О решениях типа «кольцо» уравнений нейронного поля

В работе исследуется интегро-дифференциальное уравнение с интегральным оператором типа Гаммерштейна следующего вида:
\begin{equation*}
\begin{array}{c}
\partial_tu(t,x)=-\tau u(t,x,x_\mathrm{f})+\int\limits_{\mathbb{R}^2}
\omega(x-y)f(u(t,y)) dy, \
\ t\geq0,\ x\in \mathbb{R}^2.
\end{array}
\end{equation*}
Данное уравнение формализует динамику распределения электрических потенциа\-лов $u(t,x)$ в плоской нейронной среде и носит название уравнения нейронного поля. Изучаются решения типа <<кольцо>>, представляющие собой стационарные радиально симметричные решения, отвечающие состоянию активности нейронной среды в некоторой области, ограниченной двумя концентрическими окружностями, и состоянию покоя нейронного поля за пределами данной области. В работе предлагаются условия существования решений-колец, а также метод их приближенного численного нахождения. Используемые подходы основываются на замене в уравнении нейронного поля вероятностной функции $f$ активации нейронов, имеющей сигмоидальную форму, функцией типа Хевисайда. Теоретическая часть работы сопровождается примером, иллюстрирующим процедуру исследования решений типа <<кольцо>> уравнения нейронного поля, содержащего типично используемую в математической нейробиологии функцию межнейронной связи, позволяющую учитывать как возбуждающие, так и тормозящие взаимодействия нейронов. Подобно случаю решений-бампов (стационарных решений уравнения нейронного поля, отвечающих активации области нейронного поля, представляющей собой внутренность некоторой окружности), при высоких значениях порога активации нейронов имеет место одновременное существование двух решений --- так называемых <<широкого кольца>> и <<узкого кольца>>, сливающихся вместе при критическом значении порога активации нейронов, при превышении которого решений-колец не существует.