Modeling of kinematic characteristics of a mobile antenna of a spacecraft in a two-stage pivoting device

Full Text

Введение

В рамках общей задачи расчета кинематических характеристик управляемой подвижной антенны КА в [1] была рассмотрена и решена задача кинематики сложного движения ЛВ «КА — ППИ» («космический аппарат — пункт приема информации»). Еще одной тематически связанной с этой задачей является задача определения кинематических характеристик подвижного АУ КА. Как уже отмечалось в [1], предварительные результаты решения рассматриваемой здесь задачи ранее были кратко представлены в [2].

Итак, далее при рассмотрении задачи расчета кинематических характеристик управляемого подвижного АУ будем предполагать, что в пределах некоторого заданного интервала в каждый момент времени известны кинематические характеристики ЛВ «КА — ППИ», которые заданы в связанной системе координат (ССК) КА в виде векторов $e_{{}_{\mathbf{ЛВ}}}^{\mathbf{ССК}}$, ${\omega }_{{}_{ЛВ}}^{ССК}$, ${\epsilon }_{{}_{ЛВ}}^{ССК}$. Также пусть с АУ будет связана система координат $\overline{O}{x}_{{}_A}{y}_{{}_A}{z}_{{}_A}$, которую далее будем называть антенной системой координат (АСК). Соответственно, пусть движение АУ относительно корпуса КА реализуется с помощью некоторого двухстепенного опорно-поворотного устройства (ОПУ) со взаимно ортогональными осями вращения. Одна из осей АСК, например, $\overline{O}{x}_{{}_A}$ пусть будет параллельна оси диаграммы направленности АУ, которая задается ортом ${{\tilde{s}}_{{}_{\mathbf{АУ}}}=\tilde{s}}_{{}_{\mathbf{АУ}}}^{\mathbf{АСК}}$. В исходном положении АУ оси системы координат $\overline{O}{x}_{{}_A}{y}_{{}_A}{z}_{{}_A}$ будут совпадать с одноименными осями некоторой системы координат $\overline{O}{x}_{{}_P}{y}_{{}_P}{z}_{{}_P}$, которую далее будем называть реперной системой координат (РСК). В общем случае РСК не совпадает с ССК, а ее ориентация относительно ССК определяется постоянной матрицей перехода $P_{{}_{\mathbf{ССК}}}^{\mathbf{РСК}}$ (здесь и далее матрицы перехода для векторов [3]). Поэтому заданные в ССК кинематические характеристики ЛВ далее следует представить в РСК, а именно: $e_{{}_{\mathbf{ЛВ}}}^{\mathbf{РСК}}=P_{{}_{\mathbf{ССК}}}^{\mathbf{РСК}}{e}_{{}_{\mathbf{ЛВ}}}^{\mathbf{ССК}}$, ${\omega }_{{}_{ЛВ}}^{РСК}=P_{{}_{ССК}}^{РСК}{\omega }_{{}_{ЛВ}}^{ССК}$, ${\epsilon }_{{}_{ЛВ}}^{РСК}=P_{{}_{ССК}}^{РСК}{\epsilon }_{{}_{ЛВ}}^{ССК}$. Принимая РСК в качестве условно неподвижной системы координат и исходя из известного решения задачи кинематики сложного движения ЛВ [1], можно найти кинематические характеристики ЛВ в подвижной (относительно РСК) системе координат — АСК, если ее движение относительно РСК определено, то есть известны: $P_{{}_{\mathbf{АСК}}}^{\mathbf{РСК}}={\left(P_{{}_{\mathrm{РСК}}}^{\mathrm{АСК}}\right)}^{\mathbf{\text{T}}}$— матрица перехода от АСК к РСК; ${\omega }_{{}_{АУ}}$ — вектор угловой скорости и ${\epsilon }_{{}_{АУ}}$ — вектор углового ускорения АУ. Действительно, исходя из заданных в РСК $e_{{}_{\mathbf{ЛВ}}}$, ${\omega }_{{}_{ЛВ}}$ и ${\epsilon }_{{}_{ЛВ}}$, в соответствии с теоремами о сложении скоростей и ускорений ЛВ в сложном движении [1] можно найти ее кинематические характеристики в относительном движении ЛВ, то есть в АСК, а именно: ${\tilde{e}}_{{}_{\mathbf{ЛВ}}}$, ${\tilde{\omega }}_{{}_{ЛВ}}$ и ${\tilde{\epsilon }}_{{}_{ЛВ}}$ (здесь, как и в [1], тильдами отмечены векторы, которые определены в подвижной системе координат, то есть здесь в АСК). Для определения кинематических характеристик АУ необходимо воспользоваться условиями наведения его на ППИ на некотором заданном интервале $\left[t_0\mathrm{,}{t}_f\right]$, которые имеют следующий вид:

${\tilde{e}}_{{}_{\mathbf{ЛВ}}}\left(\mathrm{t}\right)={\tilde{s}}_{{}_{\mathbf{АУ}}}\left(\mathrm{t}\right),{\tilde{\mathrm{\omega }}}_{{}_{\mathrm{ЛВ}}}\left(\mathrm{t}\right)\text{=0,\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}}{\tilde{\mathrm{\epsilon }}}_{{}_{\mathrm{ЛВ}}}\left(\mathrm{t}\right)\text{=0,\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}}\forall \mathrm{t}\in \left[{\mathrm{t}}_0\mathrm{,}{\mathrm{t}}_{\mathrm{f}}\right]$ (1)

1. Кинематическая схема ОПУ и определение углов поворота АУ при наведении на ППИ

Пусть требуемая ориентация АУ относительно РСК при совмещении орта ${\tilde{s}}_{{}_{\mathbf{АУ}}}^{\mathbf{АСК}}$ с ортом ${\tilde{e}}_{{}_{\mathbf{ЛВ}}}^{\mathbf{АСК}}$ в режиме наведения АУ на ППИ осуществляется парой последовательных поворотов с помощью двухстепенного ОПУ, а именно: первый поворот АУ на угол $\vartheta$ совершается вокруг фиксированной в РСК оси, задаваемой ортом ${\tilde{c}}_{\mathbf{\vartheta }}^{\mathbf{РСК}}$ (канал управления АУ по углу $\vartheta$); второй поворот АУ на угол $\phi$ совершается вокруг фиксированной в АСК оси, задаваемой ортом ${\tilde{c}}_{\mathbf{\phi }}^{\mathbf{АСК}}$ (канал управления АУ по углу $\phi$). В общем случае необходимо, чтобы попарно орты $c_{\mathbf{\vartheta }}^{\mathbf{РСК}}$ и ${\tilde{c}}_{\mathbf{\phi }}^{\mathbf{АСК}}$, ${\tilde{c}}_{\mathbf{\phi }}^{\mathbf{АСК}}$ и ${\tilde{s}}_{{}_{\mathbf{АУ}}}^{\mathbf{АСК}}$ не являлись коллинеарными. В практике обычно используются ОПУ, для которых пары ортов $c_{\mathbf{\vartheta }}^{\mathbf{РСК}}$ и ${\tilde{c}}_{\mathbf{\phi }}^{\mathbf{АСК}}$, ${\tilde{c}}_{\mathbf{\phi }}^{\mathbf{АСК}}$ и ${\tilde{s}}_{{}_{\mathbf{АУ}}}^{\mathbf{АСК}}$ являются взаимно ортогональными. Соответственно, имеет место ${\tilde{e}}_{{}_{\mathrm{ЛВ}}}^{\mathrm{АСК}}=P\left({\mathrm{c}}_{\mathrm{\phi }}\right)P\left({\mathrm{c}}_{\mathrm{\vartheta }}\right)e{}_{{}_{\mathrm{ЛВ}}}^{\mathrm{РСК}}$, где $P\left(c_{\mathbf{\vartheta }}\right)$ и $P\left({\mathrm{c}}_{\mathrm{\phi }}\right)$ — матрицы перехода, которые вычисляются так [3]:

$\text{P}\left({\mathrm{c}}_{\mathrm{\delta }}\right){\text{=E}}_3\mathrm{cos\delta }+{\text{(}1-\mathrm{cos\delta }\text{)}}_{\mathrm{\delta }}{\text{c}}_{\mathrm{\delta }}^{\text{T}}-\mathrm{C}({\mathrm{c}}_{\mathrm{\delta }}\text{)\hspace{0.05em}}\mathrm{sin\delta }\mathrm{,}$

$c_{\mathrm{\delta }}=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{c}}_1\\ {\mathrm{c}}_2\\ {\mathrm{c}}_3\end{array}\right]\mathrm{,} C{\text{(c}}_{\mathrm{\delta }}\text{)}\left[\begin{array}{ccc}0& -{\mathrm{c}}_3& {\mathrm{c}}_2\\ {\mathrm{c}}_3& 0& -{\mathrm{c}}_1\\ -{\mathrm{c}}_2& {\mathrm{c}}_1& 0\end{array}\right]\mathrm{,}\mathrm{\delta }=\mathrm{\vartheta }\text{,\hspace{0.33em}}\mathrm{\phi }\mathrm{.}$

Здесь $E_{\mathbf{3}}$ — единичная матрица третьего порядка, а $P_{{}_{\mathrm{РСК}}}^{\text{A}\mathrm{CK}}=P(c_{\mathrm{\phi }})P{\text{(c}}_{\mathrm{\vartheta }}\text{)}$ — матрица перехода от РСК к АСК.

Выбранная здесь кинематическая схема ОПУ аналогична схеме подвижных АУ для КА типа «Янтарь-4КС1» [4]. При этом следует отметить, что такая схема ОПУ не является единственно возможной. Например, иной может быть и последовательность поворотов АУ.

Так как орт ${\tilde{s}}_{{}_{\mathbf{АУ}}}^{\mathbf{\text{A}}\mathbf{CK}}$ параллелен оси $\overline{O}{x}_{{}_A}$ (при этом ${\tilde{s}}_{{}_{\mathbf{АУ}}}^{\mathbf{\text{A}}\mathbf{CK}}=\text{c}\mathrm{ol}\left(\text{1,0,0}\right)$), то каналам управления по углам поворота $\vartheta$ и $\phi$ будут соответствовать орты $C_{\mathbf{\vartheta }}^{\mathbf{\text{P}}\mathbf{KC}}=\text{c}\mathrm{ol}\left(0,0,1\right)$ и ${\tilde{c}}_{\mathbf{\phi }}^{\mathbf{\text{A}}\mathbf{CK}}=\text{c}\mathrm{ol}\text{\hspace{0.05em}(}0,-\text{1},0)$. Матрицы $P\left({\mathrm{c}}_{\mathrm{\vartheta }}\right)$ и ${P(c}_{\mathbf{\phi }})$ тогда будут иметь следующий вид:

${\text{P(c}}_{\vartheta }\text{)=}\left[\begin{array}{ccc}\cos \vartheta & \sin \vartheta & 0\\ -\sin \vartheta & \cos \vartheta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\mathrm{,}{\text{\hspace{0.33em}P(c}}_{\phi }\text{)=}\left[\begin{array}{ccc}\cos \phi & 0& \sin \phi \\ 0& 1& 0\\ -\sin \phi & 0& \cos \phi \end{array}\right]\mathrm{,}$

а матрица перехода от РСК к АСК в этом случае будет такой:

$P_{{}_{\mathrm{PCK}}}^{\text{A}\mathrm{CK}}=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{cos\phi }\mathrm{cos\vartheta }& \mathrm{cos\phi }\mathrm{sin\vartheta }& \mathrm{sin\phi }\\ -\mathrm{sin\vartheta }& \mathrm{cos\vartheta }& 0\\ -\mathrm{sin\phi }\mathrm{cos\vartheta }& -\mathrm{sin\phi }\mathrm{sin\vartheta }& \mathrm{cos\phi }\end{array}\right]\mathrm{.}$

В силу принятой кинематической схемы ОПУ и из условий наведения АУ на ППИ (1) требуемые углы поворотов $\vartheta \left(t\right)$, $\phi \left(t\right)$, а также их первые и вторые производные по времени: $\dot{\vartheta }\left(t\right)$, $\dot{\phi }\left(t\right)$, $\ddot{\vartheta }\left(t\right)$ и $\ddot{\phi }\left(t\right)$, то есть угловые скорости и угловые ускорения АУ по соответствующим каналам управления, суть искомые кинематические характеристики АУ. Поэтому рассматриваемая далее задача состоит в том, чтобы исходя из заданных в РСК кинематических характеристик ЛВ определить соответствующие кинематические характеристики АУ.

Режим наведения АУ на ППИ характеризуется условием совмещения орта ${\tilde{s}}_{{}_{\mathbf{АУ}}}^{\mathbf{\text{A}}\mathbf{CK}}$ с ортом ${\tilde{e}}_{{}_{\mathbf{ЛВ}}}^{\mathbf{\text{A}}\mathbf{CK}}$ (1), когда выполняется условие: ${{\tilde{s}}_{{}_{\mathbf{АУ}}}^{\mathbf{\text{A}}\mathbf{CK}}=\tilde{e}}_{{}_{\mathbf{ЛВ}}}^{\mathbf{\text{A}}\mathbf{CK}}$, где ${{{\tilde{e}}_{{}_{\mathbf{ЛВ}}}^{\mathbf{\text{A}}\mathbf{CK}}=P}_{\mathbf{PCK}}^{\mathbf{\text{A}}\mathbf{CK}}}_{{}_{}}^{}{e}_{\mathbf{ЛВ}}^{\mathbf{PCK}}$. Отсюда с учетом вида матрицы $P_{{}_{\mathbf{PCK}}}^{\mathbf{\text{A}}\mathbf{CK}}$, а также векторов ${\tilde{s}}_{{}_{\mathbf{АУ}}}^{\mathbf{\text{A}}\mathbf{CK}}=\text{c}\mathrm{ol}\left(\text{\hspace{0.05em}1,0,}0,\right)$и $e_{{}_{\mathbf{ЛВ}}}^{\mathbf{PCK}}=\text{c}\mathrm{ol}\left({\mathrm{e}}_{\mathrm{x}}\mathrm{,}{\mathrm{e}}_{\mathrm{y}}\mathrm{,}{\mathrm{e}}_{\mathrm{z}}\right)$ получим следующую систему уравнений, которой должны удовлетворять любые допустимые комбинации углов поворота АУ, обеспечивающие выполнение условий (1):

$e_x\cos \phi \cos \vartheta +e_y\cos \phi \sin \vartheta +e_z\sin \phi =1$ (2)

$-e_x\sin \vartheta +e_y\cos \vartheta =0$ (3)

$-e_x\sin \phi \cos \vartheta -e_y\sin \phi \sin \vartheta +e_z\cos \phi =0$ (4)

Поскольку $e_{{}_{\mathrm{ЛВ}}}^{\mathrm{PCK}}={\left({\mathrm{P}}_{{}_{\mathrm{PCK}}}^{\text{A}\mathrm{CK}}\right)}^{\text{T}}{\tilde{e}}_{{}_{\mathrm{ЛВ}}}^{\text{A}\mathrm{CK}}=P_{{}_{\mathrm{ACK}}}^{\mathrm{PCK}}{\tilde{e}}_{{}_{\mathrm{ЛВ}}}^{\text{A}\mathrm{CK}}$, то отсюда также следуют соотношения

$e_x=\cos \phi \cos \vartheta ; e_y=\cos \phi \sin \vartheta ; e_z=\sin \phi \mathrm{,}-\pi \le \tilde{\vartheta }\le \pi \mathrm{,}-\pi /2\le \phi \le \pi /2$ (5)

с учетом которых система (2)–(4) выполняется тождественно. Кроме того, в дополнение к (5) отметим также еще одно вспомогательное соотношение: $\sqrt{e_x^2+e_y^2}=\sqrt{1-e_z^2}=\cos \phi$.

Решение системы (2)–(4) с целью определения углов поворота АУ $\vartheta$ и $\phi$ может быть связано со следующими затруднениями: во-первых, с неединственностью получаемых решений и, во-вторых, с определенными ограничениями на допустимые значения углов поворота АУ, которые могут быть представлены в виде соответствующей области:

$F\left(\vartheta \mathrm{,}\phi \right)\ge 0.$ (6)

К ограничениям, формирующих эту область, относятся ограничения на величину углов прокачки по каналам управления АУ, реализуемых с помощью выбранного ОПУ, а также наличие зон затенения диаграммы направленности АУ, которые связаны с попаданием в нее элементов конструкции КА. Конфигурация области (6) в основном определяется местом установки ОПУ на корпусе КА и, соответственно, недопустимыми попаданиями в диаграмму направленности АУ элементов его конструкции. При этом следует отметить, что текущая ориентация орта $e_{{}_{\mathbf{ЛВ}}}^{\mathbf{PCK}}$ относительно РСК, определяемая углами поворота АУ $\vartheta$и $\phi$, также зависит и от ориентации ССК в пространстве относительно инерциальной, гринвичской или орбитальной систем координат. В связи с этим отметим, что в общем случае при планировании сеанса связи «КА – ППИ» на каком-либо интервале $\text{[\hspace{0.05em}}{t}_0\text{,\hspace{0.33em}}{t}_f\text{]}$ могут быть получены значения углов поворота АУ, которые нарушают условие $F\left(\vartheta \mathrm{,}\phi \right)\ge 0$. В общем случае последнее можно ликвидировать с помощью соответствующего выбора текущей ориентации КА в пространстве, так как ${e_{{}_{\mathbf{ЛВ}}}^{\mathbf{PCK}}=P_{\mathbf{CCK}}^{\mathbf{PCK}}}_{{}_{}}^{}{e}_{\mathrm{ЛВ}}^{\mathbf{CCK}}$.

Рассматривая далее ОПУ для одного из указанных выше КА [4], определим вспомогательные углы поворота АУ — $\tilde{\vartheta }$ и $\tilde{\phi }$, которые задаются соотношениями:

$\sin \tilde{\vartheta }=\frac{e_y}{\sqrt{e_x^2+e_y^2}}; \cos \widetilde{\vartheta =}\frac{e_x}{\sqrt{e_x^2+e_y^2}}\mathrm{,}-\pi \le \tilde{\vartheta }\le \pi$ (7)

$\sin \tilde{\phi }\text{=}{e}_z;-\pi /2\le \tilde{\phi }\le \pi /2$ (8)

которые определяют прямоугольную область $\widetilde{F(}\vartheta \mathrm{,}\phi )\ge 0$ для допустимых значений $\tilde{\vartheta }$ и $\tilde{\phi }$ для (7), (8). В зависимости от положения реперной системы координат $\overline{O}{x}_{{}_P}{y}_{{}_P}{z}_{{}_P}$ относительно корпуса КА вместо (8) также может быть введено и другое условие:

$\sin \tilde{\phi }\text{=}{e}_z; \cos \widetilde{\phi =}\sqrt{1-e_z^2}\text{\hspace{0.05em}s}ign\left(e_x\right)\text{=}\sqrt{e_x^2+e_y^2}\text{\hspace{0.05em}s}ign\left(e_x\right),0\le \tilde{\phi }\le \pi \mathrm{.}$

Нетрудно установить, что вычисляемые согласно (7), (8) значения $\sin \tilde{\vartheta }$, $\cos \tilde{\vartheta }$, $\sin \tilde{\phi }$ и $\cos \tilde{\phi }$ удовлетворяют системе уравнений (2)–(4). Соответственно, в случае $e_z=\pm 1$, то есть когда ЛВ совмещается с ортом $c_{\mathbf{\vartheta }}^{\mathbf{PCK}}$ (при этом $c_{\mathrm{\vartheta }}^{\mathrm{PCK}}\cdot {\mathrm{e}}_{{}_{\mathrm{ЛВ}}}^{\mathrm{PCK}}=\pm 1$), тогда $\widetilde{\phi =}\pm \frac{\pi }{2}$ и $\cos \tilde{\phi }\text{=0}$, а угол $\tilde{\vartheta }$ не определен.

В общем случае разность множеств в виде областей $F\left(\vartheta \mathrm{,}\phi \right)\ge 0$ и $\widetilde{F(}\vartheta \mathrm{,}\phi )\ge 0$ может быть непустым множеством, например, за счет более широкого диапазона углов прокачки ОПУ. Помимо опорных значений углов поворота АУ (7), (8) также возможны допустимые значения, например, для $\vartheta$и $\phi$, для которых выполняются условия: $\vartheta =\tilde{\vartheta }+k\pi$, $k=0,\pm \mathrm{1,}\pm \mathrm{2,...}$; $\phi =\tilde{\phi }+l\pi$, $l=0,\pm \mathrm{1,}\pm \mathrm{2,...}$. При этом выбор текущей пары углов поворота АУ из их допустимой совокупности, определяемой этими соотношениями, должен производиться с учетом имеющихся конструктивных ограничений для ОПУ. Соответственно, внутри интервала наведения АУ – $\text{[\hspace{0.05em}}{t}_0\text{,\hspace{0.33em}}{t}_f\text{]\hspace{0.33em}}$выбор текущей пары его углов поворота должен предопределяться значениями углов поворота АУ, вычисленных в предыдущие моменты времени, и, быть может, с учетом значений производных $\dot{\vartheta }\text{(}t\text{)}$ и $\dot{\phi }\text{(}t\text{)}$, для того чтобы исключить разрывы в программах наведения $\vartheta \text{(}t\text{)}$ и $\phi \text{(}t\text{)}$ $\forall t\in \text{[\hspace{0.05em}}{t}_0\text{,\hspace{0.33em}}{t}_f\text{]}$.

2. К определению угловых скоростей и ускорений АУ относительно РСК

Пусть заданы: ${e_{{}_{\mathbf{ЛВ}}}=e}_{{}_{\mathbf{ЛВ}}}^{\mathbf{PCK}}$, ${\omega }_{{}_{ЛВ}}={\omega }_{{}_{ЛВ}}^{PCK}$, ${\epsilon }_{{}_{ЛВ}}={\epsilon }_{{}_{ЛВ}}^{PCK}$, а также матрица $P_{{}_{\mathbf{PCK}}}^{\mathbf{\text{A}}\mathbf{CK}}$ (или, что то же самое, углы поворота АУ $\vartheta$ и $\phi$) для каждого момента сеанса связи. Будем далее рассматривать РСК как условно неподвижную систему координат, а АСК как систему координат, вращающуюся относительно РСК с угловой скоростью ${\omega }_{{}_{АУ}}$ и, соответственно, с угловым ускорением ${\epsilon }_{{}_{АУ}}$. Обозначая через ${\tilde{e}}_{{}_{\mathbf{ЛВ}}}$, ${\tilde{\omega }}_{{}_{ЛВ}}$ и ${\tilde{\epsilon }}_{{}_{ЛВ}}$ кинематические характеристики ЛВ в АСК и учитывая, что ${\tilde{e}}_{\mathbf{ЛВ}}=e_{\mathbf{ЛВ}}$ (но ${{{\tilde{\mathrm{e}}}_{{}_{\mathrm{ЛВ}}}^{\text{A}\mathrm{CK}}=\mathrm{P}}_{{\mathrm{PCK}}_{}}^{\text{A}\mathrm{CK}}\mathrm{e}}_{\mathrm{ЛВ}}^{\mathrm{РСК}}$), то исходя из теорем о сложении угловых скоростей и угловых ускорений ЛВ [1], получим:

${\omega }_{{}_{ЛВ}}{\stackrel{}{=\tilde{\omega }}}_{{}_{ЛВ}}+e_{{}_{ЛВ}}\times \left({\omega }_{{}_{АУ}}\times e_{{}_{ЛВ}}\right)\mathrm{,}$ (9)

${\epsilon }_{{}_{ЛВ}}={\tilde{\epsilon }}_{{}_{ЛВ}}+{\epsilon }_{{}_{ЛВ}}^{Trans}+{\epsilon }_{{}_{ЛВ}}^{Rotor}\mathrm{,}$ (10)

где ${\epsilon }_{{}_{ЛВ}}^{Trans}$ — переносное угловое ускорение ЛВ, вычисляемое по формуле [1]:

${\epsilon }_{{}_{ЛВ}}^{Trans}=e_{{}_{ЛВ}}\times \left({\epsilon }_{{}_{АУ}}\times e_{{}_{ЛВ}}\right)+e_{{}_{ЛВ}}\times \left[{\omega }_{{}_{АУ}}\times \left({\omega }_{{}_{АУ}}\times e_{{}_{ЛВ}}\right)\right]$${\epsilon }_{{}_{ЛВ}}^{Rotor}$ — поворотное угловое ускорение ЛВ, вычисляемое по формуле [1]:

${\epsilon }_{{}_{ЛВ}}^{Rotor}=-\frac{2\text{(}{\tilde{e}}_{{}_{ЛВ}}\cdot {\omega }_{{}_{АУ}}\text{)}}{r_{{}_{ЛВ}}}{\widetilde{v*}}_{{}_{ЛВ}}^{}\mathrm{,}{\widetilde{v*}}_{{}_{ЛВ}}^{}={\tilde{v}}_{{}_{ЛВ}}-\text{(}{\tilde{e}}_{{}_{ЛВ}}\cdot {\tilde{v}}_{{}_{ЛВ}}\text{)}\tilde{e}{}_{{}_{ЛВ}}\text{=}{\tilde{e}}_{{}_{ЛВ}}\times \left({\tilde{v}}_{{}_{ЛВ}}\times {\tilde{e}}_{{}_{ЛВ}}\right)$

В режиме наведения АУ на ППИ (1) требуется, чтобы в каждый момент времени $t\in \text{[\hspace{0.05em}}{t}_0\text{,\hspace{0.33em}}{t}_f\text{]}$ сеанса связи выполнялось условие $s_{{}_{\mathbf{АУ}}}^{\mathbf{АCK}}={\tilde{e}}_{{}_{\mathbf{ЛВ}}}^{\mathbf{АCK}}$, а также условия ${\tilde{\omega }}_{{}_{ЛВ}}\text{(}t\text{)}\equiv 0$, ${\tilde{\epsilon }}_{{}_{ЛВ}}\text{(}t\text{)}\equiv 0$, $\forall t\in \text{[\hspace{0.05em}}{t}_0\text{,\hspace{0.33em}}{t}_f\text{]}$. С учетом ${\epsilon }_{{}_{ЛВ}}^{Rotor}=0$ (так как при указанных условиях ${\tilde{v}}_{{}_{\mathbf{ЛВ}}}^{\mathbf{\text{\hspace{0.05em}*}}}=0$) из выражений (9), (10) тогда получим следующие соотношения:

${\omega }_{{}_{ЛВ}}=e_{{}_{ЛВ}}\times \left({\omega }_{{}_{АУ}}\times e_{{}_{ЛВ}}\right)\mathrm{,}$ (11)

${\epsilon }_{{}_{ЛВ}}=e_{{}_{ЛВ}}\times \left({\epsilon }_{{}_{АУ}}\times e_{{}_{ЛВ}}\right)+e_{{}_{ЛВ}}\times \left[{\omega }_{{}_{АУ}}\times \left({\omega }_{{}_{АУ}}\times e_{{}_{ЛВ}}\right)\right]\mathrm{.}$ (12)

В соотношениях (11) и (12) фигурируют определяемые величины – угловая скорость ${\omega }_{{}_{АУ}}$ и угловое ускорение ${\epsilon }_{{}_{АУ}}$ АУ, которые непосредственно связаны с его кинематическими характеристиками по соответствующим каналам управления (в виде первых и вторых производных от углов поворота АУ — $\vartheta$и $\phi$).

3. Определение угловых скоростей вращения АУ по каналам управления — $\dot{\vartheta }$и $\dot{\phi }$

Так как угловая скорость АУ относительно РСК равна векторной сумме угловых скоростей вращения по каналам управления ОПУ, то имеет место

${\omega }_{{}_{АУ}}=\dot{\vartheta }{\text{\hspace{0.05em}c}}_{\vartheta }+\dot{\phi }{\text{\hspace{0.05em}c}}_{\phi }\mathrm{,}$ (13)

где ${{{{c_{\mathbf{\phi }}=(c}_{\mathbf{\phi }})}^{\mathbf{PCK}}=P}_{{}_{\mathbf{АCK}}}^{\mathbf{PCK}}\tilde{c}}_{\mathbf{\phi }}^{\mathbf{\text{A}}\mathbf{CK}}=\text{c}\mathrm{ol}\left(\mathrm{sin\vartheta }\text{,\hspace{0.33em}}-\mathrm{cos\vartheta }\text{,\hspace{0.33em}0}\right)$. Подставляя (13) в (11) и раскрывая двойные векторные произведения с учетом $c_{\mathrm{\phi }}\cdot {\mathrm{e}}_{{}_{\mathrm{ЛВ}}}\equiv 0$, а также учитывая (5), получим

${\omega }_{{}_{ЛВ}}=\dot{\vartheta }c{}_{\vartheta }+\dot{\phi }{\text{\hspace{0.05em}c}}_{\phi }-{\dot{\vartheta e}}_{{}_{ЛВ}}\sin \phi ={\omega }_{{}_{АУ}}-\dot{\gamma }{e}_{{}_{ЛВ}}\mathrm{,}$ (14)

где $\dot{\gamma }=\dot{\vartheta }\left({\mathrm{c}}_{\mathrm{\vartheta }}\mathrm{\cdot }{\mathrm{e}}_{{}_{\mathrm{ЛВ}}}\right)\text{\hspace{0.05em}=}\dot{\vartheta }{e}_z\stackrel{}{=\dot{\vartheta }}\sin \phi$ — компонента угловой скорости АУ, направленная вдоль ЛВ. Проектируя (14) на оси РСК, получим с учетом $e_{{}_{\mathrm{ЛВ}}}^{\mathrm{PKC}}=\text{c}\mathrm{ol}\left({\mathrm{e}}_{\mathrm{x}}\text{,\hspace{0.33em}}{\mathrm{e}}_{\mathrm{y}}\text{,\hspace{0.33em}}{\mathrm{e}}_{\mathrm{z}}\right)$ и ${\omega }_{{}_{ЛВ}}^{PKC}=\text{c}ol\left({\omega }_x\text{,\hspace{0.33em}}{\omega }_y\text{,\hspace{0.33em}}{\omega }_z\right)$ следующую систему уравнений относительно $\dot{\vartheta }\text{\hspace{0.05em},\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}}\dot{\phi }8\dot{\gamma }$:

${\omega }_x=\dot{\phi }\sin \vartheta -\dot{\gamma }{e}_x;{\omega }_y=-\dot{\phi }\cos \vartheta -\dot{\gamma }{e}_y;{\omega }_z\dot{=\vartheta }-\dot{\gamma }{e}_z\mathrm{.}$ (15)

С учетом (8) и $\dot{\gamma }=\dot{\vartheta }{e}_z$ из третьего уравнения (15) получим

$\dot{\vartheta }=\frac{{\omega }_z}{1-e_z^2}=\frac{{\omega }_z}{{\displaystyle {\cos }^2\phi }}\mathrm{,}$ (16)

а также

$\dot{\gamma }=\frac{{\omega }_z\sin \phi }{{\displaystyle {\cos }^2\phi }}\mathrm{.}$

Если $e_z\to \pm 1$, то в выражении для $\dot{\vartheta }$ (16) (и, соответственно, для $\dot{\gamma }$) имеет место неопределенность вида $0/0$, так как при этом $\phi \to \pm \pi /2$, а ${\omega }_z\to 0$ в силу $e_{{}_{\mathbf{ЛВ}}}\mathbf{\cdot }{\mathrm{\omega }}_{{}_{\mathrm{ЛВ}}}\equiv 0$. Из первого и второго уравнений системы (15) с учетом (7), (8) также получим

$\dot{\phi }={\omega }_x\sin \vartheta -{\omega }_y\cos \vartheta \mathrm{.}$ (17)

Учитывая $c_{\mathbf{\phi }}=\text{c}\mathrm{ol}\left(\mathrm{sin\vartheta }\text{,\hspace{0.33em}}-\mathrm{cos\vartheta }\text{,\hspace{0.33em}0}\right)$, выражение (17) можно переписать в виде

$\dot{\phi }={\omega }_{{}_{ЛВ}}\cdot c_{\phi }\mathrm{.}$ (18)

Следует отметить, что формулы для расчета производных $\dot{\vartheta }$ (16) и $\dot{\phi }$ (17) можно получить и непосредственно при дифференцировании соответствующих выражений для углов поворота АУ (7), (8) с учетом соотношения $\frac{d_{{}_{ЛВ}}}{dt}$${\omega }_{{}_{ЛВ}}\times e_{{}_{ЛВ}}$.

4. Определение угловых ускорений вращения АУ по каналам управления — $\ddot{\vartheta }$ и $\ddot{\phi }$

Получим в настоящем разделе соотношения для расчета значений производных $\ddot{\vartheta }\text{\hspace{0.05em},\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}}\ddot{\phi }$. Так как по определению ${\epsilon }_{{}_{АУ}}=$$\frac{d{\omega }_{{}_{АУ}}}{dt}$, то, дифференцируя выражение для ${\omega }_{{}_{АУ}}$(13) и учитывая, что $\frac{d{c}_{\phi }}{dt}=\dot{\vartheta c}{}_{\vartheta }\times c_{\phi }$, получим следующее выражение для ${\epsilon }_{{}_{АУ}}$ (в РСК):

${\epsilon }_{{}_{АУ}}\stackrel{}{=\ddot{\vartheta }c}{}_{\vartheta }+\ddot{\phi }{\text{\hspace{0.05em}c}}_{\phi }+\dot{\vartheta }\dot{\phi }{\text{\hspace{0.05em}c}}_{\vartheta }\times c_{\phi }\mathrm{,}$ (19)

которое с учетом $c_{\mathbf{\vartheta }}=\text{c}\mathrm{ol}\text{\hspace{0.05em}\hspace{0.05em}(}0,0,\text{\hspace{0.33em}1)}$, ${{{{{{c_{\mathbf{\phi }}=c}_{\mathbf{\phi }}^{\mathbf{PCK}}=P}_{{}_{\mathbf{ACK}}}^{\mathbf{PCK}}c}_{\mathbf{\phi }}^{\mathbf{\text{A}}\mathbf{CK}}=P}_{\mathbf{ACK}}^{\mathrm{РСК}}}_{}}_{{}_{}}^{}\text{c}\mathrm{ol}\text{\hspace{0.05em}(}0,-1,0)=\text{c}\mathrm{ol}\text{\hspace{0.05em}(}\mathrm{sin\vartheta }\text{,\hspace{0.33em}}-\mathrm{cos\vartheta }\text{,\hspace{0.33em}0)}$ и $c_{\mathrm{\vartheta }}\times c_{\mathrm{\phi }}=\text{c}\mathrm{ol}\text{\hspace{0.05em}(}\mathrm{cos\vartheta }\text{,\hspace{0.33em}}\mathrm{sin\vartheta }\text{,\hspace{0.33em}0)}$ в координатной форме имеет вид

${\epsilon }_{{}_{АУ}}\ddot{=\vartheta }\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]+\ddot{\phi }\left[\begin{array}{c}\sin \vartheta \\ -\cos \vartheta \\ 0\end{array}\right]+\dot{\vartheta }\dot{\phi }\left[\begin{array}{c}\cos \vartheta \\ \sin \vartheta \\ 0\end{array}\right]\text{=}\left[\begin{array}{c}\ddot{\phi }\sin \vartheta +\dot{\vartheta }\dot{\phi }\cos \vartheta \\ -\ddot{\phi }\cos \vartheta +\dot{\vartheta }\dot{\phi }\sin \vartheta \\ \ddot{\vartheta }\end{array}\right]\mathrm{.}$

Подставив выражения для ${\omega }_{{}_{АУ}}$ (13) и ${\epsilon }_{{}_{АУ}}$ (19) в уравнение (12), получим соотношения, которые в этом случае будут содержать искомые $\ddot{\vartheta }\text{\hspace{0.05em},\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}}\ddot{\phi }$. При этом, естественно, предполагается, что $\dot{\vartheta }$ (16) и $\dot{\phi }$ (17) известны. С этой целью вначале необходимо раскрыть с учетом (13) и (19) в правой части (12) векторные произведения, а именно: во-первых, первое слагаемое $e_{{}_{\mathbf{ЛВ}}}\mathbf{\times }({\mathrm{\epsilon }}_{{}_{\mathrm{АУ}}}\times {\mathrm{e}}_{{}_{\mathrm{ЛВ}}})$ в правой части (12); во-вторых, там же второе слагаемое $e_{{}_{\mathbf{ЛВ}}}\mathbf{\times }[{\mathrm{\omega }}_{{}_{\mathrm{АУ}}}\times \left({\mathrm{\omega }}_{{}_{\mathrm{АУ}}}\times {\mathrm{e}}_{{}_{\mathrm{ЛВ}}}\right)]$.

4.1. Вначале преобразуем выражение $e_{{}_{\mathrm{ЛВ}}}\times ({\mathrm{\epsilon }}_{{}_{\mathrm{АУ}}}\times {\mathrm{e}}_{{}_{\mathrm{ЛВ}}})$, которое после раскрытия двойного векторного произведения будет иметь следующий вид:

$e_{{}_{\mathbf{ЛВ}}}\times ({\mathrm{\epsilon }}_{{}_{\mathrm{АУ}}}\times {\mathrm{e}}_{{}_{\mathrm{ЛВ}}})={\mathrm{\epsilon }}_{{}_{\mathrm{АУ}}}-({\mathrm{\epsilon }}_{{}_{\mathrm{АУ}}}\cdot {\mathrm{e}}_{{}_{\mathrm{ЛВ}}})\mathrm{e}{}_{{}_{\mathrm{ЛВ}}}\mathrm{,}$

и, соответственно, в координатной форме с учетом (19) получим:

$e_{{}_{\mathrm{ЛВ}}}\times ({\mathrm{\epsilon }}_{{}_{\mathrm{АУ}}}\times {\mathrm{e}}_{{}_{\mathrm{ЛВ}}})=\left[\begin{array}{c}\ddot{\mathrm{\phi }}\mathrm{sin\vartheta }+\dot{\mathrm{\vartheta }}\dot{\mathrm{\phi }}\mathrm{cos\vartheta }\\ -\ddot{\mathrm{\phi }}\mathrm{cos\vartheta }+\dot{\mathrm{\vartheta }}\dot{\mathrm{\phi }}\mathrm{sin\vartheta }\\ \ddot{\mathrm{\vartheta }}\end{array}\right]-({\mathrm{\epsilon }}_{{}_{\mathrm{АУ}}}\cdot {\mathrm{e}}_{{}_{\mathrm{ЛВ}}})\left[\begin{array}{c}{\mathrm{e}}_{\mathrm{x}}\\ {\mathrm{e}}_{\mathrm{y}}\\ {\mathrm{e}}_{\mathrm{z}}\end{array}\right]\mathrm{,}$

где с учетом (19) и (5), (7), (8)

${\epsilon }_{{}_{АУ}}\cdot e_{{}_{ЛВ}}=\ddot{\vartheta }c\cdot e_{{}_{ЛВ}}+\ddot{\phi }{\text{\hspace{0.05em}c}}_{\phi }\cdot e_{{}_{ЛВ}}+\dot{\vartheta }\dot{\phi (}{\text{c\hspace{0.05em}}}_{\vartheta }\times c_{\phi })\cdot e_{{}_{ЛВ}}=$

$=\ddot{\vartheta }{e}_z+\ddot{\phi }(e_x\sin \vartheta -e_y\cos \vartheta )+\dot{\vartheta }\dot{\phi (}{e}_x\cos \vartheta +e_y\sin \vartheta )=\ddot{\vartheta }\sin \phi +\dot{\vartheta }\dot{\phi }\cos \phi \mathrm{.}$

Поэтому в конечном счете тогда получим

$e_{{}_{\mathrm{ЛВ}}}\times ({\mathrm{\epsilon }}_{{}_{\mathrm{АУ}}}\times {\mathrm{e}}_{{}_{\mathrm{ЛВ}}})=\left[\begin{array}{c}\ddot{\mathrm{\phi }}\mathrm{sin\vartheta }+\dot{\mathrm{\vartheta }}\dot{\mathrm{\phi }}\mathrm{cos\vartheta }\\ -\ddot{\mathrm{\phi }}\mathrm{cos\vartheta }+\dot{\mathrm{\vartheta }}\dot{\mathrm{\phi }}\mathrm{sin\vartheta }\\ \ddot{\mathrm{\vartheta }}\end{array}\right]-\ddot{\mathrm{\vartheta }}\mathrm{sin\phi }+\dot{\mathrm{\vartheta }}\dot{\mathrm{\phi }}\mathrm{cos\phi }\left[\begin{array}{c}\mathrm{cos\phi cos\vartheta }\\ \mathrm{cos\phi sin\vartheta }\\ \mathrm{sin\phi }\end{array}\right]=$

$=\left[\begin{array}{c}-\ddot{\vartheta }\sin \phi \cos \phi \cos \vartheta +\ddot{\phi }\sin \vartheta +\dot{\vartheta }\dot{\phi }\cos \vartheta {\sin }^2\phi \\ -\ddot{\vartheta }\sin \phi \cos \phi \sin \vartheta -\ddot{\phi }\cos \vartheta +\dot{\vartheta }\dot{\phi }\sin \vartheta {\sin }^2\phi \\ \ddot{\vartheta }{\cos }^2\phi -\dot{\vartheta }\dot{\phi }\sin \phi \cos \phi \end{array}\right]\mathrm{.}$ (20)

Соответственно, в векторной записи вместо (20) будет иметь место:

$e_{{}_{\mathrm{ЛВ}}}\times ({\mathrm{\epsilon }}_{{}_{\mathrm{АУ}}}\times {\mathrm{e}}_{{}_{\mathrm{ЛВ}}})=\ddot{\mathrm{\vartheta c}}{}_{\mathrm{\vartheta }}+\ddot{\mathrm{\phi }}c{}_{\mathrm{\phi }}+\dot{\mathrm{\vartheta }}\dot{\mathrm{\phi }}{\text{\hspace{0.05em}c}}_{\mathrm{\vartheta }}\times c_{\mathrm{\phi }}-{\left[\right(\ddot{\mathrm{\vartheta }}\mathrm{c}{}_{\mathrm{\vartheta }}+\ddot{\mathrm{\phi c}}{}_{\mathrm{\phi }}+\dot{\mathrm{\vartheta }}\dot{\mathrm{\phi }}{\text{\hspace{0.05em}c}}_{\mathrm{\vartheta }}\times {\mathrm{c}}_{\mathrm{\phi }})\cdot {\mathrm{e}}_{{}_{\mathrm{ЛВ}}}]\mathrm{e}}_{{}_{\mathrm{ЛВ}}}$

$=\ddot{\vartheta }\left({\text{c}}_{\vartheta }-e_{{}_{ЛВ}}\sin \phi \right)+\ddot{\phi c}{}_{\phi }+\dot{\vartheta }\dot{\phi }\left({\text{c}}_{\vartheta }\times c_{\phi }-e_{{}_{ЛВ}}\cos \phi \right)\text{.}$ (21)

Очевидно, проектируя выражение (21) на оси РСК, получим координатное представление для $e_{{}_{\mathbf{ЛВ}}}\times ({\mathrm{\epsilon }}_{{}_{\mathrm{АУ}}}\times {\mathrm{e}}_{{}_{\mathrm{ЛВ}}})$ в виде (20).

4.2. Рассмотрим теперь и раскроем второе слагаемое в правой части (12). Вначале с учетом (13) найдем ${\omega }_{{}_{АУ}}\times \left({\omega }_{{}_{АУ}}\times e_{{}_{ЛВ}}\right)$, а затем получим и выражение для $e_{{}_{\mathbf{ЛВ}}}\times [{\mathrm{\omega }}_{{}_{\mathrm{АУ}}}\times \left({\mathrm{\omega }}_{{}_{\mathrm{АУ}}}\times {\mathrm{e}}_{{}_{\mathrm{ЛВ}}}\right)]$.

Итак, с учетом (13) получим

${\omega }_{{}_{АУ}}\times \left({\omega }_{{}_{АУ}}\times e_{{}_{ЛВ}}\right)\stackrel{}{=(\dot{\vartheta }}{\text{\hspace{0.05em}c}}_{\vartheta }+\dot{\phi }c{}_{\phi }\text{)}\times \left[(\dot{\vartheta }c{}_{\vartheta }+\dot{\phi c}{}_{\phi }\text{)}\times e_{{}_{ЛВ}}\right]=$

$=\left(\dot{\vartheta }{\text{\hspace{0.05em}c}}_{\vartheta }+\dot{\phi }c{}_{\phi }\right)\times \left(\dot{\vartheta }c{}_{\vartheta }\times e_{{}_{ЛВ}}+\dot{\phi }c{}_{\phi }\times e_{{}_{ЛВ}}\right)=$

$={\dot{\vartheta }}^2{\text{\hspace{0.05em}c}}_{\vartheta }\times \left(c_{\vartheta }\times e_{{}_{ЛВ}}\right)+{\dot{\phi }}^{2}c{}_{\phi }\times \left(c_{\phi }\times e_{{}_{ЛВ}}\right)+\dot{\vartheta }\dot{\phi }\left[{\text{\hspace{0.05em}c}}_{\phi }\times \left(c_{\vartheta }\times e_{{}_{ЛВ}}\right)+c_{\vartheta }\times \left(c_{\phi }\times e_{{}_{ЛВ}}\right)\right]$

или, раскрывая соответствующие двойные векторные произведения: $c_{\mathrm{\vartheta }}\times c_{\mathrm{\vartheta }}{\times e_{{}_{\mathrm{ЛВ}}}}_{}=c_{\mathrm{\vartheta }}\mathrm{sin\phi }-e_{{}_{\mathrm{ЛВ}}}$, $c_{\mathrm{\phi }}\times \left(c_{\mathrm{\phi }}\times e_{{}_{\mathrm{ЛВ}}}\right)=-e_{{}_{\mathrm{ЛВ}}}$, $c_{\mathrm{\phi }}\times \left(c_{\mathrm{\vartheta }}\times e_{{}_{\mathrm{ЛВ}}}\right)=0$, $c_{\mathrm{\vartheta }}\times (c_{\mathrm{\phi }}{\times e_{{}_{\mathrm{ЛВ}}})=c}_{\mathrm{\phi }}\mathrm{sin\phi }$, полученное выражение можно переписать в следующем виде:

${\omega }_{{}_{АУ}}\times \left({\omega }_{{}_{АУ}}\times e_{{}_{ЛВ}}\right)={\dot{\vartheta }}^2\left(c{}_{\vartheta }\sin \phi -e_{{}_{ЛВ}}\right)-{\dot{\phi }}^2{\text{\hspace{0.05em}e}}_{{}_{ЛВ}}+\dot{\vartheta }\dot{\phi }{c}_{\phi }\sin \phi \mathrm{.}$ (22)

Умножая соотношение (22) слева векторно на $e_{{}_{\mathbf{ЛВ}}}$, с учетом $e_{{}_{\mathrm{ЛВ}}}\times c_{\mathrm{\vartheta }}=\text{c}\mathrm{ol}\left(\mathrm{cos\phi sin\vartheta }\mathrm{,}-\mathrm{cos\phi cos\vartheta },0\right)$ и $e_{{}_{\mathbf{ЛВ}}}\times c_{\mathrm{\phi }}=\text{c}\mathrm{ol}\left(\mathrm{sin\phi cos\vartheta }\mathrm{,}-\mathrm{sin\phi sin\vartheta }\mathrm{,}-\mathrm{cos\phi }\right)$ получим

$e_{{}_{\mathrm{ЛВ}}}\times [{\mathrm{\omega }}_{{}_{\mathrm{АУ}}}\times \left({\mathrm{\omega }}_{{}_{\mathrm{АУ}}}\times {\mathrm{e}}_{{}_{\mathrm{ЛВ}}}\right)]{\stackrel{}{={\dot{\mathrm{\vartheta }}}^2}}^{}\left({\text{e}}_{{}_{\mathrm{ЛВ}}}\times c_{\mathrm{\vartheta }}\right)\mathrm{sin\phi }+\dot{\mathrm{\vartheta }}{\dot{\mathrm{\phi }(\mathrm{e}}}_{{}_{\mathrm{ЛВ}}}\times c_{\mathrm{\phi }})\mathrm{sin\phi }\mathrm{.}$ (23)

Проектируя выражение (23) на оси РСК, перепишем $e_{{}_{\mathrm{ЛВ}}}\times [{\mathrm{\omega }}_{{}_{\mathrm{АУ}}}\times \left({\mathrm{\omega }}_{{}_{\mathrm{АУ}}}\times {\mathrm{e}}_{{}_{\mathrm{ЛВ}}}\right)]$ в координатной форме так:

$e_{{}_{\mathrm{ЛВ}}}\times [{\mathrm{\omega }}_{{}_{\mathrm{АУ}}}\times \left({\mathrm{\omega }}_{{}_{\mathrm{АУ}}}\times {\mathrm{e}}_{{}_{\mathrm{ЛВ}}}\right)]=\left[\begin{array}{c}{\dot{\mathrm{\vartheta }}}^2\mathrm{sin\phi cos\phi sin\vartheta }+\dot{\mathrm{\vartheta }}\dot{\mathrm{\phi }}{\sin }^2\mathrm{\phi cos\vartheta }\\ -{\dot{\mathrm{\vartheta }}}^2\mathrm{sin\phi cos\phi cos\vartheta }+\dot{\mathrm{\vartheta }}\dot{\mathrm{\phi }}{\sin }^2\mathrm{\phi sin\vartheta }\\ -\dot{\mathrm{\vartheta }}\dot{\mathrm{\phi }}\mathrm{sin\phi cos\phi }\end{array}\right]\mathrm{.}$ (24)

4.3. Итак, с учетом (21) и (23) из (10) получим

${\epsilon }_{{}_{ЛВ}}=e_{{}_{ЛВ}}\times \left({\epsilon }_{{}_{АУ}}\times e_{{}_{ЛВ}}\right)+e_{{}_{ЛВ}}\times \left[{\omega }_{{}_{АУ}}\times \left({\omega }_{{}_{АУ}}\times e_{{}_{ЛВ}}\right)\right]=$

$\stackrel{}{=\ddot{\vartheta (}c}{}_{\vartheta }-e_{{}_{ЛВ}}\sin \phi )+\ddot{\phi }{\text{\hspace{0.05em}c}}_{\phi }+{\dot{\vartheta }}^2{\text{\hspace{0.05em}(e}}_{{}_{ЛВ}}\times c_{\vartheta })\sin \phi +\dot{\vartheta }{\dot{\phi [c}}_{\vartheta }\times c_{\phi }-e_{{}_{ЛВ}}\cos \phi +(e_{{}_{ЛВ}}\times c_{\phi })\sin \phi ]$ (25)

В координатной форме выражение (25) (как и (20), (24), записанное в проекциях на оси РСК), с учетом вышеприведенных соотношений для $e_{{}_{\mathrm{ЛВ}}}\times c_{\mathrm{\vartheta }}$ и $e_{{}_{\mathrm{ЛВ}}}\times c_{\mathrm{\phi }}$ будет иметь вид

${\epsilon }_{{}_{ЛВ}}=\left[\begin{array}{c}{\epsilon }_x\\ {\epsilon }_y\\ {\epsilon }_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-\ddot{\vartheta }\sin \phi \cos \phi \cos \vartheta +\ddot{\phi }\sin \vartheta +{\dot{\vartheta }}^2\sin \phi \cos \phi \sin \vartheta +2\dot{\vartheta }\dot{\phi }\cos \vartheta {\sin }^2\phi \\ -\ddot{\vartheta }\sin \phi \cos \phi \sin \vartheta -\ddot{\phi }\cos \vartheta -{\dot{\vartheta }}^2\sin \phi \cos \phi \cos \vartheta +2\dot{\vartheta }\dot{\phi }\sin \vartheta {\sin }^2\phi \\ \ddot{\vartheta }{\cos }^2\phi -2\dot{\vartheta }\dot{\phi }\sin \phi \cos \phi \end{array}\right]\mathrm{,}$

а отсюда следует такая система уравнений относительно искомых $\ddot{\vartheta }\text{\hspace{0.05em},\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}}\ddot{\phi }$:

${\epsilon }_x=-\ddot{\vartheta }\sin \phi \cos \phi \cos \vartheta +\ddot{\phi }\sin \vartheta +{\dot{\vartheta }}^2\sin \phi \cos \phi \sin \vartheta +2\dot{\vartheta }\dot{\phi }\cos \vartheta {\sin }^2\phi$ (26)

${\epsilon }_y=-\ddot{\vartheta }\sin \phi \cos \phi \sin \vartheta -\ddot{\phi }\cos \vartheta -{\dot{\vartheta }}^2\sin \phi \cos \phi \cos \vartheta +2\dot{\vartheta }\dot{\phi }\sin \vartheta {\sin }^2\phi$(27)

${\epsilon }_z\stackrel{}{=\ddot{\vartheta }}{\cos }^2\phi -2\dot{\vartheta }\dot{\phi }\sin \phi \cos \phi \mathrm{.}$(28)

Из уравнения (28) непосредственно следует

$\ddot{\vartheta }=\frac{{\epsilon }_z+2\dot{\vartheta }\dot{\phi }\sin \phi \cos \phi }{{\displaystyle {\cos }^2\phi }}\mathrm{,}$ (29)

а отсюда с учетом выражений для $\dot{\vartheta }$ (16) и $\dot{\phi }$(17) также получим

$\ddot{\vartheta =}\frac{{\epsilon }_z\cos \phi +2{\omega }_z({\omega }_x\sin \vartheta -{\omega }_y\cos \vartheta )\sin \phi }{{\displaystyle {\cos }^3\phi }}\mathrm{.}$ (30)

Соответственно, с помощью уравнений (26) и (27) найдем выражение для $\ddot{\phi }$ таким образом: умножим уравнение (26) на $\sin \vartheta$, а уравнение (27) — на $\cos \vartheta$ и затем, вычитая из первого второе уравнение, получим

$\stackrel{}{\ddot{\phi }=}{\epsilon }_x\sin \vartheta -{\epsilon }_y\cos \vartheta +{\dot{\vartheta }}^2\sin \phi \cos \phi \mathrm{.}$ (31)

Подставив в (31) выражение (16), также получим

$\stackrel{}{\ddot{\phi }=}{\epsilon }_x\sin \vartheta -{\epsilon }_y\cos \vartheta +\frac{{\omega }_z^2\text{t}g\phi }{{\displaystyle {\cos }^2\phi }}\mathrm{.}$ (32)

Приведенные выше формулы для расчета производной $\ddot{\vartheta }$— (29) и (30) — непосредственно можно получить и при дифференцировании выражения для $\dot{\vartheta }$ с учетом (16) и (17). Соответственно, дифференцируя $\stackrel{}{\dot{\phi }=}{\omega }_x\sin \vartheta -{\omega }_y\cos \vartheta$ (17), с учетом ${\dot{\omega }}_x={\epsilon }_x$ и ${\dot{\omega }}_y={\epsilon }_y$ получим

$\ddot{\phi }={\epsilon }_x\sin \vartheta -{\epsilon }_y\cos \vartheta +\dot{\vartheta }\text{\hspace{0.05em}(}{\omega }_x\cos \vartheta +{\omega }_y\sin \vartheta \text{)}\mathrm{.}$ (33)

Очевидно, что, продифференцировав соотношение (18), а именно:

$\ddot{\phi }=\frac{d{\omega }_{{}_{ЛВ}}}{dt}\cdot c_{\phi }+{\omega }_{{}_{ЛВ}}\cdot \frac{d{c}_{\phi }}{dt}={\epsilon }_{{}_{ЛВ}}\cdot c_{\phi }+\dot{\vartheta }{\omega }_{{}_{ЛВ}}\cdot \left(c_{\vartheta }\times c_{\phi }\right)=$

$={\epsilon }_x\sin \vartheta -{\epsilon }_y\cos \vartheta +\dot{\vartheta (}{\omega }_x\cos \vartheta +{\omega }_y\sin \vartheta )$

получим соотношение (33). Если сравнить правые части (31) и (33), то получим следующее соотношение: $\dot{\vartheta }\sin \phi \cos \phi ={\omega }_x\cos \vartheta +{\omega }_y\sin \vartheta$.

Выводы

Рассмотрена и решена задача расчета кинематических характеристик подвижного АУ КА в виде его углов поворота, реализуемых с помощью двухстепенного опорно-поворотного устройства при наведении АУ на соответствующий пункт приема информации [1], а также в виде первых и вторых производных от текущих углов поворота АУ. При решении этой задачи были применены результаты решения задачи кинематики сложного движения ЛВ для подвижной АУ в виде соответствующих теорем о сложении угловых скоростей и угловых ускорений [1]. Полученные соотношения для расчета значений производных $\dot{\vartheta }$ — (16) и $\dot{\phi }$ — (17), а также для расчета $\ddot{\vartheta }$— (29) и $\ddot{\phi }$— (32), исходя из заданных в связанной системе координат КА кинематических характеристик ЛВ, необходимы для высокоточного моделирования процессов наведения подвижных АУ.

About the authors

Yury N. Gorelov

Samara National Research University

Author for correspondence.
Email: yungor07@mail.ru
ORCID iD: 0009-0003-2183-6261

Doctor of Technical Sciences, professor, head of the Research Institute of Modelling and Control Science, Samara National Research University; professor of the Department of Differential Equations and Control Theory

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086

Lubov V. Kurganskaya

Samara National Research University

Email: limbo83@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-1513-3802

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, leading researcher of the Research Institute of Modeling and Control Science; associate professor of the Department of Differential Equations and Control Theory

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086

References

Supplementary files