Method of constructing logical-event computational models of transforming social information processes

Full Text

Введение
В статье рассмотрим проблему методологии моделирования, связанную с тем аспектом,
что непрерывное развитие в реальных биосистемах и социоинформационном пространстве —
достаточно ограниченное во времени явление. Плавно протекающие процессы в экодинамике
довольно редки и представляют скорее исключение, которое на самом деле нельзя считать
общим случаем. Типичными при взаимодействии организмов и их среды являются процессы
с изменениями: со стадийностью, пороговыми состояниями и событийными переходными ре-
жимами [1]. Стадийное развитие процессов с резкими переходами в системе взаимодействия
социального, биофизического и информационного пространства, как, например, стадии выра-
ботки иммунного ответа при презентации антигенов мутировавшего вируса, требует изучения
логики изменений. Для демографии характерны ступенчатые диаграммы смены поколений, так
как в человеческом социуме отмечается явление периодов значительного роста рождаемости
baby boom и социологи говорят про поколения "беби-бумеров". За беби-бумом часто следует
Переварюха А.Ю. Метод формирования логико-событийных моделей...
Perevaryukha A.Yu. Method of constructing logical-event computational models... 52 из 63
демографическая депрессия. Проходит старение населения эпохи взрыва рождаемости, жив-
ших в условиях высокой конкуренции начиная с переполненного родильного дома. B Японии
такой пороговый эффект отмечен в 2007 г. как "выпуск детей Данкай"1 — выхода на пенсию
самого массового поколения. Как следствие смены трендов на графике2, где отражаются те-
кущая смертность и рождаемость новых поколений, мы видим "крест смерти когда кривая
убыли вырываемся выше, чем линия воспроизводства. Важный аспект проблемы прогнозиро-
вания в том, что подобные экстремальные явления эпизодические и скоро завершаются, как
фронт скоро распадающейся популяционной волны при стремительной инвазии камчатского
краба в Норвежском море. Другой наглядный пример — очередная весенняя волна активности
COVID-19 в 2025 г. при появлении мутировавшего штамма LB.8. Даже длившиеся пять лет
волны заражений коронавирусом оказываются невечными, так как популяционный иммунитет
медленно и неуклонно преодолевает кризис. Притом что новые штаммы возникают регулярно,
они уже не столь заразны и вызывают только локальные вспышки — вирус SARS-CoV-2 вошел
в состояние эволюционного цугцванга. Пандемия COVID-19 поставила перед математической
биологией теоретическую проблему, так как известные эпидемические модели "SIRS-схемы"
оказались несостоятельны в прогнозах завершения активности вируса и строились без учета
многих событийных факторов, импульсной эволюции возбудителя и гетерогенности иммунного
ответа.
1. Теоретическая проблема моделирования переходной
экодинамики
Часто для ограниченного и регулируемого плотностью роста группы организмов использу-
ют "логистические уравнения", забывая, что это феноменологическое описание и справедливое
для простых систем в условиях равновесия со средой колонии микроорганизмов при фиксиро-
ванном поступлении питательных веществ. Описываемую гладкими кривыми динамику для
любых начальных условий ∀N(0) > 0 могут демонстрировать простейшие размножающиеся
делением организмы в лабораторных условиях. Если в колонию лабораторных бактерий внести
вирус-бактериофаг, то будет запущен переходный и нестационарный режим существования
эволюционирующих видов [2]. Возникший после инвазионного кризиса процесс развивается
совсем не так, как предсказывает другая известная гладкая модель осцилляций Лотки — Воль-
терра. В реальных экспериментах после кризиса и переходных колебаний будет с большой
вероятностью достигнуто новое равновесие из-за событийного эффекта — действия возникшей
у одной бактерии и переданной другим эволюционной адаптации. В альтернативном сценарии
последует полная гибель колонии бактерий, если адаптации к вирусу вовремя не последует,
так как успех выработки ответа имеет некоторую вероятностную составляющую. Исследова-
ния механизмов адаптации вирусов и бактерий в лабораторных опытах привели к открытию
знаменитого метода геномного редактирования CRISPR/Cas-9. Эта эндонуклеаза изначально
исполняла функцию настраиваемого по сигнатуре участка ДНК бактериального антивиру-
са. Бактерии приобретали способность распознавать и разрывать чужеродную ДНК. Теперь
ученые с помощью этого антивирусного механизма могут исправлять опасные генетические
дефекты и создавать ГМО-популяции. Соответственно, бактериофаг должен накапливать му-
тации, уклоняясь от связывания с белком Cas-9 бактерий, либо вирус исчезнет в эксперименте,
если вирус попал в эволюционный тупик, сравнимый с шахматным цугцвангом и все возможные
мутации ухудшают его приспособленность. Именно поэтому казавшаяся когда-то перспектив-
ной терапия с бактериофагами имеет ограниченную эффективность. Проблема моделирования
в том, что лабораторные системы противоборства бактерии – бактериофаг до и после воз-
никновения опосредованной CRISPR-адаптации существенно отличаются и эти ситуации не
описываются одними модельными уравнениями.
1В Японии Dankai no Sedai называют родившихся в годы необычно высокой рождаемости 1947–1949 г.
2График демографической пирамиды Японии с двумя поколениями Dankai представлен в статье "Википедии".
URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Demographics_of_Japan.
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2025. Том 31, № 1. С. 51–63
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2025, vol. 31, no. 1, pp. 51–63 53 из 63
Устойчивое циклическое поведение в реальных экспериментах с небыстро эволюциониру-
ющими антагонистами получить довольно проблематично, что было показано 1934 г. Γ.Φ. Γаузе
[3] в серии лабораторных экспериментов "хищник/жертва". Возникшие колебания у популяций
двух видов были недолгими. Опыты заканчивались последовательной их гибелью и нулевым
равновесием. Однако известно, что в тропических лесах, где в почве конкурируют сотни видов
простых организмов, поддерживается стабильная ситуация. Масштабные вспышки численности
вредителей и знаменитые "циклы леммингов" характерны для северных широт, где биоразно-
образие невелико, а лимитирующий фактор — низкая скорость восстановления растительности.
В плотном тропическом сообществе ни один новый вид-хищник не может размножиться так
быстро, чтобы уничтожить вид-жертву, так как его избыточная репродуктивная активность
быстро компенсируется. У эффективных видов-паразитов появляются свои паразиты второ-
го порядка. После начала инвазии в адаптивную среду изменяются не только параметры, но
и форма регуляции процесса, где важную роль играет фактор запаздывания реакции. Так
хрестоматийная модель приводит к противоречивому выводу, что в простой системе может
сохраняться стабильный циклический режим. В реальности стабильность сообщества видов
растет с увеличением контуров обратных связей, но при увеличении фазового пространства
вольтерровских моделей как раз возможно получение сложной неупорядоченной динамики и
апериодических колебаний.
При возникновении эпидемий и инвазий развиваются очень разнородные по своим динами-
ческим признакам процессы, которые не описываются одним изначально заданным набором
уравнений. Факторы противодействия волатильны и изменчивы, так как виды-агрессоры и сре-
да их распространения претерпевают разнообразные эволюционные изменения. В результате
конкурентной борьбы возникают специфические адаптации, которые необходимо учитывать
при построении модели с алгоритмом переопределения структуры. Из описанных противоречий
возник парадоксальный принцип управляемой экодинамики: чтобы получить более простое
поведение саморегулируемой биосистемы, эту систему необходимо усложнить.
В статье мы продолжим развивать ранее предложенные в серии работ в журнале СГУ [4]
методы гибридного моделирования для специфических биофизических явлений [5] и пороговых
процессов экодинамики [6]. Для разных объектов и ситуаций автором использовались различ-
ные классы моделей, как дискретные, так и непрерывные. Для задач описания структуры
взаимодействия процессов в Каспийском море в цепочках передачи воздействия [7] и установле-
ния роли факторов в деградации биоресурсов Каспия модифицирован формализм когнитивных
графов [8]. Цель настоящей работы — разработка метода моделирования воспроизводства по-
пуляций в специфическом случае адаптации инвазионного вида при образовании смежных
поколений с гетерогенным жизненным циклом. По опыту автора актуальная задача модели-
рования биосистем требует развития оригинального подхода, так как в противном случае не
потребовала бы прогностических расчетов. Понятие гибридности модели стало слишком ши-
роким, потому мы говорим о логико-событийном и динамически переопределяемом способе
построения вычислительных структур.
2. Обоснованность трансформаций поведения дискретных
моделей социобиологических систем
Рассмотрим теоретически важные свойства и нелинейные эффекты динамики траектории,
возникавшие в заданных в форме итерационной динамики экодинамических моделях. Это
популярный формализм, так как поведение [9] итераций значительно разнообразнее при малой
размерности фазового пространства. Варианты фазовых портретов итерационных моделей
обширны: точки равновесия, циклы, несколько типов аттракторов и репеллеров в форме
канторовского множества — компактного, совершенного и вполне разрывного множества, где
нет ни внутренних, ни изолированных точек. При этом есть несколько механизмов образования
в итерационной динамике таких фрактальных объектов. Более того, фрактальные объекты
как аттракторы Λ : f (Λ) ∈ Λ, ∂Λ /∈ Λ могут моментально терять свойство инвариантности
Переварюха А.Ю. Метод формирования логико-событийных моделей...
Perevaryukha A.Yu. Method of constructing logical-event computational models... 54 из 63
∃xk ∈ Λ : f (xk) /∈ Λ, соприкасаясь со своей границей, при этом инвариантная граница области
притяжения ∀x0 ∈ Ω : limn→∞ f n(x0) ∈ Λ сама тоже может быть канторовским множеством.
Для итераций xn+1 = f (|.{.z.}
n
(x0) . . .) установлены свойства хаотизации поведения, которые
универсальны и относятся к целым классам отображений отрезка в себя. Проблема хаотизации
в том, что если один из режимов поведения итераций получает трактовку, тo c этим режимом
ассоциирован ряд избыточных бифуркаций или кризисов хаотического аттрактора Λ. Хаоти-
зация в имитационном сценарии может внезапно завершиться устойчивым циклом периода
p ̸= 2i, i = 0 . . .∞.
Метод моделирования поколений в итерациях c возмущением Ξn: xn+1 = ψ(xn) − Ξn выгла-
дит нагляднее. В истории известны примеры неудачного применения для оптимизации промысла
запасов рыб модели на основе нелинейной функции связи существующего запаса взрослых с
нормой вылова q и производимого запасом пополнения, например xn+1 = axn exp (−bxn), a > 1,
0 < b < 1, если глобальная точка x∗ = ψ(x∗), 1 < a < ˆa, ∀x0 > 0, limn→∞ ψ(x0) = x∗ теряет
устойчивость при a = e2 + ϵ, |ψ′(x∗)| > 1. Именно в уже известных популяционных моделях бы-
ла обнаружена цикличность и теоретически исследована хаотизация траектории, определяемая
как сценарий каскада бифуркаций удвоения периода p = 2i, i → ∞, a = a∞ < ∞ c общими для
всех итераций константами M. Φейгенбаума [10]. B параметрических диапазонах a > a∞ наблю-
даются переходы хаос → цикл, образующие бесконечное число "окон периодичности" в силу
свойства существования n пар точек пересечения c прямой ψ(x) = x у любой n раз вычислен-
ной унимодальной функции ψn(. . . ψ(x) . . .). Хаотизация — следствие возникшего замкнутого
множества, не содержащего никаких внутренних и изолированных точек. В фазовой плоскости
итераций такое множество образовано последовательной процедурой из-за несчетного числа
неустойчивых точек всех 2i-циклов и всех их прообразов: F =
S2n
j ψ−n(x∗j ). Образование нигде
не плотного множества из-за исключения континуума периодических траекторий всех пери-
одов — сугубо математическое явление. Для прогнозов эксплуатации популяций требуется
расширить свойства модели. Актуально было бы получить y ψ(x) две стационарные точки
0 < x∗
1 < xmax < x∗
2 и ненулевую горизонтальную асимптоту, сделав поведение ψn(x0) менее раз-
нообразным и, значит, нехаотическим. Целесообразно для моделирования реальности нарушить
данные в работе [11] рамки условий сценария с p = 2i, i → ∞ с ∃x, 0 < x < xmax : Hψ(x) > 0,
избегая таким способом для унимодальных итераций с f ′(x) ̸= 0, x ̸= xmax основного критерия
неограниченности каскада удвоений — отрицательности шварциана:
Hψ =
ψ′′′(x)
ψ′(x)
−
3
2

ψ′′(x)
ψ′(x)
2
< 0.
Для популяционных циклов x∗
i < x∗
i+1 у видов с кратким онтогенезом характерен максимум
при завершении периода, но циклы после бифуркаций удвоения p = 2i+1 нужным располо-
жением точек x∗
1 < x∗
i+1 < x∗
p,
p−1
Σ
i=1
x∗
i < x∗
p обладать не могут. По обходу точек различают
возникшие при разных значениях a циклы p = 4 × 2 и p = 24. Согласно теореме Шар-
ковского [12], в модели возможно получение циклов периодов p ̸= 2i, но в малых парамет-
рических диапазонах из a ∈ [1,∞] и множестве: A =
S∞
p=3{Ap} периодических окон при
Ap = [ap, ap∗] → 0, p = 3 . . . → ∞. Границы параметрического окна [ap, ap∗] цикла периода p
среди хаотических интервалов [ap, ap∗] → max при p = 3. Порядком чисел A.H. Шарковского
указано сосуществование периодов циклов, и нечетные периоды следуют после всех четных [13].
Порядок чисел сосуществующих циклов начинается со всех степеней числа 2, но заканчивается
на цикле p = 3. В тот момент, когда получаем в имитационном эксперименте цикл длины три,
то, значит, уже существуют циклические траектории всех периодов при данном значении пара-
метров (но эти циклы в данной конфигурации параметров неустойчивые). В имитационном
сценарии при любом возмущении коэффициентов траектория станет перемежающейся, так как
сам цикл длины три в рамках периодического окна претерпевает удвоения с возникновением
четных циклов, но не степеней двойки. Траектория будет практически ламинарной в окрестно-
стях точек этих циклов, но внезапно покидающей их. Сущностный вывод в том, что модель
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2025. Том 31, № 1. С. 51–63
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2025, vol. 31, no. 1, pp. 51–63 55 из 63
для регулируемого процесса с циклом нечетного периода при небольшом возмущении сможет
демонстрировать любое поведение со спонтанными и резкими переходами между хаосом и цик-
лами в "окнах периодичности" которые существуют для каждого периода. Для практических
задач прогнозирования такой вариант поведения не является достоинством математического
аппарата, и на самом деле более актуальны модели для описания пороговой эффективности
воспроизводства смежных поколений промысловых популяций и нелинейного эффекта Олли,
чем хаотических режимов. Согласно расширенным результатам о потере устойчивости возни-
кающих циклов в работе "Период три приводит к хаосу" [15], популяция с нечетным циклом
не будет существовать стабильно в волатильной среде, хотя число поколений p ̸= 2i до пика
активности встречается часто у мелких млекопитающих. Колеблющиеся популяции с циклом
из трех поколений известны [14], но следует ли из этого вывод о нестабильности и хаотично-
сти этой биосистемы? Многие популяции действительно демонстрируют переходные режимы,
стадии повышенной активности, сменяющиеся депрессиями, но эти явления не подходят под
признаки описанных качеств итерационной динамики.
Таким образом, некоторые из свойств y популярного математического аппарата в популяци-
онной интерпретации избыточны, так как приводят к непредсказуемому увеличению сложности
фазовых портретов и вариативной последовательности бифуркаций и кризисов аттрактора.
B результате свойства моделей управляемых популяционных процессов при некоторых наклады-
ваемых на f () условиях в сущностном рассмотрении проблемы оказываются противоречивыми.
Решения и выводы при сопоставлении расчетов при возникновении каскада бифуркаций c
реальностью выходят из критериев применимости и единицы составляющих биосистем все-
гда счетные множества, а популяция представляется как конечное множество различимых
объектов. Имитационное представление цикличности для реальных ситуаций экодинамики необ-
ходимо модифицировать с целью соблюдения действительно существующих популяционных
ограничений.
3. Интерпретация свойств колебаний при включении
запаздывания
Запаздывающая регуляция — важное свойство многих биофизических процессов, напри-
мер выработки иммунного ответа. Включение запаздывания xn+1 = ψ(xn)φ(xn−i) или xn+1 =
= axn exp(−
mΣ
i=0
bjxn−j) − qxn нарушает важный критерий из теоремы Дж. Синджера о един-
ственности ω-предельного множества траектории унимодальной ψn(x0), но появление альтерна-
тивных притягивающих циклов создает динамический эффект в тонком диапазоне параметров.
Включение запаздывания — удобный способ описания цикличности в непрерывных моделях.
Флуктуации численности возникали у изолированных популяций в контролируемых усло-
виях лабораторных опытов из-за конкуренции поколений за медленно возобновляющиеся
ресурсы [16]. Сложные колебательные и апериодические режимы возможно получить в однови-
довых непрерывных моделях c включением нелинейной запаздывающей регуляции dN/dt =
= rF(N(t − τ)) − F(N(t − h), N(t)). Логистическое уравнение dN/dt = rN(t)(1 − N(t)/K) c
монотонным приближением к порогу ниши ∀t, r, N(0) < K : N(t) ⩽ K, limt→∞ N(r, t) = K ак-
туально для обобщения с целью моделирования сценариев регулярных колебаний, но не для
пульсирующих вспышек и агрессивных инвазий. Например, можно получить затухающий
циклический режим в варианте уравнения Хатчинсона с зависящей от плотности популяции
обратной связью:
dN
dt
= rN(t)
(1 − N(t − τ)
K
− θ
N(t)2
(E2 + N(t − τ1)2)
.
Для описания динамики нерегулярных колебаний лабораторных насекомых при сосуще-
ствовании имаго и всех стадий личинок предложено уравнение [17] со сосредоточенным запаз-
дыванием h и c постоянной смертностью q:
Переварюха А.Ю. Метод формирования логико-событийных моделей...
Perevaryukha A.Yu. Method of constructing logical-event computational models... 56 из 63
d N
d t
= rN(t − h) exp (−bN(t − h)) − N(t)q, r, b, q, τ > 0. (1)
Установлено [18], что в решении (1) c ростом rh появляется цикл релаксационной формы и при
увеличении значений апериодическая динамика большей амплитуды. Подобные (1) уравнения со-
храняют важный недостаток для популяционных прогнозов: ∃ˆt, limt→ˆt min N∗(rh > B, t) = 0+ϵ,
так как если минимумы цикла N∗(rh) стремятся к нулю, то длительный режим флуктуаций
численности нереалистичен. При небольших rh в (1) можно получить временное перенасыщение
со стабилизацией роста: ∃t, r, h∀N(0) : N(t, rh) > K : limt→∞ N(rh, t) = K. Величина экологиче-
ской ниши K нетождественна действующему уровню насыщения лабораторных условий K.
C целью моделирования ситуации появления адаптивного воздействия у атакуемой все-
ленцем среды предложим модификацию модели (1) с −F(N(t − h)) и c действующим на
биотическую среду порогом A:
d N
d t
= rN(t − h) exp (−bN(t − h)) −
θN2(t − h)
(A − N(t − h))2 . (2)
Предложенная модификация (2) описывает актуальную для инвазий ситуацию — однократного
прохождения состояния малой, приближающейся к критическому порогу выживания численно-
сти, так называемый экологический эффект "бутылочного горлышка". Кризисные явления
при инвазиях связаны со стремительно адаптивно возникшим ростом активного биотического
противодействия, что можно использовать для выработки мер подавления опасных видов. Фор-
ма нелинейности в разных экологических ситуациях должна быть разная. Для задач анализа
инвазий логично подбирать соответствующие ситуации функции F(N − l(h)), чем менять и
дополнять параметры модели. Свойства реальных вспышек трудно описать даже моделями
с F(N(t − h1), . . . , (N(t − l(hj))). Инвазионные процессы состоят из нескольких стадий и ва-
риативны, потому целесообразно включать алгоритмически переопределяемые структуры в
правых частях уравнений.
4. Метод непрерывно-событийного моделирования
последовательности поколений
На основе проведенного анализа свойств и недостатков итераций и уравнений типа
dN/dt = rF(N(t − τ)) − F(N(t − h), N(t)) предложим вариант непрерывной вычислитель-
ной модели переходных популяционных режимов. Оригинальная гибридная структура должна
включать аспекты с событийными трансформациями функций нелинейной регуляции воспроиз-
водства поколений, а не только параметров в правых частях уравнений с N(t−h). Практическая
задача прогноза активности чужеродных насекомых в бореальных лесах определила альтерна-
тивный итерациям метод представления череды поколений — формализацию скорости убыли
поколения от t = 0 на стадиях до полового созревания и нового размножения. Учтем есте-
ственные факторы жизни популяций и включим развитие каждого поколения непосредственно.
Из-за долгой зимней диапаузы "спячки" длительность онтогенеза поколений различна (обо-
значим эти интервалы времени как τ или T ) в зависимости от сезона и, более того, бывает
непостоянной между сезонами, так как зависит от погоды. Логично, что для сравнения сцена-
риев инвазий и вспышек эта длительность послужит управляющим параметром. Событийные
модели выделяют из пространства состояний предикативно по истинности набора условий
точки трансформаций. Точки разрыва в расчетах правых частей легче задать алгоритмом с
внешними воздействиями, но мы предлагаем рассчитывать моменты перехода из других связан-
ных уравнений. Метод моделирования позволит разделить момент размножения и дальнейшую
убыль полученного поколения Nn(tn = 0), которая замедляется к моменту размножения и
появления другого сезонного поколения Nn+1(tn+1 = 0). Меняя в сценарных экспериментах
величины τ или T , можно оценить влияние продолжительности зимовки находящихся в спячке
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2025. Том 31, № 1. С. 51–63
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2025, vol. 31, no. 1, pp. 51–63 57 из 63
особей зимнего поколения из-за погодных условий на частоту появления генераций высокого
уровня выживаемости и необычных вспышек численности летнего.
Традиционно у насекомых с полным циклом превращений поколения не перекрываются и
имеют различные условия развития, что не выполнялось в упомянутых экспериментах Никол-
сона. Соответственно, у них проявляются иные механизмы, контролирующие формирование
итогового половозрелого поколения. Свойства различаются биофизически: так, самки зимних
сезонных поколений часто обладают разной плодовитостью и миграционной активностью. От-
ложенные яйца, нимфы или куколки зимнего поколения находятся в долгом анабиозе до весны.
Их поколения-сменщики развиваются в весенних условиях. Учтем, что интервал времени меж-
ду появлением половозрелых генераций может не быть постоянным. Учет численности опасных
насекомых проводят по вредящей стадии, обычно нимф или гусениц старших возрастов, но
не по взрослой стадии. Статистикой фиксируется состояние поколения N(T) в определенный
момент T незавершенного цикла развития. Во время запуска вспышек численности вредите-
лей состояние популяции оценивается мониторингом по размерам пораженных площадей леса.
Предложенная методика расчетов сопряженных краевых задач на последовательности интер-
валов времени — это естественное предикативное описание для анализа развития насекомых,
которые отличаются выраженной стадийностью развития, и их поколения строго последова-
тельные. Например, у цикад поколения появляются на поверхности, размножаются не каждый
год, и такой жизненный цикл позволяет уходить от атак специфических паразитов.
5. Структура уравнений разрывного жизненного цикла
Исследовать нелинейные особенности эффективности размножения можно, рассчитывая
убыль численности каждого поколения N(0) до его размножения на интервале времени, раз-
дельно учтя факторы смертности в модели динамики плавной убыли:
dN
dt
= −(αN(0) + β)N(t), t ∈ [0, τ], (3)
где α — компенсирующий избыток яиц параметр убыли; β — коэффициент независимой от
плотности смертности.
Для весеннего поколения сильнее зависимость его убыли от начальной численности
N(0) = λN(T ) из-за действии негативных факторов активности естественных врагов. На
развивающееся весной поколение оказывают давление массовые паразитические перепончато-
крылые, избирательно атакующие ранние стадии развития. Действие паразитов становится
эффективным при высокой плотности жертв, что характерно для планового выпуска паразити-
ческих наездников против бабочек-вредителей. Можно было подавить выпусками выращенных
миниатюрных ос всех вредных для культурных растений чешуекрылых, но самих наездни-
ков при их высокой плотности атакуют еще более мелкие паразиты отряда веерокрылые — в
природе системы регуляции многоуровневые.
Непосредственное интегрирование (3) даст унимодальную функцию, свойства итераций
которой полностью рассмотрены нами в § 1:
Z N(t)
N(0)
d N
−(αN(0) + β)N(t)
=
Z t
0
d t, ln
N(0)
N(t)
= t(αN(0) + β), N(t) =
N(0)
exp (t(αN(0) + β))
.
Для сценариев рассчитаем N(0) из плодовитости, а время определено длиной стадий. Важно,
что непрерывную модель (3) легче целенаправленно модифицировать и избегать ee избыточного
поведения.
Включим в модель то обстоятельство, что на выживаемость личинок насекомых влияет
скорость развития из-за необходимости своевременного перехода на их следующую стадию
онтогенеза. Учтем, что способность к избеганию атак доминирующего паразита сопровождается
достижением стадии развития, переменами физиологии и поведения, и включим показатель
размерного развития w(t):
Переварюха А.Ю. Метод формирования логико-событийных моделей...
Perevaryukha A.Yu. Method of constructing logical-event computational models... 58 из 63
dN
dt
= −(αF[w(t)]N(0) + β)N(t), t ∈ [0, τ]. (4)
Скорость роста w(t) = l(N−k(t)), k /∈ Z отражается на выживаемости поколения в благопри-
ятных условиях и при меньшей продолжительности онтогенеза. Связь темпов роста личинок
F[w(t)] будет разной для поколений, потому выберем две формализации F.
Примем, что метаморфозы могут происходить только после накопления достаточного
уровня весового роста w(ts). Средняя обеспеченность кормом группы особей, в свою очередь,
зависит от N(t) и часто предшествующего N(t − h), что определяет динамику темпов роста
особей поколения. Обоснован метод взаимосвязанного описания скорости убыли поколения в
зависимости от темпов роста. Для скорости роста w(t) многих видов на периоде жизни после
личинки известно балансовое уравнение активности анаболизма ζ и катаболизма σ:
dw
dt
= ζ 3
q
w(t)2 − σw(t), w(0) = w0.
Балансовое уравнение хорошо описывает рост ряда животных на асимптотике приближения к
w → W∞, но исключая период раннего онтогенеза для видов со стадиями жизни и метамор-
фозами. Для рыб или насекомых данное уравнение необходимо модифицировать. Достаточно
сильно действует влияние скученности особей, и первые стадии развития проходят при эндоген-
ном питании. При увеличении плотности возникает асимметричное распределение размерной
структуры популяции, остаются либо очень крупные, либо слишком мелкие особи [20], что
влияет на размножение.
6. Структура уравнений для динамики первой генерации
С целью алгоритмического описания структуры с переходами необходимо описание изме-
нения поколений от момента его генерации до его единственного момента репродуктивной
активности. Опишем динамику убыли численности поколения на интервале t ∈ [0, τ] объеди-
ненными в систему уравнениями c учетом оптимального роста bw:


dN1
dt
= −
 
α
s
bw
w(t)
N(0) + β
!
N(t),
dw
dt
= ζ
w(t)2/3
p
N(t)
− σw(t).
(5)
В сегменте модели (5) включение запаздывания из-за исчерпания пищевых ресурсов неакту-
ально, так как темп пополнения ресурсов питания в этой фазе обычно компенсирует активное
потребление [21]. В начале расчетов из-за включения N(0) убыль в (5) очень стремительна.
7. Структура уравнений для динамики второй сезонной
генерации
Смежное поколение испытывает другие факторы давления, что отразим в структуре.
Синхронизированная с первичной численностью атака паразитов — короткое сезонное явление
[22]. Опишем выживаемость второго поколения t ∈ [0, T ] системой уравнений, связанной по
начальным условиям с (5) и оптимальным значением размерного развития ew для зимующего
поколения: 


dN2
dt
= −

α
q
( ew − w(t))2N(t) + β

N(t − h),
dw
dt
=
Q
3 p
N2 + ζ
.
(6)
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2025. Том 31, № 1. С. 51–63
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2025, vol. 31, no. 1, pp. 51–63 59 из 63
В сегменте (6) w(t) отражает уровень размерного развития поколения, влияющий на увеличение
пищевых потребностей и действующий негативно при возможном исчерпании пищевых ресурсов.
Q — параметр, учитывающий ограниченность количества доступных ресурсов; ζ — параметр,
учитывающий ограничение темпов развития, не зависящее от численности, и отражающий
уровень конкуренции за ресурсы [23]. α — аналогично коэффициент смертности от скученности,
но при N(t). β — коэффициент независимой смертности, учтем небольшое запаздывание h.
Начальные условия: N(0) = λN(τ),w(0) = w0, λ — средняя плодовитость особей. Вспышку в
форме краткого пика активности в предложенной модели запускает повышенная выживаемость
зимующего поколения при сокращении времени зимовки на фоне сниженного конкурентного
фактора для весеннего поколения при его высокой плодовитости, но исчерпание ресурсов
прошлой генерацией снижает возможности массового размножения. Перспективным вариантом
развития метода видится отдельная модель восстановления ресурсов после вспышек массовых
размножений, за которые отвечает второе поколение.
Выводы
Таким образом, в данной работе нами проведен анализ интерпретируемости и границ био-
логической адекватности свойств бифуркационной динамики функциональных унимодальных
итераций xn+1 = ψxn и показаны пути развития противоречивых форм поведения траектории
при смене циклических и хаотических режимов. Предложена методика построения сопря-
женных гибридных структур уравнений для расчетов численности смежных поколений на
последовательных временных интервалах разной длительности. B вычислительной среде прово-
дится стыковка решений на последовательных кадрах гибридного T = [0, τ]i
S
[0, T ]i времени.
Отрезками траекторий, эволюционирующих по разным законам, можно описывать нерегуляр-
ную смену сезонов с высокой и низкой численностью и пилообразные вспышки активности.
Организация гибридных структур естественно следует экологии зимующих видов со стадиями
развития [24]. Метод представления модели с событийными переходами между вариантами
правой части (5)↔(6) формализует различия плотностной и паразитической регуляции. Фак-
торы выживаемости всегда меняются при смене сезонов, в том числе играет роль плотность
особей как зависящая или от N2(t) текущей, или от исходного обилия N(0), как включено
в уравнение для динамики выживаемости всегда более обильной летней генерации. Сфор-
мирована модель динамики выживаемости слабо конкурирующих поколений с различными
условиями метаморфозов стадий и продолжительностью онтогенеза, раздельно описывающая
действие плотностной регуляции на выживаемость особей во взаимосвязи с темпами их развития. Предложенный метод актуален для моделирования динамики многих стадийных процессов и разрывных биофизических явлений как развития регулируемого цитокинами иммунного ответа, проходящего как стадии презентации антигена, активации и пролиферации лимфоцитов, так и фазу подавления выработки ответа и торможения воспалительных реакций средствами самой иммунной системы.

About the authors

A. Yu. Perevaryukha

Saint Petersburg Federal Research Center of the Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: madelf@rambler.ru
ORCID iD: 0000-0002-1049-0096

Candidate of Technical Sciences, senior research worker of the Laboratory of Applied Informatics

Russian Federation, 39, 14-Line of the Vasilyevsky Island, Saint Petersburg, 199178, Russian Federation

References

Supplementary files