Computer Simulation of Automatic Control of an Agricultural Small Unmanned Aerial Vehicle
with Variable Mass

Mikhail I. Belov; Белов Михаил Иванович; Sergey A. Andreev; Андреев Сергей Андреевич; Evgeny A. Shabaev; Шабаев Евгений Адимович; Nickolai E. Kabdin; Кабдин Николай Егорович; Dmitry V.  Belov; Белов Дмитрий Владимирович

doi:10.15507/2658-4123.035.202504.700-722

Computer Simulation of Automatic Control of an Agricultural Small Unmanned Aerial Vehicle with Variable Mass

Authors: Belov M.I.¹, Andreev S.A.², Shabaev E.A.², Kabdin N.E.², Belov D.V.²
Affiliations:
1. Russian State Agrarian University – Moscow Timiryazev Agricultural Academy of the Institute of Mechanics and Power Engineering
2. Российский государственный аграрный университет – МСХА имени К. А. Тимирязева
Issue: Vol 35, No 4 (2025)
Pages: 700-722
Section: Technologies, Machinery and Equipment
Submitted: 10.03.2025
Accepted: 18.09.2025
Published: 22.12.2025
URL: https://journals.rcsi.science/2658-4123/article/view/282986
DOI: https://doi.org/10.15507/2658-4123.035.202504.700-722
EDN: https://elibrary.ru/ncdqqo
ID: 282986

Cite item

Full Text

Abstract
Full Text
About the authors
References
Supplementary files
Statistics

Abstract

Introduction. Small unmanned aerial vehicles are effectively used in agriculture for field cultivation. Because of the long flight range, manual control from the ground of the elevator and engine thrust does not allow maintaining the required speed and altitude over the field with the necessary precision to ensure the field uniform processing. The aircraft mass changing in flight and the changing field relief have not yet been taken into account sufficiently in studies on the stabilization of flight altitude and stability. Thus, the study of the automatic control mode of the elevator and engine thrust, ensuring the stabilization of flight altitude under conditions of decreasing aircraft mass and changing field relief, can be considered a relevant and insufficiently studied problem.

Aim of the Study. The study is aimed at evaluating the impact of mass changes of a small unmanned aerial vehicle on the flight altitude and of the center-of- mass speed of
the vehicle during their stabilization in the automatic elevator and engine thrust control mode.

Materials and Methods. The object of the study is a small unmanned aerial vehicle. There were used the methods of differential equations, theoretical mechanics, automatic control, programming in the Lazarus development environment, and numerical methods were used for computer modeling of automatic control of the elevator andengine thrust of an aircraft to stabilize flight altitude. Along with the methods mentioned in the article, there were used visual simulation methods implemented in the Scilab XCOS environment. These methods made it possible to assess the adequacy of the computer model.

Results. There have been developed two computer models for automated control of a unmanned aerial vehicles flight at a given altitude and speed. Software control of the elevator and engine thrust, determined based on the solution of differential equations of longitudinal flight of a small unmanned aerial vehicle at a given trajectory angle and a given speed, made it possible to stabilize the altitude and speed. Trajectory management of the elevator and engine thrust based on the readings from altitude, pitch angle, angular velocity and speed sensors made it possible to “track” a given field relief and stabilize the altitude and flight speed with sufficient accuracy. It has been found that in flight sections with a decrease in flight mass, the altitude, flight speed and trajectory angle are stabilized, and the pitch angle decreases along with the mass, and at a high specified flight speed over a field with a negative angle of inclination (on descents) the pitch angle becomes negative (uncomfortable) and loss of control is possible.

Discussion and Conclusion. Reducing the flight mass of an unmanned aerial vehicle must be taken into account when using these devices in agriculture for pest control and other work related to the processing of agricultural crops. The conducted study of software and trajectory control for stabilizing flight altitude made it possible to determine the relationship between the change in mass and such controlled parameters as the pitch angle and speed of the mass center of the aircraft. Software control ensures stabilization of flight altitude under any field profile, but its accuracy is caused by the accuracy of the mathematical model and, without taking into account actual flight data, does not allow one to assess the true accuracy of calculations of the current flight altitude and speed of the aircraft. Trajectory control with a proportional-integral controller allows for feedback coupling to be taken into account. The calculations have shown that such control of a flight over a field with a downward slope can lead to a loss of stability and a fall of the aircraft. A field with variable relief has areas where the level decreases and which are the source of uncomfortable flight and loss are of flight stability.

Keywords

small unmanned aerial vehicle (SUAV), trajectory control of SUAV, variable mass SUAV flight, computer model

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

В условиях интенсификации сельскохозяйственного производства вопросы управления технологическими процессами без участия человека становятся все более востребованными. Наравне с наземными мобильными машинами [1] в сельскохозяйственном производстве активно используются летательные аппараты, при этом «возможности применения малых беспилотных летательных аппаратов в сельском хозяйстве оказались гораздо шире их изначального основного назначения» [2]. Одна из областей их применения связана с обработкой полей препаратами для уничтожения вредителей, а также с внесением удобрений. Полеты осуществляются на небольшой высоте, и, во избежание нарушения норм внесения активного вещества на единицу площади поля, необходимо обеспечить равномерность внесения препаратов за счет поддержания заданной высоты полета над поверхностью поля и скорости малых беспилотных летательных аппаратов (МБЛА). Такой режим полета можно обеспечить за счет соответствующего управления рулем высоты и тягой двигателя. При этом необходимо учесть, что масса летательного аппарата, осуществляющего обработку поля от вредителей, может значительно уменьшаться до 30 % и более. Вопросы влияния изменения полетной массы на характеристики и устойчивость полета в исследованиях автоматического управления полетом МБЛА не рассматривались. Ввиду уменьшения массы во время полета коэффициенты дифференциальных уравнений движения МБЛА становятся переменными, применение методов операционного исчисления и передаточных функций требует дополнительных обоснований. В настоящем исследовании изложены результаты, полученные с помощью двух компьютерных моделей автоматического управления полетом: программного и траекторного. Рельеф поля в продольной плоскости полета представлен двумя формами: прямой и волнистой наклонными линиями. В первой модели управление рассчитывалось с помощью дифференциальных уравнений продольного полета МБЛА с переменной массой при задании траекторного угла и скорости центра масс летательного аппарата, во второй – полет моделировался дифференциальными уравнениями движения тела переменной массы с заданием функций управления рулем высоты и тяги двигателя по показаниям датчиков высоты и угла тангажа.

Целью исследования является оценка влияния переменной массы на высоту полета и скорость центра масс МБЛА при их стабилизации в режиме автоматического управления рулем высоты и тягой двигателя.

Задачи исследования включают в себя разработку алгоритма управления летательным аппаратом и компьютерных моделей управления полетом, моделирование в среде программирования Lazarus и в среде визуального моделирования XCOS Scilab, оценку точности управления в условиях изменяющегося рельефа поля.

ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

Беспилотные летательные аппараты (БПЛА) можно использовать как важное звено эффективной системы защиты растений от болезней и вредителей. Для этого следует провести исследования зависимости ширины опрыскивания от высоты полета БПЛА и нормы рабочего раствора [3]. В результате производственно-полевых опытов установлено, что при планировании полетного задания необходимо учитывать высоту обработки, норму внесения рабочего раствора и ширину захвата. Особенно важно соблюдение ширины захвата во время обработки гербицидами, поскольку ошибка может привести к пропускам, перерасходу препарата и гибели растений. По мнению А. Г. Кузнецова, для повышения точности позиционирования и оценки навигационных параметров МБЛА во время полета целесообразно использовать систему технического зрения. При этом алгоритмы обработки видовой информации сложны, трудоемки и затратны по времени их реализации; для навигации МБЛА необходимы средства управления динамикой летательного аппарата и измерения параметров, а также вычислительные средства [4].

В работе А. В. Архипова и С. П. Тимошенкова представлена разработанная математическая модель и описаны проведенные исследования преимуществ адаптированной системы управления углом тангажа БПЛА [5]. Угол тангажа служит управляемым параметром, с помощью которого можно руководить траекторным углом и траекторией полета, также для синтеза системы управления и стабилизации полета МБЛА рекомендуется применять метод бэкстеппинга [6], согласно которому задача разработки закона управления для всей системы разбивается на последовательность соответствующих подзадач до подсистем меньшего порядка. Приведены результаты численного моделирования в среде Matlab движения БПЛА с полученным регулятором, доказывающие устойчивость системы в больших пределах коэффициентов регулятора.

Методы и алгоритмы формирования динамической системы, моделирующей с заданной точностью целевую миссию БПЛА, представлены В. Е. Усачовым и Р. Ч. Таргамадзе [7]. Оценка точности такой модели осуществляется на основе предложенных критериев качества. Управление полетом МБЛА моделируется как в пространстве, так и в вертикальной плоскости. При этом математическая модель БПЛА как объекта управления представляется в виде линеаризованных математических моделей движения БПЛА [8].

В исследовании А. В. Потудинского отмечается наличие широкого диапазона неопределенностей при управлении динамикой полета различных беспилотных летательных аппаратов и предложены методы, обеспечивающие устойчивость управления в условиях неопределенностей [9]. Представляют интерес алгоритмы генерации траектории полета МБЛА через заданные путевые точки [10]. Такие алгоритмы можно использовать при разработке алгоритмов управлении МБЛА по карте поля. Наряду с вопросами управления полетом МБЛА в научной литературе поднимаются вопросы исследований параметров руля высоты и элеронов [11]. Важные для проектировщиков МБЛА исследования поверхностей элеронов и элевонов позволили найти решения, обеспечивающие устойчивость управления полетом МБЛА. С. Ч. Фам, А. Д. Сурковой и М. С. Селезневой предложены алгоритмы управления МБЛА, позволяющие повысить точность позиционирования МБЛА в базовой инерциальной системе за счет коррекции управления по изображениям местности путем сравнения бортовых радиолокационных снимков с эталонными картами [12]. Задачу вывода беспилотного летательного аппарата в заданную точку пространства (в том числе подвижную) необходимо рассматривать аналогично задачам, которые решаются известными методами синтеза системы самонаведения летательного аппарата на цель [13]. На основе разработанного метода синтеза параметров управления БПЛА предложена методика формирования траектории автоматического облета БПЛА заданной запретной зоны полета. В среде Simulink пакета Matlab произведено моделирование полета МБЛА с отслеживанием траектории его движения в пространстве при воздействии внешних сил (например, ветра) и при отработке сигналов управления рулем высоты, направления, отклонением элерона и дроссельной заслонки [14]. Модель корректно отрабатывает воздействия, возвращая МБЛА на прежний курс.

На моделях и экспериментальным путем изучены четыре стратегии управления МБЛА [15]. Две стратегии основаны на управлении с помощью ПИД-регуляторов, третья реализуется на базе линейно-квадратичного регулятора, четвертая – на управлении регулятором, обеспечивающим прогнозирование. Отмечается надежность ПИД-регуляторов и перспективность контроллеров с функциями прогнозирования. Установлено, что в условиях ветра ПИД-регулятор с оптимальными параметрами настройки обеспечивает более эффективное управление БПЛА при посадке в сравнении с ПИ-регулятором [16].

Было проведено исследование сравнительной эффективности нелинейного ПИД-регулятора и регулятора высокого порядка с настройкой скользящего среднего при управлении полетом БПЛА. [17]. Беспилотный летальный аппарат с фиксированными крыльями моделировался в виде системы с восемью степенями свободы, где учитывались колебания шасси и иных элементов конструкции. Эффективность регуляторов изучалась по ударным воздействиям на колеса шасси. Установлено преимущество нелинейного регулятора. В свою очередь, учеными из Нигерии представлен разработанный прототип БПЛА, который может распылять жидкие пестициды или средства борьбы с сорняками на посевы в сельскохозяйственных предприятиях [18]. Это было сделано путем создания полуавтономного квадрокоптера с системой точного сельскохозяйственного опрыскивания, включающей бак, насос, камеру и форсунки. Таким образом, задача эффективного управления БПЛА в виде квадрокоптера остается актуальной. Следует отметить, что полетная масса летательного аппарата не являлась предметом исследований и принималась постоянной, поэтому вопрос о влиянии ее изменения на управляемые переменные, высоту полета и скорость требует изучения.

МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ

Объект исследования

Малый беспилотный летательный аппарат является объектом настоящего исследования.

Методы и оборудование

При разработке математической модели были оспользованы методы дифференциальных уравнений, теоретической механики, автоматического управления, численные методы. Конструктивные параметры и материалы объекта исследования и управления взяты из научной работы Р. У. Биарда и Т. У. Маклэйна¹.

Процедура исследования

Компьютерное моделирование автоматического управления рулем высоты и тягой двигателя летательного аппарата для стабилизации высоты полета над полем с переменным рельефом осуществлялось в среде программирования Lazarus и в среде визуального моделирования XCOS Scilab.

РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

Постановка задачи и уравнения движения тела переменной массы

Примем следующие допущения: МБЛА имеет плоскость симметрии (рис. 1), два пропеллера вращаются в противоположных направлениях; движением воздушной среды можно пренебречь и считать скорость ветра равной нулю; силы, действующие на МБЛА, симметричны относительно плоскости симметрии (рис. 2); кориолисовы силы инерции, действующие со стороны частиц воздуха на лопасти пропеллеров ввиду осевой симметрии пропеллера и плоскостной симметрии, взаимно уравновешиваются.

В соответствии с принятыми допущениями можно предположить, что движение МБЛА плоскопараллельное, продольное, без крена и рысканья (рис. 3).

Запишем уравнения движения центра масс МБЛА m переменной массы вдоль оси Ox и вращения МБЛА вокруг оси, проходящей через центр масс. В соответствии с уравнением Мещерского уравнение изменения импульса представим в виде равенства разности количеств движения частиц МБЛА в моменты (t + Δt) и t, с одной стороны, и импульса главного вектора внешних сил, действующих на МБЛА за то же время, с другой:

[(m + ∆m)(υ_C + ∆υ_C) – ∆m(υ_C + u_m)] – [mυ_C] = F_C∆t,

или после приведения подобных членов и деления уравнения на Δt при Δt → 0:

m \frac{d v_{C}}{d t} = F_{C} + \frac{d m}{d t} u_{m},

(1)

где t – время, с; Δm – малое изменение массы МБЛА за малое время Δt, кг (Δm < 0, если масса убывает); Δυ_С – изменение вектора υ_С за время Δt; F_С – главный вектор внешних сил, действующих на малый беспилотный летательный аппарат; u_m – вектор скорости частицы рабочего вещества на выходе из форсунок относительно корпуса летательного аппарата.

Р и с. 1. Малый беспилотный летательный аппарат при продольном полете без крена: a) вид сверху; b) вид сбоку:
1 ‒ пропеллеры; 2 ‒ система управления углом тангажа; 3 ‒ рабочая емкость; 4 ‒ форсунки; 5 ‒ прямолинейный участок профиля поля с наклоном под углом β
F i g. 1. Scheme of a small unmanned aerial vehicle in longitudinal flight without roll: a) viewed from above; b) from the side:
1 ‒ propellers; 2 ‒ elevator actuator; 3 ‒ container with working substance for spraying; 4 ‒ nozzles; 5 ‒ field profile with a rectilinear slope at an angle β

Примечание: Oxyz – неподвижная ортогональная система декартовых координат с началом O на уровне моря, горизонтальными осями Ox, Oy и вертикальной осью Oz, направленной вверх; Cξηζ – связанная с малым беспилотным летательным аппаратом ортогональная система декартовых координат с началом C в центре масс малого беспилотного летательного аппарата, осью Cξ, совпадающей с главной продольной осью инерции малого беспилотного летательного аппарата, перпендикулярной ей осью Cζ в плоскости симметрии малого беспилотного летательного апарата и перпендикулярной обеим этим осям осью Cη; Cx₁ – подвижная горизонтальная ось, параллельная оси Ox; x, z – координаты центра масс малого беспилотного летательного аппарата (точки C) в неподвижной системе координат по осям Ox, Oz, м; β – угол наклона средней прямой линии профиля поля в продольной вертикальной плоскости, рад; υ ‒ величина скорости центра масс малого беспилотного летательного аппарата, м/с; α – угол атаки, образуемый продольной осью Cξ и вектором υ или проекцией вектора υ на плоскость симметрии малого беспилотного летательного аппарата, рад; h – высота полета над полем, м; δ – угол поворота руля высоты с отсчетом от нулевого положения, рад; u ‒ величина скорости частиц вещества, распыляемого при обработке поля, относительно корпуса малого беспилотного летательного аппарата в направлении, противоположном направлению продольной оси Cξ (u > 0), м/с;
Note: Oxyz – a fixed orthogonal system of Cartesian coordinates with the origin O at sea level, horizontal axes Ox, Oy and vertical axis Oz directed upwards; Cξηζ – an orthogonal Cartesian coordinate system with origin C associated with a small unmanned aerial vehicle, axis Cξ, coinciding with the main longitudinal axis of inertia of a small unmanned aerial vehicle, perpendicular to it by the Cζ axis in the plane of symmetry of the small unmanned aerial vehicle and perpendicular to both of these axes by the Cη axis; Cx₁ – movable horizontal axis parallel to the Ox axis; x, z – coordinates of the center of mass of a small unmanned aerial vehicle (point C) in a fixed coordinate system along the axes Ox, Oz, m; β – the angle of inclination of the average straight line of the field profile in the longitudinal vertical plane, rad; υ – the value of the speed of the center of mass of a small unmanned aerial vehicle, m/s; α – the angle of attack formed by the longitudinal axis Cξ and the vector υ or the projection of the vector υ onto the plane of symmetry of a small unmanned aerial vehicle, rad; h – flight altitude above the field, m; δ – elevator rotation angle measured from the zero position, rad; u – the value of the velocity of particles of the substance sprayed during field treatment relative to the body of a small unmanned aerial vehicle in the direction opposite to the direction of the longitudinal axis Cξ (u > 0), m/s.

Источник: здесь и далее в статье рисунки составлены авторами.
Source: compiled by the authors of the article.

Р и с. 2. Внешние силы, действующие на малый беспилотный летательный аппарат
F i g. 2. External forces acting on the small unmanned aerial vehicle

Примечание: θ – угол тангажа, образуемый осями Cξ и Cx₁, рад; γ – траекторный угол, образуемый вектором скорости υ и осью Cx₁ (γ = θ − α), рад; m – масса малого беспилотного летательного аппарата, кг; q ‒ расход рабочего вещества при обработке поля на единицу длины пути вдоль оси Ox, кг/м; P ‒ величина главного вектора сил тяги двух пропеллеров (сила тяги), Н; N ‒ величина главного вектора подъемных сил (подъемная сила), Н; R ‒ величина главного вектора сил сопротивления (сила сопротивления), Н; M ‒ величина главного момента внешних силы относительно оси Cη, Н м; g ‒ ускорение свободного падения материальной точки, м/с².
Note: θ – pitch angle formed by the axes Cξ and Cx₁, rad γ – trajectory angle formed by the velocity vector υ and the Cx₁ axis (γ = θ − α), rad; m – mass of a small unmanned aerial vehicle, kg; q ‒ consumption of working substance during field processing per unit length of path along the Ox axis, kg/m; P ‒ the magnitude of the main vector of the thrust forces of two propellers (thrust force), N; N ‒ the magnitude of the main vector of lifting forces (lift force), N; R ‒ the magnitude of the main vector of resistance forces (resistance force), N; M ‒ the magnitude of the principal moment of external forces relative to the Cη axis, N m; acceleration of gravity of a material point, m/s².

Р и с. 3. Обоснование уравнений движения малого беспилотного летательного аппарата с переменной массой и переменным положением центра масс С:
1 – рабочая емкость; 2 – вещество в рабочей емкости

F i g. 3. To the substantiation for the equations of a small unmanned aerial vehicle motion with variable mass and variable position of the center of mass C:
1 – container; 2 – substance in container

Примечание: υ_С – вектор скорости центра масс малого беспилотного летательного аппарата; u_m – вектор скорости частицы рабочего вещества на выходе из форсунок относительно корпуса малого беспилотного летательного аппарата; H – расстояние от центра масс до линии вектора u_m, приложенного к форсунке в плоскости симметрии малого беспилотного летательного аппарата, м.
Note: υ_С – velocity vector of the center of mass of a small unmanned aerial vehicle; u_m – the velocity vector of the working substance particle at the outlet of the nozzles relative to the body of the small unmanned aerial vehicle; H – distance from the center of mass to the line of vector u_m applied to the nozzle in the plane of symmetry of a small unmanned aerial vehicle, m.

При выходе рабочего вещества из форсунок проекции векторов υ_С и u_m на ось имеют противоположные знаки, а производная массы МБЛА по времени – отрицательную величину. Уравнение изменения кинетического момента МБЛА запишем в движущейся системе координат с началом в центре масс МБЛА и осями, параллельными неподвижным осям Ox и Oz. Будем полагать, что частицы рабочего вещества в емкости под давлением вращаются вокруг оси вместе с фюзеляжем. Угловая скорость, кинетический момент и момент внешней силы положительны, если при наблюдении с конца оси согласуются с вращением против хода стрелки часов. Разность кинетических моментов частиц МБЛА относительно оси, проходящей через центр масс МБЛА, перпендикулярной плоскости симметрии, в моменты (t + Δt) и t равна импульсу главного момента внешних сил, действующих на МБЛА, относительно той же оси за то же время:

[(J + ∆J)(ω + ∆ω) + ∆mHu] – [Jω] = M∆t,

где u =|u_m|; ω ‒ угловая скорость вращения малого беспилотного летательного аппарата вокруг оси Cη, рад/с; Δω ‒ изменение угловой скорости ω за малое время Δt, рад/с; J ‒ текущий момент инерции малого беспилотного летательного аппарата относительно оси Cη, кг∙м²; ΔJ ‒ изменение момента инерции J за малое время Δt, кг∙м².

После приведения подобных членов, деления обеих частей на Δt и Δt → 0 уравнение примет вид:

$J \frac{d ω}{d t} + ω \frac{d j}{d t} = M - \frac{d m}{d t} H u,$

и, полагая, что угловая скорость настолько мала, что ей можно пренебречь, получим:

J \frac{d ω}{d t} = M - \frac{d m}{d t} H u .

(2)

Модель программного управления малого беспилотного летательного аппарата

Программное управление движением определяется как управление желаемым движением и находится из решения уравнений движения. Рассмотрим полет МБЛА на заданной высоте над полем по траектории, параллельной линии профиля поля в продольной вертикальной плоскости полета. Полагаем, что программное управление поддерживает траекторный угол МБЛА равным углу наклона линии профиля поля к горизонту. Неподвижную систему координат выберем так, чтобы плоскость Oxz совпала с плоскостью симметрии Cξζ. При составлении дифференциальных уравнений плоскопараллельного движения² в инерциальной системе координат Oxz уравнение движения (1) центра масс МБЛА запишем в естественном виде, проецируя ускорение точки и силы на ось касательной, направленную по вектору скорости υ центра масс МБЛА, ось нормали к траектории центра масс, направленную в сторону вогнутости траектории. Уравнения движения запишем так:

\{\begin{array}{l} m \frac{d v}{d t} = P \cos α - R - \frac{d m}{d t} u \cos α - m g \sin (θ - α) \\ m v \frac{d (θ - α)}{d t} = P \sin α + N - \frac{d m}{d t} u \sin a - m g \cos (θ - α) \\ J \frac{d ω}{d t} = M - \frac{d m}{d t} H u \\ \frac{d θ}{d t} = ω \\ \frac{d x}{d t} = v \cos (θ - α) \\ \frac{d z}{d t} = v \sin (θ - α) \end{array},

(3)

где

$m = \{\begin{cases} m_{0} + m_{c}, 0 < x < x_{0}, \\ m_{0} + m_{c} - q (x - x_{0}), x_{0} + \frac{m_{c}}{q} \geq x \geq x_{0}, \\ m_{0}, x > x_{0} + \frac{m_{c}}{q}; \end{cases}$

$J = \{\begin{cases} J_{0} + m_{c} {[\frac{H}{2}]}^{2}, 0 < x < x_{0}, \\ J_{0} + [m_{c} - q (x - x_{0})] {[\frac{H}{2} + \frac{H q (x - x_{0})}{2 m_{c}}]}^{2}, x_{0} + \frac{m_{c}}{q} \geq x \geq x_{0}, \\ J_{0}, x > x_{0} + \frac{m_{c}}{q}; \end{cases}$

$\frac{d m}{d t} = \{\begin{cases} 0, 0 < x < x_{0}, \\ - q v \cos (θ - α), x_{0} + \frac{m_{c}}{q} \geq x \geq x_{0}, \\ 0, x > x_{0} + \frac{m_{c}}{q}, \end{cases}$

где x₀ – координата х в момент начала уменьшения массы МБЛА; m₀, m_c ‒ масса летательного аппарата без рабочего вещества и максимальная масса рабочего вещества (m₀ ≤ m ≤ m₀ + m_c), кг; J₀ ‒ момент инерции малого беспилотного летательного аппарата относительно оси Cη без рабочего вещества, кг∙м².

Уравнения (3) содержат силы P, R, N и пару сил M, выражения для которых определены по экспериментальным данным³. В соответствии с уравнением Бернулли разность Δp давлений воздуха на выходе из пропеллера при скорости воздуха υ₀ и на входе в него при скорости воздуха υ определяется по формуле:

$Δ p = \frac{1}{2} ρ (υ_{0}^{2} - υ^{2}),$

где ρ ‒ плотность воздуха, кг/м³.

Принимая скорость υ₀ воздуха на выходе прямо пропорциональной перемещению δ_P руля тяги, а силу тяги P прямо пропорциональной разности давлений и площади сечения пропеллера, последнюю формулу для двух пропеллеров получим⁴:

P = ρ s_{p} [{(k_{p} δ_{p})}^{2} - v^{2}] .

(4)

где s_p ‒ площадь поперечного сечения пропеллера, м²; k_p ‒ коэффициент тяги пропеллера, (м/с)/м; δ_P – перемещение тяги двигателя (дроссельной заслонки), м.

При малых углах тангажа и атаки справедливы следующие выражения для сил сопротивления R, N, M²:

\{\begin{cases} N = \frac{1}{2} ρ v^{2} s_{w} (c_{N} + c_{N α} α + c_{N}_{δ} δ) \\ R = \frac{1}{2} ρ v^{2} s_{w} (c_{R} + c_{R α} α) \\ M = \frac{1}{2} ρ v^{2} s_{w} c (c_{M α} α + \frac{c_{M ω}}{v} ω + c_{M}_{δ} δ), \end{cases}

(5)

где c, c_N, c_N_α, c_N_δ, c_R, c_R_α, c_M_α, c_M_ω, c_M_δ – экспериментальные коэффициенты; s_w ‒ площадь поперечного сечения крыла, м².

Система уравнений (3) с учетом функций (4), (5) при заданных начальных условиях и заданном законе управления δ(t), δ_P(t) является замкнутой и позволяет однозначно определить шесть неизвестных, являющихся переменными состояния: υ, ω, α, θ, x, z. Для определения функций управления δ(t), δ_P(t) необходимо задать два условия (уравнения). Такими являются уравнение профиля поля или соответствующее ему уравнение траекторного угла и задание скорости центра масс МБЛА. Линию профиля поля с координатами z_f по оси Oz зададим в виде наклонной прямой линии (верхняя формула) или волнистой наклонной линии (нижняя формула) так:

z_{f} = \{\begin{cases} x t g β \\ x t g β + \frac{h_{c} \sin (\frac{2 π x}{250})}{10}, \end{cases}

(6)

где z_f – координата точки профиля поля по оси Oz, м; h_с – заданная высота полета над полем, м.

Два условия (уравнения) по траекторному углу γ и скорости υ зададим в виде:

z_{f} = \{\begin{cases} x t g β \\ x t g β + \frac{h_{c} \sin (\frac{2 π x}{250})}{10}, \end{cases}

(7)

где z_f – функция от x, заданная формулами (6), υ_с–заданная скорость, м/с.

Система алгебро-дифференциальных уравнений (3), (7) с учетом (4), (5) состоит из восьми уравнений и позволяет найти шесть переменных состояния и две переменные управления, которые служат программным управлением. Она приводится к линейной системе четырех обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными θ, ω, x, z при заданной постоянной скорости υ_c. Действительно, из первого уравнения системы (3) с учетом выражения для R из (5) следует такое равенство:

P = \frac{m g \sin β}{\cos (θ - γ)} + \frac{d m}{d t} u + \frac{1}{2} \frac{ρ v_{C}^{2} s_{W} [c_{R} + c_{R α} (θ - γ)]}{\cos (θ - γ)} .

(8)

Используя формулу (4), найдем δ_P:

δ_{P}^{2} = \frac{\frac{P}{ρ s_{p}} + v_{C}^{2}}{k_{p}^{2}},

(9)

где Р задается формулой (8).

Из выражения (5) для N найдем δ, подставляя в него выражение N из второго уравнения системы (3), в таком виде:

δ = \frac{\frac{2 N}{ρ v_{C}^{2} s_{W}} / - c_{N} - c_{N α} (θ - γ)}{c_{N δ}},

(10)

где $N = (\frac{d m}{d t} u - P) \sin (θ - γ) + m g \cos γ + m v_{C} \frac{d γ}{d x} v_{C} \cos γ .$

Подставляя δ из (10) и α из (7) в выражение (5) для M, получим такую формулу:

M = \frac{1}{2} ρ v_{C}^{2} s_{W} c (c_{M α} (θ - γ) + \frac{c_{M ω}}{v_{c}} ω + c_{M δ} δ) .

(11)

Отмечаем, что последние четыре уравнения системы (3) с учетом выражений (6)–(11) служат системой дифференциальных уравнений с неизвестными θ, ω, x, z. В установившемся режиме полета на участках с постоянной массой угол тангажа и угол атаки зависят от заданной скорости и массы МБЛА и связаны с ними так:

$\begin{array}{l} \frac{2 m g [\cos γ - \sin γ t g (θ - γ)]}{ρ v_{C}^{2} s_{w}} = c_{N} + c_{N α} (θ - γ) + \frac{c_{N δ} c_{M α} (θ - γ)}{c_{M δ}} + \\ + [c_{R} + c_{R α} (θ - γ)] t g (θ - γ) . \end{array}$

Отсюда следует, что установившееся значение угла тангажа совпадает с заданным траекторным углом γ, если скорость рассчитывать по следующей формуле:

v_{c} = \sqrt{\frac{2 m g \cos γ}{c_{N} ρ s_{w}} .}

(12)

Модель траекторного управления малым беспилотным летательным аппаратом

Программное управление предполагает, что истинный рельеф поля описывается заданной функцией, начальные моделируемые и реальные условия совпадают, погрешность модели отсутствует. Ввиду расхождений по всем позициям программное управление эффективно, если имеются основания считать такие расхождения незначимыми. Вместо уравнений (7) зададим управления в виде:

δ = b_{1} (θ - β) + b_{2} ω + c_{1} (z - z_{f} - h_{c}) + c_{2} \int_{0}^{t} (z - z_{f} - h_{c}) d t,

(13)

δ_{P} = k_{1} (v_{a} - v) + k_{2} \int_{0}^{t} (v_{a} - v) d t,

(14)

где b₁, b₂, c₁, c₂, k₁, k₂ – задаваемые коэффициенты ПИ регулятора для управления рулем высоты и дроссельной заслонкой (тягой двигателя); z_f – функция (6); υ_a – заданное значение скорости.

Вопрос обоснования коэффициентов b₁, b₂, c₁, c₂, k₁, k₂ не рассматривался. Коэффициенты оценивались так, чтобы значения переменных управления не превышали заданных рабочих пределов δ_max по углу поворота руля высоты и δ_Pmax по перемещению дроссельной заслонки (тяги двигателя). Технология подобной оценки приведена, например, в упомянутой выше работе Р. У. Биарда и Т. У. Маклэйна⁵. В равенствах (13), (14) предполагается, что значения высоты полета, угла тангажа, угловой скорости и скорости, регистрируемые датчиками и рассчитываемые по уравнениям движения МБЛА, совпадают. Шесть уравнений (3) после подстановки в них выражений (13), (14) для переменных управления содержат все шесть переменных состояния и при заданных начальных значениях переменных и коэффициентах могут быть решены. Уравнения (3) с учетом уравнений (4)–(7), (13), (14) рассматриваются как модель траекторного управления.

Алгоритм расчета высоты и скорости

Алгоритм представим в виде блок-схемы (рис. 4).

Р и с. 4. Упрощенная блок-схема расчета высоты полета в моделях программного и траекторного управления

F i g. 4. Simplified flow chart for calculating flight altitude in software and trajectory control models

Компьютерное моделирование

Алгоритм определения значений высоты и скорости был реализован в среде программирования Lazarus и в визуальной среде моделирования XCOS Scilab при следующих исходных данных⁶ m₀ = 13,5 кг; m_c = 5 кг; h_c = 10 м; x₀ = 600 м; J₀ = 1,135 кг м²; H = 0,035 м; u = 2,5 м/с; ρ = 1,27 кг/м³; q = 0,007 кг/м; β = 4 град; g = 9,8 м/с²; s_w = 0,55 м²; s_p = 0,11 м²; k_P = 80 (м/с)/м; c = 0,19 м; c_N = 0,8; c_N_α = 3,45; c_N_δ = –0,36; c_R = 0,03; c_R_α = 0,3; c_M_α = –0,38; c_M_ω = –3,6; c_M_δ = –0,5; δ_max = π/3; δ_P_max = 0,04 м; b₁ = π/3 рад/рад; b₂ = π/60 (рад·c)/рад; c₁ = 0,2 рад/м; c₂ = 0,025 рад/(м·с); k₁ = δ_P_max/10 (м·с)/м; k₂ = δ_P_max/80 м/м.

Программное и траекторное управления позволили стабилизировать высоту полета над полем с прямолинейным и волнистым рельефом, моделируемым уравнениями (6) (рис. 5).

В случае прямолинейного рельефа траектория центра масс МБЛА становится прямой линией, параллельной линии рельефа. Расчеты и моделирование показали, что программное управление обеспечило стабилизацию скорости и высоты полета над полем с любым рельефом. Изменение полетной массы при траекторном управлении не изменило высоту полета, если к началу рабочего процесса, во время которого полетная масса начинала уменьшаться, высота стабилизировалась (рис. 6 а).

Р и с. 5. Зависимости от координаты x координаты z (высоты над уровнем моря) точек линии волнистого профиля поля 1 и центра масс малого беспилотного летательного аппарата при программном (а) и траекторном (b) управлении при полете с заданной скоростью:
2 – 20 м/с; 3 – 25 м/с
F i g. 5. Depending on the x coordinate of the z coordinate (altitude above sea level) of the points of the wavy profile line of field 1 and the center of mass of a small unmanned aerial vehicle with software (a) and trajectory (b) control when flying at a set speed:
2 – 20 m/s; 3 – 25 m/s

Р и с. 6. Зависимости высоты полета h над полем с прямолинейным наклонным профилем (а) и волнистым наклонным профилем (b) от координаты x при траекторном управлении и заданной скорости: 1 – 20 м/с; 2 – 25 м/с
F i g. 6. Dependence of the flight altitude h above a field with a straight inclined profile (a) and a wavy inclined profile (b) on the coordinate x with trajectory control and a given speed:
1 – 20 m/s; 2 – 25 m/s

Примечания: I – масса малого беспилотного летательного аппарата постоянна; II – масса малого беспилотного летательного аппарата уменьшается; III – масса малого беспилотного летательного аппарата постоянна.
Note: I – the mass of the small unmanned aerial vehicle is constant; II – the mass of the small unmanned aerial vehicle decreases; III – the mass of the small unmanned aerial vehicle is constant.

При прямолинейном наклонном профиле поля траекторное управление позволило стабилизировать высоту на заданном уровне. При волнистом профиле поля отклонения точек поля на расстояние 1 м от средней линии профиля привело к отклонению высоты от заданного значения не более чем на 20 см (рис. 6 b). Уменьшение полетной массы МБЛА на втором участке полета не повлияло на его скорость (рис. 7 а) и траекторный угол (рис. 7 b) при траекторном управлении высотой и скоростью полета.

Р и с. 7. Изменение скорости центра масс малого беспилотного летательного аппарата (а) и траекторного угла (b) с изменением перемещения x при траекторном управлении полетом над полем с волнистым наклонным профилем при заданной скорости:
1 – 20 м/с; 2 – 25 м/с
F i g. 7. Change in the speed of the center of mass of the small unmanned aerial vehicle (a) and the trajectory angle (b) with a change in the displacement x at trajectory control over a field with a wavy inclined profile and a given speed:
1 – 20 m/s; 2 – 25 m/s

Примечание: I – масса малого беспилотного летательного аппарата постоянна; II – масса малого беспилотного летательного аппарата уменьшается; III – масса малого беспилотного летательного аппарата постоянна.
Note: I – the mass of the small unmanned aerial vehicle is constant; II – the mass of the small unmanned aerial vehicle decreases; III – the mass of the small unmanned aerial vehicle is constant.

Расчеты показали, что уменьшение полетной масса МБЛА на участке II приводило к значительному уменьшению угла тангажа (рис. 8).

Угол тангажа также трансформировался вместе с изменениями профиля поля относительно средней линии. Колебания уровня поля относительно средней линии приводят к колебаниям угла тангажа и тем самым угла поворота корпуса вокруг поперечной оси, амплитуда которых заметно не изменялась с уменьшением полетной массы МБЛА. При полете над участками I, III поля с прямым наклонным рельефом, на которых полетная масса МБЛА не изменялась, траекторное управление обеспечивало неизменный угол тангажа и неизменную скорость (рис. 9, линия 1).

Компьютерное моделирование позволило выявить опасные условия и режимы управления полетом на спусках с отрицательным углом наклона средней линии профиля поля: траекторное управление МБЛА при большой заданной скорости на участках (более 20 м/с) c уменьшением полетной массы привело к уменьшению угла тангажа до отрицательных значений с потерей управления (рис. 9, линия 2). При скорости 20 м/с и ниже траекторное управление обеспечивает стабилизацию скорости и высоты над полем с плоским рельефом без наклона вниз. При волнистом профиле поля отклонения точек поля на расстояние 1 м от средней линии профиля приводит к отклонению высоты от заданного значения не более чем на 20 см.

Р и с. 8. Зависимости угла тангажа θ от перемещения x центра масс малого беспилотного летательного аппарата при программном управлении (а) и траекторном управлении (b) полетом над полем с волнистым наклонным профилем со скоростью:
1 – 20 м/с; 2 – 25 м/с
F i g. 8. Dependences of the pitch angle θ on the displacement x of the center of mass of the small unmanned aerial vehicle with program control (a) and trajectory control (b) of flight over a field with a wavy inclined profile at a speed:
1 – 20 m/s; 2 – 25 m/s

Р и с. 9. Зависимости угла тангажа (а) и скорости (b) от перемещения x центра масс малого беспилотного летательного аппарата при траекторном управлении полетом над полем с прямым профилем под углом к горизонтальной плоскости 2° при заданной скорости:
1 – 20 м/с; 2 – 25 м/с

F i g. 9. Dependences of the pitch angle (a) and speed (b) on the displacement x of the center of mass of the small unmanned aerial vehicle with trajectory control of the flight over a field with a straight profile at an angle to the horizontal plane of 2° at a given speed:
1 – 20 m/s; 2 – 25 m/s

Решением проблемы потери управления при спуске над участком с уклоном может стать изменение курса полета таким образом, чтобы полет осуществлялся без спуска.

ОБСУЖДЕНИЕ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Расчеты показали, что программное управление рулем высоты и тягой двигателя МБЛА позволяет стабилизировать высоту полета и скорость МБЛА с переменной массой при прямом и волнистом рельефе поля. Программное управление при его высокой точности требует значительных вычислительных ресурсов для решения уравнений и обработки информации с высоким быстродействием, которые препятствуют реализации такого управления из-за недостаточных вычислительных ресурсов микроконтроллеров. Точность расчетов высоты и скорости летательного аппарата связана с точностью математической модели, и без обратной связи с реальными данными полета нельзя оценить истинную точность расчетов высоты полета и скорости летательного аппарата. Поэтому траекторное управление с пропорционально-интегральным регулятором, позволяющее учитывать обратные связи, можно признать надежным способом поддержания высоты летательного аппарата на заданном уровне. Однако такой способ управления даже с рациональными коэффициентами усиления регулятора не позволяет «устранить» отклонение высоты полета от заданной, обусловленное инерцией летательного аппарата. Это наглядно проявилось при изучении траектории полета над полем с переменным рельефом, аппроксимируемым волнистой (синусоидальной) линией. При большой скорости такие отклонения приводят к потере устойчивости и падению летательного аппарата. Проведенные исследования показали, что при полетах над полем с переменным и наклонным рельефом важное значение имеет устойчивость полета. Как показали расчеты, уменьшение массы летательного аппарата во время полета над полем с плоским рельефом с уклоном вниз может привести к потере устойчивости и его падению. Уменьшение полетной массы беспилотного летательного аппарата необходимо учитывать при использовании таких аппаратов в сельском хозяйстве для обработки поля от вредителей. При выполнении работ на участках с уклоном не рекомендуется движение на заданной высоте в направлении понижения участка. Направление полета целесообразно выбирать таким, в котором участок не понижается. Поле с переменным рельефом содержит участки, на которых уровень понижается, служит источником некомфортного полета и потери устойчивости полета.

¹ Биард Р.У., Маклэйн Т.У. Малые беспилотные летательные аппараты. Теория и практика. М.: Техносфера; 2023. 311 с.

²Белов М.И., Пылаев Б.В. Теоретическая механика: учеб. пособие. М.: РИОР ИНФРА-М; 2024. 334 с.

³ Биард Р.У., Маклэйн Т.У. Малые беспилотные летательные аппараты: теория и практика.

⁴Там же.

⁵ Биард Р.У., Маклэйн Т.У. Малые беспилотные летательные аппараты: теория и практика.

⁶ Биард Р.У, Маклэйн Т.У. Малые беспилотные летательные аппараты: теория и практика.

About the authors

Mikhail I. Belov

Russian State Agrarian University – Moscow Timiryazev Agricultural Academy of the Institute of Mechanics and Power Engineering

Email: belov@rgau-msha.ru
ORCID iD: 0000-0001-9907-8825
SPIN-code: 4508-0008
Scopus Author ID: 57212563127
ResearcherId: T-5622-2018

Dr.Sci. (Eng.), Professor, Professor of the Department of Automation and Robotization of Technological Processes named after Academician I. F. Borodin o