Nonlinear equations of flexible plates deformations

Введение

 В настоящее время микроэлектромеханические системы (МЭМС) широко используются в разнообразных электронных и оптических устройствах DeTeresa2020. Особенность таких систем состоит в их пространственном масштабе, который может составлять порядка нескольких микрометров и менее Bhushan2005Doubler,Corigliano2018DoublerBhushan2005,Corigliano2018. Деформация упругих элементов в таком масштабе существенно зависит от факторов, которые обычно не учитываются в традиционном проектировании LychevDigilovDemin2024. К ним относятся: несовместные деформации, являющиеся источниками собственных (остаточных) напряжений, поверхностные эффекты, нелинейное взаимное влияние плоского и изгибного напряженных состояний, а также существенные изменения геометрической формы элементов из-за их высокой гибкости LychevDigilovDemin2024Doubler,Eremeyev2009Doubler,Eremeyev2015Doubler,Dedkova2022DoublerLychevDigilovDemin2024,Eremeyev2009,Eremeyev2015,Dedkova2022. Для учета этих факторов необходимо выйти за рамки классической теории упругих пластин и оболочек TimoshenkoWoinowsky-Kriger1959Doubler,Lebedev2010DoublerTimoshenkoWoinowsky-Kriger1959,Lebedev2010, рассматривая их с позиций нелинейной механики сплошных сред Truesdell2004 как упругие системы с малым параметром, соответствующим их толщине.

Первые модели, учитывающие геометрическую нелинейность, были предложены Фёпплем Foppl1907, а несколько позже фон Карманом Karman1910. Несмотря на то что соотношение между напряжениями и деформациями в этих моделях предполагалось линейным, а нелинейные члены, характеризующие связь между плоским напряженным состоянием и изгибом, определялись полуэмпирическим путем, их использование в инженерных расчетах показало результаты, близкие к наблюдаемым в экспериментах Volmir1967. Это, конечно, не решает вопроса об их обосновании, который подробно обсуждается, например, в Ciarlet1980.

Цель настоящей работы $—$ сделать шаг к построению полностью (геометрически и физически) нелинейной теории гибких пластин с несовместными деформациями. Для достижения цели используются методы геометрической механики континуума Marsden1994Doubler,Rakotomanana2004Doubler,Epstein2007Doubler,Epstein2010Doubler,Steinmann2015Doubler,LychKoifIDoubler,Lychev2018DoublerMarsden1994,Rakotomanana2004,Epstein2007,Epstein2010,Steinmann2015,LychKoifI,Lychev2018, позволяющие моделировать форму, свободную от напряжений, в рамках единой области, снабженной неевклидовой геометрией. Благодаря такому подходу деформация является, как и в классической механике сплошной среды, гомеоморфизмом отсчетной формы в актуальную. Отличие заключается лишь в том, что теперь отсчетная форма служит неевклидовым пространством, в то время как актуальная форма по-прежнему остается областью физического пространства. Отметим, что геометрический подход позволяет не только учесть несовместные конечные деформации, но также и поверхностные эффекты, благодаря чему удается теоретически объяснить особенности механических свойств сверхтонких элементов МЭМС.

Работа имеет следующую структуру. В разделе 1 приведен обзор основных положений геометрической теории несовместных деформаций, используемых в статье. Отсчетная форма тела с несовместными деформациями определяется в пространстве с неевклидовой связностью, благодаря чему удается сохранить привычную методологию механики сплошной среды и определять деформацию как гомеоморфизм одной формы (неевклидовой глобальной натуральной) в другую (евклидову самонапряженную). Раздел 2 посвящен определению тонкостенной конструкции произвольного вида и ее частного случая $—$ пластины. При этом форма пластины предполагается произвольной и характеризуется произвольными же криволинейными координатами в плоскости осреднения. В соответствии с гипотезами Кирхгофа $–$ Лява используется частичная асимптотика по толщинному параметру. В разделе 3 определяются подходящие меры напряжений и деформаций для пластины. Уравнение равновесия в отсчетном описании преобразуется в соответствии с этим выбором. Дивергентное слагаемое разбивается на два слагаемых $—$ линейную и нелинейную (по перемещениям) части. Последний раздел 4 посвящен учету несовместных деформаций в пластине. Предложен частный вид поля локальных деформаций, и синтезирована отсчетная геометрия, соответствующая этому выбору. 

1. Общие представления несовместных деформаций

1.1 Конфигурации и деформации

В соответствии с общей методологией, сплошная среда (далее $—$ тело) формализуется в виде материального многообразия $—$ абстрактного гладкого трехмерного многообразия LeeISM2012 $\mathfrak{B}$, характеризующего как материальный состав тела, так и его топологические свойства. Элементы материального многообразия $—$ суть метки частиц, формирующих тело, а топология определяет близость между ними, что позволяет в общем виде определять дифференцирование полей, заданных на $\mathfrak{B}$. Хотя структура материального многообразия может быть достаточно произвольной Thurston2001_Rus, в рамках классической нелинейной механики континуума рассматриваются лишь те из них, которые могут быть вложены в трехмерное евклидово пространство. Этим исключаются, в частности, такие многообразия, как твердотельная бутылка Клейна.

Как отмечалось, материальные многообразия достаточно абстрактны и, по образному выражению М. Эпстейна, населяют <<Платонов мир чистых идей>> Epstein2010. Вместе с тем их качественные и количественные свойства могут быть определены лишь из наблюдения за формами в физическом пространстве $\mathcal{E}$. В соответствии с постулатами классической физики Newton1989_RusDoubler,Pars1971_RusDoublerNewton1989_Rus,Pars1971_Rus, последнее предполагается наделенным аффинно-евклидовой структурой. В явном виде

                                                             $\mathcal{E}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{,}\mathcal{V}\mathrm{,}\text{vec}\mathrm{,}\text{g}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$                                                                   (1)

 где $E$ есть континуальное множество мест; $\mathcal{V}$ есть трехмерное вещественное векторное пространство трансляций;

             $\text{vec}\mathrm{<mo>:</mo>}E\times E\to \mathcal{V}\mathrm{,}$

             $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{,}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mapsto \overleftarrow{ab}$

 есть отображение, сопоставляющее каждой упорядоченной паре мест соответствующую трансляцию из первого места во второе. Предполагается выполнение следующих аксиом Вейля Postnikov1979_I_Rus:

 $\overleftarrow{ab}+\overleftarrow{bc}\mathrm{<mo>=</mo>}\overleftarrow{ac}$ для любых $a\mathrm{,}b\mathrm{,}c\in E$ (соотношение Шаля),

 частное отображение

             ${\text{vec}}_a\mathrm{<mo>:</mo>}E\to \mathcal{V}\mathrm{,}$

             $x\mapsto \overleftarrow{ax}\mathrm{,}$

 является биекцией для любой фиксированной точки $a\in E$.

 Последний элемент структуры (1) есть скалярное произведение $\text{g}$ $—$ симметричный билинейный положительно определенный функционал на $\mathcal{V}$. Для его действия используется альтернативное обозначение: $\text{uv}\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}\text{g}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{u}\mathrm{,}\text{v}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Форма материального многообразия $\mathfrak{B}$ определяется как образ $\mathcal{S}\mathrm{<mo>=</mo>}\varkappa \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathfrak{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ вложения $\varkappa \mathrm{<mo>:</mo>}\mathfrak{B}\to \mathcal{E}$, которое, следуя Ноллу Noll1967, будем называть конфигурацией. То обстоятельство, что $\varkappa$ должно быть вложением, вытекает из аксиомы непрерывности и принципа непроницаемости Truesdell1960. Далее предполагается, что все соответствующие формы являются ограниченными связными областями $\mathcal{E}$, регулярными в смысле Келлогга Kellogg1967. Благодаря этому появляется возможность определить интегрирование на границах форм и использовать теорему Стокса для преобразования интегралов по границе, что необходимо для формулировки уравнений баланса.

Несмотря на то что каждая конфигурация $\varkappa$ подчинена свойству непроницаемости (двум различным частицам отвечают различные места), ее образ в общем случае не совпадает со всем множеством $E$. В этой связи не имеет смысла говорить об обратном отображении ${\varkappa }^{-1}$ в соответствии с тем, как это принято в анализе. Однако обратные отображения являются необходимыми для построения теории, поскольку они позволяют формализовать деформации. Для исправления ситуации предлагается определить отображение

             $\widehat{\varkappa }\mathrm{<mo>:</mo>}\mathfrak{B}\to \varkappa \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathfrak{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

             $\mathfrak{X}\mapsto \varkappa \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathfrak{X}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

 полученное сужением области прибытия исходного отображения на образ. Построенное отображение является обратимым, что и требовалось.

Деформация тела определяется как изменение его форм. В явном виде пусть ${\varkappa }_1\mathrm{,}{\varkappa }_2\mathrm{<mo>:</mo>}\mathfrak{B}\to \mathcal{E}$ $—$ произвольные конфигурации материального многообразия, образами которых являются формы ${\mathcal{S}}_1\mathrm{<mo>=</mo>}{\varkappa }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathfrak{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и ${\mathcal{S}}_2\mathrm{<mo>=</mo>}{\varkappa }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathfrak{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Тогда деформация есть композиция

                                                          $\gamma \mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}{\widehat{\varkappa }}_2\circ {\widehat{\varkappa }}_1^{-1}\mathrm{<mo>:</mo>}{\mathcal{S}}_1\to {\mathcal{S}}_2\mathrm{.}$

Ее действие иллюстрирует следующая диаграмма:

 1.2 Евклидова геометрия форм

 Несмотря на кажущуюся первичность структуры (1), в действительности она может считаться производной, полученной исходя из следующих данных Lychev2022: 1) евклидова векторного пространства $\mathcal{V}$, 2) некоторого места $o$ (<<начала мира>>) и 3) всевозможных сдвигов из $o$ на векторы из $\mathcal{V}$. Наряду с этим пространство $\mathcal{V}$ наделяет физическое пространство $\mathcal{E}$ структурой пространства аффинной связности Chern1999Doubler,LeeIRM2018DoublerChern1999,LeeIRM2018:

                                                       ${\mathcal{E}}_{\text{geom}}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{,}{\mathcal{T}}_E\mathrm{,}{\mathcal{D}}_E\mathrm{,}{\text{g}}_E\mathrm{,}{\nabla }_E\mathrm{,}d{V}_E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$                                                             (2)

 где $E$ $—$ подлежащее множество мест, такое же, как и в (1), а ${\mathcal{T}}_E$ и ${\mathcal{D}}_E$ $—$ евклидова топология и гладкая структура на $E$. Поле ${\text{g}}_E$ есть метрический тензор LeeISM2012, являющийся постоянным полем, значения которого в каждой точке многообразия $—$ суть скалярные произведения $\text{g}$ из структуры (1). В свою очередь метрический тензор определяет евклидову связность LeeIRM2018 ${\nabla }_E$ и форму объема LeeISM2012 $d{V}_E$ на $E$, представленные последними элементами структуры (2).

Многие геометрические аспекты, связанные со структурой (2), и детальное определение составляющих ее полей могут быть найдены в работе Lychev2023_a. Подчеркнем лишь, что в рамках классической нелинейной механики представление физического пространства в виде многообразия, снабженного метрикой и связностью, находится в тени структуры (1), поскольку все поля заданы на евклидовых формах, соотношения между ними опираются на <<школьную>> геометрию и необходимости в усложнении привычных представлений нет. Методология изменяется, когда рассматриваются тела с несовместными деформациями, что, в частности, является предметом настоящего исследования. В таком случае возникает необходимость привлекать соображения неевклидовой геометрии, что влечет целесообразность в явном указании структуры (2) и ее дальнейшей модификации.

Геометрия физического пространства индуцируется на каждую из форм. Если $\mathcal{S}$ $—$ некоторая форма материального многообразия $\mathfrak{B}$, то ее можно представить в виде структуры

                                                    $\mathcal{S}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}S\mathrm{,}{\mathcal{T}}_E{\mathrm{<mo>|</mo>}}_S\mathrm{,}{\mathcal{D}}_E{\mathrm{<mo>|</mo>}}_S\mathrm{,}{\text{g}}_E{\mathrm{<mo>|</mo>}}_S\mathrm{,}{\nabla }_E{\mathrm{<mo>|</mo>}}_S\mathrm{,}d{V}_E{\mathrm{<mo>|</mo>}}_S\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$                                                          (3)

 в которой $S\subset E$ $—$ подлежащее множество мест, а символ вертикальной черты ${\mathrm{<mo>|</mo>}}_S$ означает сужение соответствующего поля на $S$.

В соответствии с теоремами, доказываемыми в курсе анализа на многообразиях LeeISM2012, множество $S$ является открытым в евклидовой топологии физического пространства, а геометрия на нем совпадает с евклидовой, что может быть выражено следующими соотношениями: $\mathfrak{T}\mathrm{<mo>=</mo>}0$, $\Re \mathrm{<mo>=</mo>}0$ и $\mathfrak{Q}\mathrm{<mo>=</mo>}0$, где $\mathfrak{T}$, $\Re$, $\mathfrak{Q}$, соответственно, кручение, кривизна и неметричность аффинной связности ${\nabla }_E{\mathrm{<mo>|</mo>}}_S$. Таким образом, в рамках классической нелинейной механики форма (3) является евклидовым многообразием.

В отличие от физического пространства и форм, которые снабжены евклидовыми геометриями, никакой геометрии на материальном многообразии $\mathfrak{B}$ изначально не предполагается. Ему отвечает следующее представление:

                                                              $\mathfrak{B}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}B\mathrm{,}{\mathcal{T}}_B\mathrm{,}{\mathcal{D}}_B\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$                                                                   (4)

 где $B$ $—$ подлежащее множество меток частиц, ${\mathcal{T}}_B$ $—$ топология на нем, а ${\mathcal{D}}_B$ $—$ гладкая структура.

Однако возможность вложить $\mathfrak{B}$ в трехмерное евклидово пространство $\mathcal{E}$ накладывает ограничения на $\mathfrak{B}$. В частности, множество $B$ покрывается одной картой, индуцированной с любой из форм, а касательное расслоение $T\mathfrak{B}$ является тривиальным и может быть представлено в виде прямого произведения $T\mathfrak{B}\mathrm{<mo>=</mo>}\mathfrak{B}\times {ℝ}^3$.

В работах по классической механике сплошной среды материальное многообразие часто отождествляется с одной из его форм и далее рассматривается в качестве отсчетной формы. Именно последняя приобретает статус многообразия меток, но рассматриваемого в объемлющем евклидовом пространстве. С формальной точки зрения это означает выбор некоторой конфигурации ${\varkappa }_R\mathrm{<mo>:</mo>}\mathfrak{B}\to \mathcal{E}$ и расширение структуры (4) до следующего геометрического пространства:

                                                       ${\mathfrak{B}}_R\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathfrak{B}\mathrm{,}{\varkappa }_R^{\ast }{\text{g}}_E\mathrm{,}{\varkappa }_R^{\ast }{\nabla }_E\mathrm{,}{\varkappa }_R^{\ast }d{V}_E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$                                                             (5)

 где символ ${\varkappa }_R^{\ast }$ означает операцию обратного образа (pullback Abraham1988), примененную к соответствующему полю LeeISM2012Doubler,LeeIRM2018DoublerLeeISM2012,LeeIRM2018. В явном виде

             ${\varkappa }_R^{\ast }{\text{g}}_E{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\mathfrak{X}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{u}\mathrm{,}\text{v}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\text{g}}_E{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{{\varkappa }_R\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathfrak{X}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{T}_{\mathfrak{X}}{\varkappa }_R\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{u}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{T}_{\mathfrak{X}}{\varkappa }_R\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{v}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

             ${\varkappa }_R^{\ast }d{V}_E{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\mathfrak{X}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{u}\mathrm{,}\text{v}\mathrm{,}\text{w}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}d{V}_E{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{{\varkappa }_R\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathfrak{X}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{T}_{\mathfrak{X}}{\varkappa }_R\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{u}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{T}_{\mathfrak{X}}{\varkappa }_R\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{v}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{T}_{\mathfrak{X}}{\varkappa }_R\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{w}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$

 для любой точки $\mathfrak{X}\in \mathfrak{B}$ и любых касательных векторов $\text{u}\mathrm{,}\text{v}\mathrm{,}\text{w}\in T_{\mathfrak{X}}\mathfrak{B}$ и

                                                     ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\varkappa }_R^{\ast }{\nabla }_E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\text{u}}\text{v}\mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{\varkappa }}_R^{\ast }\mathrm{<mo>\{</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\nabla }_E{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\widehat{\varkappa }}_R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\ast }\text{u}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\widehat{\varkappa }}_R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\ast }\text{v}\mathrm{<mo>\}</mo>}$

для любых векторных полей $\text{u}$, $\text{v}$ на $\mathfrak{B}$. Здесь $T{\varkappa }_R\mathrm{<mo>:</mo>}T\mathfrak{B}\to T\mathcal{E}$ есть касательное отображение Abraham1988 к ${\varkappa }_R$, а ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\widehat{\varkappa }}_R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\ast }\text{u}\mathrm{<mo>=</mo>}T{\varkappa }_R\circ \text{u}\circ {\widehat{\varkappa }}_R^{-1}$ есть прямой образ (pushforward Abraham1988) векторного поля $\text{u}$.

Поскольку поле ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\varkappa }_R^{\ast }{\nabla }_E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\text{u}}\text{v}$ определено достаточно сложно, дадим необходимые пояснения. Каждое из векторных полей $\text{u}$, $\text{v}$ является отображением вида $\mathfrak{B}\to T\mathfrak{B}$, в то время как операция ${\nabla }_E$ действует на отображения $\mathcal{E}\to T\mathcal{E}$. Поэтому в первую очередь поля $\text{u}$, $\text{v}$ переносятся на $\mathcal{E}$ с сохранением их свойств. Это осуществляется при помощи прямого образа ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\widehat{\varkappa }}_R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\ast }$. На новые поля уже можно подействовать евклидовой связностью, что приводит к полю ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\nabla }_E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\widehat{\varkappa }}_R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\ast }\text{u}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\widehat{\varkappa }}_R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\ast }\text{v}$. Но это $—$ векторное поле на $\mathcal{E}$, поэтому далее оно отображается на $\mathfrak{B}$ при помощи операции обратного образа ${\widehat{\varkappa }}_R^{\ast }$.

Структура (5) является евклидовым многообразием, а форма ${\mathcal{S}}_R\mathrm{<mo>=</mo>}{\varkappa }_R\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathfrak{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ его гомеоморфной копией. Оба пространства ${\mathfrak{B}}_R$ и ${\mathcal{S}}_R$ совершенно неотличимы друг от друга, и поэтому в рамках классических рассуждений их отождествляют, полагая ${\mathcal{S}}_R$ материальным многообразием и называя его отсчетной формой. Все рассуждения проводятся относительно ${\mathcal{S}}_R$. В настоящей работе мы также опираемся на отсчетную форму. Вместе с тем понятие материального многообразия не отбрасывается, а лишь остается в тени. При рассмотрении несовместных деформаций оно возвращается на арену, будучи снабженным неевклидовой геометрией. С такой геометрией материальное многообразие становится отсчетной формой, а конфигурации приобретают статус обобщенных деформаций. Подробно эти аспекты изложены в работе Lychev2021.

 1.3 Локальные деформации

В настоящем исследовании рассматриваются лишь гиперупругие тела, материал которых прост Truesdell2004. В этой связи движение, вызванное действием внешних полей на тело и отсчитываемое от формы ${\mathcal{S}}_R$, реализуется в рамках принципа стационарности действия: $\delta \mathcal{A}\mathrm{<mo>=</mo>0}$, где $\mathcal{A}$ $—$ действие, определенное соотношением

                                                $\mathcal{A}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}}{\displaystyle \underset{{\mathcal{S}}_R}{\int }}\mathcal{L}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{,}t\mathrm{,}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\dot{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}D\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}d{V}_{R}dt\mathrm{.}$                                                     (6)

 В нем $X\in {\mathcal{S}}_R$, $t\in ℝ$, а $\gamma \mathrm{<mo>:</mo>}{\mathcal{S}}_R\times ℝ\to \mathcal{E}$ есть гладкое отображение, удовлетворяющее условию: для любого значения момента времени $t$ частичное отображение ${\gamma }_t\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}{\mathcal{S}}_R\to {\mathcal{S}}_t$ есть деформация отсчетной формы ${\mathcal{S}}_R$ в некоторую форму ${\mathcal{S}}_t$. Символ $\dot{\gamma }\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}\frac{\partial \gamma }{\partial t}$ обозначает поле скорости в отсчетном описании, а $D\gamma \mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}\frac{\partial \gamma }{\partial X}$ при каждом фиксированном $t$ есть градиент по пространственным переменным. Они характеризуют наилучшее линейное приближение отображения $\gamma$:

                                           $\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X+\text{h}\mathrm{,}t+\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+D\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}\text{h}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}+\dot{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\tau +\text{o}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\parallel \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{h}\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\parallel \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Следуя обозначениям, принятым в механике сплошной среды, для градиента $D\gamma$ будем использовать символ $\text{F}$, т. е. $\text{F}\mathrm{<mo>=</mo>}D\gamma$.

В формуле (6) $\mathcal{L}$ есть плотность действия. Будем полагать, что она определяется равенством (в котором зависимость полей от переменных $X$, $t$ опущена ради экономии места)

                                                 $\mathcal{L}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{,}t\mathrm{,}\gamma \mathrm{,}\dot{\gamma }\mathrm{,}\text{F}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{2}{\rho }_R\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\dot{\gamma }}^2-W\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{,}\text{F}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\Phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где ${\rho }_R$ $—$ массовая плотность в отсчетном описании, $W$ $—$ плотность упругой энергии, а $\Phi$ есть потенциал внешних массовых сил.

Используя далее стандартную вариационную технику, теперь можно получить уравнения поля и законы сохранения Lychev2018. Однако эти соотношения являются общими, и для их частного применения необходимо знать явную зависимость $W$ от $\text{F}$.

Для дальнейшего уточним, что понимается под представительным объемом: это часть формы ${\mathcal{S}}_R$, достаточно малая, чтобы считать ее деформации однородными, и достаточно большая, чтобы выполнялась гипотеза о термодинамическом равновесии. Теперь предположим, что некоторый представительный объем $—$ тестовый образец $—$ извлечен из формы, предварительно разгружен и помещен в испытательную машину. Тогда из экспериментов будет получена явная зависимость $W\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{X}_0\mathrm{,}\text{F}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ плотности $W$ от градиента деформации $\text{F}$. В ней следует предполагать точку $X_0\in {\mathcal{S}}_R$, отвечающую выбранному представительному объему, фиксированной; меняется лишь линейное отображение $\text{F}$. В общем случае, выбирая разные представительные объемы, придем к разным зависимостям для плотности упругой энергии, однако в настоящей работе принимается гипотеза о материальном единообразии Noll1967: представительные объемы состоят из одного и того же материала.

Будем полагать, что представительный объем тела обладает некоторым привилегированным состоянием, которое назовем натуральным. Состояние, свободное от напряжений, может служить примером. В общем же случае охарактеризуем его значением ${\text{P}}_{\text{natural}}$ тензора Пиолы $–$ Кирхгофа 1-го рода. Тогда классическая механика сплошной среды основана на следующей гипотезе о глобальной разгрузке: существует деформация ${\gamma }_0\mathrm{<mo>:</mo>}{\mathcal{S}}_R\to {\mathcal{S}}_0$ из отсчетной формы в некоторую форму ${\mathcal{S}}_0$, удовлетворяющая условию

                                                     $\forall X\in {\mathcal{S}}_R\mathrm{<mo>:</mo>}{\left.\frac{\partial W\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{,}\text{F}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial \text{F}}\right|}_{\text{F}\mathrm{<mo>=</mo>}{D}_Y{\gamma }_0{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{Y\mathrm{<mo>=</mo>}X}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\text{P}}_{\text{natural}}\mathrm{.}$                                                          (7)

 Таким образом, представительные объемы, составляющие форму ${\mathcal{S}}_R$, могут быть согласованно переведены в натуральное состояние, что даст новую форму ${\mathcal{S}}_0$, находящуюся целиком в натуральном состоянии.

Вместе с тем гипотеза о глобальной разгрузке справедлива далеко не всегда Eckart1948. В частности, она неверна, когда тело имеет дефектную структуру (дислокации, дисклинации, метрические аномалии). В таком случае целесообразно принять гипотезу о локальной разгрузке Lychev2021. Предположим, что имеется семейство ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{\gamma }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{X\in {\mathcal{S}}_R}$ деформаций ${\gamma }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>:</mo>}{\mathcal{S}}_R\to {\mathcal{S}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, удовлетворяющее условию

                                                    $\forall X\in {\mathcal{S}}_R\mathrm{<mo>:</mo>}{\left.\frac{\partial W\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{,}\text{F}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial \text{F}}\right|}_{\text{F}\mathrm{<mo>=</mo>}{D}_Y{\gamma }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{Y\mathrm{<mo>=</mo>}X}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\text{P}}_{\text{natural}}\mathrm{.}$                                                          (8)

 В отличие от (7), производные $\frac{\partial W\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{,}\text{F}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial \text{F}}$ теперь вычисляются для градиентов от различных элементов семейства деформаций, а не от одной деформации. Это отражает то обстоятельство, что в общем случае представительные объемы, составляющие форму ${\mathcal{S}}_R$, не могут согласованно перейти в натуральное состояние и образовать некоторую глобальную форму ${\mathcal{S}}_0$.

Следуя подходу, принятому в континуальной теории дефектов Kroener1959, для каждой точки $X\in {\mathcal{S}}_R$ определим тензор

                                                             ${\text{H}}_X\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}{D}_Y{\gamma }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{Y\mathrm{<mo>=</mo>}X}\mathrm{.}$                                                                  (9)

 Тогда свойство (8) принимает вид

                                                       $\forall X\in {\mathcal{S}}_R\mathrm{<mo>:</mo>}{\left.\frac{\partial W\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{,}\text{F}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial \text{F}}\right|}_{\text{F}\mathrm{<mo>=</mo>}{\text{H}}_X}\mathrm{<mo>=</mo>}{\text{P}}_{\text{natural}}\mathrm{.}$                                                          (10)

 В этой связи тензор ${\text{H}}_X$ характеризует деформацию представительного объема, окружающего точку $X$, в натуральное состояние. По этой причине будем называть ${\text{H}}_X$ локальной деформацией. Поскольку распределение дефектов предполагается непрерывным, то будем полагать, что поле

                                                                $\text{H}\mathrm{<mo>:</mo>}X\mapsto {\text{H}}_X$

является гладким. Заметим, что это поле получено по некоторому семейству деформаций ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{\gamma }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{X\in {\mathcal{S}}_R}$. Но можно поступить и иначе, как это принято в теории дефектов: сразу определить поле $\text{H}$, значения которого удовлетворяют (10). С формальной точки зрения оба подхода эквивалентны, поскольку соответствующее семейство ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{\gamma }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{X\in {\mathcal{S}}_R}$ можно восстановить. Однако для дальнейших построений подход, связанный с семейством деформаций, представляется нам более предпочтительным.

 1.4 Неевклидова отсчетная форма

В терминах поля локальных деформаций $\text{H}$ можно аналитически выразить свойство отсутствия глобальной натуральной формы. Действительно, локальные деформации совместны, если существует глобальная деформация ${\gamma }_0\mathrm{<mo>:</mo>}{\mathcal{S}}_R\to {\mathcal{S}}_0$, такая, что $D{\gamma }_0\mathrm{<mo>=</mo>}\text{H}$. Здесь ${\mathcal{S}}_0$ и есть глобально натуральная форма. В противном случае локальные деформации несовместны. В дальнейшем будем считать отсчетную форму ${\mathcal{S}}_R$ односвязной LeeITM2011. Тогда из теории потенциала Kellogg1967 известно, что тензорное поле второго ранга является градиентом некоторого точечного отображения в том и только в том случае, когда его ротор равен нулю. В этой связи условие совместности локальных деформаций может быть записано в виде равенства $\text{curl}\text{H}\mathrm{<mo>=</mo>}0$. Нарушение этого равенства означает, что локальные деформации несовместны. Теперь, представляя источник несовместности (в частности, плотность дефектов) в виде тензорного поля второго ранга $\eta$, можно записать соотношение

                                                                $\text{curl}\text{H}\mathrm{<mo>=</mo>}\eta \mathrm{,}$                                                                    (11)

 связывающее поле локальных деформаций с источником $\eta$. Дальнейшие рассуждения должны использовать (11) как одно из уравнений системы, характеризующей напряженно-деформированное состояние тела.

Однако можно поступить иначе. Поскольку в каждой точке $X\in {\mathcal{S}}_R$ тензор ${\text{H}}_X$ является обратимым линейным преобразованием, приходим к полю

                                                               ${\text{H}}^{-1}\mathrm{<mo>:</mo>}X\mapsto {\text{H}}_X^{-1}$

обратных локальных деформаций. Тогда соотношение (11) эквивалентно соотношению

                                                              ${\text{H}}^{-1}\text{curl}\text{H}\mathrm{<mo>=</mo>}{\text{H}}^{-1}\eta \mathrm{.}$

Левая часть полученного соотношения есть не что иное, как свертка $ϵ\text{}\mathrm{<mo>:</mo>}\text{}\mathfrak{T}$ тензора Леви-Чивита $ϵ$ и кручения $\mathfrak{T}$ связности Вайценбока Bilby1955Doubler,Kroener1959Doubler,Noll1967Doubler,Yavari2012DoublerBilby1955,Kroener1959,Noll1967,Yavari2012! Таким образом, кинематическое уравнение (11) заменяется геометрическим:

                                                                 $\mathfrak{T}\mathrm{<mo>=</mo>}{\mathfrak{T}}_0\mathrm{,}$

и, следовательно, кручение приобретает статус плотности дефектов (дислокаций) Miri2002.

Рассуждения, проведенные выше, неявно предполагали, что дефекты представлены дислокациями. Однако возможны и дисклинации и точечные дефекты Anthony1970Doubler,Anthony1971DoublerAnthony1970,Anthony1971. Общая геометрическая идея, таким образом, состоит в следующем Lychev2021. <<Сотрем>> геометрию с отсчетной формы ${\mathcal{S}}_R$, представленной структурой

                                                 ${\mathcal{S}}_R\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{S}_R\mathrm{,}{\mathcal{T}}_E{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{S_R}\mathrm{,}{\mathcal{D}}_E{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{S_R}\mathrm{,}{\text{g}}_E{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{S_R}\mathrm{,}{\nabla }_E{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{S_R}\mathrm{,}d{V}_E{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{S_R}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

и оставим лишь подлежащее многообразие ${\mathfrak{S}}_R$, т. е.

                                                          ${\mathfrak{S}}_R\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{S}_R\mathrm{,}{\mathcal{T}}_E{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{S_R}\mathrm{,}{\mathcal{D}}_E{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{S_R}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Затем, принимая во внимание структуру дефектов, <<синтезируем>> подходящую геометрию на многообразии ${\mathfrak{S}}_R$, что приводит к неевклидову в общем случае пространству аффинной связности:

                                                            $S_R\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathfrak{S}}_R\mathrm{,}\text{G}\mathrm{,}\nabla \mathrm{,}dV\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$                                                                (12)

 Здесь $\text{G}$ $—$ риманова метрика на ${\mathfrak{S}}_R$, $\nabla$ $—$ аффинная связность на ${\mathfrak{S}}_R$, а $dV$ $—$ форма объема, порожденная метрикой $\text{G}$.

Инварианты связности $—$ кручение $\mathfrak{T}$, кривизна $\Re$ и неметричность $\mathfrak{Q}$ служат мерами несовместности локальных деформаций и, соответственно, плотностями дефектов. Пространство (12), таким образом, приобретает статус глобальной натуральной формы, наделенной неевклидовой геометрией.

В работе рассматривается лишь частный случай, когда несовместность локальных деформаций полностью характеризуется кривизной связности. Последняя является связностью Леви-Чивита, порожденной метрикой $\text{G}$. Для синтезирования метрики используем следующее рассуждение Lychev2021. Пусть $X\in {\mathfrak{S}}_R$ $—$ произвольная точка, а ${\gamma }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>:</mo>}{\mathcal{S}}_R\to {\mathcal{S}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ $—$ соответствующая деформация из семейства. Форма ${\mathcal{S}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ есть структура вида (3),

                                             ${\mathcal{S}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{S}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}{\mathcal{T}}_E{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{S^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}\mathrm{,}{\mathcal{D}}_E{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{S^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}\mathrm{,}{\text{g}}_E{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{S^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}\mathrm{,}{\nabla }_E{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{S^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}\mathrm{,}d{V}_E{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{S^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

в которой нас будет интересовать лишь метрика ${\text{g}}_E{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{S^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}$. Ее обратный образ обозначим через ${\text{G}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, т. е.

                                                           ${\text{G}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\gamma }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\ast }{\text{g}}_E{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{S^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}\mathrm{.}$

В явном виде

                                                 ${\text{G}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_Y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{u}\mathrm{,}\text{v}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\text{g}}_E{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{{\gamma }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{T}_Y{\gamma }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{u}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{T}_Y{\gamma }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{v}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где $Y\in {\mathfrak{S}}_R$, а $\text{u}\mathrm{,}\text{v}\in T_Y{\mathfrak{S}}_R$. Синтезируем теперь по семейству ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{\text{G}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{X\in {\mathfrak{S}}_R}$ новое поле

                                                              $\text{G}\mathrm{<mo>:</mo>}X\mapsto {\text{G}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_X\mathrm{,}$

т. е.

                                                  $\text{G}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{u}\mathrm{,}\text{v}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\text{g}}_E{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{{\gamma }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{T}_X{\gamma }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{u}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{T}_X{\gamma }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{v}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$

для $\text{u}\mathrm{,}\text{v}\in T_X{\mathfrak{S}}_R$. Но последнее равенство можно записать в терминах локальных деформаций и скалярного произведения $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$:

                                                          $\text{G}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{u}\mathrm{,}\text{v}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\text{H}}_X\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\text{u}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}{\text{H}}_X\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\text{v}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$                                                              (13)

 Приходим к финальному выражению для метрики. Физический смысл определения (13) состоит в том, что в каждой точке $X\in {\mathfrak{S}}_R$ метрика $\text{G}$ возвращает длины и углы материальных волокон, находящихся в натуральном состоянии.

Синтезировав метрику (13), мы теперь можем синтезировать связность Леви-Чивита LeviCivita1916. Ее коэффициенты в координатном репере ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\partial }_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{A\mathrm{<mo>=</mo>1}}^3$ представлены выражениями:

                                                     ${\Gamma }_A^C{}_B\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{G^{CD}}{2}\left(\frac{\partial G_{DB}}{\partial X^A}+\frac{\partial G_{AD}}{\partial X^B}-\frac{\partial G_{AB}}{\partial X^D}\right)\mathrm{,}$                                                         (14)

 где $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{G}^{AB}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}{G}_{AB}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}^{-1}$ $—$ матрица, обратная к матрице метрических коэффициентов $G_{AB}\mathrm{<mo>=</mo>}$ $\mathrm{<mo>=</mo>}\text{G}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\partial }_A\mathrm{,}{\partial }_B\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Таким образом, неевклидова отсчетная форма (12) полностью синтезирована. Она является римановым пространством, геометрия которого характеризуется тензором кривизны Римана $\Re$. Его компоненты в координатном репере связаны с коэффициентами связности формулой

                                                   ${\Re }_A^D{{}_B}_C\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\partial {\Gamma }_B^D{}_C}{\partial X^A}-\frac{\partial {\Gamma }_A^D{}_C}{\partial X^B}+{\Gamma }_B^E{}_C{\Gamma }_A^D{}_E-{\Gamma }_A^E{}_C{\Gamma }_B^D{}_E\mathrm{.}$                                                      (15)

 Тензорное поле $\Re$, в свою очередь, определяет тензор кривизны Риччи $\text{Ric}$, компоненты которого в координатном репере получаются при помощи свертки компонент кривизны Римана:

                                                              ${\text{Ric}}_{AB}\mathrm{<mo>=</mo>}{\Re }_A^C{{}_C}_B\mathrm{.}$

Являясь тензорным полем второго ранга, тензор $\text{Ric}$ имеет в качестве одного из главных инвариантов след

                                                              $\text{Scal}\mathrm{<mo>=</mo>}{G}^{AB}{\text{Ric}}_{AB}$                                                                 (16)

 $—$ скалярную кривизну.

Подведем итог рассуждениям. Если локальные деформации несовместны, то имеются две возможности. В рамках первой из них мы по-прежнему работаем с формами как с областями, наделенными геометрией евклидова пространства. Но тогда приходится отказаться от идеи глобальной натуральной формы, заменив ее семейством локально натуральных форм. В этой связи соотношения механики сплошной среды теряют свой привычный вид. Однако имеется и вторая возможность, когда требование к геометрии форм ослабляется. Допускается, что форма может быть многообразием неевклидовой связности, инварианты которой характеризуют несовместность деформаций. В таком случае идея глобальной натуральной формы сохраняется и деформацию тела можно по-прежнему рассматривать как отображение одной формы в другую Goodbrake2021. Однако теперь первая форма является неевклидовым пространством, в то время как вторая, актуальная форма, по-прежнему наделена евклидовой геометрией объемлющего пространства.

2 Кинематика пластин

2.1 Допустимые конфигурации и формы

 Следуя методологии, предложенной в разделе 1.1, уточним, что понимается под основным объектом настоящего исследования $—$ пластиной. С интуитивной точки зрения пластина рассматривается как трехмерное тело, одно из измерений которого мало по сравнению с двумя другими. Вместе с тем попытка формализации такого представления наталкивается на следующую трудность: формы одного тела гомеоморфны, а гомеоморфизм нечувствителен к размерам. Образно говоря, если некоторая форма тела подходит под интуитивное описание пластины, то результат ее деформации может привести к форме, равнопротяженной по всем направлениям. Для того чтобы исправить ситуацию, следует ограничить класс возможных форм. Это может быть сделано следующим образом.

Назовем допустимой конфигурацию $\varkappa$, если ее образ $\mathcal{S}\subset \mathcal{E}$ является ограниченным множеством и удовлетворяет условию: для любой точки формы $\mathcal{S}$ найдется шар с центром в этой точке, который а) полностью лежит в $\mathcal{S}$ и б) радиус этого шара намного меньше минимального радиуса шара, описанного вокруг формы $\mathcal{S}$. Таким образом, отношение максимального радиуса шара, вписанного в форму, к минимальному радиусу шара, описанного вокруг формы, должно быть намного меньше $1$. Далее под тонкостенной конструкцией будем подразумевать пару $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathfrak{B}\mathrm{,}ℭ\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, где $\mathfrak{B}$ $—$ материальное многообразие, а $ℭ$ $—$ множество всех допустимых конфигураций. Зафиксируем некоторую допустимую конфигурацию ${\varkappa }_R\in ℭ$; ее образ ${\mathcal{S}}_R\mathrm{<mo>=</mo>}{\varkappa }_R\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathfrak{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ рассматривается в качестве отсчетной формы. Тогда приходим к тонкостенной конструкции с выбранной отсчетной формой $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathfrak{B}\mathrm{,}ℭ\mathrm{,}{\varkappa }_R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Поясним теперь, что в настоящей работе понимается под пластиной. Предположим, что граница $\partial \mathcal{S}$ может быть разложена на две части:

                                                              $\partial {\mathcal{S}}_R\mathrm{<mo>=</mo>}{\Pi }_1\cup {\Pi }_2\mathrm{,}$

 так, что выполнены следующие условия:

 1. Существует поверхность ${\omega }_R$ такая, что для каждой точки $A$ на ${\Pi }_2$ существует шар, содержащий эту точку, с центром, лежащим на $\omega$;

 2. Радиус этого шара $r_A$ намного меньше радиуса $r$ сферы, описанной вокруг всей формы ${\mathcal{S}}_R$.

 В общем случае мы приходим к формализации оболочки, которая, таким образом, представима в виде структуры $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathfrak{B}\mathrm{,}ℭ\mathrm{,}{\varkappa }_R\mathrm{,}{\omega }_R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Предположим дополнительно, что ${\omega }_R$ есть плоскость. Тогда структура, определенная выше, есть формализация пластины. Именно этот случай и рассматривается в настоящей работе.

Будем называть ${\omega }_R$ плоскостью редукции, объединение частей ${\Pi }_2$ лицевыми поверхностями, а объединение частей ${\Pi }_1$ $—$ боковыми поверхностями. Пересечение плоскости редукции и боковых поверхностей, т. е. $\Gamma \mathrm{<mo>=</mo>}{\omega }_R\cap {\Pi }_1$, определяет контур пластины. Отметим, что плоскость редукции служит плоскостью осреднения и в общем случае может целиком или частично лежать вне формы ${\mathcal{S}}_R$ (пластина с волнообразным профилем может служить примером). Деформация пластины определяется как тот из возможных гомеоморфизмов $\gamma \mathrm{<mo>:</mo>}{\mathcal{S}}_R\to \mathcal{S}$, образ которого $\mathcal{S}$ является допустимой формой, удовлетворяющей условиям типа 1 и 2 выше. 

2.2 Координатные представления полей

Для получения координатных представлений выберем в физическом пространстве $\mathcal{E}$ правую прямоугольную (декартову) систему координат $\left\{O\mathrm{,}\left(\text{i}\mathrm{,}\text{j}\mathrm{,}\text{k}\right)\right\}$ так, что начало отсчета принадлежит плоскости редукции ${\omega }_R$, а первые два вектора $\text{i}\mathrm{,}\text{j}$ параллельны ${\omega }_R$. Это означает, что любая точка $X\in {\omega }_R$ может быть записана как

                                                   $\overleftarrow{OX}\mathrm{<mo>=</mo>}{x}^1\text{i}+x^2\text{j}\text{или}X\mathrm{<mo>=</mo>}O+x^1\text{i}+x^2\text{j}\mathrm{.}$

Наряду с декартовыми используются и криволинейные координаты $\left({\rho }^1\mathrm{,}{\rho }^2\right)$, которые задаются по крайней мере на части ${\omega }_0\subset {\omega }_R$:

                                                  $\forall X\in {\omega }_0\mathrm{<mo>:</mo>}X\mathrm{<mo>=</mo>}O+x^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\rho }^1\mathrm{,}{\rho }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\text{i}+x^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\rho }^1\mathrm{,}{\rho }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\text{j}\mathrm{,}$

где $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\rho }^1\mathrm{,}{\rho }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in D_0\subset {ℝ}^2$.

Предполагается, что на $D_0$ справедливо неравенство

                                                              $\det \left[\frac{\partial x^{\alpha }}{\partial {\rho }^{\beta }}\right]\mathrm{<mo>></mo>0,}$

означающее обратимость формул перехода от одних координат к другим.

Для простоты предположим, что контур $\Gamma$ полностью лежит в ${\omega }_0$, а связные подмножества ${\Pi }_2$ являются поверхностями без самопересечений. Следовательно, форма ${\mathcal{S}}_R$, как область в $\mathcal{E}$, может быть определена в координатной форме следующим расширением карты $\left({\rho }^1\mathrm{,}{\rho }^2\right)$ на окрестность ${\omega }_0$:

                                     ${\mathcal{S}}_R\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{X\in \mathcal{E}\mathrm{<mo>:</mo>}X\mathrm{<mo>=</mo>}O+x^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\rho }^1\mathrm{,}{\rho }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\text{i}+x^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\rho }^1\mathrm{,}{\rho }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\text{j}+z\text{k}\mathrm{,}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\rho }^1\mathrm{,}{\rho }^2\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in D\subset {ℝ}^3\right\}\mathrm{.}$                                        (17)

 Здесь символы $x^1\equiv x$, $x^2\equiv y$, $x^3\equiv z$ обозначают декартовы координаты, связанные с выбранной системой координат в $\mathcal{E}$.

В области ${\omega }_0$, которая является открытым подмножеством плоскости редукции ${\omega }_R$ (т. е. подпространства $\mathcal{E}$, натянутого на $\left(\text{i}\mathrm{,}\text{j}\right)$ ), можно определить поле локальных (в общем случае косоугольных) базисов ${\left({\text{e}}_{\alpha }\right)}_{\alpha \mathrm{<mo>=</mo>1}}^2$ как

                                                     ${\text{e}}_{\alpha }\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\partial \text{r}}{\partial {\rho }^{\alpha }}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\partial x}{\partial {\rho }^{\alpha }}\text{i}+\frac{\partial y}{\partial {\rho }^{\alpha }}\text{j}\mathrm{,}\alpha \mathrm{<mo>=</mo>1,}2.$                                                         (18)

 Дальнейшие рассуждения наталкиваются на следующую трудность: явные выражения для компонент полей, записанные относительно криволинейных координат, оказываются громоздкими. Для упрощения записи будем использовать следующие обозначения:

             $a\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_{\mathrm{,}\rho }^2+y_{\mathrm{,}\rho }^2\mathrm{,}b\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_{\mathrm{,}\rho }{x}_{\mathrm{,}\theta }+y_{\mathrm{,}\rho }{y}_{\mathrm{,}\theta }\mathrm{,}c\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_{\mathrm{,}\theta }^2+y_{\mathrm{,}\theta }^2\mathrm{,}\omega \mathrm{<mo>=</mo>}{x}_{\mathrm{,}\rho }{y}_{\mathrm{,}\theta }-y_{\mathrm{,}\rho }{x}_{\mathrm{,}\theta }\mathrm{,}$

             $d\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_{\mathrm{,}\rho \rho }{y}_{\mathrm{,}\theta }-y_{\mathrm{,}\rho \rho }{x}_{\mathrm{,}\theta }\mathrm{,}e\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_{\mathrm{,}\rho \theta }{y}_{\mathrm{,}\theta }-y_{\mathrm{,}\rho \theta }{x}_{\mathrm{,}\theta }\mathrm{,}f\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_{\mathrm{,}\theta \theta }{y}_{\mathrm{,}\theta }-x_{\mathrm{,}\theta }{y}_{\mathrm{,}\theta \theta }\mathrm{,}$

             $g\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_{\mathrm{,}\rho }{y}_{\mathrm{,}\rho \rho }-y_{\mathrm{,}\rho }{x}_{\mathrm{,}\rho \rho }\mathrm{,}h\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_{\mathrm{,}\rho }{y}_{\mathrm{,}\rho \theta }-y_{\mathrm{,}\rho }{x}_{\mathrm{,}\rho \theta }\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_{\mathrm{,}\rho }{y}_{\mathrm{,}\theta \theta }-y_{\mathrm{,}\rho }{x}_{\mathrm{,}\theta \theta }\mathrm{.}$

 Здесь $\rho \mathrm{<mo>=</mo>}{\rho }^1$, $\theta \mathrm{<mo>=</mo>}{\rho }^2$, $\zeta \mathrm{<mo>=</mo>}z$, а запятая означает взятие частной производной по соответствующему аргументу. В рамках новых обозначений формулы (18) принимают вид

                                                       ${\text{e}}_{\rho }\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_{\mathrm{,}\rho }\text{i}+y_{\mathrm{,}\rho }\text{j}\mathrm{,}{\text{e}}_{\theta }\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_{\mathrm{,}\theta }\text{i}-y_{\mathrm{,}\theta }\text{j}\mathrm{.}$

Поле взаимных базисов ${\left({\text{e}}^{\alpha }\right)}_{\alpha \mathrm{<mo>=</mo>1}}^2$, в свою очередь, определяется из решения системы линейных неоднородных уравнений ${\text{e}}^{\alpha }\text{}\cdot \text{}{\text{e}}_{\beta }\mathrm{<mo>=</mo>}{\delta }_{\beta }^{\alpha }$, $\alpha \mathrm{,}\beta \mathrm{<mo>=</mo>1,}2$. В явном виде

                                                    ${\text{e}}^{\rho }\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{y_{\mathrm{,}\theta }}{\omega }\text{i}+\frac{x_{\mathrm{,}\theta }}{\omega }\text{j}\mathrm{,}{\text{e}}^{\theta }\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{y_{\mathrm{,}\rho }}{\omega }\text{i}-\frac{x_{\mathrm{,}\rho }}{\omega }\text{j}\mathrm{.}$

Поле базисов ${\left({\text{e}}_{\alpha }\right)}_{\alpha \mathrm{<mo>=</mo>1}}^2$ и соответствующее ему поле ${\left({\text{e}}^{\alpha }\right)}_{\alpha \mathrm{<mo>=</mo>1}}^2$ дуальных базисов можно расширить на все пространство $\mathcal{V}$, присоединив к ним третий вектор $\text{k}$. Это приводит к полям базисов $\left({\text{e}}_{\rho }\mathrm{,}{\text{e}}_{\theta }\mathrm{,}{\text{e}}_{\zeta }\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\left({\text{e}}_1\mathrm{,}{\text{e}}_2\mathrm{,}\text{k}\right)$ и $\left({\text{e}}^{\rho }\mathrm{,}{\text{e}}^{\theta }\mathrm{,}{\text{e}}^{\zeta }\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\left({\text{e}}^1\mathrm{,}{\text{e}}^2\mathrm{,}\text{k}\right)$.

Исходным и расширенным полям базисов соответствуют плоские и пространственные операторы Гамильтона в ${\omega }_0$ и ${\mathcal{S}}_R$. Они имеют следующие представления:

             ${\nabla }_{\omega }\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}\text{i}\frac{\partial }{\partial x}+\text{j}\frac{\partial }{\partial y}\mathrm{<mo>=</mo>}{\text{e}}^1\frac{\partial }{\partial {\rho }^1}+{\text{e}}^2\frac{\partial }{\partial {\rho }^2}\mathrm{,}$

             $\nabla \mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}\text{i}\frac{\partial }{\partial x}+\text{j}\frac{\partial }{\partial y}+\text{k}\frac{\partial }{\partial z}\mathrm{<mo>=</mo>}{\text{e}}^1\frac{\partial }{\partial {\rho }^1}+{\text{e}}^2\frac{\partial }{\partial {\rho }^2}+\text{k}\frac{\partial }{\partial z}\mathrm{<mo>=</mo>}{\nabla }_{\omega }+\text{k}\frac{\partial }{\partial z}\mathrm{.}$

 Отметим, что здесь и далее мы, следуя Truesdell2004, определяем оператор градиента как транспонирование формального диадного произведения соответствующего оператора Гамильтона и поля $\text{u}$, т. е.

                                                            $\text{g}rad\text{u}\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}{\left(\nabla \otimes \text{u}\right)}^{\text{T}}\mathrm{.}$

Для краткости обозначим $\text{g}rad\text{u}$ как $\nabla \text{u}$ (без знака диадного произведения). Итак, $\nabla \text{u}\mathrm{<mo>=</mo>}$ $\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(\nabla \otimes \text{u}\right)}^{\text{T}}$, и, следовательно, если $\text{u}\mathrm{<mo>=</mo>}{u}^{\alpha }{\text{e}}_{\alpha }+w\text{k}$ является векторным полем, то:

             ${\nabla }_{\omega }\text{u}\mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\text{e}}^{\alpha }\frac{\partial }{\partial {\rho }^{\alpha }}\otimes \left(u^{\beta }{\text{e}}_{\beta }+w\text{k}\right)\right)}^{\text{T}}\mathrm{<mo>=</mo>}$

             $\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\frac{\partial u^{\beta }}{\partial {\rho }^{\alpha }}+u^{\gamma }{\Gamma }_{\gamma \alpha }^{\beta }\right){\text{e}}_{\beta }\otimes {\text{e}}^{\alpha }+\frac{\partial w}{\partial {\rho }^{\alpha }}\text{k}\otimes {\text{e}}^{\alpha }\mathrm{,}$

             $\nabla \text{u}\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(\left({\text{e}}^{\alpha }\frac{\partial }{\partial {\rho }^{\alpha }}+\text{k}\frac{\partial }{\partial z}\right)\otimes \left(u^{\beta }{\text{e}}_{\beta }+w\text{k}\right)\right)}^{\text{T}}\mathrm{<mo>=</mo>}$

             $\mathrm{<mo>=</mo>}{\nabla }_{\omega }\text{u}+\frac{\partial u^{\beta }}{\partial z}{\text{e}}_{\beta }\otimes \text{k}+\frac{\partial w}{\partial z}\text{k}\otimes \text{k}\mathrm{,}$

 где функции

                                                   ${\Gamma }_{\gamma \alpha }^{\beta }\mathrm{<mo>=</mo>}{\text{e}}^{\beta }\text{}\cdot \text{}\frac{\partial {\text{e}}_{\gamma }}{\partial {\rho }^{\alpha }}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\partial {\rho }^{\beta }}{\partial x}\frac{{\partial }^{2}x}{\partial {\rho }^{\gamma }{\rho }^{\alpha }}+\frac{\partial {\rho }^{\beta }}{\partial y}\frac{{\partial }^{2}y}{\partial {\rho }^{\gamma }{\rho }^{\alpha }}$

являются символами Кристоффеля, связанными с криволинейными координатами на ${\omega }_0$. В явном виде

                                                    $\begin{array}{c}{\Gamma }_{\rho \rho }^{\rho }\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{d}{\omega }\mathrm{,}{\Gamma }_{\rho \rho }^{\theta }\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{g}{\omega }\mathrm{,}{\Gamma }_{\theta \rho }^{\rho }\mathrm{<mo>=</mo>}{\Gamma }_{\rho \theta }^{\rho }\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{e}{\omega }\mathrm{,}\\ {\Gamma }_{\theta \rho }^{\theta }\mathrm{<mo>=</mo>}{\Gamma }_{\rho \theta }^{\theta }\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{h}{\omega }\mathrm{,}{\Gamma }_{\theta \theta }^{\rho }\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{f}{\omega }\mathrm{,}{\Gamma }_{\theta \theta }^{\theta }\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{j}{\omega }\mathrm{.}\end{array}$                                                        (19)

В последующих соотношениях будут использоваться компоненты метрического тензора ${\text{g}}_0\mathrm{<mo>=</mo>}{g}_{\alpha \beta }{\text{e}}^{\alpha }\otimes {\text{e}}^{\beta }\mathrm{<mo>=</mo>}{g}^{\alpha \beta }{\text{e}}_{\alpha }\otimes {\text{e}}_{\beta }$ на плоскости редукции ${\omega }_R$. В рамках обозначений, введенных выше, они представлены выражениями:

                                                  $\begin{array}{c}{g}_{\rho \rho }\mathrm{<mo>=</mo>}a\mathrm{,}{g}_{\rho \theta }\mathrm{<mo>=</mo>}{g}_{\theta \rho }\mathrm{<mo>=</mo>}b\mathrm{,}{g}_{\theta \theta }\mathrm{<mo>=</mo>}c\mathrm{,}\\ g^{\rho \rho }\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{b}{{\omega }^2}\mathrm{,}{g}^{\rho \theta }\mathrm{<mo>=</mo>}{g}^{\theta \rho }\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{c}{{\omega }^2}\mathrm{,}{g}^{\theta \theta }\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{a}{{\omega }^2}\mathrm{.}\end{array}$                                                      (20)

 Здесь $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{g}^{\alpha \beta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}{g}_{\alpha \beta }{\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}^{-1}$. 

2.3 Деформации и кинематические гипотезы

 Деформация определяется как гомеоморфизм $\gamma$, который отображает допустимую отсчетную область ${\mathcal{S}}_R$ на допустимую искаженную область $\mathcal{S}$, т. е.

             $\gamma \mathrm{<mo>:</mo>}{\mathcal{S}}_R\to \mathcal{S}\mathrm{,}$

             $X\mapsto x\mathrm{<mo>=</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

 При этом с отсчетной областью ассоциирована плоскость редукции ${\omega }_R$, которая может лежать как целиком внутри нее, так и выходить за ее пределы, хотя бы частично. Предположим вначале, что плоскость редукции ${\omega }_R$ содержится внутри ${\mathcal{S}}_R$. Тогда отображение $\gamma$ индуцирует деформацию ${\gamma }_0$ плоскости редукции ${\omega }_R$ как ограничение $\gamma$ на ${\omega }_R$:

             ${\gamma }_0\mathrm{<mo>:</mo>}{\omega }_0\to \Omega \mathrm{,}$

             ${\gamma }_0\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}\gamma {\mathrm{<mo>|</mo>}}_{{\omega }_R}\mathrm{.}$

 Здесь $\Omega \mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\omega }_R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ обозначает образ плоскости редукции, который можно назвать поверхностью редукции.

Предположим теперь, что плоскость редукции ${\omega }_R$, хотя бы некоторой своей частью, выходит за пределы отсчетной формы ${\mathcal{S}}_R$. Тогда примем следующее допущение: плоскость редукции находится в малой окрестности ${\mathcal{U}}_R$ множества ${\mathcal{S}}_R$. В таком случае можно ожидать, что деформация $\gamma$ продолжается до некоторого гомеоморфизма $\overline{\gamma }\mathrm{<mo>:</mo>}{\mathcal{U}}_R\to \mathcal{U}$ этой окрестности на окрестность $\mathcal{U}$ множества $\mathcal{S}$. Образ $\Omega \mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\omega }_R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ плоскости редукции и тогда определяет поверхность редукции. Соответствующую деформацию обозначим как ${\overline{\gamma }}_0\mathrm{<mo>:</mo>}{\omega }_R\to \Omega$.

Поскольку физическое пространство $\mathcal{E}$ обладает аффинно-евклидовой структурой (1), можно определить векторное поле перемещений:

                                                          $\begin{array}{ll}\text{u}\mathrm{<mo>:</mo>}{\mathcal{S}}_R\hfill & \to \mathcal{V}\mathrm{,}\hfill \\ X\hfill & \mapsto \text{vec}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{,}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>.}\hfill \end{array}$                                                              (21)

 Его градиент $\nabla \text{u}$ есть линейное отображение $\mathcal{V}\to \mathcal{V}$, обеспечивающее наилучшее линейное приближение $\text{u}$ в окрестности каждой точки $X\in {\mathcal{S}}_R$:

                                                    $\text{u}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X+\text{h}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\text{u}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\nabla \text{u}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}\text{h}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}+\text{o}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\parallel \text{h}\parallel \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

В поле базисов $\left({\text{e}}_{\rho }\mathrm{,}{\text{e}}_{\theta }\mathrm{,}{\text{e}}_{\zeta }\right)$ градиент $\nabla \text{u}$ представлен в виде разложения

                                        $\nabla \text{u}\mathrm{<mo>=</mo>}\left(u_{\mathrm{,}\alpha }^{\beta }+u^{\gamma }{\Gamma }_{\gamma \alpha }^{\beta }\right)g^{\alpha \delta }{\text{e}}_{\beta }\otimes {\text{e}}_{\delta }+w_{\mathrm{,}\alpha }{g}^{\alpha \delta }\text{k}\otimes {\text{e}}_{\delta }+u_{\mathrm{,}\zeta }^{\beta }{\text{e}}_{\beta }\otimes \text{k}+w_{\mathrm{,}\zeta }\text{k}\otimes \text{k}$

по диадному базису ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\text{e}}_i\otimes {\text{e}}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{i\mathrm{,}k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^3$. Здесь $\text{u}\mathrm{<mo>=</mo>}{u}^{\alpha }{\text{e}}_{\alpha }+w\text{k}$. Приняв во внимание формулы (19) и (20), компоненты полученного разложения можно записать в виде матрицы

                            $\left[\nabla \text{u}\right]\mathrm{<mo>=</mo>}\left[\begin{array}{ccc}\frac{c}{{\omega }^2}\left(\frac{du}{\omega }+\frac{ev}{\omega }+u_{\mathrm{,}\rho }\right)-\frac{b}{{\omega }^2}\left(\frac{eu}{\omega }+\frac{fv}{\omega }+u_{\mathrm{,}\theta }\right)& \frac{a}{{\omega }^2}\left(\frac{eu}{\omega }+\frac{fv}{\omega }+u_{\mathrm{,}\theta }\right)-\frac{b}{{\omega }^2}\left(\frac{du}{\omega }+\frac{ev}{\omega }+u_{\mathrm{,}\rho }\right)& u_{\zeta }\\ \frac{c}{{\omega }^2}\left(\frac{du}{\omega }+\frac{hv}{\omega }+v_{\mathrm{,}\rho }\right)-\frac{b}{{\omega }^2}\left(\frac{hu}{\omega }+\frac{jv}{\omega }+v_{\mathrm{,}\theta }\right)& \frac{a}{{\omega }^2}\left(\frac{hu}{\omega }+\frac{jv}{\omega }+v_{\mathrm{,}\theta }\right)-\frac{b}{{\omega }^2}\left(\frac{du}{\omega }-\frac{hv}{\omega }+v_{\mathrm{,}\rho }\right)& v_{\zeta }\\ \frac{c{w}_{\mathrm{,}\rho }}{{\omega }^2}-\frac{b{w}_{\mathrm{,}\theta }}{{\omega }^2}& \frac{a{w}_{\mathrm{,}\theta }}{{\omega }^2}-\frac{b{w}_{\mathrm{,}\rho }}{{\omega }^2}& w_{\zeta }\\ & & \end{array}\right]\mathrm{,}$

 в которой используются обозначения $u\mathrm{<mo>=</mo>}{u}^1$, $v\mathrm{<mo>=</mo>}{u}^2$.

Деформации плоскости редукции отвечает векторное поле перемещений ${\text{u}}_0\mathrm{<mo>:</mo>}\omega \to \mathcal{V}$, которое определяется, соответственно, как

                                             ${\text{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\text{vec}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{,}{\gamma }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\text{или}{\text{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\text{vec}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{,}{\overline{\gamma }}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Кроме того, используя координатное представление (17) отсчетной формы, мы можем построить разложение поля перемещений (21) по малому параметру $z$, связанному с толщиной^[1]:

                                                        $\text{u}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\rho }^1\mathrm{,}{\rho }^2\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{\infty }}{z}^n{\text{u}}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\rho }^1\mathrm{,}{\rho }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где коэффициенты могут быть, при известных аналитических предположениях, определены как производные $\text{u}$:

                                                      ${\text{u}}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\rho }^1\mathrm{,}{\rho }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{n\mathrm{<mo>!</mo>}}\frac{{\partial }^n}{\partial z^n}\text{u}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\rho }^1\mathrm{,}{\rho }^2\mathrm{,}z{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{z\mathrm{<mo>=</mo>0}}\mathrm{.}$

Будем далее полагать, что нулевые термы разложения ${\text{u}}_0$ совпадают со смещениями точек плоскости редукции. Таким образом, вместо трехмерной задачи относительно $\text{u}$ можно рассмотреть двумерную задачу относительно последовательности неизвестных ${\text{u}}_n$, которая намного проще первой. В этом случае градиент деформации можно выразить в терминах ${\text{u}}_n$:

             $\nabla \text{u}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{\infty }}{z}^n{\nabla }_{\omega }{\text{u}}_n+{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}n{z}^{n-1}{\text{u}}_n\otimes \text{k}$

             null

При наличии лишь конечного числа элементов мы приходим к асимптотическому представлению. Если же учесть элементы степени не выше единицы, то формально:

                                      $\text{u}\mathrm{<mo>=</mo>}{\text{u}}_0+z{\text{u}}_1+\text{o}\left(z\right)\mathrm{,}\nabla \text{u}\mathrm{<mo>=</mo>}{\nabla }_{\omega }{\text{u}}_0+{\text{u}}_1\otimes \text{k}+z\left({\nabla }_{\omega }{\text{u}}_1+2{\text{u}}_2\otimes \text{k}\right)+\text{o}\left(z\right)\mathrm{.}$                                          (22)

 Появление ${\text{u}}_2$ в выражении для градиента деформации асимптотически согласовано, но приводит к расхождению со стандартным подходом в теории оболочек. Чтобы избежать этого расхождения, мы можем либо пренебречь этим членом, либо изменить подход к деформации, рассматривая (22) как точное выражение для деформации двумерного континуума Коссера. В настоящей работе мы используем последний подход. Таким образом, в соответствии с идеями, восходящими к работам Фойгта и братьев Коссера Voigt1887Doubler,Cosserat1909DoublerVoigt1887,Cosserat1909, будем полагать, что пластина является двумерным плоским континуумом, каждая частица которого $—$ микроконтинуум (по терминологии Миндлина Mindlin1964) $—$ движется подобно абсолютно твердому телу. С формальной точки зрения в таком случае пластина рассматривается как упорядоченная пара $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\omega }_R\mathrm{,}\text{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, где $\text{D}$ $—$ векторное поле на ${\omega }_R$ (по терминологии Ericksen1957 $—$ поле директоров), которое при деформировании пластины может лишь менять направление, но не длину. Формулы (22) теперь записываются следующим образом:

                                                  $\text{u}\mathrm{<mo>=</mo>}\stackrel{\circ }{\text{u}}+z{\text{u}}_1\mathrm{,}\nabla \text{u}\mathrm{<mo>=</mo>}{\nabla }_{\omega }\stackrel{\circ }{\text{u}}+{\text{u}}_1\otimes \text{k}+z{\nabla }_{\omega }{\text{u}}_1\mathrm{,}$

без термов порядка $\text{o}\left(z\right)$. Здесь $\stackrel{\circ }{\text{u}}$ $—$ поле смещений точек ${\omega }_R$, а ${\text{u}}_1$ $—$ некоторое поле, обусловленное наличием дополнительных степеней свободы у частиц пластины.

Имея в виду записать явное выражение для поля ${\text{u}}_1$, примем во внимание, что в соответствии с теоремами Эйлера[2] и Шаля" href="#_ftn3" name="_ftnref3">^[3] Pars1971_Rus, движение каждой частицы пластины является композицией перемещения точки ${\omega }_R$ и поворота линейных элементов, которые трансверсальны к ${\omega }_R$. В этой связи мы в действительности имеем соотношения:

             $\text{u}\mathrm{<mo>=</mo>}\stackrel{\circ }{\text{u}}+\text{R}\text{}\cdot \text{}\text{D}$

             $\mathrm{<mo>=</mo>}\stackrel{\circ }{\text{u}}+\parallel \text{D}\parallel \frac{\text{R}\text{}\cdot \text{}\text{D}}{\parallel \text{D}\parallel }$

             $\mathrm{<mo>=</mo>}\stackrel{\circ }{\text{u}}+z{\text{u}}_1\mathrm{,}$

 и поля $z$, ${\text{u}}_1$ определяются выражениями:

                                                            $z\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}\parallel \text{D}\parallel \mathrm{,}{\text{u}}_1\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}\frac{\text{R}\text{}\cdot \text{}\text{D}}{\parallel \text{D}\parallel }\mathrm{,}$

где $\text{R}$ $—$ собственный ортогональный тензор ( ${\text{R}}^{\text{T}}\text{}\cdot \text{}\text{R}\mathrm{<mo>=</mo>}\text{I}$, $\mathrm{<mo>|</mo>}\text{R}\mathrm{<mo>|</mo><mo>=</mo>1}$ ).

В трехмерном пространстве вращение твердого тела производится вокруг некоторой прямой, содержащейся в теле, на определенный угол^[4]. В этой связи явное выражение для тензора $\text{R}$ может быть получено на основании формулы Родрига Pars1971_Rus:

                                                       $\text{RD}\mathrm{<mo>=</mo>}\gamma \text{D}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{nD}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\text{n}+\sigma \text{n}\times \text{D}\mathrm{,}$                                                           (23)

 где $\text{n}$ $—$ единичный вектор, направленный вдоль оси вращения, а числа $\gamma$ и $\sigma$ определены равенствами $\gamma \mathrm{<mo>=</mo>}\cos \alpha$ и $\sigma \mathrm{<mo>=</mo>}\sin \alpha$, в которых $\alpha$ $—$ угол поворота.

Считая угол $\alpha$ малым, можно заменить формулу (23) ее линейным приближением, полагая $\gamma \approx 1$ и $\sigma \approx \alpha$:

                                                               $\text{RD}\approx \text{D}+\omega \text{D}\mathrm{,}$

где $\omega$ $—$ антисимметричный тензор, определенный равенством $\omega \mathrm{<mo>=</mo>}\alpha {\text{n}}_{\times }$, в котором ${\text{n}}_{\times }$ $—$ Гиббсов крест вектора.

Таким образом, мы приходим к представлению типа Уфлянда $–$ Миндлина. Однако можно пойти еще дальше и предположить, следуя Кирхгофу и Ляву Reddy2006, что значения поля директоров $\text{D}$ нормальны к плоскости редукции и после деформации значения измененного поля также нормальны к поверхности осреднения. В таком случае повороты относительно плоскости редукции могут быть охарактеризованы в терминах одной скалярной функции $\stackrel{\circ }{w}$, и мы приходим к выражениям, представляющим кинематические гипотезы Кирхгофа $–$ Лява:

                                                   $\text{u}\mathrm{<mo>=</mo>}\stackrel{\circ }{\text{u}}-\zeta \nabla \stackrel{\circ }{w}\mathrm{<mo>=</mo>}\left({\stackrel{\circ }{u}}^{\alpha }-\zeta g^{\alpha \beta }{\stackrel{\circ }{w}}_{\mathrm{,}\beta }\right){\text{e}}_{\alpha }+\stackrel{\circ }{w}\text{k}\mathrm{,}$

или в компонентах:

                                          $\text{u}\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\stackrel{\circ }{u}-\frac{\zeta }{{\omega }^2}\left(c{\stackrel{\circ }{w}}_{\mathrm{,}\rho }-b{\stackrel{\circ }{w}}_{\mathrm{,}\theta }\right)\right){\text{e}}_{\rho }+\left(\stackrel{\circ }{v}-\frac{\zeta }{{\omega }^2}\left(a{\stackrel{\circ }{w}}_{\mathrm{,}\theta }-b{\stackrel{\circ }{w}}_{\mathrm{,}\rho }\right)\right){\text{e}}_{\theta }+\stackrel{\circ }{w}\text{k}\mathrm{.}$ 

В таком случае градиент перемещений $\beta \mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}\nabla \text{u}$ может быть представлен в виде следующего диадного разложения:

             $\beta \mathrm{<mo>=</mo>}\left[{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\stackrel{\circ }{u}}^{\beta }-\zeta g^{\beta \varkappa }{\stackrel{\circ }{w}}_{\mathrm{,}\varkappa }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\mathrm{,}\alpha }+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\stackrel{\circ }{u}}^{\gamma }-\zeta g^{\gamma \varkappa }{\stackrel{\circ }{w}}_{\mathrm{,}\varkappa }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\Gamma }_{\gamma \alpha }^{\beta }\right]g^{\alpha \delta }{\text{e}}_{\beta }\otimes {\text{e}}_{\delta }+{\stackrel{\circ }{w}}_{\mathrm{,}\alpha }{g}^{\alpha \delta }\text{k}\otimes {\text{e}}_{\delta }-g^{\beta \varkappa }{\stackrel{\circ }{w}}_{\mathrm{,}\varkappa }{\text{e}}_{\beta }\otimes \text{k}\mathrm{.}$                                                    (24)

Тензорному полю градиента перемещений $\beta$ соответствует поле градиента деформации $\text{F}$, которое вычисляется по формуле

                                                                $\text{F}\mathrm{<mo>=</mo>}\text{I}+\beta \mathrm{.}$                                                                    (25)

 Здесь $\text{I}$ $–$ единичный тензор, который в диадном разложении представляется единичной матрицей:

                                                        $\text{I}\mathrm{<mo>=</mo>}{\text{e}}_{\rho }\otimes {\text{e}}^{\rho }+{\text{e}}_{\theta }\otimes {\text{e}}^{\theta }+\text{k}\otimes \text{k}\mathrm{.}$

3 Меры напряжений и деформаций

3.1 О координатах в отсчетном описании

В классической теории пластин координатные представления полей и дифференциальных операторов рассматриваются относительно натуральной отсчетной формы ${\mathcal{S}}_R$, поскольку ее геометрия предполагается известной, а отклик имеет наиболее простой вид. Вместе с тем если в теле присутствуют непрерывно распределенные дефекты, то, как это обсуждалось в разделе 1.4, натуральная форма существует вне рамок евклидова пространства $\mathcal{E}$. В этой связи наблюдению и измерению доступна лишь актуальная форма $\mathcal{S}$, и потому только на ней можно явным образом ввести координатную сеть. Поскольку настоящая работа по-прежнему апеллирует к отсчетной методологии, следует указать способы явного определения отсчетных координат и пересчета полей из актуальных координат в отсчетные. Этому посвящен настоящий раздел.

Предположим, что выбрана некоторая форма ${\mathcal{S}}_R$, которая в общем случае самонапряжена и подвержена воздействию дополнительных внешних полей, за счет которых можно по-прежнему считать форму допустимой и выделить в ней плоскость редукции. Область ${\mathcal{S}}_R$ рассматривается в качестве отправной точки для построения неевклидовой отсчетной формы; по этой причине назовем ее промежуточной формой. Стирая геометрию с пространства ${\mathcal{S}}_R$, индуцированную геометрией евклидова объемлющего пространства, приходим к многообразию ${\mathfrak{S}}_R$, которое будет носителем новой неевклидовой геометрии. Откладывая на потом реализацию процедуры синтеза геометрии, уточним способ введения координат на ${\mathfrak{S}}_R$.

Пусть $\mathcal{S}$ $—$ актуальная форма, непосредственно наблюдаемая в эксперименте или технологическом процессе. Хотя она по-прежнему принадлежит множеству допустимых форм, ей соответствует поверхность осреднения $\Omega$, которая в общем случае не является плоскостью. Однако картрирование этой формы осуществляется по аналогии с (17):

                                      $\mathcal{S}\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{x\in \mathcal{E}\mathrm{<mo>:</mo>}x\mathrm{<mo>=</mo>}O+x^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\tilde{\rho }}^1\mathrm{,}{\tilde{\rho }}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\text{i}+x^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\tilde{\rho }}^1\mathrm{,}{\tilde{\rho }}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\text{j}+z\text{k}\mathrm{,}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\tilde{\rho }}^1\mathrm{,}{\tilde{\rho }}^2\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in D\subset {ℝ}^3\right\}\mathrm{.}$