Задачи символьных вычислений, связанные с методами Рунге-Кутты и их решение в Sage

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

Схемы Рунге-Кутты играют очень важную роль в численном решении обыкновенных дифференциальных уравнений. В работе  представлен пакет rk, являющийся подпрограммой Sage для вычисления матрицы Бутчера. Было проведено несколько численных экспериментов со стандартными и симплектическими схемами и проведена верификация  с аналитическими результатами вычислений. Во-вторых, в Sage есть превосходные инструменты для исследования алгебраических множеств, основанные на методе базиса Грёбнера. Как известно, выбор параметров в схеме Рунге-Кутты свободен. С помощью этих инструментов получены алгебраические свойства многообразий в аффинном пространстве, координатами которых являются коэффициенты Бутчера в схеме Рунге-Кутты. Результаты приведены как для явной схемы Рунге-Кутты, так и для неявной схемы Рунге-Кутты с использованием разработанного  пакета rk. Также приведены примеры для обоснования полученных результатов. Все расчеты выполнены в системе компьютерной алгебре Sage.

Об авторах

Юй Ин

Российский университет дружбы народов; Университет Каили

Автор, ответственный за переписку.
Email: yingy6165@gmail.com

postgraduate student of Department of Applied Probability and Informatics of Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University); assistant professor of Department of Algebra and Geometry, Kaili University

6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, 117198, Russian Federation; 3, Kaiyuan Road, Kaili, 556011, China

Список литературы

  1. E. Hairer, G. Wanner, S. P. Nørsett, Solving ordinary differential equations, 3rd Edition, Vol. 1, Springer, New York, 2008.
  2. The Sage Developers, SageMath, the Sage Mathematics Software System (Version 7.4) (2016). URL https://www.sagemath.org
  3. W. Stein, D. Joyner, SAGE: system for algebra and geometry experimentation, ACM SIGSAM Bulletin 39 (2) (2005) 61-64.
  4. A. Y. Golubkov, A. I. Zobnin, S. O. V., Computer algebra in the Sage system. Manual [Komp’yuternaya algebra v sisteme Sage. Uchebnoye posobiye], Bauman Moscow State Technical University, Moscow, 2013, in Russian.
  5. S. I. Khashin, A symbolic-numeric approach to the solution of the Butcher equations, Canadian Applied Mathematics Quarterly 17 (3) (2009) 555-569.
  6. S. I. Khashin, Butcher algebras for Butcher systems, Numerical Algorithms 63 (4) (2013) 679-689. doi: 10.1007/s11075-012-9647-x.
  7. J. H. Verner, Explicit Runge-Kutta pairs with lower stage-order, Numerical Algorithms 65 (3) (2014) 555-577. doi: 10.1007/s11075-012-9647-x.
  8. E. Hairer, G. Wanner, C. Lubich, Geometric numerical integration. Structure-preserving algorithms for ordinary differential equations, 2nd Edition, Springer, New York, 2000.
  9. J. M. Sanz-Serna, Symplectic Runge-Kutta schemes for adjoint equations, automatic differentiation, optimal control, and more, SIAM REVIEW 58 (1) (2016) 3-33. doi: 10.1137/151002769.
  10. M. N. Gevorkyan, J. V. Gladysheva, Symplectic integrators and the problem of wave propagation in layered media, Bulletin of Peoples’ Friendship University of Russia. Series: Mathematics. Information Sciences. Physics (1) (2012) 50-60, in Russian.
  11. Nuan Fang Xu, Zi-Chen Deng, Yan Wang, Kai Zhang, A symplectic Runge-Kutta method for the analysis of the tethered satellite system, Multidiscipline Modeling in Materials and Structures 13 (1) (2017) 26-35. doi: 10.1108/MMMS-11-2016-0060.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».