛОДУ. При построении этого семейства используются операторные функции eAt ; sinBt ; cosBt действительного аргумента t ∈ [0;∞) : Выясняются условия, при которых данное семейство решений является общим решением ЛОДУ. В случае, когда характеристическое операторное уравнение имеет простые действительные операторные корни и простые чисто мнимые операторные корни, указан конкретный вид таких условий. В частности, эти корни должны коммутировать с операторными коэффициентами ЛОДУ. Кроме того, они должны коммутировать между собой. При доказательстве соответствующего утверждения применяется операторно-векторное правило Крамера решения систем линейных векторных уравнений в банаховом пространстве.