Study of the influence of thermal stresses on natural vibrations of the plates

Full Text

Введение

Одной из причин появления дополнительных погрешностей при проведении измерений выступает температура. Температурное расширение материалов приводит как к изменению самих объектов исследования, так и к изменению компонентов измерительного оборудования. Кроме этого, наличие температурного расширения может приводить к неточности инженерных расчетов, например при оценке собственных колебаний конструкций.

Влияние температуры на частоту собственных колебаний проводилось в [1; 2]. В указанных работах установлено, что с ростом температуры идет уменьшение собственных частот колебаний балок за счет изменения упругих свойств исследуемых объектов, в частности снижения модуля упругости. В работе [3] проведены исследования влияния температуры на колебания шарнирно опертой пластины, а в [4] — влияние температуры на отклик защемленной пластины на динамическое воздействие в зависимости от температуры. Обе работы также указывают на наличие зависимости частоты колебаний пластины от температуры.

С целью изучения влияния температуры на собственные колебания пластин проведены аналитические расчеты и компьютерное моделирование прямоугольных пластин при различных условиях закрепления.

1. Постановка задачи

Дифференциальное уравнение свободных колебаний изотропной пластины постоянной толщины имеет вид [5]:

$D\left(\frac{{\partial }^{4}w}{\partial x^4}+2\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2\partial y^2}+\frac{{\partial }^{4}w}{\partial y^4}\right)+m_0\frac{{\partial }^{2}w}{\partial t^2}=0$

или

$D\Delta \Delta w+m_0\frac{{\partial }^{2}w}{\partial t^2}=\mathrm{0,}$

где $w$ — прогиб; $m_0$ — масса пластины на единицу площади; $D$ — цилиндрическая жесткость пластины.

$D=\frac{E{h}^3}{12(1-{\mu }^2)},$

где $E$ — модуль упругости; $h$ — толщина пластины; $\mu$ — коэффициент Пуассона.

$m_0=\rho h,$

где $\rho$ — плотность материала пластины.

Решение уравнения должно удовлетворять граничным условиям, зависящим от способа закрепления краев пластины [6; 7]. В настоящей статье рассматривается пластина с защемленными и свободными краями (рис 1.1). Граничные условия на краях $x=a$, $y=b$:

1. Защемленный край. Прогиб и угол поворота равны нулю:

$\left\{\begin{array}{l}w=0;\frac{\partial w}{\partial x}=0приx=a;\\ w=0;\frac{\partial w}{\partial y}=0приy=b.\end{array}\right.$

2. Свободный край. Момент и поперечная сила равны нулю:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}+\mu \frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^2}=0;\frac{{\partial }^{3}w}{\partial x^3}+(2-\mu )\frac{{\partial }^{3}w}{\partial x\partial y^2}=0приx=a;\\ \frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^2}+\mu \frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}=0;\frac{{\partial }^{3}w}{\partial y^3}+(2-\mu )\frac{{\partial }^{3}w}{\partial y\partial x^2}=0приy=b.\end{array}\right.$

 

Рис. 1.1. Схема пластины

Fig. 1.1. Plate diagram

 

Пластины со всеми возможными случаями краевых условий исследованы с помощью метода Релея – Ритца.

Решение для частоты собственных колебаний следующее [8]:

$\omega =k_{mn}^2{\left(\frac{D}{m_0}\right)}^{\frac{1}{2}},$

где

$k_{mn}^2={\pi }^2{\left\{\frac{A_m^4}{a^4}+\frac{A_n^4}{b^4}+\frac{2}{a^2{b}^2}\left[\mu B_m{B}_n+(1-\mu )C_m{C}_n\right]\right\}}^{\frac{1}{2}},$

где $A_m, A_n, B_m, B_n, C_m, C_n$ — коэффициенты, зависящие от условий закрепления и количества узловых точек колебаний $m$ и $n$, включая края пластины; $m$ — количество узловых точек вдоль оси $x$ (вдоль стороны $a$), $n$ — количество узловых точек вдоль оси $y$ (вдоль стороны $b$) (см. рис. 1.1). Значения коэффициентов можно найти в [8; 9].

Повышение температуры приводит к изменению упругих свойств материала. У стали с повышением температуры снижаются модуль упругости и плотность, повышается коэффициент Пуассона. Кроме этого, повышение температуры приводит к температурному расширению материала. В случае наличия ограничения температурного расширения, например при жесткой заделке, появляется противодействующая сила со стороны опоры, которая приводит к появлению напряжений в самом материале.

Если в срединной плоскости пластины действуют продольные усилия $N_{11}, N_{12}, N_{22}$ уравнение колебаний выглядит как [9]:

$D\Delta \Delta w+m_0\frac{{\partial }^{2}w}{\partial t^2}=N_{11}\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}+2N_{12}\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x\partial y}+N_{22}\frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^2}.$

В случае когда усилия $N_{11}, N_{22}$ постоянны, а $N_{12}$ равно нулю, частота свободных колебаний будет иметь вид:

$\omega =k_{mn}^2{\left(\frac{D}{m_0}\right)}^{\frac{1}{2}},$

где

$k_{mn}^2={\pi }^2{\left\{\frac{A_m^4}{a^4}+\frac{A_n^4}{b^4}+\frac{2}{a^2{b}^2}\left[\mu B_m{B}_n+(1-\mu )C_m{C}_n\right]+2(\frac{q_1{C}_m}{a^4}+\frac{q_2{C}_n}{b^4}\right\}}^{\frac{1}{2}},$

где

$q_1=\frac{N_{11}{a}^2}{2\pi D},q_2=\frac{N_{22}{b}^2}{2\pi D}.$

Таким образом, температурные изменения упругих свойств материала и наличие температурных напряжений будут влиять на частоту собственных колебаний пластины.

Расчеты влияния температуры на частоту собственных колебаний проводились на следующем объекте исследования: стальная пластина с геометрическими размерами: $a=200$ мм, $b=200$ мм, $h=2$ мм; упругие свойства материала: $E=200$ ГПа, $\rho =7850$ кг/м, $\mu =0,3$, $\alpha =1,5·{10}^{-5}$ 1/$°$С.

Аналитические решения найдены по вышеприведенным формулам, компьютерное моделирование проводилось методом конечных элементов в программе Ansys.

2. Результаты и обсуждения

1. Колебания пластины, защемленной по всему контуру.

В таблице 2.1 представлены данные аналитического расчета и компьютерного моделирования десяти мод свободных колебаний, а также свободных колебаний при изменении температуры на 10 °С. Погрешность расхождения результатов аналитического расчета и компьютерного моделирования составляет менее 1%.

 

Таблица 2.1

Table 2.1

Мода	Расчетная частота, Гц	Частота модели Ansys, Гц	Расчетное изменение частоты при $∆T=10$ °C, Гц	Изменение частоты модели Ansys при $∆T=10$ °C, Гц	Процент изменения частоты при $∆T=10$ °C, %
2/2	439,48	438,83	353,46	353,81	19,37
3/2	896,99	894,31	801,98	800,25	10,52
3/3	1323,33	1317,60	1223,35	1219,40	7,45
4/2	1611,54	1601,50	1512,97	1502,60	6,18
4/3	2017,62	2006,80	1915,63	1906,10	5,02
5/2	2570,73	2558,80	2469,71	2458,00	3,94
4/4	2686,90	2673,20	2582,96	2570,50	3,84
5/3	2967,51	2940,90	2864,21	2837,90	3,50
5/4	3618,41	3595,20	3513,39	3491,20	2,89
5/5	4530,89	4498,90	4424,79	4393,80	2,34

 

При условии жесткого закрепления пластины по всему контуру изменение температуры на 10 °С, приводит к появлению в пластине напряжения $\sigma =33,6$ МПа, что, в свою очередь, ведет к возникновению сжимающих продольных сил $N_{11}$, $N_{22}$. Наличие сжимающих сил уменьшает частоту собственных колебаний, что хорошо видно по результатам аналитического расчета и моделирования.

На рис. 2.1 построен график зависимости изменения частоты от моды колебания. По графику можно сделать вывод, что сильнее всего меняются низшие частоты.

 

Рис. 2.1. График изменения мод при изменении температуры на 10 °С

Fig. 2.1. Graph of the mode change when the temperature changes by 10 °С

 

Дальнейшее повышение температуры приводит к исчезновению низших частот, а также к изменению форм колебаний. Результаты отображены на рис. 2.2 и 2.3.

 

Рис. 2.2. Графики изменения частот мод колебаний с повышением температуры

Fig. 2.2. Graphs of frequency changes of oscillation modes with increasing temperature

 

Рис. 2.3. Изменение формы колебаний моды 5/2 с повышением температуры

Fig. 2.3. Changing the shape of the oscillation of the 5/2 mode with increasing temperature

 

2. Колебания пластины с защемленными противоположными краями (защемление по стороне $b$).

В таблице 2.2 отражены данные аналитического расчета и компьютерного моделирования двадцати первых мод свободных колебаний, а также свободных колебаний при изменении температуры на 10°С.

 

Таблица 2.2

Table 2.2

Мода	Расчетная частота, Гц	Частота модели Ansys, Гц	Расчетное изменение частоты при $∆T=10$ °C, Гц	Изменение частоты модели Ansys при $∆T=10$ °C, Гц	Процент изменения частоты при $∆T=10$ °C, %
2/0	272,26	270,32	215,11	215,65	20,22
2/1	323,65	321,42	277,31	279,77	12,96
2/2	536,69	529,29	510,09	499,69	5,59
3/0	750,27	745,35	677,46	676,15	9,28
3/1	822,93	817,45	757,14	758,49	7,21
2/3	982,30	968,00	968,02	946,96	2,17
3/2	1076,47	1063,80	1027,05	1012,70	4,80
4/0	1470,54	1461,60	1392,41	1387,90	5,04
3/3	1532,84	1508,40	1498,54	1466,80	2,76
4/1	1551,90	1540,70	1478,08	1474,50	4,30
2/4	1679,74	1659,00	1671,43	1641,80	1,04
4/2	1832,78	1812,70	1770,71	1751,00	3,40
3/4	2215,52	2181,40	2191,94	2146,50	1,60
4/3	2314,77	2279,60	2265,94	2225,60	2,37
5/0	2430,89	2415,10	2349,73	2338,60	3,17
5/1	2517,11	2496,50	2438,82	2426,20	2,82
2/5	2626,26	2597,20	2620,95	2582,20	0,58
5/2	2816,127	2784,9	2746,373	2716,70	2,45
4/4	3003,621	2959,8	2966,154	2913,10	1,58
3/5	3143,754	3095,8	3127,175	3064,70	1,00

 

На рис. 2.4 точками показаны степени изменения мод при изменении температуры на 10 °С. По представленным данным видно, что изменение частоты идет неравномерно и зависит от порядкового номера моды. Кроме этого, замечено, что, поскольку одни моды с ростом температуры убывают быстрее других, при достижении определенных температур порядковые номера мод меняются.

 

Рис. 2.4. Изменения мод при изменении температуры на 10 °С

Fig. 2.4. Mode changes when the temperature changes by 10 °C

 

Выдвинуто предположение о том, что данное неравномерное распределение зависимости частоты от температуры от номера моды обусловлено неравномерным распределением напряжений по осям пластины. Моды, имеющие форму колебаний преимущественно по оси напряжения (вдоль оси $x$), претерпевают большее изменение.

Для каждой моды вычислена скорость изменения в определенном диапазоне начальных и конечных значений в выделенной области температур. Далее проведен кластерный анализ методом -средних, в результате которого было определено три кластера (рис. 2.5).

 

Рис. 2.5. Результаты кластерного анализа: 1 — кластер 1; 2 — кластер 2; 3 — кластер 3

Fig. 2.5. Results of cluster analysis: 1 — cluster 1; 2 — cluster 2; 3 — cluster 3

 

Разложение форм колебаний согласно кластерному анализу (рис. 2.6) подтвердило выдвинутую гипотезу.

 

Рис. 2.6. Результаты кластерного анализа: сверху — кластер 1; в середине — кластер 2; снизу — кластер 3

Fig. 2.6. Results of cluster analysis: above is cluster 1; in the middle is cluster 2; below is cluster 3

 

3. Колебания пластины, защемленной по одной стороне.

При защемлении пластины по одной стороне вследствие отсутствия ограничений теплового расширения и температурных напряжений на изменение частоты оказывает влияние только изменение упругих свойств материала. Изменение частоты при изменении температуры на 10°С составляет менее 1 %.

Заключение

В результате проведенного математического и компьютерного моделирования установлено, что изменение температуры приводит к изменению частоты собственных колебаний.

Ограничение теплового расширения объекта ведет к возникновению внутренних напряжений, что, в свою очередь, оказывает сильное влияние на частоту собственных колебаний.

Наибольшее изменение претерпевают низшие частоты, которые пропадают с ростом температуры. Помимо изменения частот собственных колебаний, также меняются и формы колебаний.

При неравномерном распределении внутренних напряжений скорость изменения частоты зависит от порядкового номера моды колебаний.

About the authors

Anton V. Suslov

Samara State Technical University

Email: a.v.suslov@inbox.ru
ORCID iD: 0009-0004-1076-1257

senior lecturer of the Department of Information and Measurement Technology

Russian Federation, 244, Molodogvardeyskaya Street, Samara, 443100, Russian Federation

Ekaterina E. Yaroslavkina

Samara State Technical University

Author for correspondence.
Email: yaroslavkina7@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-7633-2154

Candidate of Technical Sciences, head of the Department of Information and Measurement Technology

Russian Federation, 244, Molodogvardeyskaya Street, Samara, 443100, Russian Federation

References

Supplementary files