A note on Borsuk’s problem in Minkowski spaces

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

In 1993, Kahn and Kalai famously constructed a sequence of finite sets in d-dimensional Euclidean spaces that cannot be partitioned into less than  parts of smaller diameter. Their method works not only for the Euclidean, but for all lp-spaces as well. In this short note, we observe that the larger the value of p, the stronger this construction becomes.

About the authors

A. M. Raigorodskii

Moscow Institute of Physics and Technology; Moscow State University; Caucasus Mathematical Center, Adyghe State University; Buryat State University

Author for correspondence.
Email: mraigor@yandex.ru
Russian Federation, Moscow; Moscow; Maykop; Ulan-Ude

A. Sagdeev

Alfred Renyi Institute of Mathematics; Moscow Institute of Physics and Technology

Email: sagdeevarsenii@gmail.com
Hungary, Budapest; Moscow, Russia

References

  1. Baker R.C., Harman G., Pintz J. The difference between consecutive primes. II // Proc. Lond. Math. Soc. (3). 2001. Vol. 83. No. 3. P. 532–562.
  2. Bogolubsky L.I., Raigorodskii A.M. On bounds in Borsuk’s problem // Proc. MIPT (Trudy MFTI). 2019. Vol. 11. No. 3. P. 20–49.
  3. Boltyanskii V.G., Gohberg I.T. Results and Problems in Combinatorial Geometry. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1985; M.: Nauka, 1965.
  4. Bondarenko A. On Borsuk’s Conjecture for Two-Distance Sets // Discrete Comput. Geom. 2014. Vol. 51. No. 3. P. 509–515.
  5. Borsuk K. Drei Sätze über die -dimensionale euklidische Sphäre // Fundamenta Math. 1933. Vol. 20. P. 177–190.
  6. Bourgain J., Lindenstrauss J. On covering a set in by balls of the same diameter, Geometric Aspects of Functional Analysis (J. Lindenstrauss and V. Milman, eds.) // Lecture Notes in Math. 1469. Springer, Berlin, 1991. P. 138–144.
  7. Frankl P., Wilson R.M. Intersection theorems with geometric consequences // Combinatorica. 1981. Vol. 1. No. 4. P. 357–368.
  8. Grünbaum B. Borsuk’s partition conjecture in Minkowski planes // Bull. Res. Council Israel Sect. F. 7F. 1957. P. 25–30.
  9. Jenrich T., Brouwer A.E. A 64-Dimensional Counterexample to Borsuk’s Conjecture // Electron. J. Combin. 2014. Vol. 21. No. 4. P4.29.
  10. Kahn J., Kalai G. A counterexample to Borsuk’s conjecture // Bull. Amer. Math. Soc. 1993. Vol. 29. No. 1. P. 60–62.
  11. Lassak M. An estimate concerning Borsuk’s partition problem // Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Math. 1982. Vol. 30. P. 449–451.
  12. Raigorodskii A.M. Semidefinite programming in combinatorial optimization with applications to coding theory and geometry. 2013. Thesis. Available at https://theses.hal.science/tel-00948055
  13. Raigorodskii A.M. Around Borsuk’s conjecture // J. Math. Sci. 2008. Vol. 154. No. 4. P. 604–623.
  14. Raigorodskii A.M. Coloring Distance Graphs and Graphs of Diameters // Thirty Essays on Geometric Graph Theory / ed. J. Pach. Springer, 2013. P. 429–460.
  15. Raigorodskii A.M. On a bound in Borsuk’s problem // Russian Math. Surveys, 1999. Vol. 54. No. 2. P. 453–454.
  16. Raigorodskii A.M. On the dimension in Borsuk’s problem // Russian Math. Surveys. 1997. Vol. 52. No. 6. P. 1324–1325.
  17. Rogers C.A., C. Zong C. Covering convex bodies by translates of convex bodies // Mathematika. 1997. Vol. 44. No. 1. P. 215–218.
  18. Schramm O. Illuminating sets of constant width // Mathematika. 18. Vol. 35. P. 180–189.
  19. Swanepoel K.J. Combinatorial distance geometry in normed spaces // New Trends in Intuitive Geometry. 2018. P. 407–458.
  20. Wang J., Xue F. Borsuk’s partition problem in four-dimensional space. Preprint arXiv:2206.15277.
  21. Weissbach B. Sets with large Borsuk number // Beiträge Alg. Geom. 2000. Vol. 41. P. 417–423.
  22. Yu L., Zong C. On the blocking number and the covering number of a convex body // Adv. Geom. 2009. Vol. 9. No. 1. P. 13–29.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 Russian Academy of Sciences

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».