Asymptotics of critical conditions in one combustion model

Full Text

Введение

В биологии, химии, механике и многих других областях встречается немало прикладных задач, характерной чертой которых является одновременное протекание сильно отличающихся по скорости процессов. Такие задачи описываются сингулярно возмущенными системами. Большой интерес представляет исследование критических явлений, при которых качественно меняется характер поведения траекторий системы. В горении так называемый критический режим разделяет режим медленного выгорания и режим теплового взрыва [1-5]. Его важная особенность заключается в том, что температура в реакторе достигает больших значений, чем при режиме медленного горения, но при этом реакция протекает со скоростью значительно меньшей, чем при режиме теплового взрыва.

1. Постановка задачи

 Рассмотрим модель горения газовой смеси с учетом расхода реагента и окислителя. В безразмерной форме модель принимает вид [6; 7]:

$\left\{\begin{array}{l}\gamma \frac{d\theta }{d\tau }=\varphi (\eta ,\xi )\exp \left(\frac{\theta }{1+\beta \theta }\right)-\alpha (\theta -{\theta }_{amb}),\\ \frac{d\eta }{d\tau }=-\varphi (\eta ,\xi )\exp \left(\frac{\theta }{1+\beta \theta }\right),\\ \frac{d\xi }{d\tau }=-\lambda \varphi (\eta ,\xi )\exp \left(\frac{\theta }{1+\beta \theta }\right).\end{array}\right.$ (1.1)

Здесь $\eta$, $\xi$ и $\theta$ — безразмерные концентрации реагента и окислителя и безразмерная температура, соответственно; ${\theta }_{amb}$ — безразмерная температура окружающей среды; $\alpha$ — параметр, характеризующий теплоотвод из реакционной фазы. Параметр $\lambda$ — отношение стехиометрических коэффициентов и начальных концентраций реагента и окислителя. Случай $\lambda <1$ отвечает обедненной горючей смеси, и завершение процесса горения связано с полным выгоранием горючего. Если $\lambda >1$, то смесь является богатой, процесс горения завершится после полного расхода окислителя. В случае стехиометрической смеси ($\lambda =1$) горючее и окислитель заканчиваются одновременно. $\varphi (\eta ,\xi )$ — кинетическая функция для безразмерных переменных, которая в случае автокаталитической реакции по реагенту и окислителю принимает вид

$\varphi (\eta ,\xi )={\eta }^{a_1}{\left(1+{\eta }_0-\eta \right)}^{a_2}{\xi }^{b_1}{\left(1+{\xi }_0-\xi \right)}^{b_2},$

где $a_1$, $a_2$, $b_1$, $b_2$ — константы, определяющие порядок реакции [8]. Порядки реакций могут быть любые, в том числе дробные.

Начальные условия для (1) имеют вид

$\theta \left(0\right)=\mathrm{0,}\eta \left(0\right)=\mathrm{1,}\xi \left(0\right)=1.$ (1.2)

Первый интеграл системы (1)

$\xi -1=\lambda (\eta -1)$

позволяет свести рассмотрение (1)–(2) к задаче

$\left\{\begin{array}{l}\gamma \frac{d\theta }{d\tau }=\psi \left(\eta \right)\exp \left(\frac{\theta }{1+\beta \theta }\right)-\alpha (\theta -{\theta }_{amb})=g(\theta ,\eta ),\\ \frac{d\eta }{d\tau }=-\psi \left(\eta \right)\exp \left(\frac{\theta }{1+\beta \theta }\right)=f(\theta ,\eta ),\end{array}\right.$ (1.3)

 где $\psi \left(\eta \right)={\eta }^{a_1}{\left(1+{\eta }_0-\eta \right)}^{a_2}{\left(\lambda \right(\eta -1)+1)}^{b_1}{\left({\xi }_0-\lambda (\eta -1)\right)}^{b_2}$, с начальными условиями:

$\theta \left(0\right)=\mathrm{0,}\eta \left(0\right)=1.$ (1.4)

$\gamma$ и $\beta$ — малые параметры, ${\theta }_{amb}$ положительна, когда начальная температура газовой смеси ниже температуры окружающей среды, в ином случае отрицательна.

Анализ поведения траекторий системы проводится на основе геометрической теории сингулярных возмущений и метода инвариантных многообразий [5; 9]. Такой подход позволяет определить существенные особенности динамики решений дифференциальной системы, даже не решая ее, опираясь на анализ так называемого вырожденного (алгебраического) уравнения. Далее, применяя асимптотические разложения для инвариантных многообразий, этот подход позволяет найти условия возникновения различных критических явлений. В задачах горения такой подход применялся, например, в работах [1–5; 10; 11].

В данной статье рассмотрен случай $a_1=b_1=b_2=1$ и $a_2=2$ для стехиометрической смеси ($\lambda =1$), а именно функция $\psi \left(\eta \right)$ в системе (3)–(4) для рассматриваемого случая имеет вид $\psi \left(\eta \right)={\eta }^2{\left(1+{\eta }_0-\eta \right)}^2\left({\xi }_0-\eta +1\right)$.

2. Основные результаты

2.1. Медленная кривая

Уравнение

$\gamma \frac{d\theta }{d\tau }=\psi \left(\eta \right)\exp \left(\frac{\theta }{1+\beta \theta }\right)-\alpha (\theta -{\theta }_{amb})$

определяет быструю подсистему системы (3)–(4). Положив в нем $\gamma =0$, получим

$\psi \left(\eta \right)\exp \left(\frac{\theta }{1+\beta \theta }\right)-\alpha (\theta -{\theta }_{amb})=0.$

Полученное уравнение определяет так называемую медленную кривую [5] системы (3)–(4), которая является эффективным средством для описания поведения ее траекторий. Фазовая точка системы (3)–(4) вблизи медленной кривой имеет скорость порядка единицы при $\gamma \to 0$, а вдали от медленной кривой температура $\theta$ меняется со скоростью порядка $O\left(\frac{1}{\gamma }\right)$. В $\gamma$–окрестности медленной кривой существует медленное инвариантное многообразие системы, которое определяется как инвариантное множество медленных движений [9]. Медленная кривая состоит из устойчивых (для них выполняется неравенство $\partial g/\partial \theta <0$) и неустойчивых ($\partial g/\partial \theta >0$) участков, разделенных точкой срыва. Устойчивые и неустойчивые части медленной кривой представляют собой нулевое приближение ($\gamma$ = 0) устойчивых (или притягивающих) и неустойчивых (или отталкивающих) медленных инвариантных многообразий системы (3)–(4) соответственно.

В рассматриваемом случае точка срыва: ${\theta }^{*}=1+{\theta }_{amb}+2(1+{\theta }_{amb})\beta +O\left({\beta }^2\right)$. Участок медленной кривой, для которого $\theta <{\theta }^{*}$ является устойчивым и притягивает траектории системы, а участок, где $\theta >{\theta }^{*}$, наоборот, их отталкивает.

На рисунке 2.1 изображены медленная кривая и траектории системы (3)–(4). В случае, представленном на рисунке 2.1, а, траектория, начавшаяся в точке $\eta =1;\theta =0$, притягивается к устойчивой части медленной кривой и идет в ее $\gamma$–окрестности до $\eta =0;\theta ={\theta }_{amb}$, причем безразмерная температура не будет превышать значения $\theta *$. Такая траектория соответствует режиму медленного горения.

Рис. 2.1: Медленная кривая (пунктирная линия) и траектория (сплошная линия) системы (3)–(4), построенные при следующих значениях параметров: γ=0,01; β=0,01; η₀=0,9; ξ₀=0,9; θ_amb=-1,5; а — α=0,7; б — α=0,5

Fig. 2.1. Slow curve (dotted line) and trajectory (solid line) of the system (3)–(4), constructed with the following parameter values: γ=0,01; β=0,01; η₀=0,9; ξ₀=0,9; θ_amb=-1,5; а — α=0,7; б — α=0,5 

В случае, представленном на рисунке 2.1, б, траектория находится в области влияния неустойчивого участка медленной кривой и, оттолкнувшись от него, стремится вправо, достигая высоких значений температуры. Это режим теплового взрыва.

Кроме перечисленных возможен третий вариант, в котором медленная кривая имеет точку самопересечения, а траектория системы движется сначала вдоль устойчивого участка медленной кривой, затем, пройдя точку самопересечения (точку срыва), продолжает свое движение вдоль ее неустойчивого участка. Последний сценарий отвечает критическому режиму, а такие траектории носят название траекторий-уток [5; 9; 12–14]. В следующем параграфе найдено условие протекания данного режима.

2.2. Критические условия

Критический режим моделируется так называемым управляющим параметром, в данном случае — параметром, характеризующим теплоотвод из реакционной фазы. Критическое значение параметра $\alpha$ находится при построении траектории-утки, а именно так, чтобы позволить склеить устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия. Для начала найдем координаты точки срыва. Она удовлетворяет следующей системе:

$\left\{\begin{array}{l}g(\theta ,\eta )=\mathrm{0,}\\ \frac{\partial g}{\partial \theta }=0.\end{array}\right.$

Подставив $g(\theta ,\eta )$, получим

$\left\{\begin{array}{l}\psi \left(\eta \right)\exp \left(\frac{\theta }{1+\beta \theta }\right)-\alpha (\theta -{\theta }_{amb})=\mathrm{0,}\\ \psi \left(\eta \right)\exp \left(\frac{\theta }{1+\beta \theta }\right){(1+\beta \theta )}^{-2}-\alpha =0.\end{array}\right.$ (2.1)

Система (2.1) сводится к уравнению

$\alpha \left[(\theta -{\theta }_{amb})-{(1+\beta \theta )}^2\right]=0.$

Случай, когда параметр $\alpha =0$ не рассматривается, поэтому приравняем к нулю выражение для $\theta$. Получим уравнение

${\beta }^2{\theta }^2+(2\beta -1)\theta +1+{\theta }_{amb}=\mathrm{0,}$

которое является квадратным относительно $\theta$. Здесь и далее функции, зависящие от $\beta$, будем представлять в виде ряда Маклорена по малому параметру $\beta$ и оставлять лишь первое приближение (поскольку $\beta$ — малый параметр и более высокий порядок приближения будет незначительно отличаться от первого). Тогда значение $\theta$ в точке срыва будет

${\theta }^{*}=1+{\theta }_{amb}+2(1+{\theta }_{amb})\beta +O\left({\beta }^2\right).$

Концентрацию топлива и критическое значение параметра, характеризующего теплоотвод, будем искать в виде асимптотических рядов по степеням $\gamma$:

$\begin{array}{l}\eta (\theta ,\gamma )=h_0\left(\theta \right)+\gamma h_1\left(\theta \right)+O\left({\gamma }^2\right),\end{array}$ (2.2)

$\begin{array}{l}{\alpha }^{*}\left(\gamma \right)={\alpha }_0+\gamma {\alpha }_1+O\left({\gamma }^2\right).\end{array}$ (2.3)

Подставляя разложения (2)–(3) в уравнение инвариантности [9]

$\begin{array}{l}\left({h^{\text{'}}}_0\right(\theta )+\gamma {h^{\text{'}}}_1(\theta )+O({\gamma }^2\left)\right)g(\theta ,\eta )=\gamma f(\theta ,\eta )\end{array}$ (2.4)

 и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра, найдем коэффициенты разложения в (2).

Полагая $\gamma =0$ (рассматривая коэффициенты при ${\gamma }^0$), получим уравнение медленной кривой

$\begin{array}{l}F(h_0,\theta )=\psi \left(h_0\right)\exp \left(\frac{\theta }{1+\beta \theta }\right)-\alpha (\theta -{\theta }_{amb})=0.\end{array}$ (2.5)

В случае автокаталитической реакции при критическом режиме точка срыва совпадает с точкой самопересечения медленной кривой, поэтому будем искать $h_0\left({\theta }^{*}\right)$ и ${\alpha }_0$ такими, чтобы выполнялось условие самопересечения медленной кривой, т. е.

$\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial F}{\partial h_0}=\left[2h_0{(1+{\eta }_0-h_0)}^2({\xi }_0-h_0+1)-2h_0^2(1+{\eta }_0-h_0)({\xi }_0-h_0+1)-h_0^2{(1+{\eta }_0-h_0)}^2)\right]\times \\ \times \exp \left(\frac{\theta }{1+\beta \theta }\right)=\mathrm{0,}\\ \frac{\partial F}{\partial \theta }=h_0^2{(1+{\eta }_0-h_0)}^2({\xi }_0-h_0+1)\exp \left(\frac{\theta }{1+\beta \theta }\right){(1+\beta \theta )}^{-2}-\alpha =0.\end{array}\right.$ (2.6)

Из первого уравнения системы (2.6) найдем $h_0\left({\theta }^{*}\right)$:

$h_0(1+{\eta }_0-h_0)[5h_0^2-h_0(4{\xi }_0+3{\eta }_0+7)+2{\xi }_0+2{\eta }_0{\xi }_0+2{\eta }_0+2]=\mathrm{0,}$

откуда получим четыре значения:

$h_{\mathrm{0,1}}\left({\theta }^{*}\right)=\mathrm{0,}{h}_{\mathrm{0,2}}\left({\theta }^{*}\right)=1+{\eta }_0,h_{\mathrm{0,3}}\left({\theta }^{*}\right)=\frac{4{\xi }_0+3{\eta }_0+7+\sqrt{16{\xi }_0^2+9{\eta }_0^2-16{\xi }_0{\eta }_0+16{\xi }_0+2{\eta }_0+9}}{10},$

$h_{\mathrm{0,4}}\left({\theta }^{*}\right)=\frac{4{\xi }_0+3{\eta }_0+7-\sqrt{16{\xi }_0^2+9{\eta }_0^2-16{\xi }_0{\eta }_0+16{\xi }_0+2{\eta }_0+9}}{10}.$

$h_{\mathrm{0,1}}\left({\theta }^{*}\right)$, $h_{\mathrm{0,2}}\left({\theta }^{*}\right)$, $h_{\mathrm{0,3}}\left({\theta }^{*}\right)$ выходят за рамки интересующей области, поэтому

$h_0\left({\theta }^{*}\right)=\frac{4{\xi }_0+3{\eta }_0+7-\sqrt{16{\xi }_0^2+9{\eta }_0^2-16{\xi }_0{\eta }_0+16{\xi }_0+2{\eta }_0+9}}{10}.$

Из уравнения медленной кривой (2.5) найдем значение ${\alpha }_0$ — нулевого приближения параметра $\alpha$:

$\begin{array}{l}{\alpha }_0={10}^{-5}{\left(4{\xi }_0+3{\eta }_0+7-K\right)}^2{\left(-4{\xi }_0+7{\eta }_0+3+K\right)}^2\times \\ \times \left(6{\xi }_0-3{\eta }_0+3+K\right)e^{1+{\theta }_{amb}}(1-{({\theta }_{amb}+1)}^2\beta +O({\beta }^2\left)\right),\end{array}$ (2.7)

 где $K=\sqrt{16{\xi }_0^2+9{\eta }_0^2-16{\xi }_0{\eta }_0+16{\xi }_0+2{\eta }_0+9}.$

Теперь выпишем из уравнения инвариантности (2.4) равенство коэффициентов при первой степени малого параметра $\gamma$:

$({h^{\text{'}}}_0+\gamma {h^{\text{'}}}_1+O({\gamma }^2\left)\right)\left[{(h_0+\gamma h_1+O({\gamma }^2\left)\right)}^2{(1+{\eta }_0-h_0-\gamma h_1-O({\gamma }^2\left)\right)}^2({\xi }_0-h_0-\gamma h_1-O({\gamma }^2)+1)\times \right.$

$\times \exp \left(\frac{\theta }{1+\beta \theta }\right)-({\alpha }_0+\gamma {\alpha }_1+O({\gamma }^2\left)\right)(\theta -{\theta }_{amb})]=-\gamma {(h_0+\gamma h_1+O({\gamma }^2\left)\right)}^2{(1+{\eta }_0-h_0-\gamma h_1-O({\gamma }^2\left)\right)}^2\times$

$\times ({\xi }_0-h_0-\gamma h_1-O({\gamma }^2)+1)\exp \left(\frac{\theta }{1+\beta \theta }\right).$

C учетом уравнения медленной кривой (2.5) получим

${h^{\text{'}}}_0\left[2h_1{h}_0{(1+{\eta }_0-h_0)}^2({\xi }_0-h_0+1)+2h_0^2(1+{\eta }_0-h_0)(-h_1)({\xi }_0-h_0+1)+h_0^2{(1+{\eta }_0-h_0)}^2(-h_1)\right]\times$

$\times \exp \left(\frac{\theta }{1+\beta \theta }\right)-{h^{\text{'}}}_0{\alpha }_1(\theta -{\theta }_{amb})=-h_0^2{(1+{\eta }_0-h_0)}^2({\xi }_0-h_0+1)\exp \left(\frac{\theta }{1+\beta \theta }\right).$

Отсюда получим формулу для $h_1\theta$:

$h_1\left(\theta \right)=\frac{{h^{\text{'}}}_0{\alpha }_1(\theta -{\theta }_{amb})-h_0^2{(1+{\eta }_0-h_0)}^2({\xi }_0-h_0+1)\exp \left(\frac{\theta }{1+\beta \theta }\right)}{{h^{\text{'}}}_0\left[2h_0{(1+{\eta }_0-h_0)}^2({\xi }_0-h_0+1)-2h_0^2(1+{\eta }_0-h_0)({\xi }_0-h_0+1)-h_0^2{(1+{\eta }_0-h_0)}^2\right]\exp \left(\frac{\theta }{1+\beta \theta }\right)}.$

Заметим, что знаменатель полученной дроби обращается в 0 в точке срыва. С целью обеспечения непрерывности $\eta (\theta ,\gamma )$ потребуем, чтобы в этой точке числитель также обращался в 0. Тогда мы можем выразить коэффициент ${\alpha }_1$ в (3):

${\alpha }_1=\frac{{\alpha }_0}{{h^{\text{'}}}_0\left({\theta }^{*}\right)}.$ (2.8)

Чтобы посчитать ${h^{\text{'}}}_0{\theta }^{}$, найдем из уравнения медленной кривой вторую производную по $\theta$:

$\frac{d^{2}F}{d{\theta }^2}=F_{h_0{h}_0}{\left({h^{\text{'}}}_0\right)}^2+F_{h_0}{{h^{\text{'}}}^{\text{'}}}_0+2F_{h_0\theta }{h^{\text{'}}}_0+F_{\theta \theta }=F_{h_0{h}_0}{\left({h^{\text{'}}}_0\right)}^2+2F_{h_0\theta }{h^{\text{'}}}_0+F_{\theta \theta }=0.$

Из этого следует:

${h^{\text{'}}}_0\left(\theta \right)=\frac{-F_{h_0\theta }\pm \sqrt{F_{h_0\theta }^2-F_{h_0{h}_0}{F}_{\theta \theta }}}{F_{h_0{h}_0}}.$

Посчитаем необходимые производные:

$F_{h_0\theta }=\left[2h_0{(1+{\eta }_0-h_0)}^2({\xi }_0-h_0+1)-2h_0^2{(1+{\eta }_0-h_0)}^2({\xi }_0-h_0+1)-h_0^2{(1+{\eta }_0-h_0)}^2({\xi }_0-h_0+1)\right]\times$

$\times \exp \left(\frac{\theta }{1+\beta \theta }\right){(1+\beta \theta )}^{-2},$

$F_{\theta \theta }=h_0^2{(1+{\eta }_0-h_0)}^2({\xi }_0-h_0+1)\exp \left(\frac{\theta }{1+\beta \theta }\right)\left[{(1+\beta \theta )}^{-4}-2\beta {(1+\beta \theta )}^{-3}\right],$

$F_{h_0{h}_0}=\left[4(1+{\eta }_0-h_0)[h_0^2-h_0(1+{\eta }_0-h_0)-2h_0({\xi }_0-h_0+1\left)\right]+2({\xi }_0-h_0+1)[{(1+{\eta }_0-h_0)}^2+2h_0^2]\right]\times$

$\times \exp \left(\frac{\theta }{1+\beta \theta }\right).$

С учетом (2.5) и (2.6) значения производных в точке срыва будут иметь вид

$F_{h_0\theta }\left({\theta }^{*}\right)=\mathrm{0,}$

$F_{\theta \theta }\left({\theta }^{*}\right)={\left.{\alpha }_0[{(1+\beta \theta )}^{-2}-2\beta {(1+\beta \theta )}^{-1}]\right|}_{\theta ={\theta }^{*}},$

$F_{h_0{h}_0}\left({\theta }^{*}\right)={\left.\frac{-8h_0(1+{\eta }_0-h_0){({\xi }_0-h_0+1)}^2-3h_0^2{(1+{\eta }_0-h_0)}^2}{2({\xi }_0-h_0+1)}\exp \left(\frac{\theta }{1+\beta \theta }\right)\right|}_{\theta ={\theta }^{*}}.$

Приняв во внимание тот факт, что $\eta$ — убывающая функция, подставим ${h^{\text{'}}}_0\left({\theta }^{*}\right)$ в (8):

$\begin{array}{l}{\alpha }_1=-{\alpha }_0\sqrt{\frac{-F_{h_0{h}_0}\left({\theta }^{*}\right)}{F_{\theta \theta }\left({\theta }^{*}\right)}}=-{\left.\sqrt{\frac{{\alpha }_0{h}_0(1+{\eta }_0-h_0)[8{({\xi }_0-h_0+1)}^2+3h_0(1+{\eta }_0-h_0\left)\right]\exp \left(\frac{\theta }{1+\beta \theta }\right){(1+\beta \theta )}^2}{2({\xi }_0-h_0+1)(1-2\beta (1+\beta \theta \left)\right)}}\right|}_{\theta ={\theta }^{*}}.\end{array}$

Подставим в это выражение $\theta =\theta *$:

$\begin{array}{l}{\alpha }_1=-\sqrt{\frac{{\alpha }_0\left(4{\xi }_0+3{\eta }_0+7-K\right)(-4{\xi }_0+7{\eta }_0+3+K)[8{(6{\xi }_0-3{\eta }_0+3+K)}^2+3\left(4{\xi }_0+3{\eta }_0+7-K\right)(-4{\xi }_0+7{\eta }_0+3+K\left)\right]}{2\cdot {10}^3(6{\xi }_0-3{\eta }_0+3+K)}}\times \\ \\ \times e^{1+{\theta }_{amb}}\left(1+\left[3-\frac{{({\theta }_{amb}-1)}^2}{2}\right]\beta +O\left({\beta }^2\right)\right).\end{array}$ (2.9)

Итак, найдено критическое значение параметра $\alpha$ в первом приближении:

${\alpha }^{*}\left(\gamma \right)={\alpha }_0+\gamma {\alpha }_1+O\left({\gamma }^2\right),$

где ${\alpha }_0$ определено выражением (2.7), а ${\alpha }_1$ — выражением (2.9). На рисунке 2.2 представлены медленная кривая, соответствующая критическому режиму, и траектория-утка системы.

Рис. 2.2. Медленная кривая (пунктирная линия) и траектория (сплошная линия) системы (3)–(4), построенные при следующих значениях параметров: γ=0,01; β=0,01; η₀=0,9; ξ₀=0,9; θ_amb=-1,5; α=0,50796334626.

Fig. 2.2. The slow curve (dotted line) and trajectory (solid line) of the system (3)–(4), constructed with the following parameter values: γ=0,01; β=0,01; η₀=0,9; ξ₀=0,9; θ_amb=-1,5; α=0,50796334626.

Если сравнить с графиками, представленными на рисунке 1, то можно заметить, что при критическом режиме температура $\theta$ принимает гораздо большие значения, чем при режиме медленного горения, однако рост температуры происходит медленно, с контролируемой скоростью по сравнению с мгновенным ростом в режиме теплового взрыва. Этот факт имеет важное прикладное значение.

Выводы

 Рассмотрена сравнительно новая модель автокаталитической реакции горения с учетом расхода реагента и окислителя. Найдено асимптотическое разложение значения параметра, отвечающего за теплоотвод из реакционной фазы, при котором в системе наблюдается критический режим. Такой режим интересен тем, что значение температуры газа может быть сравнительно высоким, но при этом сам процесс горения останется безопасным и не приведет к взрыву.

About the authors

Elizaveta S. Dolgova

Author for correspondence.
Email: dolgova.es@ssau.ru
ORCID iD: 0009-0004-7924-1356

post-graduate student of the Department of Differential Equations and Control Theory

References

Supplementary files

Supplementary Files

Action

1. JATS XML

Download

2. Fig. 2.1. Slow curve (dotted line) and trajectory (solid line) of the system (3)–(4), constructed with the following parameter values: γ=0,01; β=0,01; η0=0,9; ξ0=0,9; θamb=-1,5; а — α=0,7; б — α=0,5 

Download (94KB)

Indexing metadata

3. Fig. 2.2. The slow curve (dotted line) and trajectory (solid line) of the system (3)–(4), constructed with the following parameter values: γ=0,01; β=0,01; η0=0,9; ξ0=0,9; θamb=-1,5; α=0,50796334626.

Download (48KB)

Indexing metadata