Оптимизация дисконтированного дохода для структурированной популяции, подверженной промыслу

Рассматривается структурированная популяция, особи которой разделены на $n$ возрастных или типических групп $x_1,\ldots,x_n .$
Предполагаем, что в любой момент времени $k,$ $k=0,1,2\ldots$ численность популяции  $x(k)$ определяется как решение нормальной
автономной системы разностных уравнений $x(k+1)=F\bigl(x(k)\bigr)$, где $F(x)={\rm col}\bigl(f_1(x),\ldots,f_n(x)\bigr)$~--- заданные векторные функции с
вещественными неотрицательными компонентами $f_i(x),$ $i=1,\ldots,n.$
Исследуется случай, когда имеется возможность влиять на размер популяции путем промыслового изъятия. В работе рассмотрена модель эксплуатируемой популяции в виде
$x(k+1)=F\left(\right(1-u\left(k\right) \left)x\right(k) ),$
где вектор $u(k)=\bigl(u_1(k),\dots,u_n(k)\bigr)\in[0,1]^n$~--- управление, выбором которого можно достигать увеличения показателей сбора ресурса.
Предполагается, что стоимости условной единицы каждого из рассматриваемых $n$ классов постоянны и равны  $C_i\geqslant 0 ,$ $i=1,\ldots,n.$
Для определения стоимости ресурса, получаемого в результате промысла, в рассмотрение вводится функция дисконтированного дохода, которая имеет вид

$H_{\alpha }(u¯,x(0\left)\right)=\sum _{j=0}^{\infty } {\sum _{i=1}^n}_{(}{C}_i{x}_i\left(j\right)u_i\left(j\right)e^{(}-\alpha j),$

где $\alpha>0$~--- коэффициент дисконтирования.
Решается задача построения управлений на конечном и бесконечном промежутках времени, при которых дисконтированный доход от извлечения
возобновляемого ресурса достигает наибольшего значения.
В качестве следствий получены результаты о построении оптимального способа добычи однородной популяции (т. е. при $n=1$).