ON A СOMBINATORIAL APPLICATION OF ULTRAFILTER THEORY: A NEW CONSTRUCTION OF TRIANGLE-FREE GRAPHS WITH ARBITRARILY LARGE CHROMATIC NUMBER

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The paper describes a new method for constructing triangle-free graphs with an arbitrarily large chromatic number. The method is substantiated using properties of various types of ultrafilter extensions of functions and predicates.

About the authors

N. L Polyakov

HSE University

Email: npolyakov@hse.ru
Moscow, Russia

References

  1. P. Erdo s, Graph Theory and Probability. Canadian Journal of Mathematics, 11, 34–38 (1959).
  2. А.А. Зыков, О некоторых свойствах линейных комплексов. Математический сборник, 24 (66), 163–188 (1949).
  3. J. Mycielski, Sur le coloriage des graphs. Colloquium Mathematicum 3, 161–162 (1955).
  4. M. Shtibitz, Beitrage zur Theorie der farbungskritschen Graphen. Technische Universitat Ilmenau, Habilitation Thesis (1985).
  5. L. Lova´sz, Kneser’s conjecture, chromatic number, and homotopy. Journal of Combinatorial Theory, Series A, 25 (3), 319–324 (1978).
  6. J.E. Greene, A new short proof of Kneser’s conjecture. American Mathematical Monthly, 109 (10), 918–920 (1978).
  7. J. Matousˇek, A combinatorial proof of Kneser’s conjecture. Combinatorica, 24 (1), 163–170 (2004).
  8. J.P. Burling, On coloring problems of families of prototypes. Boulder: University of Colorado, PhD thesis (1965).
  9. A. Pawlik, J. Kozik, et al, Triangle-free intersection graphs of line segments with large chromatic number. Journal of Combinatorial Theory, Series B, 105(5), 6–10 (2014).
  10. L. Lova´sz, On chromatic number of finite set– systems. Acta Math. Acad. Sci. Hungar, 19, 59– 67 (1968).
  11. P. O’Donnell, Arbitrary girth, 4-chromatic unit distance graphs in the plane. I. Graph description. Geombinatorics, 9 (3), 145–152 (2000).
  12. P. O’Donnell, Arbitrary girth, 4-chromatic unit distance graphs in the plane. II. Graph embedding. Geombinatorics, 9 (4), 180–193 (2000).
  13. A.M. Raigorodskii, Cliques and cycles in distance graphs and graphs of diameters. Discrete Geometry and Algebraic Combinatorics. AMS. Contemp. Math., 625, 93–109 (2014).
  14. N. Alon, A. Kupavskii, Two notions of unit distance graphs. Journal of Combinatorial Theory, Series A, 125, 1–17 (2014).
  15. W.W. Comfort, S. Negrepontis, The theory of ultrafilters. Springer, Berlin (1974).
  16. N. Hindman, D. Strauss, Algebra in the Stone– Cech Compactification. 2nd ed., revised and expanded, W. de Gruyter, Berlin–N.Y. (2012).
  17. V. Goranko, Filter and ultrafilter extensions of structures: universal-algebraic aspects. Preprint (2007).
  18. D.I. Saveliev, Ultrafilter extensions of models. Lecture Notes in AICS, 6521, 162–177 (2011).
  19. D.I. Saveliev, On ultrafilter extensions of models. In: S.-D. Friedman et al. (eds.). The Infinity Project Proc. CRM Documents 11, Barcelona, 599–616 (2012).
  20. N.L. Poliakov, D.I. Saveliev, On ultrafilter extensions of first-order models and ultrafilter interpretations. Arch. Math. Logic 60, 625–681 (2021).
  21. N.L. Polyakov, On the Canonical Ramsey Theorem of Erdos and Rado and Ramsey Ultrafilters. Dokl. Math. 108, 392–401 (2023).
  22. B. Jo´nsson, A. Tarski, Boolean algebras with operators. Part I: Amer. J. Math. 73 (4), 891–939 (1951); Part II: ibid. 74 (1), 127–162 (1952).
  23. N.G. de Bruijn, P. Erdo s, A colour problem for infinite graphs and a problem in the theory of relations. Proceedings of the Section of Sciences of the Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen. Series A, mathematical sciences, 54(5), 371–373 (1951).
  24. I. Shur, U¨ ber die Kongruenz xm + ym = zm (mod p). Jahresber. Deutsche Math.-Verein. 25, 114–116 (1916).
  25. A. Sisto, Exponential Triples. The Electronic Journal of Combinatorics, 18 (1), P147 (2011).

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Russian Academy of Sciences

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».