Разрешение алгебро-дифференциального уравнения второго порядка относительно производной

В статье рассматривается алгебро-дифференциальное уравнение второго порядка. Уравнениями и системами дифференциальных уравнений второго порядка описывается работа схемы электронного триода с обратной связью, вращение жесткого тела с полостью, считывание информации с диска и т. д. Перед старшей производной находится необратимый оператор. Этот оператор фредгольмов с нулевым индексом, обладающий ядром произвольной размерности и цепочками Жордана произвольной длины. Уравнения с необратимыми операторами при старшей производной называются алгебродифференциальными. В связи с этим решение задачи существует при определенных условиях на компоненты искомой функции. Для разрешения уравнения относительно производной применяется метод каскадной декомпозиции уравнения, заключающегося в пошаговом расщеплении уравнения на уравнения в подпространствах уменьшающихся размерностей. Рассмотрены случаи одношагового и двухшагового расщепления. При расщеплении используется результат о решении линейного уравнения с фредгольмовым оператором. В каждом случае получен результат, сформулированный в виде теоремы. Для иллюстрации полученного результата в случае одношагового расщепления приводится иллюстрирующий пример задачи Коши.