Production of J/ψ within the Soft Gluon Resummation Approach and Nonrelativistic QCD

Введение

Одним из основных пунктов программы экспериментальных исследований коллаборации SPD NICA [1] является измерение сечений рождения и спектров по поперечному импульсу и быстроте чармониев в столкновениях поляризованных и неполяризованных протонов при энергиях от $\sqrt{s}\mathrm{<mo>=</mo>5}$ ГэВ до $\sqrt{s}\mathrm{<mo>=</mo>27}$ ГэВ. Основным механизмом рождения связанных состояний $c\overline{c}$ -кварков является глюон-глюонное слияние, поэтому, изучая рождения чармониев, мы имеем возможность получить информацию о глюонных функциях распределения в протоне. Наиболее эффективным сигналом является рождение $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ -мезонов, которые детектируются по их распаду в лептонную пару. Рождение возбужденных состояний чармония, $\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}S\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и ${\chi }_{cJ}$, наблюдается в каскадных распадах через рождение $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$: $\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}S\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\to J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi +X$ и ${\chi }_{cJ}\to J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi +\gamma$. Сечение рождения основного состояния чармония null -мезона по величине соизмеримо с сечением прямого рождения $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ -мезона, однако экспериментальное исследование таких процессов представляет серьезные трудности, так как основной канал распада ${\eta }_c$ $—$ это распад в легкие мезоны, что не позволяет выделить сигнал о рождении ${\eta }_c$ из фона, который по величине на порядки его превышает. Проведенные ранее расчеты для <<перспективных>> каналов распада ${\eta }_c\to p\overline{p}$ и ${\eta }_c\to \gamma \gamma$ показали, что отношение сигнал $–$ фон имеет порядок ${10}^{-3}$ [2].

В настоящей работе проведен расчет спектров $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ -мезонов по поперечному импульсу в области малых значений $p_T\sim 1$ ГэВ, где форма спектра однозначно определяется зависимостью неколлинеарных глюонных функций распределения от поперечного импульса, в рамках подхода пересуммирования мягких глюонов [3, 4]. Для описания спектров $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ -мезонов при больших $p_T\mathrm{<mo>></mo>}{M}_{\psi }$ применена стандартная коллинеарная партонная модель (КПМ) [5]. Для описания промежуточной области поперечных импульсов используется метод обратных погрешностей (МОП) [6]. Представлено описание экспериментальных данных по рождению $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ -мезонов при энергии $\sqrt{s}\mathrm{<mo>=</mo>200}$ ГэВ, и сделаны предсказания для будущего эксперимента SPD NICA при энергии $\sqrt{s}\mathrm{<mo>=</mo>27}$ ГэВ.

 1 Подход пересуммирования мягких глюонов

 За пределами области применимости стандартной коллинеарной партонной модели лежит область малых поперечных импульсов $p_T\ll M$, где $M$ $—$ масса состояния, рождающегося в столкновении адронов. Наиболее общий подход к описанию этой кинематической области носит название TMD-факторизации (Transverse Momentum Dependent) или неколлинеарной партонной модели (НКПМ) и представляет собой описание функций распределения партонов с малыми поперечными импульсами и их эволюции внутри протонов. Этот подход позволяет факторизовать сечение рождения частиц как произведение жесткой пертурбативной части, связанной с партонным глюонным или кварковым подпроцессом, и функций, описывающих распределение начальных партонов по импульсу. В партонных функциях распределения (ПФР) в общем случае не разделяются на распределения по продольной и поперечной компонентам импульса. Эволюция партонных распределений по жесткому масштабу факторизации ${\mu }_F$ и быстротному параметру $\zeta$ контролируется уравнением ренормгруппы и системой дифференциальных уравнений Коллинза $–$ Сопера [5]. В нашем анализе мы рассматриваем и используем подход пересуммирования мягких глюонов (ПМГ) как один из вариантов НКПМ [3, 4].

В НКПМ партоны подразумеваются находящимися на массовой поверхности $q_{\mathrm{1,2}}^2\mathrm{<mo>=</mo>0}$ и их $4$ -импульсы $q_1$, $q_2$ в судаковском разложении записываются следующим образом:

                                               $q_1^{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_1{p}_1^{\mu }+y_1{p}_2^{\mu }+q_{1T}^{\mu }\mathrm{,<mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi>}{q}_2^{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_2{p}_2^{\mu }+y_2{p}_1^{\mu }+q_{2T}^{\mu }\mathrm{,}$

где $p_{\mathrm{1,2}}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\sqrt{s}}{2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,0,0,}\pm \mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ импульсы сталкивающихся протонов; $x_i$ и $y_i\mathrm{<mo>=</mo>}{\overrightarrow{q}}_{iT}^2\mathrm{<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}s{x}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ доли продольных импульсов; $q_{iT}$ $—$ поперечные компоненты импульсов ( $q_{iT}^2\mathrm{<mo>=</mo>}-{\overrightarrow{q}}_{iT}^2$ ).

Поправками $\mathcal{O}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\overrightarrow{q}}_T^2\mathrm{<mo>/</mo>}{M}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ далее будем пренебрегать, т. е. в таком приближении $y_{\mathrm{1,2}}\to 0$, а импульсы партонов с малыми поперечными компонентами представляют собой:

                                               $q_1\approx \left(\frac{x_1\sqrt{s}}{2},{\overrightarrow{q}}_{1T},\frac{x_1\sqrt{s}}{2}\right)q_2\approx \left(\frac{x_2\sqrt{s}}{2},{\overrightarrow{q}}_{2T},-\frac{x_2\sqrt{s}}{2}\right).$                                                     (1)

Общая для НКПМ теорема описывает рождение конечного состояния как свертку ПФР с сечением рождения в партонном подпроцессе [5]:

                                           $d\sigma \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \int }d{x}_{1}d{x}_2{d}^2{q}_{1T}{d}^2{q}_{2T}F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}{\overrightarrow{q}}_{1T}\mathrm{,}{\mu }_F\mathrm{,}{\zeta }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_2\mathrm{,}{\overrightarrow{q}}_{2T}\mathrm{,}{\mu }_F\mathrm{,}{\zeta }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\widehat{\sigma }\mathrm{,}$                                                (2)

 где $d\widehat{\sigma }$ $—$ сечение жесткого партонного подпроцесса $2\to 1$, в котором рождаются состояния с малыми поперечными импульсами:

                                               $d\widehat{\sigma }={\left(2\pi \right)}^4{\delta }^{\left(4\right)}\left(q_1+q_2-p\right)\frac{\overline{\left|\mathcal{M}\right(2\to 1){|}^2}}{I}\frac{d^{3}p}{{\left(2\pi \right)}^{3}2p_0},$

здесь $I\approx 2x_1{x}_{2}s$ $—$ потоковый фактор; $\mathcal{M}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}\to \mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ амплитуда партонного подпроцесса, вычисленная методом фейнмановских диаграмм.

Партонные распределения в выражении (2) записаны в форме функций поперечного импульса, в которой $—$ по крайней мере в лидирующем приближении $—$ имеют очевидную вероятностную интерпретацию. Учесть эволюцию ПФР представляется возможным только в сопряженном пространстве: уравнения Коллинза $—$ Сопера и ренормгруппы допускают совместное факторизованное решение (то есть такое, что вся <<эволюционная>> часть выделяется в отдельный множитель) в пространстве прицельного параметра ${\overrightarrow{b}}_T$, которое является Фурье-сопряженным пространству поперечного импульса [8]:

                                  $\widehat{F}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}{b}_T\mathrm{,}{\mu }_F\mathrm{,}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\widehat{F}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_2\mathrm{,}{b}_T\mathrm{,}{\mu }_F\mathrm{,}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{e}^{-S_P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_T\mathrm{,}{\mu }_F\mathrm{,}{\mu }_{F0}\mathrm{,}\zeta \mathrm{,}{\zeta }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\widehat{F}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}{b}_T\mathrm{,}{\mu }_{F0}\mathrm{,}{\zeta }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\widehat{F}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_2\mathrm{,}{b}_T\mathrm{,}{\mu }_{F0}\mathrm{,}{\zeta }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$                                        (3)

 причем двумерное Фурье-преобразование ПФР:

                                                   $\widehat{F}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\overrightarrow{b}}_T\mathrm{,}{\mu }_F\mathrm{,}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \int }{d}^2{q}_T{e}^{i{\overrightarrow{q}}_T{\overrightarrow{b}}_T}F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\overrightarrow{q}}_T\mathrm{,}{\mu }_F\mathrm{,}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Эволюцию Фурье-образа ПФР с начальных масштабов null в конечные $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }_F\mathrm{,}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ осуществляет судаковский фактор $S_P$, в лидирующем по константе связи приближении судаковский фактор выражается в виде интеграла [3, 9]:

$S_P(Q,{\mu }_b,b_T)=\frac{C_A}{\pi }\underset{{\mu }_b^2}{\overset{Q^2}{\int }}\frac{d{{\mu }^{\text{'}}}^2}{{{\mu }^{\text{'}}}^2}{\alpha }_s\left({\mu }^{\text{'}}\right)\left[\ln \frac{Q^2}{{{\mu }^{\text{'}}}^2}-\left(\frac{11-2N_f/C_A}{6}+\frac{1}{2}{\delta }_{c8}\right)\right]+\mathcal{O}\left({\alpha }_s\right),$ (4)

 где $N_f$ $—$ число кварковых ароматов; $C_A\mathrm{<mo>=</mo>3}$ $—$ собственное значение оператора Казимира присоединенного представления цветовой группы SU( $3$ ), ${\delta }_{c8}$ $—$ дельта Кронекера, отличающая пересуммирование для синглетных и октетных состояний кваркония, в качестве конечного масштаба взят жесткий масштаб $Q\mathrm{<mo>=</mo>}{\mu }_F\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{\zeta }$, а вместо начального $—$ масштаб ${\mu }_b\mathrm{<mo>=</mo>}{\mu }_{F0}\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{{\zeta }_0}$, выражение для которого приведено ниже.

Такой выбор связан с минимизацией больших значений логарифмов отношений масштабов ${\mu }_F\mathrm{<mo>/</mo>}{\Lambda }_{QCD}$, ${\mu }_F\mathrm{<mo>/</mo>}M$ [9]. В однопетлевом приближении для константы связи ${\alpha }_s$ можно получить явное аналитическое выражение для интеграла в $S_P$. Выражение для судаковского фактора применимо в диапазоне $b_0\mathrm{<mo>/</mo>}Q⩽b_T⩽b_{T\mathrm{,}max}$, где $b_0\mathrm{<mo>=</mo>2}{e}^{-\gamma }$, $\gamma$ $—$ это постоянная Эйлера $—$ Маскерони. Нижний предел диапазона задается выражением ${\mu }_{b^{\prime }}\mathrm{<mo>=</mo>}Q{b}_0\mathrm{<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}Q{b}_T+b_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, а верхний предел определяется заменой прицельного параметра [7]:

                                                      $b_T\mathrm{<mi>\; </mi><mi>\; </mi>}\to \mathrm{<mi>\; </mi><mi>\; </mi>}{b}_T^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{b_T}{\sqrt{1+{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_T\mathrm{<mo>/</mo>}{b}_{T\mathrm{,}max}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2}}\mathrm{,}$

мы использовали наибольшее значение прицельного параметра $b_{T\mathrm{,}max}\mathrm{<mo>=</mo>1.5}$ ГэВ ${}^{-1}$. Как в выборе этого параметра, так и в форме ограничений на $b_T$ существует определенная свобода выбора, иные возможные варианты и их обоснования приведены в [9].

Кроме этого, подавление ПФР при больших $b_T$ гарантируется непертурбативным судаковским фактором $S_{NP}$, выражение для которого, по крайней мере на данном этапе, теоретически последовательно не выводится, поэтому зависимость $S_{NP}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_T\mathrm{,}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ извлекается из эксперимента. В данной работе использовалась параметризация в гауссовой форме, полученная для начальных кварков [10]:

                                               $S_{NP}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_T\mathrm{,}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\left[g_1\ln \frac{Q}{2Q_{NP}}+g_2\left(1+2g_3\ln \frac{10x{x}_0}{x_0+x}\right)\right]b_T^2\mathrm{,}$                                                     (5)

 из-за недостатка экспериментальных данных она применяется и для глюонов, но с дополнительным множителем $C_A\mathrm{<mo>/</mo>}{C}_F$ [9], где $C_A$, $C_F$ $—$ собственные значения оператора Казимира присоединенного и фундаментального представления группы SU(3) соответственно.

В подходе ПМГ партонные распределения выражаются через коллинеарные, взятые на начальном масштабе ${\mu }_{b^{\prime }}$:

                                                   $\widehat{F}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{b}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{{\mu }^{\prime }}_b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathcal{O}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\alpha }_s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathcal{O}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_T{\Lambda }_{QCD}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Теперь можем привести окончательное выражение для дифференциального сечения, где аналитически взяты все возможные интегралы:

                                 $\frac{d^2\sigma }{d{p}_{T}dy}=\frac{\pi p_T\overline{\left|\mathcal{M}\right(2\to 1){|}^2}}{M^{2}s}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}d{b}_T{b}_T{J}_0\left(p_T{b}_T\right)e^{-S_P(Q,{\mu }_{b*}{\text{'}}_{},b_T^{*})}{e}^{-S_{NP}(b_T,Q)}\widehat{F}(x_1,b_T^{*})\widehat{F}(x_2,b_T^{*}),$                                       (6)

 здесь $J_0$ $—$ функция Бесселя первого рода нулевого порядка; $p_T$ $—$ поперечный импульс конечного состояния; $y$ $—$ быстрота конечного состояния.

2 Коллинеарная факторизация

 В нашей работе мы пытаемся описать рождение чармониев во всем доступном диапазоне поперечных импульсов конечного состояния, поэтому в области $p_T\gg M$ пользуемся стандартным подходом коллинеарной партонной модели (КПМ) в лидирующем по ${\alpha }_s$ приближении.

В коллинеарной факторизации импульсы партонов, лежащих на массовой поверхности, прямо пропорциональны импульсам сталкивающихся протонов:

                                                          $q_1^{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_1{p}_1^{\mu }\mathrm{,<mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi>}{q}_2^{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_2{p}_2^{\mu }\mathrm{,}$

где $x_1\mathrm{,}{x}_2$ $—$ также продольные доли импульсов протонов, и тогда импульсы партонов, пренебрегая массой протонов при достаточно больших энергиях стокновений $\sqrt{s}$, можно записать следующим образом:

                                                 $q_1\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{x_1\sqrt{s}}{2}\left(\mathrm{1,0,0,1}\right)\mathrm{,<mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi>}{q}_2\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{x_2\sqrt{s}}{2}\left(\mathrm{1,0,0,}-1\right)\mathrm{.}$

В приближении малых поперечных импульсов начальных партонов $q_T\ll {\mu }_F\equiv Q$ действует теорема о коллинеарной факторизации сечения рождения конечного наблюдаемого состояния:

                                                     $d\sigma \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \int }d{x}_{1}d{x}_{2}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}{\mu }_F\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_2\mathrm{,}{\mu }_F\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\widehat{\sigma }\mathrm{,}$                                                           (1)

 где $f\left(x\mathrm{,}{\mu }_F\right)$ $—$ коллинеарные партонные распределения, эволюция которых по жесткому масштабу ${\mu }_F$ описывается уравнениями ДГЛАП; $d\widehat{\sigma }$ $—$ сечение жесткого партонного подпроцесса $2\to 2$ (подпроцессы $2\to 1$ запрещены кинематикой КПМ), которое выражается в виде

                                         $d\widehat{\sigma }={\left(2\pi \right)}^4{\delta }^{\left(4\right)}\left(q_1+q_2-p-k\right)\frac{\overline{\left|\mathcal{M}\right(2\to 2){|}^2}}{I}\frac{d^{3}p}{{\left(2\pi \right)}^{3}2p_0}\frac{d^{3}k}{{\left(2\pi \right)}^{3}2k_0},$

где $p$ и $k$ $—$ импульсы двух конечных частиц ( $p$ $—$ импульс рожденного состояния чармония).

 3 Описание области промежуточных поперечных импульсов

 Для области промежуточных значений поперечных импульсов $p_T\sim M$ не существует подхода, основанного на пертурбативном разложении сечения в ряд и представления его в виде множителей, отвечающих за различные энергетические и пространственно-временные этапы в адронных процессах, как это проделано в моделях коллинеарной и неколлинеарной факторизаций. Вместо этого вклады двух факторизационных моделей <<сшивают>> и описывают промежуточную область $p_T$ как тем или иным образом определенную сумму вкладов КПМ и НКПМ. Мы пользуемся подходом МОП (метод обратных погрешностей, Inverse-Error Weighting, InEW), основанным на более общем статистическом методе обратных дисперсий (inverse-variance weighting) $—$ методе выбора весов для вычисления взвешенной суммы нескольких случайных величин, при котором дисперсия этой суммы оказывается наименьшей [6].

В схеме <<сшивания>> факторизаций МОП вычисляемое при любом значении $p_T$ сечение $\overline{d\sigma }$ представляется в виде суммы вкладов неколлинеарной $\mathcal{W}$ и коллинеарной $\mathcal{Z}$ факторизаций, взятых с некоторыми весами ${\omega }_1$ и ${\omega }_2$:

                                                    $\overline{d\sigma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}_T\mathrm{,}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\omega }_1\mathcal{W}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}_T\mathrm{,}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\omega }_2\mathcal{Z}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}_T\mathrm{,}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$                                                          (1)

 В качестве весов берутся нормированные значения обратных квадратов степенных поправок, использованных в теоремах факторизации КПМ и НКПМ:

                                                      ${\omega }_1\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\Delta }_{\mathcal{W}}^{-2}}{{\Delta }_{\mathcal{W}}^{-2}+{\Delta }_{\mathcal{Z}}^{-2}}\mathrm{,<mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi>}{\omega }_2\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\Delta }_{\mathcal{Z}}^{-2}}{{\Delta }_{\mathcal{W}}^{-2}+{\Delta }_{\mathcal{Z}}^{-2}}\mathrm{,}$

                                              ${\Delta }_{\mathcal{W}}={\left(\frac{p_T}{Q}\right)}^2+{\left(\frac{m}{Q}\right)}^2{\Delta }_{\mathcal{Z}}={\left(\frac{m}{p_T}\right)}^2\left(1+{\ln }^2\left(\frac{Q_T}{p_T}\right)\right),$                                                    (2)

 где $m$ $—$ масса адрона порядка $1$ ГэВ, $Q_T\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{Q^2+p_T^2}$.

Неопределенность вычисления результирующего сечения, определенного как среднее взвешенное двух вкладов, задается выражением:

                                                           $\Delta \overline{d\sigma }\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\Delta }_{\mathcal{W}}{\Delta }_{\mathcal{Z}}}{\sqrt{{\Delta }_{\mathcal{W}}^2+{\Delta }_{\mathcal{Z}}^2}}\overline{d\sigma }\mathrm{.}$                                                                 (3)

Таким образом, схема МОП позволяет вычислить сечение, которое совпадает с вкладами коллинеарной и неколлинеарной факторизаций в областях применимости соответствующих теорем и которое представляется как средневзвешенная сумма этих вкладов в области, где ни та, ни другая теоремы строго не выполняются. Погрешность итогового сечения оказывается максимальной именно в области промежуточных поперечных импульсов. 

4 Нерелятивистская КХД

 Нерелятивистская КХД $—$ устоявшийся подход к описанию адронизации тяжелых кварков в наблюдаемые состояния. Достаточно большая масса очарованных кварков $m_c$ позволяет рассматривать их как нерелятивистские ( ${\upsilon }^2\approx 0.3$ ), благодаря этому вполне надежно разделяются по порядку величины следующие динамические наблюдаемые [11]: масса кваркония, трехмерный импульс, кинетическая энергия и т. д. Оценка величины наблюдаемых, соответствующих квантовым операторам, дает право ввести иерархию фоковских состояний чармония в рождении $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ по степеням скорости $\upsilon$ [12]:

                             $|J/\psi ⟩=\mathcal{O}({\upsilon }^0\left)\right|c\overline{c}{[}^3{S}_1^{\left(1\right)}]⟩+\mathcal{O}({\upsilon }^1\left)\right|c\overline{c}{[}^3{P}_J^{\left(8\right)}]g⟩+\mathcal{O}({\upsilon }^2\left)\right|c\overline{c}{[}^3{S}_1^{\left(\mathrm{1,8}\right)}]gg⟩+\mathcal{O}({\upsilon }^2\left)\right|c\overline{c}{[}^1{S}_0^{\left(8\right)}]g⟩+\dots ,$

лидирующим членом ряда является синглетное фоковское состояние, в котором находятся кварки в составе $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$. Если ограничиться им, то такое приближении будет называться моделью цветовых синглетов (МЦС) [13], в отдельных случаях даже и его уже может быть достаточно для корректного и полного описания рождения чармония.

В НРКХД сечение рождения состояния чармония факторизуется в произведение сечения рождения кварковой пары в некотором фоковском состоянии и непертурбативного матричного элемента (НМЭ), который можно интерпретировать как описывающий адронизацию кварковой пары в связанное состояние:

                                      $d\widehat{\sigma }(a+b\to \mathcal{C}+X)=\sum _{n}d\widehat{\sigma }(a+b\to c\overline{c}[n]+X)⟨{\mathcal{O}}^{\mathcal{C}}\left[n\right]⟩/\left(N_{}co{l}_{}{N}_{}po{l}_{}\right),$                                            (1)

 за кратким обозначением $n$ стоят фоковские состояния, которые учитываются при анализе и расчетах рождения $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$, также здесь явно записано усреднение по поляризационным ( null $\mathrm{<mo>=</mo>2}J+1$, где $J$ $—$ полный момент кварковой пары) и цветовым ( $N_{}co{l}_{}\mathrm{<mo>=</mo>2}{N}_c$ для синглетов, $N_{}co{l}_{}\mathrm{<mo>=</mo>}{N}_c^2-1$ для октетов, где $N_c$ $—$ число цветов) состояниям чармония. Амплитуда рождения кварковой пары в фоковском состоянии вычисляется в необходимом порядке по константе связи ${\alpha }_s$ с помощью техники фейнмановских диаграмм и последовательности проецирований на состояния с необходимыми значениями квантовых спиновых, орбитальных и цветовых чисел [14].

В подходе ПМГ мы учитываем рождение состояний ${}^1{S}_0^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, ${}^3{P}_{\mathrm{0,2}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ для $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ и ${}^3{P}_{\mathrm{0,2}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, ${}^3{S}_1^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ для ${\chi }_{cJ}$ в подпроцессах $2\to 1$, в которых рождаются состояния с малыми поперечными импульсами. Матричные элементы данных подпроцессов:

                            $\overline{\left|\mathcal{M}\right(g+g\to \mathcal{C}{[}^3{P}_0^{\left(1\right)}\left]\right){|}^2}=\frac{8{\pi }^2{\alpha }_s^2}{3M^3}⟨{\mathcal{O}}^{\mathcal{C}}{[}^3{P}_0^{\left(1\right)}]⟩\overline{\left|\mathcal{M}\right(g+g\to \mathcal{C}{[}^3{P}_2^{\left(1\right)}\left]\right){|}^2}=\frac{32{\pi }^2{\alpha }_s^2}{45M^3}⟨{\mathcal{O}}^{\mathcal{C}}{[}^3{P}_2^{\left(1\right)}]⟩,$

                             $\overline{\left|\mathcal{M}\right(g+g\to \mathcal{C}{[}^3{P}_0^{\left(8\right)}\left]\right){|}^2}=\frac{5{\pi }^2{\alpha }_s^2}{M^3}⟨{\mathcal{O}}^{\mathcal{C}}{[}^3{P}_0^{\left(8\right)}]⟩\overline{\left|\mathcal{M}\right(g+g\to \mathcal{C}{[}^3{P}_2^{\left(8\right)}\left]\right){|}^2}=\frac{4{\pi }^2{\alpha }_s^2}{3M^3}⟨{\mathcal{O}}^{\mathcal{C}}{[}^3{P}_2^{\left(8\right)}]⟩,$

                            $\overline{\left|\mathcal{M}\right(g+g\to \mathcal{C}{[}^1{S}_0^{\left(8\right)}\left]\right){|}^2}=\frac{5{\pi }^2{\alpha }_s^2}{12M}⟨{\mathcal{O}}^{\mathcal{C}}{[}^1{S}_0^{\left(8\right)}]⟩\overline{\left|\mathcal{M}\right(q+\overline{q}\to \mathcal{C}{[}^3{S}_1^{\left(8\right)}\left]\right){|}^2}=\frac{16{\pi }^2{\alpha }_s^2}{9M}⟨{\mathcal{O}}^{\mathcal{C}}{[}^3{S}_1^{\left(8\right)}]⟩.$

Чармонии в области коллинеарной факторизации рождаются через состояния ${}^3{S}_1^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, ${}^3{S}_1^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, ${}^1{S}_0^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ и ${}^3{P}_J^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ для $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$, ${\psi }^{\prime }$ и через ${}^3{P}_J^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, ${}^3{S}_1^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ для ${\chi }_{cJ}$. Соответствующие этим состояниям матричные элементы достаточно громоздкие, поэтому не приведены здесь, но матричные элементы синглетных состояний можно найти в работе [15], а октетных состояний $—$ в [16].

Все источники значений НМЭ в той или иной степени феноменологичны. Выражения для НМЭ синглетных состояний связаны со значениями волновой функции чармония или ее производной в нуле [17, 18]:

                                      $⟨{\mathcal{O}}^{\mathcal{C}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}}^3{S}_1^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}⟩\mathrm{<mo>=</mo>2}{N}_c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}J+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\Psi {\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2\mathrm{,<mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi>}⟨{\mathcal{O}}^{\mathcal{C}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}}^3{P}_J^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}⟩\mathrm{<mo>=</mo>2}{N}_c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}J+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}{\Psi }^{\prime }{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2\mathrm{.}$

Эти значения получают при расчетах в нерелятивистских потенциальных моделях с феноменологическими потенциалами или из экспериментальных данных по распаду чармониев. Октетные же состояния физически ненаблюдаемы, и поэтому наборы октетных НМЭ извлекают фитированием данных чармониев за вычетом синглетных вкладов. Хотя значения НМЭ предполагаются универсальными, результаты фитов НМЭ на разных наборах данных и особенно в различных порядках вычислений по ${\alpha }_s$ могут достаточно сильно различаться. Поэтому в работе мы приводим свои результаты фитирования данных по рождению $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ при $\sqrt{s}\mathrm{<mo>=</mo>200}$ ГэВ. 

5 Результаты расчетов

Все описанные ниже численные расчеты осуществлялись с помощью библиотеки численного интегрирования CUBA [19] (алгоритм интегрирования Suave) при максимальной относительной погрешности расчетов, равной $\mathrm{1<mi>\; </mi><mi>\%</mi>}$. Матричные элементы партонных подпроцессов в НРКХД вычислялись в системе компьютерной алгебры Wolfram Mathematica с применением пакетов FeynArts [20] и FeynCalc [21]. Коллинеарные партонные распределения в лидирующем порядке по константе связи были взяты в виде численно заданных распределений MSTW2008LO [22].

Массы состояний чармония, использованные в расчетах [23]: $m_{J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi }\mathrm{<mo>=</mo>3.096}$ ГэВ, $m_{{\psi }^{\prime }}\mathrm{<mo>=</mo>3.686}$ ГэВ, $m_{{\chi }_{c0}}\mathrm{<mo>=</mo>3.415}$ ГэВ, $m_{{\chi }_{c1}}\mathrm{<mo>=</mo>3.510}$ ГэВ, $m_{{\chi }_{c2}}\mathrm{<mo>=</mo>3.556}$ ГэВ. Бранчинги распадов чармониев (относительные вероятности распадов) в нижележащие состояния и в лептонные пары [23]: Br $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\chi }_{c0}\to J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi +\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0.014}$, Br $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\chi }_{c1}\to J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi +\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0.343}$, Br $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\chi }_{c2}\to J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi +\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0.19}$, Br $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\psi }^{\prime }\to J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi +X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0.614}$, Br $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi \to e^{+}{e}^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0.05971}$, Br $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi \to {\mu }^{+}{\mu }^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0.05961}$. Для синглетных состояний использовались следующие НМЭ [24]: $⟨{\mathcal{O}}^{J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi }{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}}^3{S}_1^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}⟩\mathrm{<mo>=</mo>1.3}$ ГэВ ${}^3$, $⟨{\mathcal{O}}^{{\psi }^{\prime }}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}}^3{S}_1^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}⟩\mathrm{<mo>=</mo>0.65}$ ГэВ ${}^3$, $⟨{\mathcal{O}}^{{\chi }_{c0}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}}^3{P}_0^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}⟩\mathrm{<mo>=</mo>0.089}$ ГэВ ${}^5$.

Основной вклад в рождение $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ вносят подпроцессы с начальными глюонами, оценка для вклада подпроцессов с кварками для полных сечений составляет (в улучшенной модели испарения цвета) около $\mathrm{10<mi>\; </mi><mi>\%</mi>}$ при $\sqrt{s}\mathrm{<mo>=</mo>200}$ ГэВ [25]. В данной работе мы оцениваем доли кварковых вкладов в НРКХД.

Вклад октетных состояний ${\psi }^{\prime }$ в рождение $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ мы не учитываем из-за их малости по сравнению с вкладами аналогичных состояний $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ и практически идентичной с ними зависимости от $p_T$ на доступных нам областях фитирования НМЭ (так как оба вклада описываются одинаковыми матричными элементами). Можно считать малые октетные вклады ${\psi }^{\prime }$ эффективно включенными в прямое рождение соответствующих состояний $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$.

В качестве масштабов факторизации ${\mu }_F$ и перенормировки ${\mu }_R$ использовалась поперечная масса чармониев $M_T\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{M^2+p_T^2}$ в коллинеарной модели и масса чармониев $M$ в подходе ПМГ. Для корректного расчета распадов чармониев $\mathcal{C}\mathrm{<mo>\text{'}</mo>}\to \mathcal{C}+X$ учитывался эффект отдачи в виде сдвига по поперечному импульсу $p_{T\mathcal{C}}\approx \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{M}_{\mathcal{C}}\mathrm{<mo>/</mo>}{M}_{\mathcal{C}\mathrm{<mo>\text{'}</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{p}_{T\mathcal{C}\mathrm{<mo>\text{'}</mo>}}$.

Фитирование октетных НМЭ проводилось на наборе экспериментальных данных коллабораций PHENIX [26, 27] и STAR [28, 29] по рождению $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ в протон-протонных столкновениях при $\sqrt{s}\mathrm{<mo>=</mo>200}$ ГэВ в различных быстротных диапазонах, причем совместно в областях применимости ПМГ ( $p_T\mathrm{<mo><</mo>1}$ ГэВ) и КПМ ( $p_T\mathrm{<mo>></mo>5}$ ГэВ) в предположении независимости НМЭ от выбора модели факторизации. Одинаковая зависимость от $p_T$ вкладов ${}^1{S}_0^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ и ${}^3{P}_J^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ в прямом рождении $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ не позволяет раздельно извлекать соответствующие им НМЭ в рамках одной модели факторизации, поэтому их значения находят обычно только в виде линейной комбинации, однако совместный фит в КПМ и ПМГ (куда НМЭ входят в двух разных линейных комбинациях) дает возможность найти оба значения $⟨{\mathcal{O}}^{J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi }{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}}^1{S}_0^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}⟩$ и $⟨{\mathcal{O}}^{J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi }{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}}^3{P}_0^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}⟩$. Кроме того, использовалась связь между НМЭ, обусловленная спиновой симметрией тяжелых кварков в лидирующем по $\upsilon$ порядке НРКХД:

                                    $⟨{\mathcal{O}}^{{\chi }_{cJ}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}}^3{P}_J^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}⟩\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>2}J+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}⟨{\mathcal{O}}^{{\chi }_{c0}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}}^3{P}_0^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}⟩\mathrm{,<mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi>}⟨{\mathcal{O}}^{{\chi }_{cJ}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}}^3{S}_1^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}⟩\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>2}J+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}⟨{\mathcal{O}}^{{\chi }_{c0}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}}^3{S}_1^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}⟩\mathrm{,}$

                                                      $⟨{\mathcal{O}}^{J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi }{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}}^3{P}_J^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}⟩\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>2}J+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}⟨{\mathcal{O}}^{J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi }{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}}^3{P}_0^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}⟩\mathrm{.}$

Значения октетных НМЭ, полученные при фитировании экспериментальных данных, расположены в таблице, приведенная погрешность соответствует 1 среднеквадратичному отклонению. Результаты расчетов сечений для кинематики экспериментов PHENIX [26] и STAR [28] помещены на рис. 5.1, 5.2, 5.3 вместе с соответствующими им кривыми спектров (теоретические расчеты для экспериментальных данных 2007 года [27] здесь не приведены, так как они полностью совпадают с представленными на рис. 5.1 и 5.2). Светло-зеленым цветом на графиках показаны неопределенности при <<сшивании>> факторизаций, вычисленные с помощью выражения (3).

Таблица

 Результаты фитирования НМЭ при $p_T<1$ ГэВ (ПМГ) и $p_T>5$ ГэВ (КПМ)

Table

 Result for LDMEs fitting within domains of $p_T<1$ GeV (SGR) and $p_T>5$ GeV (CPM) 

Рис. 5.1. Слева — данные PHENIX [26] и зависимость сечения рождения J/ψ от поперечного импульса: коллинеарный вклад (оранжевая штриховая линия, см. онлайн-версию статьи журнала здесь и далее), неколлинеарный (синяя пунктирная), от распадов χcJ (коричневая штрихпунктирная), кварковых подпроцессов (черная штрихпунктирная с двумя точками), «сшитое» сечение J/ψ (зеленая сплошная). Справа — спектр рождения J/ψ

Fig. 5.1. On the left — differential cross section of prompt J/ψ production versus transverse momentum pT: the collinear (orange dashed line, see the online version of the article here and further), noncollinear (blue
dotted), χcJ decay (brown dash-dotted), quark subprocesses (black dash-dot-dotted) contributions, the matched cross-section (green solid). Experimental data is taken from the PHENIX collaboration paper [26]. On the right — spectrum of J/ψ production

Рис. 5.2. Слева — данные PHENIX [27] и зависимость сечения рождения J/ψ от поперечного импульса: коллинеарный вклад (оранжевая штриховая линия), неколлинеарный (синяя пунктирная), от распадов χcJ (коричневая штрихпунктирная), кварковых подпроцессов (черная штрихпунктирная с двумя точками), «сшитое» сечение J/ψ (зеленая сплошная). Справа — спектр рождения J/ψ

Fig. 5.2. On the left — differential cross section of prompt J/ψ production versus transverse momentum pT: the collinear (orange dashed line), noncollinear (blue dotted), χcJ decay (brown dash-dotted), quark
subprocesses (black dash-dot-dotted) contributions, the matched cross-section (green solid). Experimental data is taken from the PHENIX collaboration paper [27]. On the right — spectrum of J/ψ production

Рис. 5.3. Слева — данные STAR [28] и зависимость сечения рождения J/ψ от поперечного импульса: коллинеарный вклад (оранжевая штриховая линия), неколлинеарный (синяя пунктирная), от распадов χcJ (коричневая штрихпунктирная), кварковых подпроцессов (черная штрихпунктирная с двумя точками), «сшитое» сечение J/ψ (зеленая сплошная). Справа — спектр рождения J/ψ

Fig. 5.3. On the left — differential cross section of prompt J/ψ production versus transverse momentum pT: the collinear (orange dashed line), noncollinear (blue dotted), χcJ decay (brown dash-dotted), quark
subprocesses (black dash-dot-dotted) contributions, the matched cross-section (green solid). Experimental data is taken from the STAR collaboration paper [28]. On the right — spectrum of J/ψ production

Дополнительную неопределенность в предсказания сечений вносят выбор жесткого масштаба и погрешность НМЭ. Однако при вычислении спектров эти неопределенности практически исчезают. На графиках изображены, кроме основных теоретически предсказанных спектров, также кривые, соответствующие минимальной неопределенности при варьировании разных масштабов в 2 раза в большую и меньшую сторону. Погрешность НМЭ влияет на форму кривой спектра крайне слабо, поэтому на графиках ее невозможно увидеть.

Рис. 5.4. Слева — сечение рождения J/ψ в кинематике SPD NICA: коллинеарный вклад (оранжевая штриховая линия), неколлинеарный (синяя пунктирная), от распадов χcJ (коричневая штрихпунктирная), от кварковых подпроцессов (черная штрихпунктирная с двумя точками), «сшитое» сечение J/ψ (зеленая сплошная), неопределенность от варьирования жесткого масштаба (серая область). Справа — спектр рождения J/ψ

Fig. 5.4. On the left — prediction for differential cross section of prompt J/ψ production versus transverse momentum pT at SPD NICA kinematics: the collinear (yellow dashed line), noncollinear (blue dotted), χcJ
decay (brown dash-dotted), quark subprocesses (black dash-dot-dotted) contributions, the matched cross-section (green solid), hard scale variation uncertainty (gray shaded area). On the right — spectrum
of J/ψ production

Наши расчеты показывают, что вклад подпроцессов с кварками составляет для центральной быстротной области при $\sqrt{s}\mathrm{<mo>=</mo>200}$ ГэВ около $\mathrm{3<mi>\; </mi><mi>\%</mi>}$, а вклад от распадов ${\chi }_{cJ}\to J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi +\gamma$ ограничен $\mathrm{7<mi>\; </mi><mi>\%</mi>}$, при этом экспериментальная оценка для вкладов от распадов ${\chi }_{cJ}$ составляет около $\mathrm{30<mi>\; </mi><mi>\%</mi>}$ [26].

Также мы приводим предсказания рождения $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ в кинематике SPD NICA при $\sqrt{s}\mathrm{<mo>=</mo>27}$ ГэВ с использованием фитированных НМЭ. Как видно на рис. 5.4, с уменьшением энергии $\sqrt{s}$ область перехода из одной факторизации в другую смещается в сторону более малых значений $p_T$. Оценка вклада кварковых подпроцессов составляет меньше $\mathrm{4<mi>\; </mi><mi>\%</mi>}$, доля распадов ${\chi }_{cJ}$ равна около $\mathrm{9<mi>\; </mi><mi>\%</mi>}$.

Заключение

Показано, что спектры по поперечному импульсу $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ -мезонов в протон-протонных столкновениях хорошо описываются в нерелятивистской квантовой хромодинамике в модели, сочетающей метод пересуммирования мягких глюонов и коллинеарную партонную модель, с использованием метода обратных погрешностей для <<сшивки>> теоретических расчетов в промежуточной области поперечных импульсов. Используя экспериментальные данные, полученные при энергии $\sqrt{s}\mathrm{<mo>=</mo>200}$ ГэВ коллаборацией PHENIX, мы фитировали значения октетных непертурбативных матричных элементов, которые использовались для предсказания сечения рождения и спектра по поперечному импульсу $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ -мезонов в кинематике эксперимента SPD NICA при энергии $\sqrt{s}\mathrm{<mo>=</mo>27}$ ГэВ. Показано, что суммарный вклад от процесса кварк-кварковой аннигиляции и от распада вышележащих по массе состояний чармония в рождение $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ -мезонов не превышает 10 %.