О моделях с парциальным распределением точности

Большинство моделей, описывающих какие-либо колебательные процессы, имеют парциальное распределение точности, т.е. эти модели описывают эволюцию нормальной моды тем хуже, чем выше её номер. Поэтому вопрос о сходимости ряда по нормальным волнам, занимающий центральное место при классическом подходе, неизбежно выводит за рамки применимости модели. Традиционно в этом видят недостаток моделей — ещё одно из многих затруднение на пути доказательства сходимости ряда и существования классического решения. В этой статье предложен новый подход к описанию таких моделей. Изложение проиллюстрировано конкретным примером простейшей модели с парциальным распределением точности — задачи о колебании струны. В таких задачах всегда имеется некоторая неопределённость в начальных условиях. Так, обычно профиль начальных скоростей, используемый для описания удара молоточком, считают ступенчатой функцией или «шапочкой», но можно рассмотреть и целый класс подходящих профилей, а, следовательно, и целое семейство начально-краевых задач. Эта неопределённость в начальных условиях позволяет оценить ошибку для каждой моды в отдельности. Как и следовало ожидать, ошибка растёт при увеличении номера гармоники и даже становится бесконечно большой в пределе. Все решения рассматриваемого семейства задач можно разложить в ряд по нормальным волнам, в нем младшие моды имеют близкие амплитуды. Это позволяет сохранить все классические утверждения о младших модах, но избежать трудного и выводящего за рамки модели исследования сходимости ряда по нормальным волнам.

математическая модель, колебания, струна, нормальные моды, нормальные волны