Boundary value problems for discontinuously loaded parabolic equations

Full Text

Введение

Как известно, исследование математических моделей физико-биологических фрактальных процессов и связанных с ними задач, таких как задачи прогноза и регулирования уровня грунтовых вод, содержания влаги и соли в почвогрунтах на мелиорируемой территории и др., приводит к качественно новому классу дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, получивших название нагруженных уравнений. В связи с этим исследование этих уравнений представляет большой как теоретический, так и практический интерес.

В монографии А.М. Нахушева [?] приведена подробная библиография по нагруженным уравнениям, в том числе по различным применениям нагруженных уравнений, как методу исследования задач математической биологии, математической физики, математического моделирования нелокальных процессов и явлений, механики сплошных сред с памятью.

Данная работа посвящена исследованию краевых задач для разрывно-нагруженных параболических уравнений с дробной производной.

В полосе $H=\left\{\left(x,t\right):x\in ℝ,0<t<T\right\}$ евклидовой плоскости независимых переменных x и t рассмотрим разрывно-нагруженное уравнение

$Lu=\sum _{j=1}^{n_k}{a}_j^k\left(x,t\right)D_{0t}^{{\alpha }_j^k}{K}_j^k\left(x,t\right)u\left(x_j^k,t\right),T_k<t⩽T_{k+1},$ (1)

 где

$\begin{array}{l}k=\mathrm{0,1,}\dots ,N,0=T_0<T_1<\dots <T_N=T,\\ {\alpha }_{n_k}^k<{\alpha }_{n_{k-1}}^k<\dots <{\alpha }_1^k={\alpha }_k,0<x_1^k<x_2^k<\dots <x_{n_k}^k<l,\\ Lu=a\left(x,t\right)u_{xx}+b\left(x,t\right)u_x+c\left(x,t\right)u-u_t,\end{array}$

$D_{0t}^{{\alpha }_j}$ — оператор дробного интегродифференцирования порядка ${\alpha }_j$ [2].

Уравнение (1) относится к классу уравнений, предложенных в [3]. Работы [4; 5] посвящены локальным и нелокальным краевым задачам для нагруженных параболических уравнений. Нелокальные краевые задачи для линейных параболических уравнений рассматривались также в работах [6; 7]. В работе [8] методом функции Грина исследована смешанная краевая задача для нагруженного уравнения теплопроводности. Краевые задачи для уравнений в частных производных дробного порядка, включая диффузионно-волновые уравнения, рассмотрены в монографии [9]. В исследовании [10] получены решения краевых задач для нагруженного диффузионно-волнового уравнения с дробной производной. Среди более поздних отметим работу [11], в которой доказана однозначная разрешимость в пространстве Соболева нелокальной задачи с интегральными условиями для параболического уравнения, а также работы [12; 13], посвященные исследованию разрешимости нелинейных обратных задач для параболических уравнений, в том числе вырождающихся. Численному решению первой краевой задачи для нагруженного уравнения теплопроводности с переменными коэфициентами посвящены работы [14; 15].

1 Основные результаты

1.1 Задача Коши – Дирихле

Пусть $a\left(x,t\right)⩾\mu >0$, коэффициенты a, b, c, $a_j^k$, $K_j^k$ в области H ограничены, непрерывны; a, b, c удовлетворяют условиям Гельдера по переменной x, а $a\left(x\mathrm{,}t\right)$ и по переменной t. Пусть далее

$u\left(x\mathrm{,0}\right)=\phi \left(x\right),x\in ℝ.$ (2)

Решением задачи (1), (2) будем называть функцию $u(x,t)$, непрерывную и ограниченную в H, удовлетворяющую уравнению (1) и условию (2).

 Теорема 1.1. Пусть $\phi \left(x\right)$ — непрерывная и ограниченная во всем пространстве R функция и ${\alpha }^k<\frac{1}{2}$. Тогда в слое H существует единственное решение задачи Коши – Дирихле для уравнения (1) с начальным условием (2).

 Доказательство. Не нарушая общности, рассмотрим задачу для $N=2$. Введем обозначения:

 $H_1=\left\{\left(x,t\right):x\in ℝ,0<t<T_1\right\},$                                                     

$H_2=\left\{\left(x,t\right):x\in ℝ,T_1<t<T\right\}.$                                                      

Известно [16], что фундаментальное решение $Z(x,t;\xi ,\tau )$ уравнения $Lu=0$ имеет вид

$Z(x,t;\xi ,\tau )=W(x,t;\xi ,\tau )+$                                                        

$+\underset{\tau }{\overset{t}{\int }}d{\tau }_1\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}W(x,t;{\xi }_1,{\tau }_1)\Phi ({\xi }_1,{\tau }_1;\xi ,\tau )d{\xi }_1,$                                                   

где

$W(x,t;\xi ,\tau )=\frac{1}{2\sqrt{\pi (t-\tau )a(\xi ,\tau )}}{e}^{-\frac{{(x-\xi )}^2}{4a(\xi ,\tau )(t-\tau )}}$                                                 

— фундаментальное решение, а $\Phi (x,t;\xi ,\tau )$ однозначно определяется из интегрального уравнения

$\Phi (x,t;\xi ,\tau )=L_{x,t}\left[W(x,t;\xi ,\tau )\right]+$                                                      

$+\underset{\tau }{\overset{t}{\int }}d{\tau }_1\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{L}_{x,t}\left[W\left(x,t;{\xi }_1,{\tau }_1\right)\right]\Phi \left({\xi }_1,{\tau }_1;\xi ,\tau \right)d{\xi }_1.$                                                 

Здесь

$L_{x,t}\left[W\left(x,t;{\xi }_1,{\tau }_1\right)\right]=\left[a(x,t)-a(\xi ,\tau )\right]\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+W(x,t;\xi ,\tau )+$                        

$+b(x,t)\frac{\partial }{\partial x}W(x,t;\xi ,\tau )+c(x,t)W(x,t;\xi ,\tau ).$

Пусть существует решение $u(x,t)$ задачи (1), (2), непрерывное, ограниченное и имеющее дробные производные порядка ${\alpha }^k<1/2$. Пусть далее $f_i^k\left(t\right)=u\left(x_i^k,t\right)$, $i=\mathrm{1,2,}\dots ,n_k$, $k=\mathrm{0,1}$. Будем искать решение задачи (1), (2) сначала в $H_1$.

Принимая во внимание свойства фундаментального решения $Z(x,t;\xi ,\tau )$ уравнения $Lu=0$, нетрудно заметить, что функция $u(x,t)$ связана с $f_i^0\left(t\right)$ $(i=\mathrm{1,2,}\dots ,n_0)$ и начальной функцией $\phi \left(x\right)$ следующим образом:

 

$u(x,t)=-\underset{0}{\overset{t}{\int }}d\tau \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}Z\left(x,t;\xi ,\tau \right)\sum _{i=1}^{n_0}{a}_i^0\left(\xi ,\tau \right)D_{0\tau }^{{\alpha }_i^0}{K}_i^0\left(\xi ,\tau \right)f_i\left(\tau \right)d\xi +$

$+\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}Z\left(x,t;\xi \mathrm{,0}\right)\phi \left(\xi \right)d\xi .$ (3)

Введем новую функцию $Z_0\left(x,t;\xi ,\tau \right)$, определенную формулой

$Z_0\left(x,t;\xi ,\tau \right)={(t-\tau )}^{1/2}Z\left(x,t;\xi ,\tau \right).$

Так как

$\left|Z\left(x,t;\xi ,\tau \right)\right|<c_1{\left(t-\tau \right)}^{-1/2}{e}^{-\frac{{\mu }_1{(x-\xi )}^2}{(t-\tau )}},$

где $c_1$ и ${\mu }_1$ — положительные постоянные, то $Z_0\left(x,t;\xi ,\tau \right)$ — непрерывная функция.

Рассмотрим интеграл

$J=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\left(t-\tau \right)}^{-1/2}{Z}_j^0\left(x,t;\xi ,\tau \right)D_{0\tau }^{{\alpha }_j^0}{K}_j^0\left(\xi ,\tau \right)f_j^0\left(\tau \right)d\tau ,$

где

$Z_j^0\left(x,t;\xi ,\tau \right)=a_j^0(\xi ,\tau )Z_0\left(x,t;\xi ,\tau \right)$

и по повторяющемуся индексу $j=\mathrm{1,2,}\dots ,n_0$ подразумевается суммирование.

При ${\alpha }_j^0<0$

$J=\frac{1}{\Gamma \left(-{\alpha }_j^0\right)}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{f}_j^0\left({\tau }_1\right)K_j^0\left(\xi ,{\tau }_1\right){\left(\tau -{\tau }_1\right)}^{-{\alpha }_j^0-1}d{\tau }_1\underset{t}{\overset{\tau }{\int }}{Z}_j^0\left(x,t;\xi ,\tau \right){\left(t-{\tau }_1\right)}^{-1/2}d\tau .$

Введем новую переменную y:

$\tau ={\tau }_1+\left(t-{\tau }_1\right)y.$           

Тогда

$d\tau =\left(t-{\tau }_1\right)dy,=\frac{\tau -{\tau }_1}{t-{\tau }_1},1-y=\frac{t-\tau }{t-{\tau }_1}.$

Учитывая последние соотношения при ${\alpha }_j^0<0$, имеем

$J=\frac{1}{\Gamma \left(-{\alpha }_j^0\right)}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{K}_j^0\left(\xi ,{\tau }_1\right)f_j\left({\tau }_1\right){\left(t-{\tau }_1\right)}^{-{\alpha }_j^0-1/2}d{\tau }_1\times$

 

$\times \underset{0}{\overset{1}{\int }}{Z}_i^0\left[\left(x,t;\xi ,{\tau }_1+\left(t-{\tau }_1\right)y\right)\right]y^{-1-{\alpha }_j^0}{\left(1-y\right)}^{-1/2}dy.$

Точно так же при $0<{\alpha }_j^0<\frac{1}{2}$

$J=-\frac{1}{\Gamma \left(1-{\alpha }_j\right)}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{K}_j^0\left(\xi ,{\tau }_1\right)f_j\left({\tau }_1\right)d{\tau }_1\frac{d}{d{\tau }_1}{\left(t-{\tau }_1\right)}^{1/2-{\alpha }_j^0}d{\tau }_1\times$

$\times \underset{0}{\overset{1}{\int }}{Z}_i^0\left[\left(x,t;\xi ,{\tau }_1+\left(t-{\tau }_1\right)y\right)\right]y^{-{\alpha }_j^0}{\left(1-y\right)}^{-1/2}dy.$

Введем обозначения

$F^0\left(x,t\right)=-\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}Z\left(x,t;\xi \mathrm{,0}\right)\phi \left(\xi \right),$               

$N_j^0\left(x,t,\tau \right)=-\frac{1}{\Gamma \left(-{\alpha }_j^0\right)}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{K}_j^0\left(\xi ,{\tau }_1\right)d{\tau }_1\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}d\xi \times$

$\times \underset{0}{\overset{1}{\int }}Z\left[\left(x,t;\xi ,{\tau }_1+\left(t-{\tau }_1\right)y\right)\right]y^{-1-{\alpha }_j^0}{\left(1-y\right)}^{-1/2}dyпри{\alpha }_j^0<0$

и

$N_j^0\left(x,t,\tau \right)=\frac{1}{\Gamma \left(1-{\alpha }_j\right)}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{K}_j^0\left(\xi ,{\tau }_1\right)d{\tau }_1\frac{d}{d{\tau }_1}{\left(t-{\tau }_1\right)}^{1/2-{\alpha }_j^0}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}d\xi \times$

$\times \underset{0}{\overset{1}{\int }}{Z}_j\left[\left(x,t;\xi ,{\tau }_1+\left(t-{\tau }_1\right)y\right)\right]y^{-{\alpha }_j^0}{\left(1-y\right)}^{-1/2}dyпри{\alpha }_j^0>0.$

Пользуясь этими обозначениями, перепишем (3) в виде

$u\left(x,t\right)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{N_j^0\left(x,t,\tau \right)}{{\left(t-\tau \right)}^{{\alpha }_j^0+1/2}}{f}_j^0\left(\tau \right)d\tau +F^0\left(x,t\right).$ (4)

 Из (4) при $x=x_i^0$, $i=\mathrm{1,2,}\dots ,n_0$ имеем

$f_i^0\left(t\right)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{N_j^0\left(x_i,t,\tau \right)}{{\left(t-\tau \right)}^{{\alpha }_j^0+1/2}}{f}_j^0\left(\tau \right)d\tau +F^0\left(x_i^0,t\right),$ (5)

 где по индексу i подразумевается суммирование от $1$ до $n_0$.

При ${\alpha }^0<\frac{1}{2}$ система (5) является системой интегральных уравнений Вольтерра второго рода, стало быть, она обусловлено и однозначно разрешима.

Таким образом, единственное решение задачи (1), (2) в $H_1$ задается формулой (4), где $f_1^0\mathrm{,}{f}_2^0\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{f}_{n_0}^0$ – решения системы (5). Это решение непрерывно и ограничено.

Учитывая, что $u\left(x,T_1\right)$ также непрерывна и ограничена во всем пространстве R, в слое $H_2$ имеем следующую связь $u\left(x,t\right)$ с $f_j^1\left(t\right)$ $\left(j=\mathrm{1,2,}\dots ,n_1\right)$ и $u\left(x,T_1\right)$:

$u\left(x,t\right)=-\underset{T_1}{\overset{t}{\int }}d\tau \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}Z\left(x,t;\xi ,\tau \right)\sum _{j=1}^{n_1}{d}_j^1\left(\xi ,\tau \right)D_{0\tau }^{{\alpha }_j^1}\left(\xi ,\tau \right)f_j^1\left(t\right)d\xi +$

$+\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}Z\left(x,t;\xi ,T_1\right)u\left(\xi ,T_1\right)d\xi .$ (6)

Единственное ограниченное решение $u\left(x,t\right)$ в слое $H_2$ задачи (1), (2) определяется соотношением (6), где $f_j^1\left(t\right)$ находятся из системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода вида

$f_i^1\left(t\right)=\underset{T_1}{\overset{t}{\int }}\frac{N_j^1\left(x_i,t,\tau \right)}{{\left(t-\tau \right)}^{{\alpha }_j^1+1/2}}{f}_i^1\left(\tau \right)d\tau +F^1\left(x_1,t\right),$

где $N_j^1\left(x,t,\tau \right)$ и $F^1\left(x_1,t\right)$ — непрерывные функции, определяемые так же, как в слое $H_1$. Теорема доказана.

1.2 Первая краевая задача

Рассмотрим теперь для уравнения (1) в области $D=\left\{\left(x,t\right):0<x<l,0<t<T\right\}$ первую краевую задачу

$\begin{array}{ll}u\left(x\mathrm{,0}\right)=\phi \left(x\right)приx\in I,& \\ {\left.u\left(x,t\right)\right|}_{\Gamma }=\mathrm{0,}& \end{array}$ (7)

 где $I=\left(\mathrm{0,}l\right)$, $\Gamma =\left\{x=\mathrm{0,}0<t⩽T\right\}\cup \left\{x=l,0<t⩽T\right\}$.

Решением первой краевой задачи (1)–(7) будем называть функцию $u\left(x,t\right)$, непрерывную в D, регулярную в $D_i=\left\{\left(x,t\right):0<x<l,T_{i-1}<t<T_i\right\}$, $\left(i=\mathrm{1,2,}\dots ,N\right)$, удовлетворяющую условиям (7):

Пусть:

1. I) коэффициенты $a\left(x,t\right)$, $b\left(x,t\right)$, $c\left(x,t\right)$ в $\overline{D}$ удовлетворяют неравенствам:

$a\left(x,t\right)\ge {\lambda }_0>\mathrm{0,}$

$\left|a\left(x^{\text{'}},t\right)-a\left(x,t\right)\right|\le A{\left|x^{\text{'}}-x\right|}^{\lambda },$                    

$\left|b\left(x^{\text{'}},t\right)-b\left(x,t\right)\right|\le A{\left|x^{\text{'}}-x\right|}^{\lambda },$        

$\left|c\left(x^{\text{'}},t\right)-c\left(x,t\right)\right|\le A{\left|x^{\text{'}}-x\right|}^{\lambda },$            

$\left|a\left(x,t^{\text{'}}\right)-a\left(x,t\right)\right|\le A{\left|t^{\text{'}}-t\right|}^{\lambda },$          

где A, ${\lambda }_0$ и $\lambda$ — некоторые положительные постоянные.

1. II) $a_j^k\left(x,t\right)$, $j=\mathrm{1,2,}\dots ,n_k$, $k=\mathrm{0,1,}\dots ,N$ непрерывны в $\overline{D}$ по совокупности переменных x, t и удовлетворяют по условию Гельдера, a $K_j^k\left(x,t\right)$ непрерывны в $\overline{D}$.

III) $\phi \left(x\right)$ непрерывна и ограничена на I.

1. IV) ${\alpha }^k<1/2$.

 Теорема 1.2. Задача (1), (7) при предположениях I–IV однозначно разрешима.

 Доказательство. Рассмотрим задачу для $N=2$.

Известно [17], что функцией Грина краевой задачи (7) для уравнения $Lu=0$ называется функция $G\left(x,t;\xi ,\tau \right)$, которая определенна и непрерывна по всем аргументам при $\left(x,\xi \right)\in \left(\mathrm{0,}l\right)$, $0<\tau <t<T_1$ и имеет вид

$G\left(x,t;\xi ,\tau \right)=Z\left(x,t;\xi ,\tau \right)-\Psi \left(x,t;\xi ,\tau \right),$

где $\Psi \left(x,t;\xi ,\tau \right)$ обладает следующими свойствами:

1. a) $L_{x,t}\left[\Psi \left(x,t;\xi ,\tau \right)\right]=0$ для $x,\xi \in I$, $0\le \tau <t\le T_1$;

б) $\Psi \left(x,t;\xi ,\tau \right)=Z\left(x,t;\xi ,\tau \right)$ для $\xi \in D$, $(x,t)\in \Gamma$, $0\le \tau <t\le T_1$;

в) $\underset{t\to \tau +0}{}\Psi \left(x,t;\xi ,\tau \right)=0$ для $(x,\xi )\in I$.

Для функции $G\left(x,t;\xi ,\tau \right)$ имеет место оценка [17]:

$\left|G\left(x,t;\xi ,\tau \right)\right|<C_2{(t-\tau )}^{-1/2}{e}^{-{\mu }_2\frac{(x-\xi )}{(t-\tau )}},$ (8)

 где ${\mu }_2$, $C_2$ — некоторые положительные постоянные.

Пусть существует решение $u(x,t)$ задачи (1), (2), непрерывное в $D_1$ и имеющее дробную производную порядка $\alpha <1/2$.

Пусть далее

$g_i^k\left(t\right)=u\left(x_i^k,t\right),i=\mathrm{1,2,}\dots ,n_k,k=\mathrm{0,1.}$      

Будем искать решение задачи (1), (2) сначала в $D_1$.

Как известно [17], решение первой краевой задачи (7) для уравнения

$Lu=f(x,t)$         

в ${\overline{D}}_1$ имеет вид

$u(x,t)=-\underset{0}{\overset{t}{\int }}d\tau \underset{0}{\overset{l}{\int }}G\left(x,t;\xi ,\tau \right)f(\xi ,\tau )d\xi +\underset{0}{\overset{l}{\int }}G\left(x,t;\xi \mathrm{,0}\right)\phi \left(\xi \right)d\xi .$    

Следовательно, при наших предположениях, функция $u(x,t)$ связана с $g_i^{0}t$, $i=\mathrm{1,2,}\dots ,n_0$ и начальной функцией $\phi (x,t)$ следующим образом:

$u(x,t)=-\underset{0}{\overset{t}{\int }}d\tau \underset{0}{\overset{l}{\int }}G\left(x,t;\xi ,\tau \right)\sum _{j=1}^{n_0}{a}_j^0(\xi ,\tau )D_{0\tau }^{{\alpha }_j^0}{K}_j^0(\xi ,\tau )u(x_j^0,\tau )d\xi +$

$+\underset{0}{\overset{l}{\int }}\phi \left(\xi \right)G\left(x,t;\xi ,\tau \right)d\xi .$ (9)

Введем новую функцию $G_0\left(x,t;\xi ,\tau \right)$:

$G_0\left(x,t;\xi ,\tau \right)={(t-\tau )}^{1/2}G\left(x,t;\xi ,\tau \right).$

Из (8) имеем

$\left|G_0\left(x,t;\xi ,\tau \right)\right|<C_2{e}^{-\frac{{\mu }_2{(x-\xi )}^2}{t-\tau }}.$        

Рассмотрим интеграл

$I=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{(t-\tau )}^{-\frac{1}{2}}{G}_i^0\left(x,t;\xi ,\tau \right)D_{0\tau }^{{\alpha }_j^0}{K}_j^0(\xi ,\tau )g_j^0\left(\tau \right)d\tau ,$

где

$G_j^0\left(x,t;\xi ,\tau \right)=a_j^0(\xi ,\tau )G_0\left(x,t;\xi ,\tau \right),$

а по повторяющемуся индексу $j=\mathrm{1,2,}\dots$ подразумевается суммирование.

При ${\alpha }_j^0<0$ имеем

$I=\frac{1}{\Gamma \left(-{\alpha }_j^0\right)}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{K}_j^0(\xi ,{\tau }_1)g_j^0\left({\tau }_1\right){(t-{\tau }_1)}^{-{\alpha }_j^0-\frac{1}{2}}d{\tau }_1\times$

$\times \underset{0}{\overset{1}{\int }}{G}_i^0\left[\left(x,t;\xi ,{\tau }_1+\left(t-{\tau }_1\right)y\right)\right]y^{-1-{\alpha }_j^0}{(1-y)}^{-1/2}dy,$

а при $0<{\alpha }_j^0<\frac{1}{2}$ 

$I=\frac{1}{\Gamma \left(1-{\alpha }_j^0\right)}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{K}_j^0\left(\xi ,{\tau }_1\right)g_i\left({\tau }_1\right)d{\tau }_1\frac{d}{d{\tau }_1}{\left(t-{\tau }_1\right)}^{1/2-{\alpha }_j^0}\times$

$\times \underset{0}{\overset{1}{\int }}{G}_i^0\left[\left(x,t;\xi ,{\tau }_1+\left(t-{\tau }_1\right)y\right)\right]y^{-1-{\alpha }_j^0}{(1-y)}^{-1/2}dy.$

Введем обозначения:

$F^0(x,t)=\underset{0}{\overset{l}{\int }}\phi \left(\xi \right)G\left(x,t;\xi \mathrm{,0}\right)d\xi ,$

$N_j^0(x,t,\tau )=-\frac{1}{\Gamma \left(-{\alpha }_j^0\right)}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{K}_j^0\left(\xi ,{\tau }_1\right)d{\tau }_1\times$

$\times \underset{0}{\overset{l}{\int }}d\xi \underset{0}{\overset{1}{\int }}{G}_j^0\left[\left(x,t;\xi ,{\tau }_1+\left(t-{\tau }_1\right)y\right)\right]y^{-1-{\alpha }_j^0}{(1-y)}^{-1/2}dyпри{\alpha }_j<0$

и

$N_j^0(x,t,\tau )=\frac{1}{\Gamma \left(1-{\alpha }_j^0\right)}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{K}_j^0\left(\xi ,{\tau }_1\right)d{\tau }_1{\left(t-{\tau }_1\right)}^{\frac{1}{2}-{\alpha }_j^0}\times$

$\times \underset{0}{\overset{l}{\int }}d\xi \underset{0}{\overset{1}{\int }}{G}_i\left[\left(x,t;\xi ,{\tau }_1+\left(t-{\tau }_1\right)y\right)\right]y^{-{\alpha }_j^0}{(1-y)}^{-1/2}dy.$

С учетом этих обозначений (9) принимает вид

$u(x,t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{N_j(x,t,\tau )}{{(t-\tau )}^{{\alpha }_j^0+1/2}}{g}_j^0\left(\tau \right)d\tau +F^0(x,t).$ (10)

 Из (10) при $x=x_i^0$ $i=\mathrm{1,2,}\dots ,n_0$ имеем

$g_i^0\left(t\right)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{N_j(x_i,t,\tau )}{{(t-\tau )}^{{\alpha }_j^0+1/2}}{g}_j^0\left(\tau \right)d\tau +F^0(x_i^0,t).$ (11)

При ${\alpha }^0<\frac{1}{2}$ система (11) является системой интегральных уравнений Вольтерра второго рода, ядра которых имеют слабую особенность. Стало быть, она безусловно и однозначно разрешима.

Таким образом, единственное решение задачи (1), (7) в области $D_1$ задается формулой (10), где $g_1^0,g_2^0,\dots ,g_{n_0}^0$ — решение системы (11). Это решение непрерывно и регулярно. Учитывая, что $u\left(x,T_1\right)$ также непрерывна и ограничена на I, в $D_2$ имеем следующую связь:

$u(x,t)=-\underset{-T_1}{\overset{t}{\int }}d\tau \underset{0}{\overset{l}{\int }}G\left(x,t;\xi ,\tau \right)\sum _{i=1}^{n_1}{a}_j^1(\xi ,\tau )D_{0\tau }^{{\alpha }_j^1}(\xi ,\tau )\times$

$\times f_i^1\left(\tau \right)d\xi +\underset{0}{\overset{l}{\int }}G\left(x,t;\xi ,T_1\right)u\left(\xi ,T_1\right)d\xi ,t>T_1.$ (12)

Единственное решение $u(x,t)$ в области $D_2$ задачи (1), (7) определяется соотношением (12), где $g_i^1\left(t\right)$ находятся из системы интегральных уравнений

$f_i^1\left(t\right)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{N_j(x_i,t,\tau )}{{(t-\tau )}^{{\alpha }_j^0+1/2}}{f}_j^1\left(\tau \right)d\tau +F^1(x_i,t),$          

где $N_i^1\left(x_i,t,\tau \right)$ и $F^1\left(x_i,t\right)$ — непрерывные функции, определяемые так же, как области $D_1$.

Заключение

Таким образом, в данной работе доказана однозначная разрешимость задачи Коши – Дирихле, исследованы вопросы существования и единственности решения первой краевой задачи для разрывно-нагруженного параболического уравнения дробного порядка.

Полученные результаты важны для развития теории краевых задач для уравнений в частных производных дробного порядка, в том числе нагруженных уравнений параболического типа, а также математического моделирования различных процессов и систем с распределенными параметрами, имеющих фрактальную пространственно-временную структуру.

About the authors

Mukhamed M. Karmokov

Kabardino-Balkarian State University named after H.M. Berbekov

Email: mkarmokov@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0001-5189-6538

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor of the Department of Applied Mathematics and Computer Science

Russian Federation, Nalchik

Fatima M. Nakhusheva

Kabardino-Balkarian State University named after H.M. Berbekov

Email: fatima-nakhusheva@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-3750-1445

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, assistant professor of the Department of Applied Mathematics and Computer Science

Russian Federation, Nalchik

Sakinat K. Gekkieva

Institute of Applied Mathematics and Automation of KBSC RAS

Author for correspondence.
Email: gekkieva_s@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-2135-2115

assistant professor of the Department of Applied Mathematics and Computer Science

Russian Federation, Nalchik

References

Supplementary files