On the arithmetic nature of coefficients of multiplicative eta-functions

Full Text

1. Функции МакКея
Целью статьи является изучение связей между коэффициентами функций МакКея и
гроссен-характерами Гекке мнимых квадратичных полей. Эти функции были впервые описаны
в статье [1]. Мы используем факты из теории модулярных форм из монографий [2–4] и
статьи [5] и факты теории чисел из книг [6–8]. В таблицах допускается типичное сокращение:
вместо функции Πsj
=1 ηtj (ajz) записывается Πsj
=1(ajz)tj . Теоремы 1.1.1, 2.2.1 цитируются, все
остальные результаты статьи получены автором. В различных задачах полезно знать первые
коэффициенты функций МакКея, которые мы полностью приведем в первом параграфе. Далее
мы будем использовать утверждения, приведенные в монографии [2].
Теорема 1.1.1.
Пусть
f (z) =
∞Σ
n=1
a(n)qn и g(z) =
∞Σ
n=1
b(n)qn, f (z), g(z) ∈ Sk(Γ0(N), χ)
для любого n,
1 ≤ n ≤ M, M =
kN
12 Π
p|N

1 +
1
p

, a(n) = b(n).
Тогда f (z) = g(z).
Для построения таблиц первых коэффициентов мы используем следующие тождества
для рядов Фурье мультипликативных эта-поизведений веса 1. Эти тождества получаются из
пентагональной формулы Эйлера [9]:
Воскресенская Г.В. Об арифметической природе коэффициентов мультипликативных эта-произведений
Voskresenskaya G.V. On the arithmetic nature of coefficients of multiplicative eta-functions 8 из 21
η(23z)η(z) =
∞Σ
m,l=−∞
(−1)m+lq (6m+1)2+23(6l+1)2
24 , η(22z)η(2z) =
∞Σ
m,l=−∞
(−1)m+lq (6m+1)2+11(6l+1)2
12 ,
η(21z)η(3z) =
∞Σ
m,l=−∞
(−1)m+lq (6m+1)2+7(6l+1)2
8 , η(20z)η(3z) =
∞Σ
m,l=−∞
(−1)m+lq (6m+1)2+5(6l+1)2
6 ,
η(18z)η(6z) =
∞Σ
m,l=−∞
(−1)m+lq (6m+1)2+3(6l+1)2
4 , η(16z)η(8z) =
∞Σ
m,l=−∞
(−1)m+lq (6m+1)2+2(6l+1)2
3 ,
η2(12z) =
∞Σ
m,l=−∞
(−1)m+lq (6m+1)2+(6l+1)2
2 .
Это позволит найти коэффициенты функций МакКея веса 1, от форм веса 1 можно перехо-
дить к формам более высоких весов. В частности, мы используем следующий факт, доказанный
автором в статье [10]: если функция g(z) — мультипликативное η-произведение веса k ≥ 2,
g(z) ̸= η2(8z)η(4z)η(2z)η2(z), η4(4z)η2(2z)η4(z),
тогда существует такое мультипликативное η-произведение f (z) веса k2
, что g((l + 1)z) =
= f (lz) f (z), где l + 1|24. Используя это, можно построить таблицы 1.1, 1.2, 1.3.
Таблица 1.1
Table 1.1
a(n) 23 · 1 22 · 2 21 · 3 20 · 4 18 · 6 16 · 8 12 · 12 64 82 · 42 102 · 22 12 · 6 · 4 · 2
a(1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
a(2) - 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
a(3) - 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 - 2 - 1
a(4) 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0
a(5) 0 -1 0 -1 0 0 0 0 -2 - 1 - 2
a(6) 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
a(7) 0 0 -1 0 -1 0 0 -4 0 2 0
a(8) 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
a(9) 0 0 0 -1 0 -1 0 0 -3 1 1
a(10) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Таблица 1.2
Table 1.2
a(n) 15 · 5 · 3 · 1 14 · 7 · 2 · 1 92 · 32 112 · 12 63 · 23 46 82 · 4 · 2 · 12 73 · 13 62 · 32 · 22 · 12
a(1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1
a(2) -1 -1 0 -2 0 0 -2 -3 -2
a(3) -1 -2 0 -1 -3 0 -2 0 -3
a(4) -1 1 -2 2 0 0 4 5 4
a(5) 1 0 0 1 0 -6 0 0 6
a(6) 1 2 0 2 0 0 4 0 6
a(7) 0 1 -1 -2 2 0 0 -7 -16
a(8) 3 -1 0 0 0 0 -8 -3 -8
a(9) 1 1 0 -2 9 9 - 5 9 9
a(10) -1 0 0 -2 0 0 0 0 - 12
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2025. Том 31, № 1. С. 7–21
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2025, vol. 31, no. 1, pp. 7–21 9 из 21
Таблица 1.3
Table 1.3
a(n) 54 · 14 38 44 · 24 44 · 22 · 14 36 · 16 212 28 · 18 · 2 · 12 124
a(1) 1 1 1 1 1 1 1 1
a(2) -4 0 0 -4 -6 0 -8 -24
a(3) 2 0 -4 0 9 -12 12 252
a(4) 8 -8 0 16 4 0 64 -1472
a(5) -5 0 -2 -14 6 54 -210 4830
a(6) -8 0 0 0 -54 0 -96 -6048
a(7) 6 20 24 0 -40 -88 1016 -16744
a(8) 0 0 0 -64 168 0 -512 84480
a(9) -23 0 -11 81 81 -99 0 -113643
a(10) 20 0 0 56 -36 0 1680 -115920
2. Характеры Гекке
В этом параграфе мы изложим необходимые сведения о характерах Гекке.
2.1. Определение характера Гекке
Сначала необходимо дать несколько предварительных определений.
Пусть O — кольцо целых поля алгебраических чисел, M — ненулевой идеал в O. Классы
вычетов элементов α по модулю M, α ∈ O, (α, M) = 1, образуют мультипликативную группу
(O/M)⋆.
Характером Дирихле по модулю M называется гомоморфизм χ : (O/M)⋆ → C⋆.
Унитарным характером C⋆ — непрерывный гомоморфизм χ∞ : C⋆ → S1, где S1 =
= {α ∈ C : |α| = 1}. Такой характер задается формулой: χ∞(α) = αl
|α|l . Число l — частота
характера χ∞.
Пусть I — мультипликативная группа ненулевых дробных идеалов, P — подгруппа главных
идеалов, H = I/P — группа классов идеалов. Для любого целого идеала M ⊂ O IM = {A ⊂ I,
(A,M) = 1} ⊂ I, PM = {(α) ⊂ P : (α,M) = 1} ⊂ P, IM/PM
∼=
I/P ∼=
H.
Всякий гомоморфизм из H в S1 называется характером группы классов. Существует ровно
h = |H| характеров группы классов.
Определение.
Характером Гекке ("грессен-характером") по модулю M называется непрерывный гомомор-
физм ψ : IM → S1, для которого существуют такие характеры χ : (O/M)⋆ → S1, χ∞ : C⋆ → S1,
что ψ((α)) = χ(α) · χ∞(α).
Для любого α ∈ O, (α,M) = 1, l ≡ 12
· (χ(−1) − 1) (mod 2). Характеры Гекке по модулю
M с частотой l = 0 — это в точности характеры группы классов.
Кондуктором характера Гекке по модулю M считается наименьший из идеалов F : F|M,
такой, что ψ продолжается до характера Гекке по модулю F. Если F = M, то характер Гекке
называется примитивным.
2.2. Характеры Гекке и модулярные формы
Пусть ψ — примитивный характер Гекке с кондуктором M и частотой l. Положим ψ(A) = 0
при (A,M) ̸= 1. Получим продолжение до мультипликативной функции на множестве ненуле-
вых целых идеалов.
Воскресенская Г.В. Об арифметической природе коэффициентов мультипликативных эта-произведений
Voskresenskaya G.V. On the arithmetic nature of coefficients of multiplicative eta-functions 10 из 21
Теорема 2.2.1. [7]
Пусть грессен-характер ψ по модулю M имеет частоту l ≥ 0 , H — верхняя комплексная
полуплоскость.
Тогда f : H → C, заданная формулой
f (z) =ΣA
ψ(A)(NA)
l2
e2πizNA,
принадлежит Ml+1(Γ0(N), ˜χ), N = |D| · NM.
Здесь ˜χ(n) = χD(n)ψ(n), χD(n) — символ Кронекера. Суммирование ведется по всем целым
идеалам OK, D — дискриминант поля K.
Если l ≥ 0 , то f — параболическая форма. Если M = (1), то N = |D|, ˜χ = χD.
3. Мультипликативные эта-произведения и грессен-характеры
поля Q(i)
Если K = Q(i), то D = −4, OK = Z[i], имеются четыре единицы ±1, ±i, число классов
равно 1, все идеалы главные.
3.1. Коэффициенты функции η2(12z)
Функция η2(12z) ∈ S1(144,
????−1
d

). Рассмотрим идеал M = (6), NM = 36. Частота l = 0.
Мультипликативная группа фактор-кольца (O/M)⋆ ∼=
Z4 × Z4, так как с точностью до
умножения на ϵ ∈ U = {±1, ±i} элемент α ∈ (O/M)⋆ имеет один из следующих типов α,
эквивалентен a + bi, где 


a ≡ 1(mod 6), b ≡ 2(mod 6)
a ≡ 3(mod 6), b ≡ 2(mod 6)
a ≡ 1(mod 6), b ≡ 4(mod 6)
a ≡ 1(mod 6), b ≡ 0(mod 6)
В других случаях (α,M) ̸= 1.
Пусть β ≡ 1 + 2i(mod 6), если ϵ1 · α ≡ β, то


ϵ2 · α2 ≡ 3 + 2i (mod 6),
ϵ3 · α3 ≡ 1 + 4i (mod 6),
ϵ4 · α4 ≡ 1 (mod 6).
Здесь ϵj ∈ U.
χ∞(α) = 1, так как l = 0. Из условия согласования единиц ∀ϵ ∈ U χ(ϵ) · χ∞(ϵ) = 1
получаем χ(ϵ) = 1, ψ(ϵ) = 1.
Поэтому искомый характер Гекке определяется на идеале (α) = (a + bi), (α, 6) = 1,
в зависимости от условий на a и b следующим образом:
ψ1((α)) =


i, a ≡ 1 (mod 6), b ≡ 2 (mod 6),
−1, a ≡ 3 (mod 6), b ≡ 2 (mod 6),
−i, a ≡ 1 (mod 6), b ≡ 4 (mod 6),
1, a ≡ 1 (mod 6), b ≡ 0 (mod 6).
|D| = 4, NM = 36, ψ(n) = 1, χD(n) =
????−4
n

.
Так как (d, 2) = 1, то ˜χ(d) = χD(d) =
????−1
n

. По теореме Гекке f (z) ∈ S1(Γ0(144),
????−1
n

).
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2025. Том 31, № 1. С. 7–21
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2025, vol. 31, no. 1, pp. 7–21 11 из 21
Так как размерность этого пространства равна 1 и первый коэффициент построенной формы
равен 1, то f (z) = η2(12z). Получаем формулы для модулярной формы и ее коэффициентов:
Σ
(α) ∈ Z[i],
(α, 6) = 1
ψ1((α))e2πiN((α)) = η2(12z), a(n) = Σ
(α) ∈ Z[i],
(α, 6) = 1,
Nα = n
ψ1((α)).
3.2. Коэффициенты функции η2(8z)η2(4z)
Уровень этой формы равен 32, следует найти модуль характера Гекке с нормой 8, частота
l = 1.
Для любого нечетного целого гауссового числа β существует единственный элемент α ∈ Z[i],
ассоциированный с β, такой, что α ≡ 1(mod (1 + i)3) [7].
В качестве модуля характера возьмем модуль M = (1 + i)3 = (2 + 2i), NM = 8.
Искомый характер определяется на идеале (α), где образующий элемент выбран с условием
α ≡ 1(mod (1 + i)3), формулой
ψ2((α)) =
α
|α|
.
Получаем,
Σ
(α) ∈ Z[i],
α ≡ 1(mod (1 + i)3)
(Nα)
1
2 · ψ2((α))e2πiN((α)) = Σ
(α) ∈ Z[i],
α ≡ 1(mod (1 + i)3)
α · e2πiN((α)) = η2(8z)η2(4z).
Коэффициенты η2(8z)η2(4z) равны
a(n) = Σ
(α) ∈ Z[i],
α ≡ 1(mod (1 + i)3),
Nα = n
α.
3.3. Коэффициенты функции η6(4z)
Уровень этой формы равен 16, следует найти модуль характера Гекке с нормой 4, частота
l = 2.
Для любого нечетного целого гауссового числа β существует элемент α ∈ Z[i], ассоцииро-
ванный с β, такой, что α ≡ 1(mod (2)).
В качестве модуля характера возьмем идеал M = (2), NM = 4.
Искомый характер определяется на идеале (α), где образующий элемент выбран с условием
α ≡ 1(mod (2)), формулой
ψ3((α)) =
α2
|α|2 .
Получаем
Σ
(α) ∈ Z[i],
α ≡ 1(mod (1 + i)3)
Nα · ψ3((α))e2πiN((α)) = Σ
(α) ∈ Z[i],
α ≡ 1(mod (1 + i)3)
α2 · e2πiN((α)) = η2(8z)η2(4z).
Коэффициенты η2(8z)η2(4z) равны
a(n) = Σ
(α) ∈ Z[i],
α ≡ 1(mod (1 + i)3)
Nα = n
α2.
Воскресенская Г.В. Об арифметической природе коэффициентов мультипликативных эта-произведений
Voskresenskaya G.V. On the arithmetic nature of coefficients of multiplicative eta-functions 12 из 21
3.4. Коэффициенты функции η4(4z)η2(2z)η4(z)
Уровень этой формы равен 4, частота l = 4.
В качестве модуля характера возьмем модуль M = (1), NM = 1.
Искомый характер определяется формулой
ψ4((α)) =
α4
|α|4 .
Получаем
Σ
(α) ∈ Z[i],
(Nα)2 · ψ4((α))e2πiN((α)) = Σ
(α) ∈ Z[i]
α4 · e2πiN((α)) = η4(4z)η2(2z)η4(z).
Коэффициенты η4(4z)η2(2z)η4(z) равны
a(n) = Σ
(α) ∈ Z[i]
Nα = n
α4.
4. Мультипликативные эта-произведения и грессен-характеры
поля Q(
√
−3)
Если K = Q(
√
−3), то D = −3, OK = Z[ω], где ω = 1+
√
−3
2 , имеeтся шесть единиц
±1, ±ω, ±ω2, число классов равно 1, все идеалы главные, N(a + bω) = a2 − ab + b2.
4.1. Коэффициенты функции η(18z)η(6z)
Уровень этой формы равен 108, частота l = 0.
В качестве модуля характера возьмем идеал M = (6), NM = 36.
Искомый характер на простом идеале (π) = (a+bi), ((π), (6)) = 1, определяется формулой
ψ5((α)) =


1, a ≡ 1 (mod 2), b ≡ 0 (mod 2),
ω, a ≡ 0 (mod 2), b ≡ 1 (mod 2),
ω2, a ≡ 1 (mod 2), b ≡ 1 (mod 2).
На остальных идеалах характер определяется по мультипликативности.
Получаем
Σ
(α) ∈ Z[ω],
(α, 6) = 1
ψ5((α))e2πiN((α)) = η(18z)η(6z), a(n) = Σ
(α) ∈ Z[ω],
(α, 6) = 1,
Nα = n
ψ5((α)).
4.2. Коэффициенты функций η4(6z), η3(6z)η3(2z), η8(3z), η2(9z)η2(3z)
Для каждой из этих функций мы найдем модуль M, при этом если ((α),M) = 1, то
порождающий элемент α можно выбрать с условием α ≡ 1 (mod M).
Искомый характер равен
ψj((α)) =
αl
|α|l , j = 6, 9.
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2025. Том 31, № 1. С. 7–21
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2025, vol. 31, no. 1, pp. 7–21 13 из 21
Получаем
f (z) = Σ
(α) ∈ Z[ω],
α ≡ 1 (mod M).
ψj((α))(Nα)
l2
e2πiN((α)) = Σ
(α) ∈ Z[ω],
α ≡ 1 (mod M).
αle2πiN((α)).
Коэффициенты модулярной формы равны
a(n) = Σ
(α) ∈ Z[ω],
α ≡ 1 (mod M)
Nα = n
ψj((α))(Nα)
l2
= Σ
(α) ∈ Z[ω],
α ≡ 1 (mod M)
Nα = n
αl .
В таблице 4.1 укажем явно l и M.
Таблица 4.1
Table 4.1
f (z) l ψj M NM
η4(6z) 3 ψ6 (2
√
−3) = (2 + 4ω) 12
η3(6z)η3(2z) 2 ψ7 (2) 4
η8(3z) 3 ψ8 (
√
−3) = (1 + 2ω) 3
η2(9z)η2(3z) 1 ψ9 (3) 9
5. Мультипликативные эта-произведения и грессен-характеры
поля Q(
√
−2)
Любой элемент из OK имеет вид α = a + b
√
−2, |D| = 8, Nα = a2 + 2b2. В OK имеется две
единицы ±1.
5.1. Коэффициенты функции η(16z)η(8z)
Уровень этой формы равен 128, норма искомого идеала 16.
Возьмем модуль M = (4).
Если ((α),M) = 1, то α ∼ a+b
√
−2, где a и b удовлетворяют одному из следующих условий:


a ≡ 1(mod 4), b ≡ 0(mod 4),
a ≡ 1(mod 4), b ≡ 1(mod 4),
a ≡ 1(mod 4), b ≡ 2(mod 4),
a ≡ 1(mod 4), b ≡ 3(mod 4).
Искомый характер равен
ψ10((α)) =


1, a ≡ 1(mod 4), b ≡ 0(mod 4),
i, a ≡ 1(mod 4), b ≡ 1(mod 4),
−1, a ≡ 1(mod 4), b ≡ 2(mod 4),
−i, a ≡ 1(mod 4), b ≡ 3(mod 4).
Воскресенская Г.В. Об арифметической природе коэффициентов мультипликативных эта-произведений
Voskresenskaya G.V. On the arithmetic nature of coefficients of multiplicative eta-functions 14 из 21
Получаем
Σ
(α) ∈ Z[
√
−2],
(α, 4) = 1.
ψ10((α))e2πiN((α)) = η(16z)η(8z), a(n) = Σ
(α) ∈ Z[
√
−2],
(α, 4) = 1,
Nα = n
ψ10((α)).
5.2. Коэффициенты функции η2(8z)η(4z)η(2z)η2(z)
Уровень этой формы равен 8, l = 2. Искомый модуль равен M = (1).
Искомый характер определяется формулой
ψ11((α)) =
α2
|α|2 .
Получаем
Σ
(α) ∈ Z[
√
−2]
ψ11((α))N((α))e2πiN((α)) = Σ
(α) ∈ Z[
√
−2]
α2e2πiN((α)) = η2(8z)η(4z)η(2z)η2(z).
Коэффициенты модулярной формы равны
a(n) = Σ
(α) ∈ Z[
√
−2],
Nα = n
ψ11((α))Nα = Σ
(α) ∈ Z[
√
−2],
Nα = n
α2.
6. Мультипликативные эта-произведения и грессен-характеры
полей Q(
√
−5),Q(
√
−7),Q(
√
−11),Q(
√
−23)
6.1. Коэффициенты функций η(21z)η(3z), η3(7z)η3(z) и грессен-характеры
поля Q(
√
−7)
Все идеалы кольца OK — главные, OK =< 1, γ >, где γ = −1+
√
−7
2 .
Если α ∈ OK, то α = a + bγ, a, b ∈ Z, Nα = a2 − ab + 2b2, |D| = 7.
Найдем соответствие Гекке для модулярной формы η(21z)η(3z).
Рассмотрим модуль M = (3).
Уровень этой формы равен 63, частота l = 0.
Если ((α),M) = 1, то α ∼ a + bγ, где a и b удовлетворяют одному из следующих четырех
типов, характер определяется в зависимости от типа:
ψ12((α)) =


i, a ≡ 1(mod 3), b ≡ 1(mod 3),
−1, a ≡ 0(mod 3), b ≡ 1(mod 3),
−i, a ≡ 1(mod 3), b ≡ 2(mod 3),
1, a ≡ 1(mod 3), b ≡ 0(mod 3).
Σ
(α) ∈ Z[γ],
(α, 3) = 1.
ψ12((α))e2πiN((α)) = η(21z)η(3z), a(n) = Σ
(α) ∈ Z[γ],
(α, 3) = 1,
Nα = n
ψ12((α)).
Найдем соответствие Гекке для модулярной формы η3(7z)η3(z).
Уровень этой формы равен 7, частота l = 2.
Рассмотрим модуль M = (1).
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2025. Том 31, № 1. С. 7–21
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2025, vol. 31, no. 1, pp. 7–21 15 из 21
Искомый характер определяется формулой
ψ13((α)) =
α2
|α|2 .
Получаем
Σ
(α) ∈ Z[γ]
ψ13((α))N((α))e2πiN((α)) = Σ
(α) ∈ Z[γ]
α2e2πiN((α)) = η3(7z)η3(z).
Коэффициенты модулярной формы равны
a(n) = Σ
(α) ∈ Z[γ],
Nα = n
ψ13((α))Nα = Σ
(α) ∈ Z[γ],
Nα = n
α2.
6.2. Коэффициенты функции η(20z)η(4z) и грессен-характеры
поля Q(
√
−5)
N = 80, |D| = 5, hK = 2, l = 0.
Искомый идеал имеет норму 4. Возьмем идеал M = (2).
Искомый характер ψ14 на главных идеалах (α), (α, 2) = 1, определяется по формуле
ψ14((α)) =

1, a ≡ 1(mod 2), b ≡ 0(mod 2),
−1, a ≡ 0(mod 2), b ≡ 1(mod 2).
Пусть p — простой идеал, не являющийся главным, (p,M) = 1.
Тогда ψ14(p) = i, ψ14(¯p) = −i, если p2 = (a + b
√
−5), a ≡ 0 (mod 2).
Если p2 = (a + b
√
−5), a ≡ 1 (mod 2), то ψ14(p) = −1.
Получаем
Σ
(A) ∈ Z[
√
−5]
(A, (2)) = 1
ψ14(A)e2πiN(A) = η(20z)η(4z), a(n) = Σ
(A) ∈ Z[
√
−5]
(A, (2)) = 1NA = n
ψ14(A).
6.3. Коэффициенты функций η(22z)η(2z) и грессен-характеры
поля Q(
√
−11)
Все идеалы кольца OK — главные, OK =< 1, γ >, где γ = −1+
√
−11
2 .
Если α ∈ OK, то α = a + bγ, a, b ∈ Z, Nα = a2 − ab + 3b2, |D| = 11.
Уровень этой формы равен 44, частота l = 0.
Рассмотрим модуль M = (2).
Уровень этой формы равен 63, частота l = 0.
Если ((α),M) = 1, то α ∼ a + bγ, где a и b удовлетворяют одному из следующих типов:


a ≡ 1(mod 2), b ≡ 1(mod 2),
a ≡ 0(mod 3), b ≡ 1(mod 2),
a ≡ 1(mod 2), b ≡ 0(mod 2).
Искомый характер равен
ψ15((α)) =


ζ3, a ≡ 1(mod 2), b ≡ 1(mod 2),
ζ2
3, a ≡ 0(mod 3), b ≡ 1(mod 2),
1 a ≡ 1(mod 2), b ≡ 0(mod 2).
Воскресенская Г.В. Об арифметической природе коэффициентов мультипликативных эта-произведений
Voskresenskaya G.V. On the arithmetic nature of coefficients of multiplicative eta-functions 16 из 21
Получаем
Σ
(α) ∈ Z[γ],
(α, 2) = 1.
ψ15((α))e2πiN((α)) = η(22z)η(2z), a(n) = Σ
(α) ∈ Z[γ],
(α, 2) = 1,
Nα = n
ψ15((α)).
6.4. Коэффициенты функций η(23z)η(z) и грессен-характеры
поля Q(
√
−23)
Уровень формы равен 23, частота l = 0.
hK = 3. OK =< 1, γ >, где γ =
−1 +
√
−23
2
.
Пусть C1 — класс главных идеалов, C2, C3 — другие классы идеалов.
Если идеал A ∈ C2, то ¯A ∈ C3.
Модуль характера M = (1).
Искомый характер равен
ψ16(A) =


1, A ∈ C1,
ζ3, A ∈ C2,
ζ2
3, A ∈ C3.
Получаем
Σ
(A) ∈ Z[γ],
ψ16((A))e2πiN((A)) = η(23z)η(z), a(n) = Σ
(α) ∈ Z[γ],
Nα = n
ψ16((A)).
7. Коэффициенты мультипликативных эта-произведений
и суммы по характерам Гекке
Для оставшихся двенадцати мультипликативных эта-произведений интерпретация прямо
по теореме Гекке невозможна, так как должно выполняться условие a(p) = 0, если p инертно в
OK. Но для полей K, которые можно подобрать по уровню формы, это условие нарушается.
Для коэффициентов всех остальных функций МакКея, кроме η24(z), можно найти формулы,
содержащие суммы от характеров Гекке.
Теорема 7.1.1.
Пусть g(z) = Σ∞n=1 a(n)e2πizn — одна из функций МакКея, указанных в таблице 7.1.
Тогда
a(n) = Σ
j1 + j2(m − 1) = nm,
j1 ≥ 1, j2 ≥ 1
Σ
NA = j1,
(A,M) = 1
ψj(A)(N(A))
l2
· Σ
NB = j2,
(B,M) = 1
ψj(B)(N(B))
l2
,
где характер Гекке описан в параграфах выше и ассоциирован (по соответствию Гекке) с
коэффициентами параболической формы f (z). В таблице 7.1 указаны идеалы A,B,M в кольце
целых поля K и параметры m и l.
Доказательство.
Эта формула следует из равенства g(mz) = f ((m − 1)z) f (z) и найденных выше выражений
коэффициентов f (z) через характеры Гекке.
Замечание 1.
Так как одну и ту же параболическую форму можно выразить разными способами, то можно
на основании теоремы 7.1.1 получить несколько равенств, содержащих суммы с характерами
Гекке. Например, верна следующая формула.
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2025. Том 31, № 1. С. 7–21
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2025, vol. 31, no. 1, pp. 7–21 17 из 21
Таблица 7.1
Table 7.1
g(z) f (z) K M m l ψj
η(15z)η(5z)η(3z)η(z) η(18z)η(6z) Q(
√
−3) (6) 6 0 ψ5
η(15z)η(5z)η(3z)η(z) η(20z)η(4z) Q(
√
−5) (2) 4 0 ψ14
η(14z)η(7z)η(2z)η(z) η(16z)η(8z) Q(
√
−2) (4) 8 0 ψ10
η(14z)η(7z)η(2z)η(z) η(21z)η(3z) Q(
√
−7) (3) 3 0 ψ12
η(12z)η(6z)η(4z)η(2z) η(16z)η(8z) Q(
√
−2) (4) 4 0 ψ10
η(12z)η(6z)η(4z)η(2z) η(18z)η(6z) Q(
√
−3) (6) 3 0 ψ5
η2(11z)η2(z) η(22z)η(2z) Q(
√
−11) (2) 2 0 ψ15
η2(11z)η2(z) η2(12z) Q(
√
−1) (6) 12 0 ψ11
η2(10z)η2(2z) η(20z)η(4z) Q(
√
−5) (2) 2 0 ψ14
η2(10z)η2(2z) η2(12z) Q(
√
−1) (6) 6 0 ψ1
η2(6z)η2(3z)η2(2z)η2(z) η2(9z)η2(3z) Q(
√
−3) (3) 3 1 ψ9
η2(6z)η2(3z)η2(2z)η2(z) η2(8z)η2(4z) Q(
√
−1) (1 + i)3 4 1 ψ2
η4(5z)η4(z) η4(6z) Q(
√
−3) (2
√
−3) 6 1 ψ6
η4(4z)η4(2z) η2(8z)η2(4z) Q(
√
−1) (1 + i)3 2 1 ψ2
η4(4z)η4(2z) η4(6z) Q(
√
−3) (2
√
−3) 3 1 ψ6
η6(3z)η6(z) η6(4z) Q(
√
−1) (2) 4 2 ψ3
η6(3z)η6(z) η3(6z)η3(2z) Q(
√
−3) (2) 2 2 ψ7
η12(2z) η6(4z) Q(
√
−1) (2) 2 2 ψ3
η8(2z)η8(z) η8(3z) Q(
√
−3) (
√
−3) 3 3 ψ8
Σ
i1 + 5i2 = 6n,
i1 ≥ 1, i2 ≥ 1
Σ
NA1 = i1,
(A1, (6)) = 1
ψ5(A1) Σ
NB1 = i2,
(B1, (6)) = 1
ψ5(B1) =
= Σ
j1 + 3j2 = 4n,
j1 ≥ 1, j2 ≥ 1
Σ
NA2 = j1,
(A2, (2)) = 1
ψ14(A2) Σ
NB2 = j2,
(B2, (2)) = 1
ψ14(B2).
В первой тройной сумме рассматриваются идеалы в кольце целых поля Q(
√
−3), а во
второй — в кольце целых поля Q(
√
−5).
Эта формула следует из того, что g(6z) = f1(5z), g(4z) = f2(3z),
где g(z) = η(15z)η(5z)η(3z)η(z), f1(z) = η(18z)η(6z), f2(z) = η(20z)η(4z).
Замечание 2.
Используя соотношения между первыми 16 формами, можно получить соотношения между
характерами Гекке.
Например, пусть g(z) = η2(8z)η2(4z), f (z) = η2(12z).
Воскресенская Г.В. Об арифметической природе коэффициентов мультипликативных эта-произведений
Voskresenskaya G.V. On the arithmetic nature of coefficients of multiplicative eta-functions 18 из 21
Из равенства g(3z) = f (2z) f (z) получим
Σ
(α) ∈ Z[i],
α ≡ 1(mod (1 + i)3),
Nα = n
√
nψ2((α)) = Σ
(α) ∈ Z[i],
α ≡ 1(mod (1 + i)3),
Nα = n
α =
= Σ
j1 + j2 = 3n
Σ
(α) ∈ Z[i],
((α), (6)) = 1,
Nα = j1
ψ1((α)) Σ
(β) ∈ Z[i],
((β), (6)) = 1,
Nβ = j2
ψ1((β)).
8. Мультипликативные эта-произведения и суммы Шимуры
В статье автора [10] находятся арифметические формулы, включающие суммы Шимуры от
коэффициентов этих форм.
Определение. Пусть a(n) — арифметическая функция, c — натуральное число.
∀m ≥ 1 Сумма Шимуры Sh(m, a, c) определяется формулой
Sh(m, a, c) =
m−1
Σ
j=1
a

m2 − j2
c

.
Теорема 8.1.1.
Пусть p — нечетное простое число,
f1(z) =
∞Σ
n=1
a(n)qn,
f2(z) =
∞Σ
n=1
b(n)qn
— мультипликативные η-произведения, указанные в таблице 8.1, тогда имеют место следующие
соотношения для сумм Шимуры для a(n) и b(n).
В этой же статье получены теоремы, связывающие суммы Шимуры с арифметикой квадра-
тичных полей. Например, там приведена следующая теорема.
Теорема 8.1.2.
Пусть
f (z) = η(16z)η(8z) =
∞Σ
n=1
a(n)qn ∈ S1(128, χ).
1) Если p расщепляется в Q(
√
−1) и в Q(
√
−2), то
p = 4Sh2(p, a, 1) − 2Sh(p2, a, 1) + 14Sh(p, a, 1) − 5.
2) Если p инертно в Q(
√
−1), то
p = −2Sh(p2, a, 1) − 1.
3) Если p расщепляется в Q(
√
−1) и инертно Q(
√
−2), то
p = 4Sh2(p, a, 1) − 2Sh(p2, a, 1) + 2Sh(p, a, 1) − 1.
В статье автора [11] получены теоремы, связывающие коэффициенты мультипликативных
эта-произведений η8(2z)η8(z), η24(z) с арифметикой целых кватернионов Гурвица и порядком
в алгебре Кэли, имеющим структуру решетки E8.
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2025. Том 31, № 1. С. 7–21
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2025, vol. 31, no. 1, pp. 7–21 19 из 21
Таблица 8.1
Table 8.1
f1(z) f2(z) Соотношение
η(21z)η(3z) η(16z)η(8z) Sh(3p, a, 8) + (−7
p ) = Sh(4p, b, 7) + (−2
p )
η(18z)η(6z) η(16z)η(8z) Sh(3p, a, 8) + (−3
p ) = Sh(2p, b, 3) + (−2
p )
η(20z)η(4z) η(18z)η(6z) Sh(2p, a, 3) + (−5
p ) = Sh(3p, b, 5) + (−3
p )
η2(12z) η(18z)η(6z) Sh(2p, a, 3) + (−1
p ) = 2Sh(p, b, 1) + b2(p)
η2(12z) η(22z)η(2z) Sh(6p, a, 11) + (−1
p ) = 2Sh(p, b, 1) + b2(p)
η2(12z) η(16z)η(8z) Sh(3p, a, 8) + (−1
p ) = 2Sh(p, b, 1) + b2(p)
η2(12z) η(20z)η(4z) Sh(3p, a, 5) + (−1
p ) = 2Sh(p, b, 1) + b2(p)
η4(6z) η2(10z)η2(2z) Sh(3p, a, 5) + p = 2Sh(p, b, 1) + b2(p)
η4(6z) η2(8z)η2(4z) Sh(3p, a, 8) + p = 2Sh(p, b, 1) + b2(p)
η6(4z) η3(6z)η3(2z) Sh(2p, a, 3) + (−1
p )p2 = 2Sh(p, b, 1) + b2(p)
η8(3z) η4(4z)η4(2z) Sh(3p, a, 8) + p7 = 2Sh(p, b, 1) + b2(p)
Выводы
Таким образом, в статье показывается, что коэффициенты мультипликативных эта-произведений имеют интересную арифметическую интерпретацию. Их природа связана с арифметикой мнимых квадратичных полей и арифметикой гиперкомплексных систем.

About the authors

G. V. Voskresenskaya

Author for correspondence.
Email: galvosk@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-6288-5372

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, associate professor, professor of the Department of Algebra and Geometry

References

Supplementary files