Modeling of elastic plastic deformation of near-surface layers of materials

Full Text

Введение

Определение и анализ напряженно-деформированного состояния в нагруженном элементе конструкции с учетом поверхностных дефектов представляет собой одну из ключевых проблем современной механики и ее практических приложений [1–3].

Особое поведение поверхностного и приповерхностных слоев материалов обусловлено тем, что свободная поверхность не препятствует развитию пластических сдвигов и в результате после статической и циклических нагрузок на поверхности наблюдаются выступы (экструзии) и впадины (интрузии) (рис. 1). Чем глубже слой, тем сильнее стеснение сдвиговых деформаций. Они тормозятся, в основном, границами зерен и разориентировкой плоскостей сдвига в блоках внутри зерен.

Рис. 1. Схема образования экструзий (1) и интрузий (2) на поверхности (3) металлических материалов, подвергнутых циклическим нагрузкам; (4) – полосы скольжения

Fig. 1. Scheme of the formation of extrusions (1) and intrusions (2) on the surface (3) of metal materials subjected to cyclic loads; (4) – slip stripes

Местное возмущение в виде поверхностного эффекта, согласно принципу Сен-Венана, должно постепенно затухать, а напряжение пластического течения приповерхностных слоев, плавно возрастая, переходить на некоторой глубине в напряжение течения основного материала.

Слои материала, ослабленные поверхностным эффектом, при изгибе приводят к дополнительному повороту поперечного сечения образца по сравнению с упругим решением задачи.

Проявление поверхностного эффекта обнаруживается тензометрическим методом. Однако дополнительная нелинейная деформация на поверхности образца, фиксируемая тензорезистором, весьма мала по сравнению с упругой составляющей. Наиболее ярко это проявляется на уровнях номинальных напряжений, соответствующих области чистой усталости и ниже.

1. Экспериментальное исследование приповерхностного эффекта

Используя свойства тензометрического измерительного моста, можно в его пределах из полной деформации поверхности $\epsilon$ вычесть линейную составляющую ${\epsilon }_L$:

${\epsilon }_{NL}=\epsilon -{\epsilon }_L=\epsilon -\frac{\sigma }{E}.$ (1)

При таком подходе достигается высокая точность измерения нелинейной деформации [4; 5]. Поскольку в металлах нелинейная упругая деформация практически отсутствует, то измеренная нелинейная деформация есть неупругая деформация.

Консольно закрепленный образец длиной 100 мм и постоянным поперечным сечением $4\times 14$ мм из стали 1Х18Н9Т в состоянии поставки подвергался поперечному изгибу силой, приложенной на свободном конце. Результаты такого эксперимента [6] приведены на рис. 2.

Рис. 2. Диаграмма деформирования стали 1Х18Н9Т при поперечном изгибе с тремя промежуточными циклами разгрузки-нагружения

Fig. 2. Strain-stress diagram of steel 1Х18Н9Т during transverse bending with three intermediate unloading-loading cycles

Нагрузка прикладывалась достаточно медленно со скоростью изменения номинального напряжения 37,5 МПа/мин. Под номинальным напряжением понимается напряжение на поверхности образца, определенное по формуле сопротивления материалов при изгибе балок.

Тензометрическая аппаратура позволяет надежно фиксировать деформацию поверхности тела величиной $1·{10}^{-6}$. Тогда, согласно диаграмме рис. 2, обнаруживаемое пластическое течение поверхности образца составляет ${\sigma }_{T1}=25$ МПа.

Представляют интерес участки разгрузки. В начале этих участков, когда номинальное напряжение в образце стало снижаться, нелинейные деформации продолжали расти, и чем выше уровень достигнутого перед разгрузкой номинального напряжения, тем этот процесс протекает интенсивнее. Такое поведение материала можно объяснить проявлением процесса ползучести. Вклад ползучести в нелинейную деформацию достаточно весом, поэтому подобные эксперименты должны проводиться под управлением ЭВМ со строгим соблюдением режима нагружения во времени.

В металлах наблюдается единый процесс неупругого деформирования, отражением которого является нелинейная деформация, включающая пластическую составляющую и составляющую от ползучести.

Если отбросить проявление ползучести в начале участков разгрузки, то обратное пластическое течение при ${\epsilon }_{NL}=1\cdot {10}^{-6}$ наблюдается при снижении номинального напряжения на $2\sigma$ (рис. 2). Поверхностный слой ведет себя как идеальное упруго-пластическое тело, а напряжение течения $\sigma ={\sigma }_{T1}$ — константа. Поверхностным слоем являются берега микро- и макротрещин, а также берега магистральной трещины. Снижение напряжений у поверхности микротрещин отмечается в работах [7; 8]. Замечено, что с увеличением напряжений в стали каждая микротрещина затуплялась, и вокруг нее возникало пластическое течение, а результирующие локальные концентрации напряжений были пренебрежимо малы.

Чтобы определиться с глубиной $\delta$ проявления поверхностного эффекта, была рассчитана производная от номинального напряжения по нелинейной составляющей деформации $\frac{d\sigma }{d{\epsilon }_{NL}}$. Производная является чувствительным индикатором происходящих структурных процессов. Как видно из рис. 3, производная в процессе нагружения сначала резко падает с увеличением нелинейной деформации, а затем в точке B характер ее изменения стабилизируется. Примем, что в точке B пластическое течение охватило все ослабленные приповерхностные слои. При этом номинальное напряжение достигло значения начала пластического течения внутренних слоев ${\sigma }_{T2}=130$ МПа, а нелинейная деформация, фиксируемая тензорезистором на поверхности, достигла величины ${\epsilon }_{NL}=\mathrm{7,64}$ мкм/м.

Рис. 3. Диаграмма деформирования (1) и первая производная (2) от номинального напряжения по нелинейной деформации

Fig. 3. Strain-stress diagram (1) and the first derivative (2) of the nominal stress with respect to nonlinear strain

Далее с увеличением изгибающего момента вклад поверхностного эффекта в нелинейную деформацию практически стабилизируется, а ее нарастание обусловлено включением в пластическое течение более глубоких внутренних слоев.

Закон изменения напряжения текучести в приповерхностных слоях в зависимости от глубины залегания слоя примем в виде полинома второй степени

${\sigma }_T\left(x\right)=A{x}^2+Bx+C,$ (2)

 где $x$ — глубина расположения приповерхностного слоя, $A$, $B$, $C$ — постоянные коэффициенты, определяемые из следующих граничных условий:

${\sigma }_T\left(0\right)={\sigma }_{T1},{\sigma }_T\left(\delta \right)={\sigma }_{T2},\frac{d{\sigma }_T}{dx}\left(\delta \right)=0.$

Здесь $\delta$ – глубина распространения приповерхностного эффекта.

Последнее условие обеспечивает плавный переход напряжения течения приповерхностных слоев в напряжения течения внутренних слоев.

Подстановка граничных условий в (2) дает

${\sigma }_T\left(x\right)=-\Delta {\sigma }_T{\left(\frac{x}{\delta }\right)}^2+2\Delta {\sigma }_T\frac{x}{\delta }+{\sigma }_{T1}при0\le x\le \delta .$ (3)

 Здесь введено обозначение

$\Delta {\sigma }_T={\sigma }_{T2}-{\sigma }_{T1}.$ (4)

Глубина $\delta$ в выражении (3) подбиралась таким образом, чтобы при изгибающем моменте, вызывающем на поверхности образца напряжение ${\sigma }_{T2}$, расчетная нелинейная деформация ${\epsilon }_{NL2}$ под тензорезистором равнялась экспериментальному значению.

Эта задача решена методом редукционных коэффициентов в процессе последовательных приближений. Образец разбивался по высоте на отдельные полоски толщиной $∆x_i$. Более мелкое разбиение (до 0,1 микрона) производилось в приповерхностных слоях, а ближе к оси изгиба образца $∆x_i=0,4$ мм.

Последовательность вычислений в  нулевом приближении

${\phi }^{\left(0\right)}=1\to F^{\left(0\right)}=bh\to I^{\left(0\right)}=\frac{b{h}^3}{12}\to {\sigma }_i^{\left(0\right)}=\frac{M}{I^{\left(0\right)}}{y}_i\to {\epsilon }_i^{\left(0\right)}=\frac{{\sigma }_i^{\left(0\right)}}{E}.$

Здесь нижний индекс — номер полоски, верхний индекс в скобках — номер приближения, а $y_i$ — расстояние от оси изгиба сечения до центра тяжести полоски.

В  первом приближении (рис. 4) ослабление поперечного сечения образца пластическим деформированием учитывалось введением редукционного коэффициента ${\phi }_i$, равного отношению напряжения пластического течения в $i$-й полоске, вычисленного по формуле (3), к номинальному напряжению в ней из предыдущего приближения

${\phi }_i^{\left(1\right)}=\frac{{\sigma }_{Ti}^{\left(1\right)}}{{\sigma }_i^{\left(0\right)}}.$ (5)

Рис. 4. Схема определения редукционных коэффициентов в первом приближении

Fig. 4. Scheme for determining reduction coefficients in a first approximation

Расчет выполняется для уровня напряжения на поверхности 130 МПа в следующей последовательности:

${\sigma }_{Ti}^{\left(1\right)}(y_i,{\epsilon }_i^{\left(0\right)})=\left[\begin{array}{cc}{\phi }_i^{\left(1\right)}=1& если{\sigma }_{Ti}^{\left(1\right)}\ge {\sigma }_i^{\left(0\right)}\\ {\phi }_i^{\left(1\right)}=\frac{{\sigma }_{Ti}^{\left(1\right)}}{{\sigma }_i^{\left(0\right)}}& если{\sigma }_{Ti}^{\left(1\right)}\le {\sigma }_i^{\left(0\right)}\end{array}\right]\to b_i^{\left(1\right)}=b{\phi }^{\left(1\right)}\to F_i^{\left(1\right)}=b_i^{\left(1\right)}\Delta x_i\to$

$\to I_i^{\left(1\right)}=F_i^{\left(1\right)}{y}_i^2\to I^{\left(1\right)}=2\sum _{i=1}^k{I}_i^{\left(1\right)}\to {\sigma }_i^{\left(1\right)}=\frac{M}{I^{\left(1\right)}}{y}_i\to {\epsilon }_i^{\left(1\right)}=\frac{{\sigma }_i^{\left(1\right)}}{E}.$

Пояснение. Материал приповерхностных полосок считается идеальным упруго-пластическим. Если напряжение нулевого приближения в полоске не превышает напряжение пластического течения в ней, то для полоски редукционный коэффициент принимается равным единице. Для других приповерхностных полосок редукционный коэффициент назначается в соответствии со схемой рис. 4.

Определяется эффективная ширина полоски, находится площадь полоски и переносный момент инерции относительно оси изгиба образца. Ввиду малости собственный момент инерции полосок не учитывается. Суммируются моменты инерции всех полосок, результат удваивается в силу симметрии сечения относительно оси изгиба. Вычисляются в первом приближении напряжения и деформации в сечении.

По такому же алгоритму выполняются и последующие приближения. Процесс последовательных приближений быстро сходится. Достаточно пяти приближений. Выполняя расчеты для разных $\delta$, определено значение $\delta =25,7$ мкм, удовлетворяющее условию равенства расчетного значения нелинейной деформации на поверхности образца экспериментальному значению (точка В на рис. 3).

Сдвиговые деформации неизбежно приводят к взаимному повороту кристаллических плоскостей в микро- и макрообъемах. Материал упрочняется и «запоминает» степень достигнутого упрочнения. Действительно, после каждой промежуточной разгрузки и последующего нагружения (см. рис. 2) состояние материала возвращается практически в исходную точку. Полного совпадения точек не происходит из-за ползучести материала, которая проявляется все сильнее с ростом уровня нагрузки. В предлагаемой модели ползучесть не учитывалась.

В соответствии с вышеизложенным принимаем, что сталь 1Х18Н9Т является кинематически упрочняющимся материалом, то есть предполагаем, что наряду с жестким смещением предельной поверхности текучести происходит также ее расширение [9].

Экспериментальная диаграмма деформирования на участке ВС (рис. 3) близка к линейной. Тогда, принимая линейный закон упрочнения, запишем

$\begin{array}{cc}{\sigma }_i=E{\epsilon }_i,& если0\le {\epsilon }_i\le {\epsilon }_{T2},\\ {\sigma }_{Ti}=E{\epsilon }_{T2}+E^{*}({\epsilon }_i-{\epsilon }_{T2})={\sigma }_{T2}+E^{*}({\epsilon }_i-{\epsilon }_{T2}),& если{\epsilon }_i\ge {\epsilon }_{T2}.\end{array}$

(6)

 Здесь $E*$ — коэффициент упрочнения.

Проводя расчеты при различных значениях коэффициента упрочнения и используя описанный выше метод последовательных приближений и соблюдая условия точки  C (рис. 3), получаем значение $E=\mathrm{1,668}\cdot {10}^5$ МПа, которое на 7,6 % ниже нормального модуля упругости $E=\mathrm{2,0}\cdot {10}^5$ МПа. Для учета упрочнения материала в приповерхностных слоях и устранения разрыва в напряжениях пластического течения при переходе от приповерхностных слоев к внутренним в начале каждого приближения вводится поправка: напряжение ${\sigma }_{T2}$ в формуле (4) заменяется на ${\sigma }_{Ti}\left(\delta \right)$.

Таким образом, определены четыре параметра модели деформирования материала, которые характеризуют поверхностный эффект. Используя модель, были рассчитаны нелинейные деформации, если вместо испытаний на изгиб проводить испытания образца на растяжение. Результаты расчета приведены на рис. 5. Как видно из этого рисунка, нелинейная деформация на поверхности образца как минимум в три раза больше при изгибе, чем при растяжении в области напряжений, при которых определяются параметры поверхностного эффекта. Следовательно, при изучении поверхностного эффекта методами тензометрии следует предпочитать испытания образцов на изгиб. Если предположить, что напряжения текучести в приповерхностном слое равны нулю, то такой предельный случай даст максимальное отклонение от линейной деформации 4 %. В действительности это значение будет еще меньше и не превысит 2 %.

Рис. 5. Нелинейная деформация на поверхности образца в зависимости от номинального напряжения. Жирная линия — изгиб, тонкая линия — растяжение

Fig. 5. Nonlinear strain on the surface of the sample depending on the nominal stress. Thick line — bending, thin line — stretching 

Таким образом, поверхностный эффект очень слабо влияет на деформированное состояние упругого тела и значительно — на его напряженное состояние у поверхности. Поэтому он не обнаруживается экспериментальными методами, основанными на изучении деформированного состояния тела, такими как метод интерференционного муара или поляризационно-оптический, если в последнем изменение оптических свойств модели связывать с напряжениями, как у Максвелла, а не с деформациями по Нейману [10].

Изучение поверхностного эффекта осложняется тем, что, как правило, приповерхностные слои подвергаются различного рода обработкам с целью улучшения механических характеристик конструкций. В приповерхностных слоях протекают коррозионные процессы. Механическим удалением слоя невозможно избавиться от поверхностного эффекта.

Данное исследование проведено на коррозионно-устойчивом материале, что позволило свести к минимуму влияние коррозионных процессов, которые усложняют ситуацию.

Результаты расчета образца на изгиб и растяжение при одном и том же номинальном напряжении на поверхности 245 МПа приведены на рис. 6 и 7. Показано, как с глубиной изменяется удельная работа упругого, пластического деформирования и их суммы.

Рис. 6. Изменение энергий деформирования в приповерхностных слоях при изгибе образца: жирная линия — энергия пластического деформирования; тонкая линия — энергия упругого деформирования; пунктирная линия — полная энергия

Fig. 6. Changes in strain energies in the near-surface layers when the sample is bent: thick line — energy of plastic strain; thin line — energy of elastic strain; dotted line — the total energy

Рис. 7. Изменение энергий деформирования в приповерхностных слоях при растяжении образца: жирная линия — энергия пластического деформирования; тонкая линия — энергия упругого деформирования; пунктирная линия — полная энергия

Fig. 7. Changes in strain energies in the near-surface layers when the sample is stretched: thick line — plastic strain energy; thin line — elastic strain energy; dotted line — the total energy 

Особый интерес вызывает энергия пластического деформирования, которую можно считать мерой разрушения кристаллической структуры и превращения ее в аморфную. Согласно расчетам вне зависимости от вида нагружения энергия пластического деформирования достигает максимума под поверхностью на глубине от семи до восьми микрон. Следовательно, при воздействии переменной нагрузки зарождение микро- и макротрещин будет происходить под поверхностью, и трещина выйдет на поверхность после разрыва перемычки [11].

Однако при растяжении максимальная энергия пластического деформирования на 0,41 % выше, чем при изгибе. Следовательно, при растяжении-сжатии процесс накопления повреждений происходит интенсивнее, чем при изгибе, что подтверждается экспериментальными данными: предел выносливости при растяжении-сжатии ниже, чем при изгибе.

Как видно из рис. 7, полная энергия минимальна на поверхности образца. Значит начало разрушения образца при растяжении должно происходить изнутри, а излом иметь форму «конус-чашечка» [12].

Заключение

Предложенная модель деформирования металлов с учетом приповерхностного эффекта позволяет приближенно численным методом решать сложные упруго-пластические задачи и с единой позиции объяснять многие процессы, которые происходят при статическом и переменном нагружении. 

About the authors

Villiy A. Mekheda

Author for correspondence.
Email: villiy.mekheda@gmail.com
ORCID iD: 0009-0002-2183-4509

associate professor of the Department of Space Engineering

References

Supplementary files

Supplementary Files

Action

1. JATS XML

Download

2. Fig. 1. Scheme of the formation of extrusions (1) and intrusions (2) on the surface (3) of metal materials subjected to cyclic loads; (4) – slip stripes 

Download (132KB)

Indexing metadata

3. Fig. 2. Strain-stress diagram of steel 1Х18Н9Т during transverse bending with three intermediate unloading-loading cycles 

Download (68KB)

Indexing metadata

4. Fig. 3. Strain-stress diagram (1) and the first derivative (2) of the nominal stress with respect to nonlinear strain 

Download (67KB)

Indexing metadata

5. Fig. 4. Scheme for determining reduction coefficients in a first approximation

Download (34KB)

Indexing metadata

6. Fig. 5. Nonlinear strain on the surface of the sample depending on the nominal stress. Thick line — bending, thin line — stretching 

Download (64KB)

Indexing metadata

7. Fig. 6. Changes in strain energies in the near-surface layers when the sample is bent: thick line — energy of plastic strain; thin line — energy of elastic strain; dotted line — the total energy

Download (119KB)

Indexing metadata

8. Fig. 7. Changes in strain energies in the near-surface layers when the sample is stretched: thick line — plastic strain energy; thin line — elastic strain energy; dotted line — the total energy 

Download (155KB)

Indexing metadata