Determination of the Boundaries of Changes in External Parameters that Complicate the Calculation of the Suspension of Agricultural Machinery

全文:

Введение

Современное развитие технических машин в различных сферах человеческой деятельности требует постоянного повышения требований к их характеристикам. Это приводит к появлению новых научно-технических проблем, решение которых обеспечивает рост производственных возможностей общества¹. Одним из примеров повышения эффективности использования автотракторной техники в сельскохозяйственной отрасли служит вопрос повышения надежности ее элементов подвески² [1; 2].

Проблематика надежности во многом характеризуется ее взаимосвязью со всеми этапами жизненного цикла рассчитываемого узла, начиная от проектирования и изготовления и заканчивая использованием и последующим списанием вышедшего из строя изделия³[3]. Все этапы жизненного цикла вносят свой вклад в решение комплексной задачи создания машины требуемого уровня надежности при минимизации затрат времени и финансов. Решения, принятые на этапе проектирования, в значительной мере определяют эксплуатационные и экономические показатели рассчитываемого изделия. Указанные параметры не являются независимыми. Определение существующей взаимосвязи между ними во многом помогает решать оптимизационную задачу получения максимальных эксплуатационных показателей при заданных исходных параметрах рассчитываемого узла [4–7].

В этой связи в статье представлен пример алгоритма одного из показателей, определяющих надежность и качество проектируемого изделия – координат опасного сечения рабочего узла. Рассматривается проблема расчета прочности вала привода колес сельскохозяйственной техники на основании допущений механики сплошных сред. Учитываются условия прочности как наибольшего крутящего момента, так и величины относительных деформаций вала⁴ [1; 8]. Задачей исследования является разработка способа определения области фазового пространства изменения внешних воздействий на элемент конструкции, обусловленных распределенным весом автотракторной техники, при которых необходимо построение не только эпюр моментов и деформаций, но и определение экстремальных значений на каждом участке, где изменение показателя прочности конструкции нелинейно.

В наиболее общем виде расчеты нагруженного вала на прочность необходимо вести по нескольким показателям: предельная нагрузка от действия изгибающего момента, предельная нагрузка от поперечной силы и величина допустимой деформации оси вала⁵ [9–11]. Общее заключение о несущей способности детали можно делать на основе анализа всех вышеперечисленных факторов.

В настоящий момент в под­ав­ля­ющем большинстве случаев комплексные расчеты деталей машин на надежность и долговечность не производятся. Кроме того, нет единой схемы производства таких расчетов⁶ [6; 12; 13]. Инженеры ограничиваются отдельными показателями, не способными характеризовать работу изучаемого узла в целом в течение всего жизненного цикла.

Обзор литературы

Исследование поведения поперечно нагруженных симметричных балок, является начальным этапом изучения работы упругих твердых тел в рамках сопротивления материалов в технических вузах. Предваряют это изучение лишь симметричные растяжения и сжатия тел правильной формы⁷ [14; 15].

Первые систематические исследования работы балок на изгиб были проведены французским ученым Мариоттом⁸[11]. Помимо прочности материалов, его также интересовала упругая составляющая процесса деформирования. В своих экспериментах с поперечно нагруженными симметричными балками (схема эксперимента представлена на рисунке 1) он показывает, что разрушение наступает тогда, когда удлинение конструкции превышает некоторое предельное значение (варьируемый параметр – d)⁹ [16].

 

 

 

Рис.  1.  Опыты Мариотта на изгиб

 

Fig.  1.  Marriott's bending experiments

 

Далее Мариотт замечает, что волокна в нижней части поперечного сечения испытывают сжимающие усилия, в то время как волокна верхней части – растянуты. Прочность растянутых волокон в этом случае будет равна половине значения прочности всей конструкции, аналогичные рассуждения он проводит и для сжатых волокон. Однако получить правильное соотношение для прочности всей конструкции ему помешал некорректный расчет площади поперечного сечения.

Для определения уравнения изогнутой оси балки Я. Бернулли впервые использует аппарат математического анализа. Он вводит понятие кривизны кривой изгиба и определяет ее взаимосвязь с величиной изгибающего момента¹⁰ [17; 18]. Более детально этот вопрос разработал в дальнейшем Эйлер, решая задачу о цепной линии с использованием аппарата вариа­ци­он­но­го исчисления [14; 19].

Предел прочности балки в своих трудах впервые описал Кулон, анализируя уравнения статики для горизонтальных и вертикальных составляющих внутренних усилий в рассматриваемом сечении. Он аналитически установил, что центром поворота изгибающийся балки является не нижняя ее кромка, а ось симметрии¹¹.

В 1826 г. Навье впервые описывает не определение предельных нагрузок конструкций, как делали до него, а расчет предельного значения внешних воздействий на тело, при котором оно ведет себя еще упруго¹² [8]. Полагая прогибы, возникающие в балке, малыми, он определяет зависимость:

 

          $E{J}_z\cdot \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=M$         (1)

где J_z – момент инерции сечения балки; M – величина изгибающего момента в рассматриваемом сечении относительно нейтральной оси, а система координат вводится так, как представлено на рисунке 1. Ею он пользуется для любого случая поперечного нагружения простой балки.

 

Сен-Венан, используя аппарат математической теории упругости, показал, что при расчетах балок методами сопротивления материалов можно пользоваться рядом существенных допущений [11]:

– поперечные сечения балок остаются плоскими при деформировании;

– продольные волокна балки не оказывают какого-либо воздействия друг на друга, испытывая лишь растяжение/сжатие.

Однако, несмотря на значимость вышеперечисленных исследований, не все результаты, полученные в них, нашли отражение в существующих методах расчета элементов конструкций на прочность используемых инженерно-техническим составом.

В настоящий момент расчеты на прочность проводятся с использованием ГОСТ 27609-88 «Расчеты и испытания на прочность в машиностроении» по направлениям применения рассматриваемых деталей и механизмов. Если точности моделей, предусмотренных допущениями сопротивления материалов, достаточно для расчетов элементов конструкций, то нормативных документов, определяющих алгоритм такого расчета, оказывается достаточно. Здесь возможны исключения, когда определение критических значений внутренних усилий таким способом существенно неверно. Залогом правильного определения прочностных показателей рассчитываемой детали является корректное определение опасного сечения в рассматриваемом случае. Этой цели посвящена настоящая статья.

Материалы и методы

В современной инженерной практике есть определенные трудности в использовании конечных соотношений по расчету различных элементов конструкций с использованием аппарата механики сплошных сред¹³ [4]. В этой связи целесообразным видится разработка рекомендаций при производстве инженерных расчетов, позволяющая, в случае необходимости, проводить корректировку определения опасных сечений либо величин внутренних усилий, возникающих от действия внешних факторов на рассматриваемую деталь.

Схема расположения вала привода колеса в системе подвески автотракторной техники представлена на рисунке 2. Сила P характеризует контакт полуоси со ступицей колеса, распределенная нагрузка q – нагрузку от частей дифференциала. Представленная модель во многих случаях адекватно описывает напряженно-деформированное состояние работы вала.

 

 

 

 

Рис. 2. Механизм крепления вала привода колеса:
1 – шаровая опора; 2 – ступица; 3 – тормозной диск; 4 – поворотный кулак;
5 – вал привода переднего колеса; 6 – защитный чехол;

7 – наружный шарнир вала; 8 – нижний рычаг

Fig. 2. Wheel drive shaft mounting mechanism:
1 – spherical bearing; 2 – hub; 3 – brake disk; 4 – rounded fist;

5 – front wheel drive shaft; 6 – protective case;

7 – external shaft joint; 8 – lower arm

 

 

В качестве модели работы вала принимается статически определимая симметричная поперечно нагруженная стальная балка, представленная на рисунке 3.

 

 

 

Рис. 3. Модель работы вала привода колеса

Fig. 3. Model of the wheel drives haft

 

 

 

При определении напряжений и деформаций в рассматриваемой детали приняты допущения механики сплошных сред. Вводится пространственная декартовая прямоугольная система координат. Начало координат находится в точке А (рис. 3), ось Аx совпадает с направлением вектора $\overline{AB}$  , ось Аy направлена вдоль линий действия сил (направление совпадает с направлением вектора $\overline{P}$  ), ось Аz – перпендикулярно плоскости рисунка, причем направление выбрано так, что указанные оси образуют правую тройку векторов.

В качестве материала изготовления детали используется конструкционная сталь, для которой определены основные показатели, характеризующие ее механические свойства: плотность, модуль Юнга, коэффициент Пуассона.

Сечение вала плоскостью Axz – круг, радиуса d. Для него момент инерции относительно оси Az: $J_z=\frac{\pi d^4}{64}$ 

Длина вала принимается: а. Расстояния AD и CB (рис. 3) полагаем: а₁ и а₂.Усилие, передаваемое от веса заданной единицы техники на левую оконечность вала, примем P (площадь контакта много меньше длины вала), распределенная нагрузка в месте крепления вала с дифференциалом: q (значительная площадь контакта обуславливается жесткими режимами эксплуатации сельскохозяйственной техники).

Расчеты на прочность проводятся исходя из условия максимального изгибающего момента, возникающего в поперечном сечении детали¹⁴ [20; 21].

Результаты исследования

Методами статики определяем значения сил реакции, возникающих в вале на примере сеялки Väderstad RAPIDRD 300 при P = 1,5 кН, q = 12,5 кН/м, а = 0,7 м, а₁ = 0,1 м, а₂ = 0,2 м, d = 0,04 м, R_a = 1,64 кН, R_b = 2,36 кН. На основе полученных данных строим эпюру изгибающего момента для всей балки (рис. 4).

Максимальное значение изгибающего момента при данном виде нагружения реализуется в сечении, проходящем через точку N (рис. 4) нормально к оси симметрии вала (расчеты проводились с использованием пакета математических программ Maple). Расстояние AN = 0,51 м.

Для определения прогибов вала вдоль всей длины воспользуемся соотношением (1). Для уравнений ординат прогибов будем иметь:

 $\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{E{J}_z}(-\frac{R_a}{6}{x}^3+C_{1}x+C_2),x\in \left[\mathrm{0,}{a}_1\right)\\ y=\frac{1}{E{J}_z}(\frac{P-R_a}{6}{x}^3-\frac{P{a}_1}{2}{x}^2+\\ +C_{3}x+C_4),x\in \left[a_1,a-a_2\right)\\ y=\frac{1}{E{J}_z}(\frac{q}{24}{x}^4+\frac{P-R_a-q(a-a_2)}{6}{x}^3+\\ +\frac{q{(a-a_2)}^2-2P{a}_1}{4}{x}^2+\\ +C_{5}x+C_6),x\in \left[a-a_2,a\right]\end{array}\right.$   (2)

 

 

 

 

Рис .  4.  Эпюра изгибающего момента поперечно нагруженного вала

Fig.  4.  Diagram of the bending moment which perceives a transversely loaded shaft

 

Неизвестные постоянные интегрирования определяются из начальных и граничных условий: прогибы в точках А и В равны нулю, прогибы слева и справа соответственно от точек С и D совпадают (нет разрывов вала), касательные в указанных точках также совпадают с обеих сторон (нет изломов вала). В итоге получаем следующую систему линейных уравнений:

 

   $\left\{\begin{array}{l}{C}_1-C_3-10C_4=-5\\ C_1-C_3=-\mathrm{6,1}\\ C_3+2C_4-C_5-2C_6=\mathrm{195,3}\\ C_3-C_5=\mathrm{260,42}\\ C_6=-\mathrm{0,7}{C}_5-110\\ C_2=0\end{array}\right.$ (3)

Определитель указанной системы отличен от нуля, следовательно, существует единственное решение, представимое следующей точкой в шестимерном пространстве констант: {55,6; 0; 63,1; ‒0,25; ‒197,32; 32,3} .

 

Таким образом, для уравнения изогнутой оси вала¹⁵ окончательно будем иметь:

$\left\{\begin{array}{l}y=-\mathrm{0,1}{x}^3+\mathrm{0,02}x,x\in \left[\mathrm{0,}{a}_1\right)\\ y=-\mathrm{8,84}\cdot {10}^{-3}{x}^3-\mathrm{0,03}{x}^2+\\ +\mathrm{0,02}x-\mathrm{9,48}\cdot {10}^{-5},x\in \left[a_1,a-a_2\right)\\ y=\mathrm{0,2}{x}^4-\mathrm{0,4}{x}^3+\mathrm{0,27}{x}^2-\\ -\mathrm{0,07}x+\mathrm{0,01,}x\in \left[a-a_2,a\right]\end{array}\right.$  (4)

 

Графически выражение (4) представлено на рисунке 5. Максимальный прогиб реализуется на участке DC.

 

 

Рис.  5.  Уравнение изогнутой оси вала

Fig.  5.  Curved shaft axis equation

 

Зададимся теперь целью определения всех таких вариантов нагружения вала, при которых опасное сечение расположено не на границе двух зон с заданным законом распределения момента, проходящим через точку С, а на участке СD. Такое положение дел приводит нас к необходимости более детального исследования уравнения изменения момента на исследуемом участке. Указанный случай обычно не учитывается в инженерных расчетах валов на прочность. Реализация такого сценария происходит, когда абсцисса вершины параболы CNB (рис. 4) расположена правее точки С. В общем случае она определяется следующим соотношением:

  $x_{\max }=\frac{1}{2}a+\frac{{(a-a_2)}^2}{2a}-\frac{a_1}{a}\cdot \frac{P}{q}$  (5)

и является функцией пяти параметров. Условно их можно разделить на две группы. К первой относятся параметры, определяющие координаты точек приложения внешних нагрузок на вал: a, а₁, a₂; ко второй – интенсивность приложенных усилий: P, q.

Принимая характер распределения внешних воздействий на вал неизменным (считаем, что расчет производится по заданному проекту компоновки подвески автотракторной техники – на примере сеялки VäderstadRAPIDRD 300), координаты опасного сечения будут определяться интенсивностью внешних воздействий на вал:

    $x_{\max }=\mathrm{0,53}-\mathrm{0,14}\frac{P}{q}$        (6)

Для определения зоны изменения параметров Р-q исходим из следующих предположений. Диапазон изменения величины x_max задан интервалом (а-а₂, а]. Значения внешних воздействий положительны. Накладывая указанные условия на зависимость (5) получим графическое представление искомой области (рис. 6).

 

 

 

 

Рис. 6. Критическая область изменения внешних воздействий, приводящая к необходимости

проведения дополнительных расчетов: а – абсцисса опасного сечения как функция внешних воздействий;
b – область кривой (6), находящаяся выше плоскости x = 0,5 м

Fig. 6. Critical area of change the external influences, leading to the need for additional calculation:
a – abscissa of the dangerous section as a function of external influences;
b – area of the curve (b) above the plane x = 0.5 m

 

Численное решение указанной системы неравенств методом перебора с использованием пакета математических программ Maple позволило определить значение параметров Р-q, при котором отклонение точки экстремума на эпюре изгибающих моментов от точки С (рис. 4) будет иметь место. Это позволит определить наиболее невыгодное положение существующей системы расчета вала на прочность, дав максимальное различие с результатами, полученными с использованием предложенной методики. Найденная область изменения параметров внешнего воздействия О₁А₁В₁ изображена на рисунке 6 b. Красная прямая определяет здесь полуплоскость, задаваемую неравенством x_max > 0,5, синяя – полуплоскость x_max < 0,7. Точкой C обозначено напряженное состояние, рассматриваемое на рисунках 3–5. Она принадлежит треугольнику О₁А₁В₁, что и позволяет говорить в рассматриваемом случае о необходимости проведения скорректированного расчета.

Обсуждение и заключение

В результате авторами получена область О₁А₁В₁, представленная на рисунке 6, которая определяет границы изменения усилий, воспринимаемых валом от внешних воздействий, при которых координаты расположения опасного сечения не являются очевидными и не всегда корректно определяются при производстве инженерных расчетов деталей подвески сельскохозяйственной техники на прочность согласно ГОСТ 27609-88. В этом случае исследования необходимо продолжить, определив координаты поперечного сечения, в котором реализуется экстремум величины изгибающего момента на интервале (а-а₂, а] изменения координаты вдоль оси симметрии вала, а затем определить его значение. Разработанная в среде Maple программа позволяет для данного типа нагрузки определить область изменения внешних параметров, а в случае выхода значений нагрузки за указанные границы – провести скорректированный расчет опасного сечения в полуоси, дающего возможность более точно произвести расчет всей детали на прочность.

 

¹           Timoshenko S. P. Strength of Materials. P. 1. Elementary Theory and Problems. New York: D. VanNostrandcompany,1930. P. 365; Тимошенко С. П. История науки о сопротивлении материалов. М. : Наука,1957. C. 560; Седов Л. И. Механика сплошной среды Т. 1. М. : Наука, 1976. C. 536; Timoshenko S. P. Strength of Materials. P. 2. Advanced Theory and Problems. New York : D. Van Nostrandcompany,1941. P. 480

²           Проников А. С. Надежность машин. М. : Машиностроение, 1978. С. 592.

³           Тимошенко С. П. История науки о сопротивлении материалов; Проников А. С. Надежность машин; Буренин А. А., Ковтанюк Л. В. Упругие эффекты при интенсивном необратимом деформировании. Владивосток : Из-во ДВГТУ, 2011. С. 280

⁴           Седов Л. И. Механика сплошной среды Т. 1; Marguerre K. Lufttahrtforsch: Nat. advisory comm. aeronaut. No. 1005. 1942. P. 253–261; Karman Th. Über die Grundlagen der Balkentheorie [Beyond the Basics of the beam theory]. Abhandlungen aus dem Aerodynamischen Institut an der Technischcn Hochschule, Aachen. 1927. Vol. 7.

⁵           Timoshenko S. P. Strength of Materials. P. 1; Буренин А. А., Ковтанюк Л. В. Упругие эффекты при интенсивном необратимом деформировании.

⁶           Молчанов В. Ф. Повышение долговечности и надежности работы деталей машин, механизмов и приборов хромированием в саморегулирующемся электролите с добавкой бихромата калия. Киев : КВИАУ, 1968. 219 c.

⁷           Timoshenko S. P. Strength of Materials. P. 2.

⁸           Тимошенко С. П. История науки о сопротивлении материалов; Marguerre K. Lufttahrtforsch…

⁹           Timoshenko S. P. Strength of Materials. P. 2

¹⁰          Там же.

¹¹          Timoshenko S. P. Strength of Materials. P. 2.

¹²          Там же; Спицин И. А., Голубев И. Г. Новые технологические процессы восстановления деталей машин гальваническими покрытиями. М. : ФГНУ «Росинформагротех», 2001.

¹³          Молчанов В. Ф. Повышение долговечности и надежности работы деталей машин…

¹⁴          Молчанов В. Ф. Повышение долговечности и надежности работы деталей машин…

¹⁵          Timoshenko S. P. Strength of materials. P. 1

 

作者简介

Nikita Penkov

Military Research and Training Center of the Air Force Military
Air Academy named after Prof. N.E. Zhukovsky and Yu. A. Gagarin

编辑信件的主要联系方式.
Email: myth_np_nikit@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-4644-3814

Dr.Sci. (Engr.), Deputy Head of Research Department MERC AF “AFA”

俄罗斯联邦, 54А Bolshevikov St., Voronezh 394064

Sergey Zhachkin

Voronezh State Technical University

Email: zhach@list.ru
ORCID iD: 0000-0002-1844-5011

Dr.Sci. (Engr.), Professor, Professor of the Chair of Automated Equipment of Machine-Building Production

俄罗斯联邦, 14 Moskovskiy Prospekt, Voronezh 394026

Anatoliy Zavrazhnov

Michurin State Agrarian University

Email: snikishin24@bk.ru
ORCID iD: 0000-0003-1088-4789

Dr.Sci. (Engr.), Professor, Academician of the Russian Academy of Science

俄罗斯联邦, 101 International St., Michurinsk 394064

参考

补充文件