Two remarks on properties of functions of bounded variation

Full Text

Введение

Пусть дана функция $f:[a,b]\to ℝ$. Напомним, что ее  полной вариацией на $\left[a, b\right]$ называется величина

$V_a^b\left(f\right)=\sup \sum _{i=1}^n\left|f\right(x_i)-f(x_{i-1}\left)\right|,$

где супремум берется по множеству всех разбиений $a=x_0<x_1<\dots <x_n=b$. Если $V_a^b\left(f\right)<\infty$, то говорят, что $f$ — функция ограниченной вариации; множество всех функций ограниченной вариации на $\left[a, b\right]$ является линейным пространством и обозначается через $V\left(\left[a, b\right]\right)$.

Пространство $V\left(\left[a, b\right]\right)$ играет важную роль во многих вопросах теории функций и функционального анализа. С ним тесно связано применение интеграла Стилтьеса при решении самых разных задач. В частности, на его использовании основано доказательство классической теоремы Ф. Рисса о том, что пространство $V\left(\left[a, b\right]\right)$, рассматриваемое с нормой $\parallel f{\parallel }_V:=V_a^b\left(f\right)$, изометрично пространству всех линейных ограниченных функционалов на пространстве $C\left(\left[a, b\right]\right)$ (см., например, [3, гл.~VI, ~6, теор.~4] или [2, с.~309]). Кроме того, пространство $V\left(\left[a, b\right]\right)$ может быть отождествлено со множеством всех ограниченных борелевских мер (вообще говоря, знакопеременных), определенных на отрезке $\left[a, b\right]$ [1, предложение~4.2.9].

В данной статье рассматриваются два вопроса, связанные со свойствами функций ограниченной вариации. Во-первых, в терминах вариаций доказано достаточное условие равномерной сходимости последовательностей непрерывных функций. Во-вторых, найдены условия, при которых вариация функции с переменным верхним пределом дифференцируема; приведен пример, показывающий точность этих условий.

Всюду далее, как обычно, $C\left(\left[a, b\right]\right)$ и $C^1\left(\left[a, b\right]\right)$ — пространства непрерывных и соответственно непрерывно-дифференцируемых на отрезке $\left[a, b\right]$ функций.

1. Об одном достаточном условии равномерной сходимости последовательностей непрерывных функций ограниченной вариации

Докажем сначала следующее вспомогательное утверждение.

Лемма 1. Пусть ${\left\{f_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ — последовательность невозрастающих функций на $\left[a, b\right]$ такая, что ${\lim }_{n\to \infty }{f}_n\left(t\right)=f\left(t\right)$ для всех $t\in [a,b]$, где $f$ непрерывна на $\left[a, b\right]$. Тогда сходимость последовательности $\left\{f_n\right\}$ к $f$ равномерна на $\left[a, b\right]$.

Доказательсво. Обозначим через $\omega (g,\eta )$, $\eta >0$, модуль непрерывности функции $g$, определенной на $\left[a, b\right]$, т. е.

$\omega (g,\eta ):=\underset{a⩽t_1,t_2⩽b,|t_1-t_2|⩽\eta }{}\left|g\right(t_1)-g(t_2\left)\right|,$

и покажем, что

$\underset{\eta \to 0}{}\underset{n\to \infty }{}\omega (f_n,\eta )=0.$ (1)

Предполагая противное, найдем ${\epsilon }_0>0$ такое, что для всех $\eta >0$

$\underset{n\to \infty }{}\omega (f_n,\eta )>{\epsilon }_0.$

Тогда в силу непрерывности $f$ существует $\delta >0$ такое, что

$\omega (f,\delta )<\frac{{\epsilon }_0}{3}.$ (2)

Согласно предыдущему неравенству, найдутся номера $n_1<n_2<\dots$ и точки $t_k,s_k\in [a,b]$, $t_k<s_k$, $k=\mathrm{1,2,}\dots$, для которых выполнено:

$s_k-t_k<\frac{\delta }{2}иf_{n_k}\left(t_k\right)-f_{n_k}\left(s_k\right)>{\epsilon }_0,k=\mathrm{1,2,}\dots$ (3)

 Переходя, если необходимо, к подпоследовательностям, можно считать, что $t_k\to t_0$, $s_k\to s_0$, где $t_0,s_0\in [a,b]$. Очевидно, что $0⩽s_0-t_0⩽\delta /2$.

Предположим, что $a<t_0$ и $s_0<b$. Тогда для некоторого $\eta \in (\mathrm{0,}\delta /4)$ и всех достаточно больших $k$

$a<t_0-\eta <t_k<s_k<s_0+\eta <b,$

поэтому в силу второго неравенства в (3) и монотонности функций $f_n$ получим

${\epsilon }_0<f_{n_k}\left(t_k\right)-f_{n_k}\left(s_k\right)⩽f_{n_k}(t_0-\eta )-f_{n_k}(s_0+\eta ).$ (4)

 В то же время, если $k$ достаточно велико, то по условию

$\max \left(\left|f_{n_k}\right(t_0-\eta )-f(t_0-\eta \left)\right|,\left|f_{n_k}\right(s_0+\eta )-f(s_0+\eta \left)\right|\right)<\frac{{\epsilon }_0}{3},$

и, значит, так как $0<(s_0+\eta )-(t_0-\eta )=(s_0-t_0)+2\eta <\delta$, в силу (2)

$f_{n_k}(t_0-\eta )-f_{n_k}(s_0+\eta )⩽\left|f_{n_k}\right(t_0-\eta )-f(t_0-\eta \left)\right|+$

$+\left|f\right(t_0-\eta )-f(s_0+\eta \left)\right|+$

$+\left|f_{n_k}\right(s_0+\eta )-f(s_0+\eta \left)\right|<{\epsilon }_0.$

Так как последнее неравенство противоречит (4), то (1) в этом случае доказано.

Если $t_0=a$, то опять для некоторого $\eta \in (\mathrm{0,}\delta /2)$ и всех достаточно больших $k$

$a⩽t_k<s_k<s_0+\eta <b.$

Далее так же, как и ранее, с одной стороны,

${\epsilon }_0<f_{n_k}\left(t_k\right)-f_{n_k}\left(s_k\right)⩽f_{n_k}\left(a\right)-f_{n_k}(s_0+\eta ).$

С другой стороны, так как для достаточно больших $k$

$\max \left(\left|f_{n_k}\right(a)-f(a\left)\right|,\left|f_{n_k}\right(s_0+\eta )-f(s_0+\eta \left)\right|\right)<\frac{{\epsilon }_0}{3}$

и $0<(s_0+\eta )-a=(s_0-a)+\eta <\delta$, применяя (2), получим

$f_{n_k}\left(a\right)-f_{n_k}(s_0+\eta )⩽\left|f_{n_k}\right(a)-f(a\left)\right|+\left|f\right(a)-f(s_0+\eta \left)\right|+$

$+\left|f_{n_k}\right(s_0+\eta )-f(s_0+\eta \left)\right|<{\epsilon }_0.$

Случай, когда $s_0=b$, рассматривается совершенно аналогично.

Теперь доказательство леммы получается стандартным образом. Пусть $\epsilon >0$ произвольно, а $\eta >0$ таково, что $\omega (f,\eta )<\epsilon /3$ и в силу (1) $\omega (f,\eta )<\epsilon /3$ для всех достаточно больших $n$. По условию для каждого $t\in [a,b]$ найдется $n_t\in \mathbb{N}$ такое, что $\left|f_n\right(t)-f(t\left)\right|<\epsilon /3$ для всех $n>n_t$. Тогда, если $|s-t|<\eta$, то в силу выбора $\eta$ для всех достаточно больших $n$ имеем:

$\left|f_n\right(s)-f(s\left)\right|⩽\left|f_n\right(s)-f_n(t\left)\right|+\left|f_n\right(t)-f(t\left)\right|+\left|f\right(t)-f(s\left)\right|⩽\omega (f_n,\eta )+\frac{\epsilon }{3}+\omega (f,\eta )<\epsilon .$

Так как по соображениям компактности $[a,b]\subset {\cup }_{i=1}^m(t_i-\eta ,t_i+\eta )$ для некоторого конечного набора точек $t_i, i=1,2,...,m$, то отсюда $\left|f_n\right(s)-f(s\left)\right|<\epsilon$ для любого $s\in [a,b]$ и всех достаточно больших $n$.

Применяя лемму 1, а также известное представление функций ограниченной вариации, нетрудно получить следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть функции $f_n$, $n\in \mathbb{N}$, определенные на $\left[a, b\right]$, имеют равномерно ограниченные вариации, т. е. $V_a^b\left(f_n\right)⩽C$ для некоторого $C>0$ и всех $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$. Если ${\lim }_{n\to \infty }{f}_n\left(t\right)=f\left(t\right)$ для всех $t\in \left[a, b\right]$ и $f$ непрерывна на $\left[a, b\right]$, то сходимость последовательности $\left\{f_n\right\}$ к $f$ равномерна на $\left[a, b\right]$.

Доказательство. Напомним, что каждая функция ограниченной вариации $g$ на $\left[a, b\right]$ представима в виде разности двух невозрастающих функций. Точнее (см., например, [4, гл.~VIII, ~3, доказательство теоремы~6]): $g=g_1-g_2$, где $g_1\left(t\right):=-V_a^t\left(g\right)+g\left(t\right)$, $g_2\left(t\right):=-V_a^t\left(g\right)$. Если дополнительно $g$ непрерывна на $\left[a, b\right]$, то функции $g_1$ и $g_2$ также непрерывны на этом отрезке [4, гл.~VIII, ~5, теор.~1, следствие]. Применяя эти результаты к функциям $f_n$ и $f$, получим, что $f_n=u_n-v_n$, $n\in \mathbb{N}$, и $f=u-v$, причем функции $u_n$, $v_n$, $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$, не возрастают, а $u$, $v$ не возрастают и непрерывны. Кроме того, из приведенного ранее определения функций $g_1$, $g_2$ из представления $g$, а также того, что по условию ${\lim }_{n\to \infty }{f}_n\left(t\right)=f\left(t\right)$ для всех $t\in [a,b]$, следует: ${\lim }_{n\to \infty }{u}_n\left(t\right)=u\left(t\right)$, ${\lim }_{n\to \infty }{v}_n\left(t\right)=v\left(t\right)$, $t\in [a,b]$. Поэтому в силу леммы 1 последовательности $\left\{u_n\right\}$ и $\left\{v_n\right\}$ сходятся к $u$ и $v$ соответственно равномерно на $\left[a, b\right]$. Отсюда вытекает доказываемое утверждение.

Классическая теорема Хелли [4, гл.~VIII, ~4] утверждает, что из любого множества равномерно ограниченных на $\left[a, b\right]$ функций с равномерно ограниченными вариациями можно извлечь последовательность $\left\{f_n\right\}$, которая сходится в каждой точке $\left[a, b\right]$ к некоторой функции $f$ ограниченной вариации. В случае, когда $f$ непрерывна на $\left[a, b\right]$, из теоремы 1 вытекает следующее дополнение к этому результату.

Следствие 1. Если предельная функция $f$ в теореме Хелли непрерывна на $\left[a, b\right]$, то сходимость последовательности $\left\{f_n\right\}$ к $f$ равномерна на этом отрезке.

2. О дифференцируемости вариации с переменным верхним пределом

Теорема 2. Пусть $f\in C^1\left(\right[a,b\left]\right)$. Тогда $V_a^b\left(f\right)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f^{\text{'}}\right(t\left)\right|dt$.

Отсюда, в частности, следует, что функция $F\left(x\right):=V_a^x\left(f\right)$ дифференцируема на $\left[a, b\right]$ и $F^{\text{'}}\left(x\right)=\left|f^{\text{'}}\right(x\left)\right|$ для всех $x\in [a,b]$.

Доказательство. Пусть $\pi :a=x_0<x_1<\dots <x_n=b$ — произвольное разбиение отрезка $\left[a, b\right]$, $\lambda \left(\pi \right)={\max }_{1⩽i⩽n}(x_i-x_{i-1})$ — параметр разбиения $\mathrm{\pi }$. Составим сумму

${\upsilon }_{\pi }\left(f\right)=\sum _{i=1}^n\left|f\right(x_i)-f(x_{i-1}\left)\right|.$

 По теореме Лагранжа для каждого $i=1,2,...,n$ существует ${\xi }_i\in (x_{i-1},x_i)$ такое, что $f\left(x_i\right)-f\left(x_{i-1}\right)=f^{\text{'}}\left({\xi }_i\right)(x_i-x_{i-1})$. Поэтому

${\upsilon }_{\pi }\left(f\right)=\sum _{i=1}^n\left|f^{\text{'}}\right({\xi }_i\left)\right|(x_i-x_{i-1}).$

 Заметим, что в правой части этого равенства стоит интегральная сумма Римана $S_{\pi }\left(\right|f^{\text{'}}\left|\right)$ функции $\left|f^{\text{'}}\right(t\left)\right|$ на $\left[a, b\right]$.

С другой стороны, в силу определения вариации функции существует последовательность разбиений ${\pi }_k, k=1,2,...$, отрезка $\left[a, b\right]$ такая, что $\lambda {\pi }_k\to 0$ и ${\upsilon }_{{\pi }_k}\left(f\right)\to V_a^b\left(f\right)$ при $k\to \infty$. Таким образом, в силу сделанного ранее замечания

${\upsilon }_{{\pi }_k}\left(f\right)=S_{{\pi }_k}\left(\right|f^{\text{'}}\left|\right),k=\mathrm{1,2,}\dots$

Переходя к пределу в этом равенстве при $k\to \infty$, по определению интеграла Римана получаем, что

$V_a^b\left(f\right)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f^{\text{'}}\right(t\left)\right|dt,$

и тем самым первое утверждение теоремы доказано. Что касается второго утверждения, то оно — непосредственное следствие первого и формулы Ньютона — Лейбница для дифференцирования интеграла с переменным верхним пределом от непрерывной функции.

Далее мы покажем, что условие непрерывности производной во втором утверждении последней теоремы существенно. Точнее, если производная функции ограниченной вариации имеет разрыв хотя бы в одной точке, то вариация с переменным верхним пределом в этой точке может быть не дифференцируема.

При построении соответствующего примера нам понадобятся некоторые вспомогательные утверждения, с которых мы и начнем.

Лемма 2. Пусть функция $f$ непрерывна в точке $a$ справа и в точке $b$ слева. Тогда $V_a^b\left(f\right)={\lim }_{\eta \to 0+}{V}_{a+\eta }^{b-\eta }\left(f\right)$.

Доказательство. Пусть $\epsilon >0$. В силу непрерывности функции $f$ в точках $a$ и $b$ существует $\delta >0$ такое, что

$\max \left(\left|f\right(t)-f(a\left)\right|,\left|f\right(s)-f(b\left)\right|\right)<\epsilon ,$ (5)

если $\max \left(t-a,b-s\right)<\delta$. Рассмотрим два случая в зависимости от того, конечна вариация функции $f$ или нет.

(a) $V_a^b\left(f\right)<\infty$. По определению вариации для заданного $\epsilon >0$ найдется разбиение $\pi :a=t_0<t_1<\dots <t_n=b$ отрезка $\left[a, b\right]$ такое, что

${\upsilon }_{\pi }\left(f\right)=\sum _{k=1}^n\left|f\right(t_k)-f(t_{k-1}\left)\right|⩾V_a^b\left(f\right)-\epsilon .$

При этом, не ограничивая общности, можно считать, что

$\max \left(t_1-a,b-t_{n-1}\right)<\delta .$ (6)

Тогда в силу (5), обозначая через $\pi \text{'}$ разбиение отрезка $[t_1,t_{n-1}]$ точками $t_1<t_2<\dots <t_{n-1}$, получим

${\upsilon }_{{\pi }^{\text{'}}}\left(f\right)⩾V_a^b\left(f\right)-3\epsilon .$

 Следовательно,

$\underset{\eta \to 0+}{}{V}_{a+\eta }^{b-\eta }\left(f\right)⩾V_{t_1}^{t_{n-1}}\left(f\right)⩾{\upsilon }_{{\pi }^{\text{'}}}\left(f\right)⩾V_a^b\left(f\right)-3\epsilon ,$

если только выполнено (6). В силу произвольности $\epsilon >0$ отсюда

$\underset{\eta \to 0+}{}{V}_{a+\eta }^{b-\eta }\left(f\right)⩾V_a^b\left(f\right).$

Так как противоположное неравенство очевидно, то в случае (a) лемма доказана.

(b) $V_a^b\left(f\right)=\infty$. Тогда для каждого $M>0$ существует разбиение $\pi :a=t_0<t_1<\dots <t_n=b$ отрезка $\left[a, b\right]$ такое, что

$\sum _{k=1}^n\left|f\right(t_k)-f(t_{k-1}\left)\right|⩾M.$

При этом опять можно считать, что выполнено условие (6). Тем самым, рассуждая аналогично предыдущему случаю, получим, что

$\underset{\eta \to 0+}{}{V}_{a+\eta }^{b-\eta }\left(f\right)⩾V_{t_1}^{t_{n-1}}\left(f\right)⩾M-2\epsilon .$

 Так как $M>0$ произвольно велико, то отсюда

$\underset{\eta \to 0+}{}{V}_{a+\eta }^{b-\eta }\left(f\right)=\infty .$

Таким образом, лемма в случае (b) также доказана.

Распространим теперь первое утверждение теоремы 2 на класс функций, имеющих кусочно-непрерывную производную.

Предложение 1. Пусть $f\in C\left(\right[a,b\left]\right)$ и дифференцируема на $\left(a, b\right)$ за исключением, возможно, конечного числа точек $u_1<u_2<...<u_m$, причем $f\text{'}$ непрерывна на каждом интервале $(a,u_1),(u_1,u_2),\dots ,(u_m,b)$. Предположим также, что интеграл $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f^{\text{'}}\right(t\left)\right|dt$ сходится как несобственный интеграл II рода. Тогда $f\in V\left(\right[a,b\left]\right)$ и $V_a^b\left(f\right)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f^{\text{'}}\right(t\left)\right|dt$.

Доказательство. Пусть $\delta >0$ таково, что

$a+\delta <u_1-\delta <u_1+\delta <u_2-\delta <\dots <u_m+\delta <b-\delta .$

Рассмотрим отрезки ${\Delta }_k:=[u_{k-1}+\delta ,u_k-\delta ]$, $k=\mathrm{1,}\dots ,m+1$, где $u_0:=a$, $u_{m+1}:=b$. Так как по условию $f\in C^1\left({\Delta }_k\right)$, $k=\mathrm{1,}\dots ,m+1$, то по теореме 2

$V_{{\Delta }_k}\left(f\right)=\underset{{\Delta }_k}{\int }\left|f^{\text{'}}\right(t\left)\right|dt.$

Если теперь $\delta \to 0$, то в силу леммы 2 и определения несобственного интеграла получим, что

$V_{u_k}^{u_{k+1}}\left(f\right)=\underset{u_k}{\overset{u_{k+1}}{\int }}\left|f^{\text{'}}\right(t\left)\right|dtдлявсехk=\mathrm{0,}\dots ,m.$

В итоге, суммируя эти равенства, в силу аддитивности вариации и несобственного интеграла приходим к доказываемому соотношению.

В заключение покажем, что вариация с переменным верхним пределом может быть не дифференцируема в том случае, когда производная функции, вариация которой рассматривается, имеет разрыв хотя бы в одной точке (ср. со вторым утверждением теоремы 2).

Предложение 2. Пусть $1<\alpha <2$. Функция $f\left(x\right):=x^2\cos \frac{1}{x^{\alpha }}$ при $0<x⩽\mathrm{1,}f\left(0\right)=0$, обладает следующими свойствами:

(a) $f$ дифференцируема на $\left[0,1\right]$ и производная $f\text{'}$ непрерывна на $\left(\mathrm{0,1}\right]$;

(b) $f\in V\left(\right[\mathrm{0,1}\left]\right)$;

(c) функция $F\left(x\right):=V_0^x\left(f\right)$ не дифференцируема в нуле.

Доказательство. (a) Если $0<x⩽1$, то

$f^{\text{'}}\left(x\right)=2x\cos \frac{1}{x^{\alpha }}+\alpha x^{1-\alpha }\sin \frac{1}{x^{\alpha }}.$ (7)

Кроме того, по определению производной

$f^{\text{'}}\left(0\right)=\underset{x\to 0+}{}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x}=\underset{x\to 0+}{}x\cos \frac{1}{x^{\alpha }}=0.$

Таким образом, функция $f$ дифференцируема на $\left[0,1\right]$ и $f\text{'}$ непрерывна на $\left(\mathrm{0,1}\right]$. В то же время $f\text{'}$ разрывна в нуле справа, так как $\underset{x\to 0+}{}{f}^{\text{'}}\left(x\right)=+\infty$.

(b) Покажем, что интеграл $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|f^{\text{'}}\right(x\left)\right|dx$ сходится, используя признак сравнения. Действительно, в силу (7)

$\left|f^{\text{'}}\right(x\left)\right|⩽h\left(x\right),гдеh\left(x\right):=2x+\alpha x^{1-\alpha }.$

 При этом, так как $\alpha <2$, то

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}h\left(x\right)dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(2x+\alpha x^{1-\alpha })dx=2\underset{0}{\overset{1}{\int }}xdx+\alpha \underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{1-\alpha }dx=1+\frac{\alpha }{2-\alpha }<\infty .$

Таким образом, несобственный интеграл $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|f^{\text{'}}\right(x\left)\right|dx$ сходится, поэтому, применяя предложение 1, получаем, что $f\in V\left(\right[\mathrm{0,1}\left]\right)$.

(c) Для доказательства недифференцируемости функции $F\left(x\right)=V_0^x\left(f\right)$ в нуле достаточно показать, что для некоторой убывающей к нулю последовательности $\left\{x_n\right\}\subset \left(\mathrm{0,1}\right]$ имеет место равенство:

$\underset{n\to +\infty }{}\frac{F\left(x_n\right)}{x_n}=+\infty .$

В свою очередь, по теореме Штольца [5, с. 67--68] это эквивалентно тому, что

$\underset{n\to +\infty }{}\frac{F\left(x_n\right)-F\left(x_{n+1}\right)}{x_n-x_{n+1}}=+\infty$

или в силу предложения 1 тому, что

$\underset{n\to +\infty }{}\frac{{\displaystyle \underset{x_{n+1}}{\overset{x_n}{\int }}\left|f^{\text{'}}\right(t\left)\right|dt}}{x_n-x_{n+1}}=+\infty .$ (8)

Из равенства (7) следует, что

$\frac{1}{x_n-x_{n+1}}\underset{x_{n+1}}{\overset{x_n}{\int }}\left|f^{\text{'}}\right(t\left)\right|dt⩾\frac{1}{x_n-x_{n+1}}\left(\alpha \underset{x_{n+1}}{\overset{x_n}{\int }}\right|t^{1-\alpha }\sin \frac{1}{t^{\alpha }}|dt-2\underset{x_{n+1}}{\overset{x_n}{\int }}|t\cos \frac{1}{t^{\alpha }}\left|dt\right).$

 Так как

$0⩽\frac{2}{x_n-x_{n+1}}\underset{x_{n+1}}{\overset{x_n}{\int }}\left|t\cos \frac{1}{t^{\alpha }}\right|dt⩽\frac{2}{x_n-x_{n+1}}\underset{x_{n+1}}{\overset{x_n}{\int }}\left|t\right|dt=x_n+x_{n+1}\underset{n\to +\infty }{\to }\mathrm{0,}$

 то отсюда получаем, что (8) будет доказано, если показать следующее:

$\underset{n\to +\infty }{}\frac{\alpha }{x_n-x_{n+1}}\underset{x_{n+1}}{\overset{x_n}{\int }}\left|t^{1-\alpha }\sin \frac{1}{t^{\alpha }}\right|dt=+\infty .$ (9)

Полагая $x_n:={\left(\pi n\right)}^{-\frac{1}{\alpha }}$, в интеграле из левой части (9) сделаем замену $p=t^{-\alpha }$. Тогда

$\frac{\alpha }{{\left(\pi n\right)}^{-\frac{1}{\alpha }}-{\left(\pi \right(n+1\left)\right)}^{-\frac{1}{\alpha }}}\underset{{\left(\pi \right(n+1\left)\right)}^{-\frac{1}{\alpha }}}{\overset{{\left(\pi n\right)}^{-\frac{1}{\alpha }}}{\int }}\left|t^{1-\alpha }\sin \frac{1}{t^{\alpha }}\right|dt=\frac{1}{{\left(\pi n\right)}^{-\frac{1}{\alpha }}-{\left(\pi \right(n+1\left)\right)}^{-\frac{1}{\alpha }}}\underset{\pi n}{\overset{\pi (n+1)}{\int }}\frac{\left|\sin p\right|}{p^{\frac{2}{\alpha }}}dp⩾$

$⩾\frac{{\displaystyle \underset{\pi n+\frac{\pi }{6}}{\overset{\pi (n+1)-\frac{\pi }{6}}{\int }}{p}^{-\frac{2}{\alpha }}dp}}{2({\left(\pi n\right)}^{-\frac{1}{\alpha }}-{\left(\pi \right(n+1\left)\right)}^{-\frac{1}{\alpha }})}.$ (10)

Из этой оценки вытекает, что соотношение (9) выполнено для выбранной последовательности $\left\{x_n\right\}$, если правая часть (10) стремится к $+\infty$ при $n\to +\infty$.

Так как

$\underset{\pi n+\frac{\pi }{6}}{\overset{\pi (n+1)-\frac{\pi }{6}}{\int }}{p}^{-\frac{2}{\alpha }}dp=\frac{\alpha }{2-\alpha }\left({\left(\pi n+\frac{\pi }{6}\right)}^{1-\frac{2}{\alpha }}-{\left(\pi n+\frac{5\pi }{6}\right)}^{1-\frac{2}{\alpha }}\right),$

 то элементарные преобразования показывают, что предел правой части в (10) при $n\to +\infty$ равен следующему:

$\frac{\alpha }{2(2-\alpha )}\underset{n\to +\infty }{}\frac{{\left(\pi n+\frac{\pi }{6}\right)}^{1-\frac{2}{\alpha }}-{\left(\pi n+\frac{5\pi }{6}\right)}^{1-\frac{2}{\alpha }}}{{\left(\pi n\right)}^{-\frac{1}{\alpha }}-{\left(\pi \right(n+1\left)\right)}^{-\frac{1}{\alpha }}}=\frac{\alpha {\pi }^{1-\frac{1}{\alpha }}}{2(2-\alpha )}\underset{n\to +\infty }{}\frac{n^{\frac{1}{\alpha }}\left(1-{\left(\frac{n+\frac{1}{6}}{n+\frac{5}{6}}\right)}^{\frac{2}{\alpha }-1}\right)}{{\left(n+\frac{1}{6}\right)}^{\frac{2}{\alpha }-1}\left(1-{\left(\frac{n}{n+1}\right)}^{\frac{1}{\alpha }}\right)}.$

 Далее, по правилу Лопиталя

$\underset{y\to +\infty }{}\frac{1-{\left(\frac{y+\frac{1}{6}}{y+\frac{5}{6}}\right)}^{\frac{2}{\alpha }-1}}{1-{\left(\frac{y}{y+1}\right)}^{\frac{1}{\alpha }}}=\frac{2(2-\alpha )}{3}\underset{y\to +\infty }{}\frac{{\left(y+\frac{1}{6}\right)}^{\frac{2}{\alpha }-2}{\left(y+\frac{5}{6}\right)}^{-\frac{2}{\alpha }}}{y^{\frac{1}{\alpha }-1}{(y+1)}^{-\frac{1}{\alpha }-1}}=$

$=\frac{2(2-\alpha )}{3}\underset{y\to +\infty }{}\frac{y^{\frac{2}{\alpha }-2}{\left(1+\frac{1}{6y}\right)}^{\frac{2}{\alpha }-2}{y}^{-\frac{2}{\alpha }}{\left(1+\frac{5}{6y}\right)}^{-\frac{2}{\alpha }}}{y^{\frac{1}{\alpha }-1}{y}^{-\frac{1}{\alpha }-1}{\left(1+\frac{1}{y}\right)}^{-\frac{1}{\alpha }-1}}=\frac{2(2-\alpha )}{3},$

и, значит, так как $\alpha >1$, то

$\frac{\alpha {\pi }^{1-\frac{1}{\alpha }}}{2(2-\alpha )}\underset{n\to +\infty }{}\frac{n^{\frac{1}{\alpha }}\left(1-{\left(\frac{n+\frac{1}{6}}{n+\frac{5}{6}}\right)}^{\frac{2}{\alpha }-1}\right)}{{\left(n+\frac{1}{6}\right)}^{\frac{2}{\alpha }-1}{\left(1-\left(\frac{n}{n+1}\right)\right)}^{\frac{1}{\alpha }}}=\frac{\alpha {\pi }^{1-\frac{1}{\alpha }}}{3}\underset{n\to +\infty }{}\frac{n^{\frac{1}{\alpha }}}{{\left(n+\frac{1}{6}\right)}^{\frac{2}{\alpha }-1}}=+\infty .$

 В итоге соотношение (9), а с ним и предложение доказаны.

Финансирование. Работа выполнена в рамках реализации программы развития Научно-образовательного математического центра Приволжского федерального округа, соглашение № 075-02-2024-1456.

Информация о конфликте интересов: авторы и рецензенты заявляют об отсутствии конфликта интересов.

About the authors

Sergey V. Astashkin

Samara National Research University

Author for correspondence.
Email: astash56@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-8239-5661

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor, head of the Department of Functional Analysis and Function Theory

Russian Federation, Samara

Vladislav M. Ershov

Samara National Research University

Email: ershov189510@yandex.ru
ORCID iD: 0009-0001-3815-8343

student, Faculty of Mathematics and Mechanics, group no. 4341-010501D

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation

References

Supplementary files