On a de Branges space related to the Riemann zeta function

Full Text

Одним из важных положений теории пространств де Бранжа является их связь с каноническими системами — парами дифференциальных уравнений первого порядка, которые задаются гамильтонианом на интервале вещественной прямой. Такая связь осуществляется обобщенным преобразованием Фурье и позволяет проводить спектральный анализ дифференциальных операторов с помощью пространств де Бранжа. Пространства де Бранжа определяются их структурными функциями, представляющими собой целые функции из класса Эрмита — Билера; подпространства де Бранжа образуют упорядоченную по включению цепочку подпространств. Структурные функции подпространств де Бранжа могут быть выписаны через решения канонической системы. Таким образом, одной из важных задач при изучении пространств де Бранжа является нахождение канонической системы и обобщенного преобразования Фурье, соответствующих пространству.

В статье [1] построено пространство де Бранжа, элементом которого является кси-функция Римана:

$\xi \left(s\right)=\frac{1}{2}{\pi }^{-s/2}s(s-1)\Gamma \left(\frac{s}{2}\right)\zeta \left(s\right),$

где $\zeta$ — дзета-функция Римана, — деленная на некоторый полином; найдены гамильтониан канонической системы, соответствующей пространству, и оператор, являющийся обобщенным преобразованием Фурье канонической системы, изометрически отображающий гильбертово пространство канонической системы на пространство де Бранжа. В.В. Капустин предложил автору найти пространство де Бранжа, которому соответствует аналогичная каноническая система с некоторыми предпочтительными изменениями. В данном кратком сообщении представлены полученные результаты и отражающие их формулы.

Приведем необходимые сведения из теории пространств де Бранжа. Подробнее некоторые утверждения и их доказательства рассматриваются в работе [1]. Теория пространств де Бранжа и канонических систем с гамильтонианом, суммируемым вблизи левого конца интервала, изложена, например, в работе [2]. Несмотря на то что в данном кратком сообщении рассматривается каноническая система с гамильтонианом, не суммируемым вблизи левого конца интервала, многие утверждения из работы [2] выполняются без существенных изменений.

Классом Эрмита — Билера $\mathcal{HB}$ называется множество целых функций $\mathcal{E}$ в комплексной плоскости, для которых выполнено неравенство

$\left|{\rm E}\left(\overline{z}\right)\right|<\left|{\rm E}\left(z\right)\right|$

при всех $z$ из верхней полуплоскости $\{z\in ℂ:\mathrm{Im}z>0\}$. Пространством де Бранжа ${\mathcal{H}}_{\mathcal{E}}$ со структурной функцией ${\rm E}\in \mathcal{HB}$ называется гильбертово пространство, состоящее из целых функций $F$ таких, что функции $\frac{F}{\mathcal{E}}$ и $\frac{F^{♯}}{{\displaystyle \mathcal{E}}}$ принадлежат пространству Харди $H^2$ в верхней полуплоскости (здесь и далее $F^{♯}\left(z\right)=\overline{F\left(\overline{z}\right)}$). Нормы функций $\frac{F}{\mathcal{E}}$ и $\frac{F^{♯}}{{\displaystyle \mathcal{E}}}$ совпадают в пространстве $H^2$ и определяют норму функции $F$ в пространстве ${\mathcal{H}}_{\mathcal{E}}$.

Каждому пространству де Бранжа соответствует каноническая система, которая задается гамильтонианом на интервале вещественной прямой. Гамильтониан представляет собой локально суммируемую матричнозначную функцию на интервале $\left(a, b\right)$ вещественной прямой, значениями которой являются вещественные матрицы размера $2\times 2$ такие, что $H\left(t\right)\ge 0$ почти всюду.

Будем рассматривать гамильтониан $H$ на интервале $\left(a, b\right)$ вещественной прямой, который дополнительно обладает свойствами i–iv:

1. Гамильтониан является диагональным, то есть представим в виде

$H\left(t\right)=\left(\begin{array}{cc}\text{}{w}_{+}\left(t\right)& 0\text{}\\ \text{}0& w_{-}\left(t\right)\text{}\end{array}\right).$

2. Каждая из функций $\text{}{w}_{+}$, $\text{}{w}_{-}$ отлична от нуля почти всюду.
3. Гамильтониан суммируем вблизи правого конца $b$ интервала.
4. Вблизи левого конца $a$ интервала гамильтониан не суммируем, но выполняется условие

$\underset{x\to a}{lim}\left(\underset{a}{\overset{x}{\int }}{w}_{+}\left(t\right)dt\times \underset{x}{\overset{b}{\int }}{w}_{-}\left(t\right)dt\right)=0.$

Канонической системой называется матричное дифференциальное уравнение $J\dot{f}\left(t\right)=zH\left(t\right)f\left(t\right)$ на интервале $\left(a, b\right)$, где $J=\left(\begin{array}{cc}\text{}0& -1\text{}\\ \text{}1& 0\text{}\end{array}\right)$, $f=\left(\begin{array}{c}\text{}{f}_{+}\text{}\\ \text{}{f}_{-}\text{}\end{array}\right)$ — векторнозначная функция от переменной $t$, $z\in \mathrm{ℂ}$ — спектральный параметр. В случае диагонального гамильтониана $H$ каноническая система может быть переписана в виде

$\left\{\begin{array}{r}-{\dot{f}}_{-}=z{w}_{+}{f}_{+},\\ {\dot{f}}_{+}=z{w}_{-}{f}_{-}.\end{array}\right.$

Пространством канонической системы называется гильбертово пространство, состоящее из векторнозначных функций $f$ на интервале $\left(a, b\right)$; норма в пространстве определяется по формуле

${||f||}^2=\underset{a}{\overset{b}{\int }}⟨H\left(t\right)f\left(t\right),f\left(t\right)⟩dt,$

где $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ — скалярное произведение в ${\mathrm{ℂ}}^2$. (Если свойство ii не выполнено, дополнительно требуется факторизация пространства). В случае гамильтониана $H$, обладающего свойствами i, ii, пространство может быть представлено в виде прямой суммы $L_{w_{+}}^2\oplus L_{w_{-}}^2$ пространств, для которых диагональные элементы $w_{+}$, $w_{-}$ гамильтониана являются весовыми функциями.

Пусть $A(t,z)$, $B(t,z)$ — целые функции при каждом $t$. Предположим, что для любого $z$ функции $A$ и $B$ определяют решение канонической системы и выполнено условие

$A(t,z)\to \mathrm{1,}B(t,z)\to 0$ (1)

при $t\to a$. В случае диагонального гамильтониана $H$ существование такого решения обеспечивается свойством iv. Данное утверждение получено как сообщение от Р.В. Романова. Приведем схему доказательства. Не умаляя общности, можно полагать $trH=1$. Тогда несуммируемость гамильтониана $H$ вблизи левого конца интервала равносильна тому, что $a=-\infty$; свойство iv переписывается в виде $\underset{x\to -\infty }{}x\underset{-\infty }{\overset{x}{\int }}{w}_{+}\left(t\right)dt=0$. Функция $A$ может быть найдена как неподвижная точка отображения $f_{+}\mapsto 1-z^2\underset{-\infty }{\overset{x}{\int }}{w}_{-}\left(t\right)\underset{-\infty }{\overset{t}{\int }}{w}_{+}\left(\tau \right)f_{+}\left(\tau \right)d\tau dt$, которое является сжимающим на пространстве $C(-\infty ,b)$ при достаточно большом по модулю отрицательном $b\in \mathrm{ℝ}$ с нормой ${||f_{+}||}_C=\underset{x\in (-\infty ,b)}{}\left|f_{+}\left(x\right)\right|$. Тогда функция $B$ находится по $A$ из уравнения канонической системы. Можно показать, что для таких функций $A$ и $B$ условие (1) выполнено, кроме того, $A^{♯}=A$, $B^{♯}=B$. Функции $A$ и $B$ могут быть найдены как целые функции при каждом $t$.

При каждом $t$ функция $E(t,z)=A(t,z)+iB(t,z)$ как функция от $z$ принадлежит классу Эрмита — Билера и потому является структурной функцией некоторого пространства де Бранжа. Оператор $V$:

null (2)

$=\text{}\frac{1}{\sqrt{\pi }}\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left(f_{+}\right(t\left)A\right(t,z\left)w_{+}\right(t)+f_{-}(t\left)B\right(t,z\left)w_{-}\right(t\left)\right)dt,$

 определяет обобщенное преобразование Фурье канонической системы. Он изометрически отображает пространство канонической системы на пространство де Бранжа со структурной функцией $E\left(b, z\right)$. Существование такого пространства обеспечивается свойством iii. Отметим, что утверждение также имеет место, если вместо интервала $\left(a, b\right)$ рассматривать интервал $\left(a, c\right)$, где $c\in \left(a, b\right)$. При разных значениях получается упорядоченная по включению цепочка подпространств де Бранжа.

Будем рассматривать каноническую систему на интервале $(-\infty ,-4\pi )$ с гамильтонианом $H$:

$H\left(t\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{e^t}{-t}& 0\\ 0& \frac{e^{-t}}{-t}\end{array}\right).$

Можно показать, что для гамильтониана выполняются свойства i–iv. Отметим, что каноническую систему с таким гамильтонианом можно определить на всей отрицательной полуоси, но рассматривается только ее сужение на указанный интервал.

Обозначим $\alpha =\alpha \left(z\right)=\frac{1}{2}-iz$.

Теорема.

1. Функции

$A(t,z)=\sqrt{\frac{-t}{4\pi }}{e}^{-\frac{t}{2}}\left(K_{\alpha }\left(-\frac{t}{2}\right)+K_{\alpha -1}\left(-\frac{t}{2}\right)\right),$

$B(t,z)=-i\sqrt{\frac{-t}{4\pi }}{e}^{\frac{t}{2}}\left(K_{\alpha }\left(-\frac{t}{2}\right)-K_{\alpha -1}\left(-\frac{t}{2}\right)\right)$

определяют решение канонической системы на интервале $(-\infty ,-4\pi )$ с гамильтонианом $H$, где $K_{\alpha }$ — модифицированная функция Бесселя. Кроме того, для функций $A$ и $B$ выполнено условие (1).

2. Оператор $V$, определяющий обобщенное преобразование Фурье канонической системы, имеет вид

$\left(Vf\right)\left(z\right)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\infty }{\overset{-4\pi }{\int }}\text{}\left[f_{+}\left(t\right)\frac{e^{\frac{t}{2}}}{\sqrt{-t}}(K_{\alpha }\left(-\frac{t}{2}\right)+K_{\alpha -1}\left(-\frac{t}{2}\right))-\right.$

$\left.-i{f}_{-}\left(t\right)\frac{e^{-\frac{t}{2}}}{\sqrt{-t}}(K_{\alpha }\left(-\frac{t}{2}\right)-K_{\alpha -1}\left(-\frac{t}{2}\right))\right]dt.$

3. Пространство де Бранжа со структурной функцией $E(-4\pi ,z)$ является образом оператора $V$. Оно совпадает (в смысле совпадения множеств и равенства норм) с пространством де Бранжа ${\mathcal{H}}_{\mathcal{E}}$ со структурной функцией ${\rm E}\left(z\right)=2K_{\alpha }\left(2\pi \right)$.
4. Пространство ${\mathcal{H}}_{\mathcal{E}}$ содержит функцию $\frac{\xi \left(\frac{1}{2}-2iz\right)}{p\left(z\right)}$, где $\xi$ — кси-функция Римана, $p$ — полином степени не меньше трех, нулями которого являются различные нули функции $\xi \left(\frac{1}{2}-2iz\right)$.

Доказательство.

В работе [1] показано, что функции $A_1(t,z)=A\left(2t,\frac{z}{2}\right),B_1(t,z)=B\left(2t,\frac{z}{2}\right)$ определяют решение канонической системы на интервале $(-\infty ,-2\pi )$ с гамильтонианом $H_1\left(t\right)=H\left(2t\right)$ и удовлетворяют условию (1). Заменив $t$ на $t/2$ и $z$ на $2z$, получим доказательство утверждения 1.

Для рассматриваемого гамильтониана $H\left(t\right)$ диагональными элементами являются функции $w_{+}\left(t\right)=\frac{e^t}{-t},w_{-}\left(t\right)=\frac{e^{-t}}{-t}$. Подставив функции $A$, $B$, $w_{+}$, $w_{-}$ в формулу (2), найдем выражение для оператора $V$. Таким образом, получим доказательство утверждения 2.

Из приведенных выше утверждений следует, что образом оператора $V$ является пространство де Бранжа со структурной функцией $E(-4\pi ,z)$. Совпадение этого пространства с пространством ${\mathcal{H}}_{\mathcal{E}}$, ${\rm E}\left(z\right)=2K_{\alpha }\left(2\pi \right)$, связано со свойством пространств де Бранжа. Известно, что структурная функция пространств де Бранжа определяется неоднозначно: пространства ${\mathcal{H}}_{\mathcal{E}}$ и ${\mathcal{H}}_{\mathcal{E}\beta }$ совпадают (в смысле совпадения множеств и равенства норм), где

${{\rm E}}_{\beta }=\frac{{\rm E}-\overline{\beta }{{\rm E}}^{♯}}{\sqrt{1-{\left|\beta \right|}^2}},\left|\beta \right|<1.$

Положив $\beta =\frac{e^{-4\pi }-1}{e^{-4\pi }+1}$ для функции ${\rm E}\left(z\right)=2K_{\alpha }\left(2\pi \right)$, получим ${{\rm E}}_{\beta }\left(z\right)=E(-4\pi ,z)$. Таким образом, пространство де Бранжа со структурной функцией $E(-4\pi ,z)$ совпадает с пространством ${\mathcal{H}}_{\mathcal{E}}$. Утверждение 3 доказано.

Для доказательства утверждения 4 определим оператор

$\Phi :F\left(z\right)\mapsto \sqrt{2}F\left(2z\right).$

Он изометрически отображает пространство де Бранжа со структурной функцией $2K_{\frac{2\alpha +1}{4}}\left(2\pi \right)$ на пространство ${\mathcal{H}}_{\mathcal{E}}$. Из работы [1] следует, что если $p$ — полином степени не меньше трех, нулями которого являются различные нули функции $\xi \left(\frac{1}{2}-iz\right)$, то функция $F\left(z\right)=\frac{\xi \left(\frac{1}{2}-iz\right)}{p\left(\frac{z}{2}\right)}$ принадлежит пространству де Бранжа со структурной функцией $2K_{\frac{2\alpha +1}{4}}\left(2\pi \right)$. Тогда функция $\frac{\xi (\frac{1}{2}-2iz)}{p\left(z\right)}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Phi F$ принадлежит пространству ${\mathcal{H}}_{\mathcal{E}}$ как элемент образа оператора $\Phi$. Утверждение 4 доказано.

Теорема доказана.

About the authors

Svetlana A. Badonova

Samara National Research University; Saint Petersburg University

Author for correspondence.
Email: badonova0116@mail.ru
ORCID iD: 0009-0006-4477-9572

undergraduate student of the Faculty of Mechanics and Mathematics

Russian Federation, Samara; Saint Petersburg

References

Supplementary files