Алгоритмы численного решения параметрической двумерной краевой задачи на собственные значения и вычисления производных от собственных решений по параметру и матричных элементов методом конечных элементов

Представлены эффективные и стабильные алгоритмы численного решения с заданной точностью параметрической двумерной краевой задачи на собственные значения (КЗСЗ). КЗСЗ формулируется для самосопряженного эллиптического дифференциального уравнения в частных производных с краевыми условиями Неймана и/или Дирихле в конечной двумерной области. Исходная задача редуцируется к параметрической однородной одномерной КЗСЗ для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка (ОДУ). Редукция производится разложением искомого решения по подходящему набору ортогональных собственных функций вспомогательной задачи Штурма–Лиувилля по одной из переменных. Производные по параметру от собственных значений и соответствующих собственных вектор-функций редуцированной задачи определяются как решения параметрической неоднородной одномерной КЗСЗ, полученной дифференцированием по параметру редуцированной задачи. Полученные КЗСЗ решаются методом конечных элементов с автоматическим выбором сдвига спектра. Алгоритм, реализованный на Фортране 77 в виде программы POTHEA, вычисляет с заданной точностью набор ∼ 50 собственных значений (потенциальных термов), собственных функций и их первых производных по параметру, а также матричных элементов – интегралов от произведения собственных функций и/или первых производных собственных функций по параметру. Вычисленные потенциальные термы и матричные элементы можно использовать для формирования матрицы переменных коэффициентов системы ОДУ, которая возникает при редукции трёхмерной КЗСЗ в рамках многоканального адиабатического подхода или метода Канторовича. Эффективность и стабильность алгоритма продемонстрирована численным анализом собственных решений параметрической двумерной КЗСЗ и вычисленных матричных элементов которые применяются при решении с помощью программы KANTBP трёхмерной КЗСЗ для уравнения Шрёдингера для атома гелия с нулевым полным угловым моментом в гиперсферических координатах.

параметрическая двумерная задача на собственные значения, эллиптическое уравнение второго порядка, метод конечных элементов, метод Канторовича, гиперсферические координаты, атом гелия