Influence of initial atomic coherence and direct coupling on qubits entanglement in two-qubit Tavis — Cummings model

Full Text

Введение
Перепутанные состояния играют центральную роль во многих процессах квантовой обработ-
ки информации [1–3]. Явление перепутывания составных частей сложной системы неразрывно
связано с принципом суперпозиции квантовой механики. Очевидно, что квантовая когерент-
ность атомных систем, также непосредственно вытекающая из принципа квантовой суперпо-
зиции, тесно связана с явлением перепутывания. Это позволяет сделать вывод, что атомная
когерентностью может быть использована для усиления перепутывания атомных систем. Ра-
бота современных устройств квантовой обработки информации основана на использовании
перепутанных состоянии естественных или искусственных атомов (кубитов). Для создания и
управления перепутанными состояниями кубитов обычно используют электромагнитные поля
резонаторов. При теоретическом описании систем кубитов, взаимодейсвующих с выделенными
модами резонаторов, обычно используют модель Джейнса — Каммингса и ее расщирения и
обобщения [4–6]. При реализации реальных сценариев квантовой обработки информации воз-
никает квантовая декогеренция, которая является следствием неизбежного взаимодействия
между квантовой системой и внешним шумом. Наличие внешней среды при описании эволюции
систем кубитов в резонаторах во многих случаях можно смоделировать с помощью наличия
теплового поля резонатора. При этом, как впервые было показано в рабеоте [7], взаимодей-
ствие кубитов с тепловым шумом резонатора может приводить не к разрушению, а к генерации
высокой степени перепутывания кубитов. Связь между атомной когерентностью и перепутыва-
нием в рамках модели типа Джейнса — Каммингса была рассмотрена впервые в работе [8].
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2025. Том 31, № 1. С. 86–98
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2025, vol. 31, no. 1, pp. 86–98 87 из 98
Авторы показали, что при прохождении трехуровневого атома через двухмодовый тепловой
резонатор наличие начальной атомной когерентности между возбужденными состояниями
атома может привести к перепутыванию состояний двух тепловых полей. В работе [9] в рам-
ках двухатомной модели Джейнса — Каммингса в тепловом резонаторе было показано, что
перепутывание атомов в поцессе их эволюции может значительно усиливаться благодаря на-
чальной когерентности атомов по сравнению со случаем, когда атомы изначально готовятся в
некогерентных состояниях. При этом было определено, что возможно управление степенью
перепутывания кубитов при измении относительных фаз и амплитуд поляризованных атомов.
Впоследствии указанный эффект был предсказан для различных обобщений и расширений
двухатомной модели Джейнса — Каммингса [10–12]. В последнее время были разработаны
квантовые системы кубитов, между которыми можно организовать сильное взаимодействие,
вЁчастности сверхпроводящие кольца с джозефсоновскими переходами. В ряде теоретических
работ исследовалось влияние начальной атомной когерентности на степень перепутывания
кубитов при наличии прямого диполь-дипольного взаимодействия в различных двухатомных
моделях Джейнса — Каммингса [13; 14]. В нашей работе [15] исследовалась динамика теплового
перепутывания в двухатомной модели Джейнса — Каммингса при наличии прямого взаимодей-
ствия изинговского типа для сепарабельных некогерентных и перепутанных состояний кубитов.
Представляет интерес обобщить результаты работы [15] на случай когерентных начальных
состояний кубитов.
В настоящей работе мы исследовали влияние начальной атомной когерентности на динами-
ку перепутывания двух идентичных кубитов, нерезонансно взаимодействующих с одномодовым
тепловым полем идеального резонатора, при наличии прямого изинговского взаимодействия
кубитов. В качестве критерия перепутывания кубитов использовалась отрицательность. В ре-
зультате показано, что при наличии прямого взаимодействия начальная атомная когерентность
кубитов приводит к существенному возрастания максимальной степени перепутывания в случае
резонансного взаимодействия кубитов и поля. При этом в случае нерезонансного взаимодей-
ствия имеет место обратный эффект.
1. Модель и ее точное решение
Рассмотрим систему, состоящую из двух идентичных кубитов, нерезонансно взаимодейству-
ющих с одномодовым электромагнитным полем идеального резонатора. Предположим, что
между кубитами имеется прямое взаимодействие изинговского типа. Для организации такой
связи между, например, сверхпроводящими кубитами используют так называемые пассивные
элементы. Под пассивными элементами подразумеваются элементы цепи, для которых резо-
нансная частота намного больше, чем частота перехода между основным и первым уровнями
энергии кубитов. В результате при взаимодействии с кубитами пассивные элементы всегда бу-
дут оставаться в своем основном состоянии. Для организации различных типов взаимодействий
между кубитами в качестве пассивных элеметов используют емкости и индуктивности [16–18].
Тогда в сиcтеме отсчета, вращающейся с частотой поля резонатора, гамильтониан модели
можно записать в виде
ΩH = (1/2)
2Σ
j=1
¯hΩμzj
+
2Σ
j=1
¯hγ(μ+j η + μ−
j η†) + ¯hΣμz1
μz2
, (1)
где μzj
— оператор инверсии населенностей в i-м кубите (i = 1, 2); μ+j = |+⟩ii ⟨−| и μ−
j =
|−⟩ii ⟨+| — операторы перехода между возбужденным |+⟩j и основным состояниями |−⟩j j-го
кубита (j = 1, 2); η† и η – операторы рождения и уничтожения фотонов поля резонатора;
γ — константа кубит-фотонного взаимодействияe; Ω — расстройка частоты поля и частоты
резонансного перехода в кубите и Σ — константа изинговского взаимодействия кубитов.
Выберем в качестве начального состояния кубитов когерентные сепарабельные состояния,
которые представляют собой суперпозиции возбужденного и основного состояния:
Осман А., Фархутдинова А.Р., Башкиров Е.К. Влияние начальной атомной когерентности...
Othman A., Farhutdinova A.R., Bashkirov E.K. Influence of initial atomic coherence... 88 из 98
|Ψ(0)⟩Q1 = cos θ1|+⟩1 + sin θ1|−⟩1,
|Ψ(0)⟩Q2 = cos θ2|+⟩2 + sin θ2|−⟩2, (2)
где θ1 и θ2 — параметры, определяющие степень начальной когерентности кубитов Q1 и Q2
соответственно.
Такие начальные состояния можно получить для кубитов в резонаторе с помощью микро-
волновых импульсов определенной длительности. Выбирая определенным образом параметры
θ1 и θ2, мы можем получить четыре некогерентных сепарабельных начальных состояния куби-
тов: |+,+⟩, |+,−⟩, |−,+⟩, |−,−⟩. Например, состоянию |+,−⟩ соответствуют параметры
θ1 = 0 и θ2 = π/2.
Начальное состояние поля резонатора выберем в виде теплового состояния с матрицей
плотности
ρF (0) =Σn
pn |n⟩ ⟨n| .
Здесь весовые коэффициенты есть
pn =
¯nn
(1 + ¯n)n+1 ,
где ¯n — среднее число фотонов в моде
¯n = (exp [¯hωcav/kBT] − 1)−1 ,
kB — постоянная Больцмана и T — температура резонатора.
Прежде чем рассматривать взаимодействие двух кубитов с тепловым полем, сначала изучим
динамику двух кубитов, взаимодействующих с электромагнитным полем резонатора в фоков-
ских состояниях. Для получения точной динамики рассматриваемой модели в данном случае
мы используем так называемые "одетые" состояния или собственные функции гамильтониана
взаимодействия (1). Предположим, что число возбуждения системы "кубиты + поле" равно
n (n ≥ 1). Тогда эволюция вектора состояния рассматриваемой системы будет происходить в
гильбертовом пространстве с базисом
|−,−, n + 2⟩ , |+,−, n + 1⟩ , |−,+, n + 1⟩ , |+,+, n⟩ .
Тогда, собственные состояния гамильтониана (1) могут быть записаны в виде
|Φin⟩ = win(Xi1n |−,−, n + 2⟩ + Xi2n |+,−, n + 1⟩ + Xi3n |−,+, n + 1⟩ + Xi4n |+,+, n⟩) (3)
(i = 1, 2, 3, 4) ,
где
win = 1/
q
|Xi1n|2 + |Xi2n|2 + |Xi3n|2 + |Xi4n|2
X11,n = 0, X12,n = −1, X13,n = 1, X14,n = 0,
Xi1,n = −

2
√
1 + n
√
2 + n

/
????
4 + ζ2 + 2n − ζξ − δεi,n − ε2i
,n

,
Xi2,n =
√
1 + n(ζ − δ − εi,n)

/
????
4 + ζ2 + 2n − ζξ − δεi,n − ε2i
,n

,
Xi3,n =
√
1 + n(ζ − δ − εi,n)

/
????
4 + ζ2 + 2n − ζξ − δεi,n − ε2i
,n

,
Xi4,n = 1,
ζ = Σ/γ, ξ = Ω/γ.
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2025. Том 31, № 1. С. 86–98
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2025, vol. 31, no. 1, pp. 86–98 89 из 98
Соответственно, безразмерные значения энергетических уровней есть
ε1,n = E1,n/(¯hγ) = −ζ,
ε2,n = E2,n/(¯hγ) =
ζ
3
+ Re

−6Bn + 2(ζ)2 + 21/3C2/3
n
3 22/3C1/3
n

,
ε3,n = E3,n/(¯hγ) =
ζ
3
+ Re



6 + 6i
√
3

Bn + i

2

i −
√
3

(ζ)2 + 21/3

i +
√
3

C2/3
n

6 22/3Cn

 ,
ε4,n = E4,n/(¯hγ) =
ζ
3
+ Re



6 − 6i
√
3

Bn + 2i

i +
√
3

(ζ)2 + 21/3

−1 − i
√
3

C2/3
n
6 22/3C1/3
n

 ,
где
Cn = −27An − 9Bn(ζ) + 2(ζ)3 +
√
27+
+
q
27A2
n + B2n
(4Bn − (ζ)2) − 2An(ζ) (2(ζ)2 − 9Bn),
An = 6ζ + ζ3 + 4ζn + 2ξ − ζξ2, Bn = −6 − ζ2 − 4n − δ2.
Поставим перед собой задачу найти динамику рассматриваемой модели для начального
когерентного состояния кубитов (2) и теплового поля резонатора. В качестве первого шага для
решения поставленной задачи как уже было сказано выше, рассмотрим решение уравнения
эволюции рассматриваемой системы в случае фоковских начальных состояний электромагнит-
ного поля резонатора, а затем обобщим полученные результаты на случай теплового состояния
поля резонатора.
Предположим, что рассматриваемая система приготовлена изначально в состояния
|+,−, n + 1⟩ (n ≥ 0). В этом случае в момент времени t полная временная волновая функция
системы есть
|Ψ(t)⟩Q1 Q2,n = Z12,n|−,−, n + 2⟩ + Z22,n|+,−, n + 1⟩ + Z32,n|−,+, n + 1⟩ + Z42,n|+,+, n⟩, (4)
где
Zi2,n = e−ıE1nt/¯h w1n Y2in X1in + e−ıE2nt/¯h w2n Y2inX2in+ (5)
+ e−ıE3nt/¯h w3n Y2in X3in + e−ıE4nt/¯h w4n Y2in X4in (i = 1, 2, 3, 4)
и
Yijn = wjnX∗
jin.
Если начальное состояние системы |−,+, n + 1⟩ (n ≥ 0), то временная волновая функция
может быть записана как
|Ψ(t)⟩Q1 Q2,n = Z13,n|−,−, n + 2⟩ + Z23,n|+,−, n + 1⟩ + Z33,n|−,+, n + 1⟩ + Z43,n|+,+, n⟩, (6)
где коэффициенты Zi3,n могут быть получены из (5) путем замены Y2in на Y3in (i = 1, 2, 3, 4).
Для числа фотонов в резонаторе n = 0 и начальных состояний кубитов |+,−⟩ и |−,+⟩
временные волновые функции системы есть
|Ψ(t)⟩Q1 Q2,0 = G12(t)|+,−, 0⟩ + G22(t)|−,+, 0⟩ + G32(t)|−,−, 1⟩, (7)
и
|Ψ(t)⟩Q1 Q2,0 = G13(t)|+,−, 0⟩ + G23(t)|−,+, 0⟩ + G33(t)|−,−, 1⟩ (8)
соответственно. Временные коэффициенты в формулах (7) и (8) есть
G12 = G13 = −
2ie 1
2 itξ) sin
h
1
2 t
p
8 + (−2ζ + δ)2
i
p
8 + (−2ζ + δ)2
,
Осман А., Фархутдинова А.Р., Башкиров Е.К. Влияние начальной атомной когерентности...
Othman A., Farhutdinova A.R., Bashkirov E.K. Influence of initial atomic coherence... 90 из 98
G22 = G23 =
1
4
p
8 + (−2ζ + δ)2
e−1
2 it

−δ+
√
8+(−2ζ+δ)2

×
×

−1 + eit
√
8+(−2ζ+δ)2

(2ζ − δ) +
q
8 + (−2ζ + δ)2 + eit
√
8+(−2ζ+δ)2
q
8 + (−2ζ + δ)2+
+2e
1
2 it

2ζ J+3α−δ+
√
8+(−2J+α+δ)2
q
8 + (−2 + δ)2

,
G32 = G33 =
1
4
p
8 + (−2ζ + δ)2
e−1
2 it

−δ+
√
8+(−2ζ+δ)2

×
×

−1 + eit
√
8+(−2ζ+δ)2

(2ζ − δ) +
q
8 + (−2ζ + δ)2 + eit
√
8+(−2ζ+δ)2
q
8 + (−2ζ + δ)2−
−2e
1
2 it

2ζ−δ+
√
8+(−2ζ+δ)2
q
8 + (−2ζ + δ)2

.
Для начальных состояний |+,+, n⟩ и |−,−, n + 2⟩ (n ≥ 0) временные волновые функции
системы могут быть представлены в следующем виде:
|Ψ (t)⟩Q1 Q2,n = Z11,n |−,−, n + 2⟩ + Z21,n |+,−, n + 1⟩ + Z31,n |−,+, n + 1⟩ + Z41,n |+,+, n⟩ , (9)
и
|Ψ (t)⟩Q1 Q2,n = Z14,n |−,−, n + 2⟩ + Z24,n |+,−, n + 1⟩ + Z34,n |−,+, n + 1⟩ + Z44,n |+,+, n⟩ (10)
соответственно. Коэффициенты Zi1,n (Zi4,n) могут быть получены из (5) путем замены Y2in на
Y1in (Y4in) (i = 1, 2, 3, 4).
Для начального состояния |−,−, 1⟩ временная волновая функция есть
|Ψ(t)⟩Q1 Q2,1 = G(t)
14 |−,−, 1⟩ + G(t)
24 |+,−, 0⟩ + G(t)
34 |−,+, 0⟩, (11)
где
G14(t) =
e−1
2 it(−δ+
√
8+(−2ζ+δ)2)(−2(−1 + eit
√
8+(−2ζ+δ)2
)ζ
2
p
8 + (−2ζ + δ)2
−
−
−δ +
p
8 + (−2ζ + δ)2 + eit
√
8+(−2ζ+δ)2
(δ +
p
8 + (−2ζ + δ)2))
2
p
8 + (−2ζ + δ)2
,
G24(t) = −
2ie 1
2 itξ sin
h
12tp
8 + (−2ζ + δ)2
i
p
8 + (−2ζ + δ)2
,
G34(t) = −
2ie 1
2 itξ sin
h
12
t
p
8 + (−2ζ + δ)2
i
p
8 + (−2ζ + δ)2
.
Наконец, для начального состояния |−,−, 0⟩ мы имеем
|Ψ(t)⟩Q1 Q2,0 = G44(t)|−,−, 0⟩, (12)
где G44(t) = 1.
Используя выражения (3)–(10), мы можем получить временную матрицу плотности для
полной системы "два кубита + мода поля" ρQ1,Q2,F (t) в случае теплового состояния поля
резонатора и когерентных состояний кубитов (2). Усредняя полную матрицу плотности по
переменным поля, мы можем получить редуцированную двухкубитную матрицу плотности
ρQ1,Q2 (t) = TrFρQ1,Q2,F (t) . (13)
В двухкубитном базисе
|−,−⟩ , |+,−⟩ , |−,+⟩ , |+,+⟩
матрица плотности (11) имеет вид
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2025. Том 31, № 1. С. 86–98
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2025, vol. 31, no. 1, pp. 86–98 91 из 98
ρQ1,Q2 (t) =


ρ11 ρ12 ρ13 ρ14
ρ∗
12 ρ22 ρ23 ρ24
ρ∗
13 ρ∗
23 ρ33 ρ34
ρ∗
14 ρ∗
24 ρ∗
34 ρ44


, (14)
где
ρ11 = |a|2 Σ
n=0
pn|Z41,n|2 + |b|2 Σ
n=1
pn|Z42,n−1|2 + bc∗ Σ
n=1
pnZ42,n−1Z∗
43,n−1 +
+ cb∗Σ Σ
n=1
pnZ43,n−1Z∗
42,n−1 + |c|2 Σ
n=1
pn|Z43,n−1|2 + |d|2 Σ
n=2
pn|Z44,n−2|2,
ρ12 = ab∗ Σ
n=1
pnZ41,nZ∗
22,n−1 + ac∗ Σ
n=1
pnZ41,nZ23,n−1+
+ bd∗ Σ
n=2
pnZ42,n−1Z24,n−2 + cd∗ Σ
n=2
pnZ43,n−1Z∗
24,n−2+
+ p1(bd∗Z42,0G∗
24 + cd∗Z43,0G∗
24) + p0(ab∗Z41,0G∗
22 + ac∗Z41,0G∗
23),
ρ13 = ab∗ Σ
n=1
pnZ41,nZ32,n−1 + ac∗ Σ
n=1
pnZ41,nZ∗
33,n−1 +
+ bd∗ Σ
n=2
pnZ42,n−1Z∗
34,n−2 + cd∗ Σ
n=2
pnZ43,n−1Z∗
34,n−2 +
+ p1(bd∗Z42,0G∗
34 + cd∗Z43,0G∗
34) + p0(ab∗Z41,0G∗
32 + ac∗Z41,0G∗
33),
ρ14 = ad∗ Σ
n=2
pnZ41,nZ∗
14,n−2 + p1ad∗Z41,1G∗
14 + p0ad∗Z41,0,
ρ22 = |a|2 Σ
n=0
pn|Z21,n|2 + |d|2 Σ
n=2
pn|Z24,n−2|2 +
+ bc∗ Σ
n=1
pnZ22,n−1Z∗
23,n−1 + cb∗ Σ
n=1
pnZ23,n−1Z∗
22,n−1 +
+ |c|2 Σ
n=1
pn|Z23,n−1|2 + |b|2 Σ
n=1
pn|Z22,n−1|2 +
+ p1|d|2|G24|2 + p0(|b|2|G22|2 + bc∗G22G∗
23) + p0(cb∗G23G∗
22|c|2|G23|2),
ρ23 = |a|2 Σ
n=0
pnZ21,nZ∗
31,n + |d|2 Σ
n=2
pnZ24,n−2Z∗
34,n−2 +
+ bc∗ Σ
n=1
pnZ22,n−1Z∗
33,n−1 + cb∗ Σ
n=1
pnZ23,n−1Z32,n−1 +
+ |c|2 Σ
n=1
pnZ23,n−1Z∗
33,n−1 + |b|2 Σ
n=1
pnZ22,n−1Z∗
32,n−1 +
+ p[1]|d|2G24G∗
23 + p[0](|b|2G22G∗
32 + bc∗G22G∗
33 + cb∗G23G∗
32 + |c|2G23G∗
33),
ρ33 = |a|2 Σ
n=0
pn|Z31,n|2 + |b|2 Σ
n=1
pn|Z32,n−1|2 + bc∗ Σ
n=1
pnZ32,n−1Z∗
33,n−1 +
Осман А., Фархутдинова А.Р., Башкиров Е.К. Влияние начальной атомной когерентности...
Othman A., Farhutdinova A.R., Bashkirov E.K. Influence of initial atomic coherence... 92 из 98
+ cb∗ Σ
n=1
pnZ33,n−1Z∗
32,n−1 + |c|2 Σ
n=1
pn|Z33,n−1|22 + |d|2 Σ
n=2
pn|Z34,n−2|2 +
+ p1|d|2|G34|2 + p0(|b|2|G32|2 + bc∗G32G∗
33 + cb∗G33G2
32 + |c|2|G33|2,
ρ34 = ab∗ Σ
n=1
pnZ31,nZ12,n−1 + ac∗ Σ
n=1
pnZ31,nZ13,n−1 +
+ bd∗ Σ
n=2
pnZ32,n−1Z∗
14,n−2 + cd∗ Σ
n=2
pnZ33,n−1Z∗
14,n−2 +
+ p1(bd∗Z32,0G∗
14 + cd∗Z33,0G∗
14) + p0(ab∗Z31,0G∗
12 + ac∗Z31,0G∗
13) +
+ p0(bd∗G32 + cd∗G33,
ρ44 = |a|2 Σ
n=0
pn|Z11|2 + |b|2 Σ
n=1
pn|Z12,n−1|2 + bc∗ Σ
n=1
pnZ12,n−1Z∗
13,n−1 +
+ cb∗ Σ
n=1
pnZ13,n−1Z∗
12,n−1 + |c|2 Σ
n=1
pn|Z13,n−1|2 + |d|2 Σ
n=2
pn|Z14,n−2|2 +
+ p1|d|2|G14|2 + p0(|b|2|G12|2 + bc∗G12G∗
13 + cb∗G13G∗
12 + |c|2|G13|2 + |d|2).
Здесь a = cos θ1 cos θ2, b = cos θ1 sin θ2, c = sin θ1 cos θ2, d = sin θ1 sin θ2.
Для двухкубитной системы, описываемой редуцированной матрицей плотности (12) в каче-
стве количественной меры перепутывания кубитов, может быть выбран параметр, называемый
отрицательностью [19; 20]. Указанный параметр можно представить в виде
ε = −2Σi
χ−
i , (15)
где χi – отрицательные собственные значения частично транспонированной по переменным
одного кубита редуцированной матрицы ρT1
Q1,Q2
(t).
Для когерентных начальных состояний кубитов рассматриваемая матрица имеет вид
ρT1
Q1,Q2
=


ρ11 ρ12 ρ∗
13 ρ∗
23
ρ∗
12 ρ22 ρ∗
14 ρ∗
24
ρ13 ρ14 ρ33 ρ34
ρ23 ρ24 ρ∗
34 ρ44


. (16)
Собственные значения матрицы плотности (14) могут быть найдены в аналитическом виде.
Однако они имеют настолько громоздкий вид, что в настощей работе указанные матричные
элементы и отрицательность вычислялись посредством численных расчетов.
2. Результаты расчетов
На рис. 2.1 представлена временная зависимость отрицательности ε(t) от безразмерного
времени γt для случая резонансного взаимодействия кубитов с полем резонатора, различных
значений параметра изинговского взаимодействия кубитов и фиксированного значения сред-
него числа тепловых фотонов в моде ¯n = 10. Сплошные кривые на рисунках соответствуют
когерентным начальным состояниям кубитов |Ψ(0)⟩Q1 = 1/
√
2(|+⟩1 + |−⟩1), |Ψ(0)⟩Q2 =
= 1/
√
2(|+⟩1 − |−⟩1), а штриховые линии — сепарабельным состояниям кубитов вида
|Ψ(0)⟩Q1 Q2 = |+,−⟩. Численное моделирование, показало, что временные зависимости отрица-
тельности ε(t) для случая ферромагнитного типа связи кубитов (ζ < 0) и антиферромагнитного
типа связи кубитов (ζ > 0) полностью совпадают для любых значений параметров модели.
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2025. Том 31, № 1. С. 86–98
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2025, vol. 31, no. 1, pp. 86–98 93 из 98
Из рисунка 2.1 хорошо видно, что в случае резонансного взаимодействия максимальная степень
перепутывания существенно возрастает при наличии начальной когерентности состояний куби-
тов. При этом зависимость максимальной степени перепутывания кубитов от безразмерного
параметра изинговского взаимодействия кубитов в случае когерентных начальных состояний
кубитов носит немонотонный характер. Для малых значений константы изинговского вза-
имодействия (0 ≤ ζ < 0.05) увеличение указанного параметра приводит к быстрому росту
максимальной степени перепутывания. В области же значений безразмерного параметра изин-
говского взаимодействия ζ > 0.05 увеличение интенсивности изинговского взаимодействия
практически не влияет на максимальную степень перепутывания кубитов. Указанный параметр
существенно влияет на период осцилляций Раби отрицательности.
a b
c d
Рис. 2.1. Зависимость отрицательности ε(t) от безразмерного времени γt для резонансного
взаимодействия кубитов и поля. Среднее число тепловых фотонов в моде ¯n = 0.01. Сплошные линии
соответствуют когерентному состоянию кубитов вида
|Ψ(0)⟩Q1 = 1/
√
2(|+⟩1 + |−⟩1), |Ψ(0)⟩Q2 = 1/
√
2(|+⟩1 − |−⟩1), а штриховые линии —
сепарабельному состоянию кубитов вида |Ψ(0)⟩Q1 Q2 = |+,−⟩. Безразмерный параметр изинговского
взаимодействия: ζ = 0 (a), ζ = 0.05 (b), ζ = 0.1 (c) и ζ = 1 (d)
Fig. 2.1. The negativity ε(t) vs scaled time γt for resonance interaction between qubits and field. The mean
thermal photon number in the mode ¯n = 0.01. The solid lines correspond to coherent initial qubits state
|Ψ(0)⟩Q1 = 1/
√
2(|+⟩1 + |−⟩1), |Ψ(0)⟩Q2 = 1/
√
2(|+⟩1 − |−⟩1), and the dashed lines correspond
to separable qunits state |Ψ(0)⟩Q1 Q2 = |+,−⟩. The scaled Izing couplings are ζ = 0 (a), ζ = 0.05 (b),
ζ = 0.1 (c) and ζ = 1 (d)
На рис. 2.2 представлена временная зависимость отрицательности ε(t) от безразмерного вре-
мени γt для случая нерезонансного взаимодействия кубитов с полем резонатора, когерентных
начальных состояний кубитов |Ψ(0)⟩Q1 = 1/
√
2(|+⟩1 + |−⟩1), |Ψ(0)⟩Q2 = 1/
√
2(|+⟩1 − |−⟩1),
различных значений безразмерного параметра расстройки ξ и фиксированных значений без-
размерной константы изинговского взаимодействия ζ и среднего числа тепловых фотонов в
моде ¯n = 10. Из рисунка 2.2 хорошо видно, что при увеличении расстройки влияние начальной
когерентности кубитов на степень их перепутывания существенно уменьшается.
Осман А., Фархутдинова А.Р., Башкиров Е.К. Влияние начальной атомной когерентности...
Othman A., Farhutdinova A.R., Bashkirov E.K. Influence of initial atomic coherence... 94 из 98
a b
Рис. 2.2. Зависимость отрицательности ε(t) от безразмерного времени γt для нерезонансного
взаимодействия кубитов и поля. Среднее число тепловых фотонов в моде ¯n = 10. Безразмерный
параметр изинговского взаимодействия ζ = 0.1. Начальное когерентное состояние кубитов
|Ψ(0)⟩Q1 = 1/
√
2(|+⟩1 + |−⟩1), |Ψ(0)⟩Q2 = 1/
√
2(|+⟩1 − |−⟩1). Безразмерный параметр расстройки
ξ = 0 (сплошная линия) и ξ = 1 (штриховая линия) (a), ξ = 5 (cплошная линия) и ξ = 15 (штриховая
линия (b)
Fig. 2.2. The negativity ε(t) vs scaled time γt for not-resonance interaction between qubits and field.
The mean thermal photon number in the mode ¯n = 10. The scaled Izing coupling ζ = 0.1. Initial coherent
qubits state |Ψ(0)⟩Q1 = 1/
√
2(|+⟩1 + |−⟩1), |Ψ(0)⟩Q2 = 1/
√
2(|+⟩1 − |−⟩1). Scaled detuning ξ = 0
(solid) and ξ = 1 (dashed) (a), ξ = 5 (solid) and ξ = 15 (dashed) (b)
Заключение
В настоящей работе мы нашли точную динамику модели, состоящей из двух идентичных
кубитов, нерезонансно взаимодействующих с модой теплового поля идеального резонатора, для
начальных когерентных состояний кубитов при наличии их прямого взаимодействия изингов-
ского типа. Полученное точное решение для квантового уравнения Лиувилля рассматриваемой
модели позволило нам рассчитать временную зависимость параметра перепутывания кубитов —
отрицательности для различных параметров иодели. Расчеты показали, что в случае резо-
нансного взаимодействия кубитов и поля наличие начальной когерентности кубитов приводит
к существенному возрастанию максимальной степени их перепутывания. При этом влияние
прямого взаимодействия кубитов на степень их перепутывания имеет важное значение для
малых значений параметра прямого взаимодействия Σ < 0.05γ. В случае нерезонансного взаи-
модействия кубитов с полем резонатора показано, что при увеличении расстройки влияние
начальной когерентности кубитов на степень их перепутывания существенно уменьшается.

About the authors

A. Othman

Samara National Research University

Author for correspondence.
Email: ali.oth@yandex.ru
ORCID iD: 0009-0004-8811-2521

postgraduate student of the Department of General and Theoretical Physics

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation

A. R. Farhutdinova

Samara National Research University

Email: adely.010k@gmail.com
ORCID iD: 0009-0006-2391-6320

student of the Group 4401-030302D

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation

E. K. Bashkirov

Samara National Research University

Email: bashkirov.ek@ssau.ru
ORCID iD: 0000-0001-8682-4956

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor, professor of the Department of General and Theoretical Physics

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation

References

Supplementary files