Reference shape of bodies with enhanced kinematics. Part I. Geometric methods

Full Text

1. Предварительные сведения

1°. В рамках классической теории гиперупругости (далее — теории простого материала) предполагается, что механический отклик тела определяется упругим потенциалом ${\widehat{W}}_1$, который является действительнозначной функцией двух аргументов [1]:

$W={\widehat{W}}_1\left(X\mathrm{,}\mathbf{\text{F}}\left(X\right)\right)$ (1.1)

Здесь $X\in \mathcal{B}$— точка отсчетной формы $\mathcal{B}\subset \mathcal{E}$, т. е. области, представляющей отсчетное положение тела в физическом пространстве $\mathcal{E}$, а $\mathbf{\text{F}}$— градиент деформации, т. е. главная линейная часть отображения $\gamma :\mathcal{B}\to \mathcal{E}$, характеризующего изменение отсчетной формы. В настоящей статье, наряду с зависимостью (1.1), используется ее расширенный вариант [2; 3]:

$W={\widehat{W}}_2\left(X\mathrm{,}\mathbf{\text{F}}\left(X\right)D_X\mathbf{\text{F}}\right)\text{\hspace{1em}или\hspace{1em}}W={\widehat{W}}_3\left(X\mathrm{,}\mathbf{\text{F}}\left(X\right)\text{,\hspace{0.17em}M}\mathrm{,}{D}_X\text{M}\right)$ (1.2)

где $D\mathbf{\text{F}}$ есть второй градиент отображения $\gamma$, а $\text{M}$ — некоторый тензор второго ранга, независимый от $\gamma$. Последние два случая объединены под общим названием: гиперупругие тела с расширенной кинематикой.

Рассуждения, предполагающие расширенную кинематику, можно встретить в работах Пиола [4; 5], а также в более поздних работах Фойгта [6], Дюгема [7] и братьев Коссера [8]. Вместе с тем основной интерес к средам с расширенной кинематикой возник в начале второй половины XX века, когда Эриксеном было показано, что напряженное состояние в жидких кристаллах определяется несимметричным тензором [9]. Значительный прогресс был достигнут в серии работ Трусделла и Эриксена [10], Тупина [2; 11], а также Миндлина [12; 13]. В частности, авторами этих работ была установлена взаимосвязь между различными подходами к описанию расширенной кинематики и сформулирован общий вид определяющих соотношений.

Развитие теории определяющих соотношений и уточнение понятий жидкости и изотропного твердого тела для сред второго градиента было предложено Кроссом в работе [14]. В частности, Кросс продемонстрировал удобство и элегантность формализма теории $2$-струй на многообразиях, позволившего ему получить инвариантные соотношения для групп изотропии, обобщающие соотношения теории Нолла для сред первого градиента [15; 16].

В начале 80-х годов XX века Айфантис предложил альтернативный подход к описанию расширенной кинематики, когда определяющее соотношение для теории первого градиента дополнялось слагаемым, содержащим второй градиент и характеристическую константу [17; 18]. Так, в рамках линейного приближения закон Гука модифицировался посредством добавления слагаемого, содержащего лапласиан по пространственным переменным [19]. Благодаря этому удалось осуществить сглаживание решений классических задач теории упругости в точках разрыва. Например, в работе [20] построено решение задачи Фламана — Буссинеска на основе предложенного Айфантисом подхода и показано, что это решение непрерывно и ограничено в точках приложения нагрузок. В работах [19; 20] установлено, что предложенным методом можно устранить сингулярность тензора деформаций в вершине трещины.

Гуткин и Айфантис на основе градиентной модели Айфантиса [20] построили решение задачи о напряженно-деформированном состоянии среды с краевой дислокацией [21], винтовой дислокацией [22] и показали, что в рамках используемых моделей удается добиться непрерывности тензора деформаций в ядре дислокации. Добавив в модель Айфантиса слагаемое, содержащее лапласиан напряжений, авторы работы [23] построили решения задач для сред с дислокациями и дисклинациями и показали, что не только тензор деформаций непрерывен в ядре дислокации, но и то же самое справедливо и для тензора напряжений.

В настоящее время теория тел с расширенной кинематикой продолжает развиваться. Рассматриваются связанные модели термоупругости [3] и электроупругости [24; 25], изучается напряженно-деформированное состояние тел с включениями [26–28], развивается теория определяющих соотношений [29] и исследуются уравнения равновесия [30]. Представленная статья также рассчитывает внести свой вклад в это направление. Ее цель — геометрическое моделирование несовместных деформаций в средах с расширенной кинематикой.

2°. Несовместные деформации. Теория несовместных деформаций для случая простого материала достаточно развита и представлена в многочисленных статьях [16; 31–34] и монографиях^[1] [35–37]. Основной особенностью тела с несовместными деформациями является невозможность целиком достичь состояния, совпадающего с тем, которое было достигнуто малым тестовым образцом из того же материала (такое состояние далее называется натуральным). Геометрическая идея, лежащая в основе моделирования несовместных деформаций, заключается в отказе от требования, согласно которому все формы тела должны быть областями евклидова физического пространства: форму, в которой все тело находится в натуральном состоянии, предлагается искать в пространстве общей аффинной связности.

Для реализации этой идеи условия совместности локальных деформаций интерпретируются в терминах инвариантов подходящей аффинной связности [38]. Если через $\text{H}$ обозначить тензорное поле второго ранга, представляющее локальные разгрузочные деформации из некоторой промежуточной формы ${\mathcal{S}}_R$ в натуральное состояние, то условие, согласно которому оно будет градиентом некоторого отображения $\gamma :{\mathcal{S}}_R\to \mathcal{E}$, — условие совместности, — имеет вид: $\text{curl\hspace{0.05em}}H=0$. Геометрически последнее равенство может быть записано в терминах кручения связности Вайценбока [34] как $\mathfrak{T}=\text{0}$. Альтернативно определяя специальным способом метрический тензор $\text{G}$ по полю $H$ [34], условие совместности, выражающее евклидовость геометрии, порождаемой этим тензором, можно выразить в терминах равенства нулю кривизны связности Леви-Чивита: $\Re =\text{0}$. Таким образом, поля кручения и кривизны являются мерами несовместности локальных деформаций. Отличие их от нуля означает несовместность деформаций, а соответствующие пространства аффинной связности вмещают натуральную форму.

Применение геометрических моделей несовместных деформаций весьма разнообразно. Впервые они были использованы в континуальной теории дефектов [32; 33; 38–41]. В последующем геометрическое моделирование было применено в рамках теории объемного роста [42], теории поверхностного роста [43–49], а также при математическом моделировании аддитивных процессов [50–54]. Соединение положений теории относительности и теории роста привело к исследованиям по аккреции массивных тел [55–57]. Отметим, что, несмотря на единство подходов к описанию непрерывно распределенных дефектов и поверхностного роста, где последний можно интерпретировать как непрерывный процесс записи дефектов [58], имеются и отличия между ними. В рамках континуальной теории дефектов локальные деформации предполагаются известными из эксперимента. Все, что нужно сделать, — определить меры несовместности. Однако в рамках процесса роста локальные деформации являются неизвестными полями, требующими решения дополнительной эволюционной задачи для их определения. Примеры таких задач рассмотрены в [46; 47; 59–61].

Вместе с тем существует сравнительно мало работ, посвященных проблематике моделирования несовместных деформаций для сред с расширенной кинематикой. Можно объяснить это необходимостью использовать более сложный математический формализм $2$-струй и главных расслоений, нежели тот, что используется в рамках сред первого градиента. По-видимому, первым систематическим изложением теории структурно неоднородных тел с расширенной кинематикой можно считать работу Моргана [62], являющуюся непосредственным обобщением работы Вана [16] для сред первого градиента. Последующие работы написаны в основном Эпштейном, Эльжановски, де Леоном и их соавторами. В частности, работы [63–65] посвящены моделированию несовместных деформаций в телах второго градиента (первый потенциал в (2)), а работы [66; 67] — моделированию несовместных деформаций в телах с микроструктурой (второй потенциал в (2)). Настоящая работа использует иной подход, позволяющий получить уравнения совместности и неевклидову отсчетную форму. Однако для дальнейшего описания расширенной кинематики все равно нужно привлекать более тонкие рассуждения, основанные на формализме 2-струй (случай второго градиента) либо на формализме главных расслоений (случай микроструктуры).

3°. Структуры и их синтезирование. Работа использует формализм структур и отображений между ними. Каждая структура характеризуется упорядоченным набором

$\mathcal{X}=\left(X\mathrm{,}{S}_1\mathrm{,}{S}_2\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{S}_k\right)$ (1.3)

состоящим из множества $X$ — носителя структуры, а также классов и полей $S_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{S}_k$, определяющих конкретный вид структуры над $X$. Как правило, объекту $S_1$ соответствует топология над $X$, а объекту $S_2$ — гладкая структура над $X$. Остальные элементы структуры являются геометрическими полями, как-то: метрикой, связностью и формой объема.

Исходная структура (1.3) определяет последовательность вложенных структур

$X={\mathcal{X}}_0\subset {\mathcal{X}}_1\subset \cdots \subset {\mathcal{X}}_k\mathcal{X}\mathrm{,}$

где ${\mathcal{X}}_i=\left(X\mathrm{,}{S}_1\mathrm{,}{S}_2\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{S}_i\right)$. Будем говорить, что структура ${\mathcal{X}}_i$ получена из $\mathcal{X}$ стиранием элементов $S_{i+1}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{S}_k$, а $\mathcal{X}$, в свою очередь, синтезированием по ${\mathcal{X}}_i$ и $S_{i+1}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{S}_k$. В работе в основном используется стирание до структуры ${\mathcal{X}}_2$, которая при соответствующей интерпретации $S_1$ и $S_2$ является гладким многообразием. Операции стирания и синтезирования структур комбинируются, что приводит к различным структурам, определенным над одним и тем же многообразием.

Если $\mathcal{X}$ и $\mathcal{Y}$ — различные структуры одного типа, то можно рассматривать отображения между ними: $f:\mathcal{X}\to \mathcal{Y}$, которые в рамках теории категорий принято называть морфизмами [68]. Если через ${\mathcal{F}}_i$ обозначить процедуру стирания структур до $i$-й подструктуры ("стирающий функтор"), то отображение $f$ индуцирует отображение ${\mathcal{F}}_{i}f:{\mathcal{X}}_i\to {\mathcal{Y}}_i$. В рамках работы оно полагается отличным от $f$.

Используются стандартные соглашения и обозначения для структур, принятые в линейной алгебре и теории гладких многообразий. Их определение и связанная с ними техника представлены в монографиях [69–71]. В частности, символ $\text{Hom}\left(\mathcal{U};\mathcal{V}\right)$ обозначает векторное пространство линейных отображений $\mathcal{U}\to \mathcal{V}$. В свою очередь, символы $\text{End}\left(\mathcal{V}\right)\text{=Hom}\left(\mathcal{V};\mathcal{V}\right)$ и $\text{Aut}\left(\mathcal{V}\right)$ отвечают, соответственно, векторному пространству линейных операторов на $\mathcal{V}$ и группе автоморфизмов.

Символ $D$ обозначает оператор полной производной, а символ ${\partial }_i$ — оператор частной производной по $i$-й переменной.

Настоящая статья является первой частью исследовательской работы. В ней определяются исходные структуры, излагаются основные геометрические идеи и демонстрируется их реализация на примере простого материала. Вторая часть представлена в [72]. В ней излагается методика синтезирования неевклидовой отсчетной формы для тел второго градиента и тел с микроструктурой.

2. Материальное многообразие и его формы

2.1. Формы и деформации

Геометрическая механика континуума рассматривает тело и физическое пространство как два отдельных гладких многообразия, наделенные специфическими геометриями и связанные между собой гладкими вложениями. Композиция этих вложений определяет диффеоморфизм — деформацию тела. Настоящая работа следует этой методологии с одним лишь отличием: геометрические структуры, характеризующие тело, его формы и физическое пространство, определены над одним и тем же множеством. По этой причине для структур, встречающихся в работе, используются детальные обозначения.

4°. Физическое пространство. Исходная структура представлена трехмерным евклидовым точечным пространством [69]

$\mathcal{E}=E\mathrm{,}\mathcal{V}\text{,\hspace{0.17em}vec,\hspace{0.17em}⋅}$(2.1)

моделирующим физическое пространство, в котором наблюдается деформирование тела. Первый элемент структуры $E$ является континуальным множеством мест, а второй элемент $\mathcal{V}=V\mathrm{,}ℝ\mathrm{,}{+}_V\mathrm{,}{\cdot }_V$ — трансляционным векторным пространством над² $ℝ$, размерности $3$. Третий элемент структуры (1) является отображением $\text{vec: \hspace{0.17em}}E\times E\to V$, удовлетворяющим аксиомам Вейля:

а) для любых точек $x\mathrm{,}y\mathrm{,}z\in E$ выполняется соотношение Шаля

$\text{vec}\left(x\mathrm{,}y\right)+\text{vec}\left(y\mathrm{,}z\right)\text{=vec}\left(x\mathrm{,}z\right)$,

б) для любой точки $x\in E$ и любого вектора $\text{v}\in \mathcal{V}$ существует единственная точка $y\in E$ такая, что $\text{vec}\left(x\mathrm{,}y\right)\text{=v}$.

Значение $\text{v=vec}\left(x\mathrm{,}y\right)$ интерпретируется как вектор с началом в точке x и концом в точке^[3] y. Наконец, последний элемент структуры $\left(\cdot \right)$ определяет скалярное произведение на $\mathcal{V}$.

Задание скалярного произведения тесно связано с выбором некоторого прямоугольного репера $\left(o\mathrm{,}{\left(c_i\right)}_{i=1}^3\right)$, в котором $o\in \mathcal{E}$ — начало отсчета, а ${\left(c_i\right)}_{i=1}^3$ — ортонормированный базис пространства $\mathcal{V}$. При таком выборе точке $o$ соответствует поле радиус-векторов $\text{p: \hspace{0.17em}}x\mapsto \text{vec}\left(o\mathrm{,}x\right)$, а базис ${\left({\text{c}}_i\right)}_{i=1}^3$ позволяет определить координаты произвольной точки из $E$, которые полагаются равными координатам радиус-вектора этой точки:

$\text{если p}\left(x\right)\text{=}{x}^i{\text{c}}_i\mathrm{,} \text{то Coor}\left(x\right)\text{: =}{\left(x^i\right)}_{i=1}^3\mathrm{.}$

Приходим к отображению $\text{Coor: \hspace{0.17em}}\mathcal{E}\to {ℝ}^3$ — декартовой арифметизации, которое каждой точке пространства сопоставляет ее прямоугольные координаты.

Замечание 1. Несмотря на то что в рамках настоящей работы структура (2.1) полагается первичной, в действительности можно встать на более общую точку зрения, согласно которой исходными являются трехмерное векторное пространство

$\mathcal{V}=V\mathrm{,}\mathrm{ℝ}\mathrm{,}{+}_V\mathrm{,}{\cdot }_V$

некоторый объект $o$ (образно говоря, «божественное присутствие»), и базис ${\left({\text{c}}_i\right)}_{i=1}^3$ пространства $\mathcal{V}$. В таком случае первый элемент структуры (2.1) можно определить как образ действия элементов группы трансляции $\text{Trans}\left(3\right)$ на объект $o$, т. е. $E=o⊲\text{Trans}\left(3\right)$, а скалярное произведение $\left(\cdot \right)$ — из требования ортонормированности базиса ${\left({\text{c}}_i\right)}_{i=1}^3$.

5°. Сопряженное пространство. Для работы с координатами точек и векторов целесообразно использовать дополнительную структуру, представленную сопряженным векторным пространством ${\mathcal{V}}^{\ast }$, элементы которого — линейные функционалы $\xi :\mathcal{V}\to ℝ$ (ковекторы). Свойство рефлексивности сопряженного пространства исходному [70] позволяет определить операцию действия вектора на ковектор, что удобно записывать в виде спаривания

$⟨\xi \mathrm{,}\text{\hspace{0.17em}v}⟩=⟨\text{v}\mathrm{,}\xi ⟩=\xi \left(\text{v}\right)$

При этом базису ${\left({\text{c}}_i\right)}_{i=1}^3$ отвечает дуальный ковекторный базис ${\left(c^i\right)}_{i=1}^3$ пространства ${\mathcal{V}}^{\ast }$, определяемый совокупностью 9 равенств $⟨c^i\mathrm{,}{\text{\hspace{0.17em}c}}_j⟩={\delta }_j^i$, $i\mathrm{,}j\text{\hspace{0.17em}=1, }\mathrm{2,}3$, где ${\delta }_j^i$ — символ Кронекера. Использование дуального базиса позволяет извлечь координаты векторов и точек в соответствии со следующими соотношениями:

$\nu \ni v=v^i{c}_i\mapsto v^i=⟨c^i\mathrm{,}\hspace{0.17em}v⟩\in ℝ\mathrm{,}$

$E\ni x=o+x^i{\text{c}}_i\mapsto x^i⟨c^i\mathrm{,}\text{\hspace{0.17em}p}x⟩\in ℝ\mathrm{,}i=1,\mathrm{2,}3.$

В частности, операцию арифметизации $\text{Coor}$ теперь можно задать явно:

$\text{Coor:\hspace{0.17em}}\mathcal{E}\to {ℝ}^3\mathrm{,}$$\text{Coor}\left(x\right)\text{=}{\left(⟨c^i\mathrm{,}\text{\hspace{0.17em}p}\left(x\right)⟩\right)}_{i=1}^3$ (2.2)

Замечание 2 Использование координат может ввести в искушение считать («по изоморфизму») точки и векторы элементами пространства ${ℝ}^3$, а линейные операторы — матрицами $3\times 3$. Такое представление ошибочно, поскольку ведет к стиранию различий между точками и векторами: нет никакого способа сказать, чем является данный кортеж из трех чисел — совокупностью координат точки или совокупностью координат вектора.

6°. Физическое пространство как многообразие. Хотя структура (2.1) уже позволяет строить классическую механику континуума, для целей работы ее недостаточно, поскольку в рамках исследования предполагается синтезирование неевклидовых пространств, представляющих отсчетную форму. Для формализации последних удобно использовать язык теории гладких многообразий и аффинных связностей. Вместе с тем структуру пространства аффинной связности можно извлечь из структуры (2.1) и декартова репера $\left(o\mathrm{,}{\left({\text{c}}_i\right)}_{i=1}^3\right)$следующим образом.

Декартова арифметизация (2.2) позволяет определить на множестве $E$ топологию открытых шаров:

${\tau }_E=\left\{O\subset E:\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}множество Coor}\left(O\right)\text{ открыто в }{\mathrm{ℝ}}^3\right\}$

Кроме того, пара $\left(E\mathrm{,}\text{\hspace{0.17em}Coor}\right)$ является картой на множестве E, полностью его покрывающей. Она определяет единственную гладкую структуру ${\mathcal{D}}_E$, содержащую тривиальный атлас $\left\{\left(E\mathrm{,}\text{\hspace{0.17em}Coor}\right)\right\}$.

Используя введенные топологию и гладкую структуру, приходим к структуре пространства аффинной связности

${\mathcal{E}}_{\text{geom}}=\left(E\mathrm{,}{\mathcal{T}}_E\mathrm{,}{\mathcal{D}}_E\mathrm{,}\text{\hspace{0.17em}g}\mathrm{,}ϵ\mathrm{,}\nabla \right)$ (2.3)

над множеством E, производной по отношению к исходной структуре (2.1). Здесь $\text{g}$ — метрика, определенная по базису ${\left({\text{c}}_i\right)}_{i=1}^3$ в соответствии с теоремой Пифагора:

$\text{g=}{\delta }_{ij}{c}^i\otimes c^j\mathrm{.}$ (2.4)

В таком случае скалярное произведение $\left(\cdot \right)$ — элемент структуры (2.1) — связано с метрикой $\text{g}$ равенством $\text{u}\cdot \text{v=g}\left(\text{u}\mathrm{,}\text{\hspace{0.17em}v}\right)$.

Пятый элемент структуры (2.3) — элемент объема $ϵ$ [69], определенный равенством $ϵ=c^1\wedge c^2\wedge c^3,$ где $\wedge$ обозначает внешнее произведение^[4] [70]. Элементы площади, согласованные с исходным элементом объема, определяются равенствами

$s_1=c^2\wedge c^3\mathrm{,}{s}_2=c^3\wedge c^1\mathrm{,}{s}_3=c^1\wedge c^2\mathrm{.}$

Последний элемент структуры (2.3) — аффинная связность $\nabla$, действующая на векторные поля $\text{u}\mathrm{,}\text{\hspace{0.17em}v\hspace{0.17em}: }E\to \mathcal{V}$согласованно с евклидовой метрикой (2.4):

${\nabla }_{\text{u}}\text{v: }D\text{v}\left[\text{u}\right]\text{=}{u}^i\frac{\partial v^j}{\partial x^i}{\text{\hspace{0.05em}c}}_j\mathrm{.}$

Здесь $D\text{v: }E\to \text{End}\left(\mathcal{V}\right)$ — полная производная векторного поля $\text{v}$, т. е. для точки $x\in E$ и вектора $\text{h}\in \mathcal{V}$ выполняется равенство $\text{v}\left(x+\text{h}\right)\text{=v}\left(x\right)+D_x\text{v}\left[\text{h}\right]+\text{o}\left(\parallel \text{h}\parallel \right)$. Покомпонентно $D_x\text{v}{\left.\text{=}\frac{\partial v^i}{\partial x^j}\right|}_x{\text{\hspace{0.05em}c}}_i\otimes c^j$, где ${\left.\frac{\partial v^i}{\partial x^j}\right|}_x:=D_x{v}^i\left[{\text{c}}_j\right]$.

7°. Формы. Материальный континуум наблюдается в физическом пространстве в виде форм $\mathcal{S}\subset \mathcal{E}$, которые в рамках классической механики полагаются открытыми множествами с регулярной по Келлогу границей [1; 73]. В настоящем исследовании удобно использовать более детальное описание для форм в виде структур, подобных (2.3):

$\mathcal{S}=\left(S\mathrm{,}{\overline{){\mathcal{T}}_E}}_S\mathrm{,}{\overline{){\mathcal{D}}_E}}_S\mathrm{,}{\overline{)\text{g}}}_S\mathrm{,}{\overline{)ϵ}}_S\mathrm{,}{\overline{)\nabla }}_S\right)$ (2.5)

Здесь $S\subset E$ — непустое открытое множество, являющееся носителем формы, а символ вертикальной черты с нижним индексом $S$ обозначает сужение элемента исходной структуры (2.3) на $S$.

Элемент ${\overline{){\mathcal{T}}_E}}_S$ структуры (2.5) обозначает топологию на S, полученную сужением исходной евклидовой топологии ${\mathcal{T}}_E$. Топология ${\overline{){\mathcal{T}}_E}}_S$ состоит из открытых подмножеств $E$, лежащих в $S$, т. е.

${\overline{){\mathcal{T}}_E}}_S=\left\{O\subset S:O\in {\mathcal{T}}_E\right\}$

Третий элемент структуры ${\overline{){\mathcal{D}}_E}}_S$ является гладкой структурой на $S$, полученной сужением исходной гладкой структуры ${\mathcal{D}}_E$ на $S$. Это гладкая структура, порожденная атласом, состоящим из одной карты $\left(S\mathrm{,}{\overline{)\text{\hspace{0.17em}Coor}}}_S\right)$. Таким образом, тройка $\mathfrak{S}=\left(S\mathrm{,}{\overline{){\mathcal{T}}_E}}_S\mathrm{,}{\overline{){\mathcal{D}}_E}}_S\right)$ является многообразием размерности 3.

Последние три элемента структуры (5) обозначают, соответственно, метрику, элемент объема и связность, индуцированные метрикой, элементом объема и связностью объемлющего пространства ${\mathcal{E}}_{\text{geom}}$ на $S$. Эти поля можно рассматривать как теоретико-множественные сужения полей, заданных на объемлющем пространстве^[5].

Поскольку структура (2.5) весьма тривиальна, в классических руководствах по механике континуума она детально не определяется. Вместе с тем такое детальное определение необходимо, если в дальнейшем предполагается модификация части этой структуры. Именно по этой причине мы сочли уместным привести полный список элементов, составляющих форму $\mathcal{S}$ как структуру.

8°. Деформации. Для идентификации точек, составляющих тело, одна из форм $\mathcal{B}$ фиксируется и объявляется отсчетной. В явном виде отсчетная форма представлена в виде структуры, подобной (2.5):

$\mathcal{B}=\left(\mathfrak{B}\mathrm{,}{\overline{)\text{g}}}_B\mathrm{,}{\overline{)ϵ}}_B\mathrm{,}{\overline{)\nabla }}_B\right)\mathrm{,}$ (2.6)

где $\mathfrak{B}$ — подлежащее многообразие, которое назовем материальным многообразием. Его элементы — материальные точки — обозначаются заглавными фрактурными символами $\mathfrak{X}$, $\mathfrak{Y}$, $ℨ$ и т. д.

Введение отсчетной формы (2.6) сопровождается установлением связей между ней и частью форм в физическом пространстве $\mathcal{E}$. Каждая такая связь моделируется посредством отображения

$\chi :\mathcal{B}\to \mathcal{S}\mathrm{,}x=\chi \left(\mathfrak{X}\right)$ (2.7)

которое в соответствии с терминологией, принятой в механике континуума [1; 74], назовем деформацией. Предположим справедливой аксиому непрерывности [75]: 1) отображение $\chi$ является обратимым и 2) отображение $\chi$ и обратное к нему $\stackrel{-1}{\chi }$ непрерывно дифференцируемы необходимое число раз. Иными словами, отображение $\chi$ является диффеоморфизмом между гладкими многообразиями $\mathfrak{B}$ и $\mathfrak{S}$.

Рассмотрим теперь произвольные формы ${\mathcal{S}}_R\mathrm{,}\mathcal{S}\subset \mathcal{E}$, связанные с отсчетной формой $\mathcal{B}$ деформациями ${\chi }_R:\mathcal{B}\to {\mathcal{S}}_R$ и $\chi :\mathcal{B}\to \mathcal{S}$. Здесь форма ${\mathcal{S}}_R$, называемая далее промежуточной, также представлена в виде структуры

${\mathcal{S}}_R=\left({\mathfrak{S}}_R\mathrm{,}{\overline{)\text{g}}}_{S_R}\mathrm{,}{\overline{)ϵ}}_{S_R}\mathrm{,}{\overline{)\nabla }}_{S_R}\right)$ (2.8)

в которой ${\mathfrak{S}}_R$ — подлежащее многообразие. Переход тела от промежуточной формы (2.8) к актуальной форме (2.5) определяется композицией

$\gamma :=\chi \circ {\chi }_R^{-1}:{\mathcal{S}}_R\to \mathcal{S}\mathrm{,}x=\gamma \left(X\right)$ (2.9)

которая также характеризует изменение формы и потому для нее по-прежнему используется термин «деформация». Отметим, что в силу связей, установленных между формами, предполагается, что произвольной можно выбрать любую из пар $\left({\chi }_R\mathrm{,}\chi \right)$, $\left({\chi }_R\mathrm{,}\gamma \right)$ и $\left(\chi \mathrm{,}\gamma \right)$. Третий элемент, соответственно $\gamma$, $\chi$ и ${\chi }_R$, определяется из композиции (2.9).

Таким образом, в рамках рассуждений, проведенных выше, деформации из отсчетной формы и деформации из промежуточной формы не вполне равноправны, поскольку первые используются для идентификации форм, а вторые характеризуют изменение формы. Однако, если раз и навсегда связи между отсчетной формой и остальными формами установлены, то отсчетную форму можно поменять на любую из этих форм с сохранением связей. Именно по этой причине отображения (2.7) и (2.9) не различаются терминологически.

Замечание 3. В настоящей работе используется три вида форм: фиксированная отсчетная форма (2.6), промежуточная форма (2.8) и актуальная форма (2.5). Отсчетная форма служит пространством меток, с помощью которого идентифицируется деформация континуума, а актуальная форма — та, которую занимает тело в текущий момент. Несмотря на то что в рамках классической механики континуума нет необходимости явно выделять промежуточную форму, в работе она используется как вспомогательная форма для синтезирования неевклидовой геометрии частного вида.

Деформацию можно задать для любой пары топологически эквивалентных форм ${\mathcal{S}}_1$ и ${\mathcal{S}}_2$. Более того, возможен случай, когда деформация между рассматриваемыми формами определена не единственным образом. В этой связи целесообразно говорить о множестве всех деформаций из ${\mathcal{S}}_1$ в ${\mathcal{S}}_2$, для обозначения которого в работе используется символ $\text{Deform}\left({\mathcal{S}}_1;{\mathcal{S}}_2\right)$. В частности, соотношение $\text{Deform}\left({\mathcal{S}}_1;{\mathcal{S}}_2\right)\text{=}\varnothing$ означает, что ${\mathcal{S}}_1$ и ${\mathcal{S}}_2$ не являются формами одного тела.

9°. Координатные представления. В работе, наряду с прямой тензорной записью, интенсивно используется метод координат, что позволяет привлекать аналитические рассуждения на основе классического анализа. Остановимся подробнее на тех координатных представлениях деформации, которые будут играть роль в дальнейшем.

В прямоугольных координатах деформацию $\gamma$ (2.9) можно представить как отображение

${\tilde{\gamma }}_d:=\text{Coor}\circ \gamma \circ \text{Coor}{\overline{){}^{-1}}}_{\text{Coor}\left({\mathcal{S}}_R\right)}\text{:\hspace{0.17em}Coor}\left({\mathcal{S}}_R\right)\to \text{Coor}\left(\mathcal{S}\right)$ (2.10)

Если через ${\left(X^I\right)}_{I=1}^3$ обозначить значения прямоугольных координат точек промежуточной формы ${\mathcal{S}}_R$, или, что то же самое, элементы открытого множества $\text{Coor}\left({\mathcal{S}}_R\right)$, то отображение (2.10) можно записать посредством трех соотношений:

$x^i=x^i\left(X^1\mathrm{,}{X}^2\mathrm{,}{X}^3\right),i=1,\mathrm{2,}\mathrm{3,}$

а обратное к нему — в виде соотношений

$X^I=X^I\left(x^1\mathrm{,}{x}^2\mathrm{,}{x}^3\right),I=1,\mathrm{2,}3.$

Наличие пространственных симметрий у форм служит поводом для введения криволинейных координат, которые могут значительно упростить представление деформации. В общем случае с каждой из форм ${\mathcal{S}}_R$ и $\mathcal{S}$ соотнесем свою систему координат и, таким образом, придем к следующим функциям замены координат:

$$\begin{gathered} {\psi }_R:O_R\to \text{Coor}\left({\mathcal{S}}_R\right)\text{, } \\ \psi :O\to \text{Coor}\left(\mathcal{S}\right)\text{,} \end{gathered}$$$$\begin{gathered} X^I=X^I\left(Q^1\mathrm{,}{Q}^2\mathrm{,}{Q}^3\right), \\ {x}^i=x^i\left(q^1\mathrm{,}{q}^2\mathrm{,}{q}^3\right) \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} I\text{\hspace{0.17em}=1, }\mathrm{2,}3 \\ i=1,\mathrm{2,}3. \end{gathered}$$ (2.11)

Здесь $O_R\mathrm{,}O\subset {ℝ}^3$ — открытые множества, элементы которых (упорядоченные тройки) обозначаются соответственно через ${\left(Q^I\right)}_{I=1}^3$ и ${\left(q^i\right)}_{i=1}^3$. Отображения ${\psi }_R$ и $\psi$ являются обратимыми и подчиняющимися требованиям: якобианы

$\det \left[\frac{\partial X^I}{\partial Q^J}\right]\text{\hspace{1em}и\hspace{1em}}\det \left[\frac{\partial x^i}{\partial q^j}\right]$ (2.12)

отличны от нуля в каждой точке множеств $O_R$ и $O$ соответственно. Хотя в действительности криволинейные координаты могут быть определены на более широких множествах, чем формы ${\mathcal{S}}_R$ и $\mathcal{S}$, в силу локальности дальнейших рассуждений достаточно рассматривать их лишь в точках форм.

Функции замены координат (2.11) позволяют определить карты $\left(S_R\mathrm{,}{\sigma }_R\right)$ и $\left(S\mathrm{,}\sigma \right)$ на отсчетной и актуальной формах. В явном виде координатные отображения ${\sigma }_R$ и $\sigma$ задаются соотношениями

$\begin{array}{c}{\sigma }_R={\psi }_R^{-1}\circ {\overline{)\text{Coor}}}_{S_R}:S_R\to O_R\mathrm{,}{Q}^I=Q^I\left(X\right),I=1,\mathrm{2,}\mathrm{3,}\\ \sigma ={\psi }^{-1}\circ {\overline{)\text{Coor}}}_S:S\to O\mathrm{,}{q}^i=q^i\left(x\right),i=1,\mathrm{2,}3.\end{array}$(2.13)

В паре карт $\left(S_R\mathrm{,}{\sigma }_R\right)$ и $\left(S\mathrm{,}\sigma \right)$ деформация $\gamma$ имеет представление

${\tilde{\gamma }}_c:=\sigma \circ \gamma \circ {\sigma }_R^{-1}:O_R\to O\mathrm{.}$ (2.14)

В координатной форме отображение (2.14) можно записать посредством соотношений

$q^i=q^i\left(Q^1\mathrm{,}{Q}^2\mathrm{,}{Q}^3\right),i=1,\mathrm{2,}\mathrm{3,}$

а обратную биекцию как

$Q^I=Q^I\left(q^1\mathrm{,}{q}^2\mathrm{,}{q}^3\right),I=1,\mathrm{2,}3.$

Связь между отображениями $\gamma$ и (2.14), а также координатными отображениями (2.13) иллюстрируется на рис. 2.1.

Рис. 2.1. Деформация γ и ее представление γ_с в криволинейных координатах

Fig. 2.1. Deformation γ and its representation γ_с in curvilinear coordinates

2.2. Неевклидова отсчетная форма

10°. Материальное многообразие. В механике континуума определяющие соотношения, связывающие кинематические поля с физическим откликом тела, получаются для некоторого предварительно подготовленного тестового образца. Состояние, в котором находится этот тестовый образец, назовем натуральным. Примером натурального состояния может служить состояние, свободное от напряжений, однако в работе допускаются и более общие случаи. При этом неявно подразумевается, что части, составляющие тело, физически неотличимы от тестового образца: выбирая любую часть тела, преобразуя ее в натуральное состояние и подвергая затем разнообразным деформациям, получим то же определяющее соотношение, что и для исходного тестового образца. Следуя Ноллу, назовем такое тело материально единообразным [76].

В рамках классической механики континуума предполагается, что отсчетная форма (6) целиком находится в натуральном состоянии, что позволяет применять к ее точкам одно и то же определяющее соотношение. В таком случае деформация является глобальным преобразованием формы, результат которого можно количественно охарактеризовать, подставив частный вид отображения (7) в соответствующие аргументы определяющего закона. Однако существуют случаи, когда предположение о глобальности натурального состояния неправомерно [77]. Тело с дефектами или тело, полученное в ходе процесса роста (что тоже можно рассматривать как процесс записи дефектов), могут служить примерами таких случаев.

Вслед за Билби и Кондо [78–80] в настоящей работе предлагается отказаться от требования, согласно которому отсчетная форма должна быть областью физического пространства. Вместо этого отсчетная форма определяется в пространстве с некоторой неевклидовой геометрией. Выбор геометрии осуществляется таким образом, что физические причины отсутствия глобального натурального состояния кодируются инвариантами аффинной связности — кручением, кривизной и неметричностью.

Для реализации намеченной цели — синтезирования неевклидовой формы — «сотрем» исходную геометрию с отсчетной формы (6), что приведет к материальному многообразию $\mathfrak{B}$, лежащему в ее основании. Следующим шагом на основе специальных рассуждений определим новую геометрию на материальном многообразии. Откладывая детальное изложение методики построения геометрии на $\mathfrak{B}$ до раздела 3 (случай простого материала) и второй части работы ([72]; случаи среды второго градиента и микроструктуры), рассмотрим в общих чертах структуру полученной неевклидовой формы и отображений из нее в актуальные формы.

11°. Геометрия над материальным многообразием. В результате синтезирования неевклидовой отсчетной формы материальное многообразие $\mathfrak{B}$ как структура пополняется новыми элементами:

$S_R=\left(\mathfrak{B}\mathrm{,}\text{\hspace{0.17em}G}\mathrm{,}\mu \mathrm{,}\nabla \right)$ (15)

Здесь $\text{G }$— риманова метрика, $\mu$— форма объема, а $\nabla$— аффинная связность на $\mathfrak{B}$. Структура (2.15) является абстрактным представлением глобальной натуральной формы, а поля $\text{G}$, $\mu$ и $\nabla$ зависят от физической природы отсутствия глобального натурального состояния тела в евклидовом физическом пространстве.

12°. Обобщенные деформации. При переходе от формы (2.6) к материальному многообразию $\mathfrak{B}$ каждая деформация $\chi \in \text{Deform}\left(\mathcal{B};\mathcal{S}\right)$ становится отображением $\varkappa :\mathfrak{B}\to \mathcal{S}$. Хотя с теоретико-множественной точки зрения отображения $\chi$ и $\varkappa$ неотличимы друг от друга как отображения между одними и теми же многообразиями, с геометрической точки зрения это — совершенно разные отображения. Действительно, деформация $\chi$ переводит точку одного геометрического пространства в точку другого геометрического пространства, в то время как отображение $\varkappa$переводит точку многообразия в точку геометрического пространства. Назовем отображение $\varkappa$конфигурацией [76].

Замечание 4. Как правило, в статьях [16; 32; 76] и монографиях [35; 81] по геометрической механике континуума под конфигурацией понимается вложение $\varkappa :\mathfrak{B}\to \mathcal{E}$ материального многообразия в физическое пространство. Определение, принятое в настоящей работе, не противоречит стандартному определению конфигурации, поскольку область прибытия отображения $\varkappa :\mathfrak{B}\to \mathcal{S}$(которая совпадает с множеством значений $\mathcal{S}$) всегда можно расширить до всего физического пространства, не изменяя функционального закона^[6]. Обратно область прибытия отображения $\varkappa :\mathfrak{B}\to \mathcal{E}$ можно сузить до множества значений $\mathcal{S}$и получить конфигурацию в новом смысле.

Удобство определения конфигурации как отображения $\varkappa :\mathfrak{B}\to \mathcal{S}$ заключается в 1) преемственности конфигурации из деформации и 2) возможности непосредственно определить обратное отображение $\stackrel{-1}{\varkappa }:\mathcal{S}\to \mathfrak{B}$.

Если через $\text{Conf}\left(\mathfrak{B};\mathcal{S}\right)$ обозначить множество всех конфигураций из материального многообразия $\mathfrak{B}$в форму $\mathcal{S}$, то по построению для него справедливы следующие свойства:

а) каждая конфигурация $\varkappa \in \text{Conf}\left(\mathfrak{B};\mathcal{S}\right)$ является инъективным отображением, образ которого $\mathcal{S}$— форма в $\mathcal{E}$,

б) композиция двух конфигураций является деформацией, т. е. если ${\varkappa }_1\in \text{Conf}\left(\mathfrak{B};{\mathcal{S}}_1\right)$ и ${\varkappa }_2\in \text{Conf}\left(\mathfrak{B};{\mathcal{S}}_2\right)$ — конфигурации, то справедливо включение ${\varkappa }_2\circ {\stackrel{-1}{\varkappa }}_1\in \text{Deform}\left({\mathcal{S}}_1;{\mathcal{S}}_2\right)$,

в) если $\varkappa \in \text{Conf}\left(\mathfrak{B};{\mathcal{S}}_1\right)$ — конфигурация, а $\gamma \in \text{Deform}\left({\mathcal{S}}_1;{\mathcal{S}}_2\right)$ — деформация, то $\gamma \circ \varkappa \in \text{Conf}\left(\mathfrak{B}\text{\hspace{0.17em}; }{\mathcal{S}}_2\right)$.

Замечание 5. В отличие от подхода, принятого в настоящем исследовании, Нолл определяет материальное многообразие как отдельную структуру, вложения которой в физическое пространство удовлетворяют аксиомам, подобным свойствам а)–в) [76]. В таком случае удается предусмотреть возможные топологические особенности материального многообразия, не проверяя их на формах. Вместе с тем тело по-прежнему топологически эквивалентно формам, поэтому подход, используемый в работе, эквивалентен подходу Нолла, отличаясь лишь способом описания.

Переход от материального многообразия к структуре (2.15) неевклидовой отсчетной формы сопровождается переходом от каждой конфигурации $\varkappa :\mathfrak{B}\to \mathcal{S}$ к отображению $\lambda :S_R\to \mathcal{S}$. Последнее характеризует преобразование неевклидовой отсчетной формы в евклидову актуальную форму и потому в настоящей работе предлагается называть его обобщенной деформацией. С точки зрения теории множеств отображение $\lambda$совершенно неотличимо от исходной деформации $\chi$, однако, при рассмотрении их как отображений между структурами приходим к совершенно различным геометрическим соответствиям. Связь между деформацией $\chi$, конфигурацией $\varkappa$и обобщенной деформацией $\lambda$иллюстрируется на рис. 2.

Рис. 2.2. Деформация, конфигурация и обобщенная деформация

Fig. 2.2. Deformation, configuration, and generalized deformation

Вертикальные стрелки слева обозначают, соответственно, процессы стирания евклидовой геометрии и синтезирования неевклидовой геометрии. Вместе с тем справа во всех случаях остается одна и та же актуальная форма $\mathcal{S}$. В ходе стирания геометрии деформация $\chi$ переходит в конфигурацию $\varkappa$, а в ходе синтезирования геометрии последняя переходит в обобщенную деформацию $\lambda$.

3. Синтезирование неевклидовой отсчетной формы для простого материала

3.1. Первый градиент деформации

13°. Метод синтезирования неевклидовой формы. Идея неевклидовой отсчетной формы, изложенная в общих чертах в разд. 2.2, реализована в настоящей статье для простого материала, а в [72] — для сред второго градиента и континуумов с микроструктурой. Несмотря на различное описание кинематики рассмотренных сред, метод синтезирования неевклидовой формы предложен один и тот же: 1) по семейству деформаций определяются кинематические поля — локальные деформации, характеризующие локальный переход в натуральное состояние, 2) для локальных деформаций формулируются условия совместности и 3) условия совместности интерпретируются в дифференциально-геометрических терминах. В рамках полученной интерпретации материальное многообразие наделяется соответствующей аффинной связностью, что завершает синтезирование неевклидовой формы.

14°. Линейное приближение деформации. Несмотря на то что случай простого материала является классическим и разобран в многочисленных работах по геометрической механике континуума [16; 32; 35; 76], он является простейшим примером, на котором можно продемонстрировать основную методику настоящего исследования. Помимо этого способ построения неевклидовой отсчетной формы для тел с расширенной кинематикой использует — наряду со специфическими кинематическими полями, поле локальных деформаций, которое вводится уже для простого материала. В этой связи уместно начать изложение именно с последнего случая.

Предположим, что задана функция

${\mathcal{S}}_R\times \text{End}\left(\mathcal{V}\right)\ni \left(X\mathrm{,}\text{\hspace{0.17em}F}\right)\mapsto {\widehat{W}}_1\left(X\mathrm{,}\text{\hspace{0.17em}F}\right)\in ℝ\mathrm{,}$ (3.1)

которая с физической точки зрения является упругим потенциалом, определенным относительно формы ${\mathcal{S}}_R$. Если $\gamma \in \text{Deform}\left({\mathcal{S}}_R;\mathcal{S}\right)$ — произвольная деформация, то в соответствии с принципом локализации первого порядка [74] отклик тела в точке $X\in {\mathcal{S}}_R$ — плотность упругой энергии — определяется соотношением

$W={\widehat{W}}_1\left(X\mathrm{,}\text{\hspace{0.17em}F}\left(X\right)\right)$.

Здесь $\text{F}\left(X\right)\in \text{End}\left(\mathcal{V}\right)$, — градиент деформации, т. е. линейное отображение, для которого выполнена формула Тейлора первого порядка:

$\gamma \left(X+\text{h}\right)=\gamma \left(X\right)+\text{F}\left(X\right)\left[\text{h}\right]+\text{o}\left(\parallel \text{h}\parallel \right)\text{,}$ (3.2)

где $\text{h}\in \mathcal{V}$ — вектор приращения, удовлетворяющий условию $X+\text{h}\in {\mathcal{S}}_R$. Из формулы (3.2) вытекает единственность градиента деформации. Действительно, если $\text{v}\in \mathcal{V}$, то

$\text{F}\left(X\right)\left[\text{v}\right]\text{=}\underset{s\to \infty }{\lim }\frac{\text{vec}\left(\gamma \left(X\right),\gamma \left(X+s\text{v}\right)\right)}{s}\mathrm{,}$

т. е. значение градиента деформации совпадает с производной по направлению. Кроме того, в соответствии с теоремой о производной обратного отображения [83] линейный оператор $\text{F}\left(X\right)$ обратим в каждой точке $X\in {\mathcal{S}}_R$ и обратный оператор $\stackrel{-1}{\text{F}\left(X\right)}$ является градиентом для обратной деформации $\stackrel{-1}{\gamma }$ в точке $x=\gamma \left(X\right)$. Последнее свойство градиента деформации интенсивно используется в настоящем исследовании.

15°. Представления градиента деформации. Разным координатным представлениям деформации соответствуют различные представления ее градиента. В случае, когда деформация представлена в прямоугольных координатах отображением (2.10), градиент $\text{F}\left(X\right)$ имеет диадное разложение

$\text{F}\left(X\right){\left.\text{=}\frac{\partial x^i}{\partial X^I}\right|}_{\text{Coor}\left(X\right)}{\text{c}}_i\otimes c^I\mathrm{.}$ (3.3)

Если с отсчетной формой ${\mathcal{S}}_R$ассоциированы криволинейные координаты ${\left(Q^I\right)}_{I=1}^3$, а с актуальной формой связаны криволинейные координаты ${\left(q^i\right)}_{i=1}^3$, так что деформация в паре этих координатных систем имеет представление (2.14), то градиент деформации может быть записан в виде

$\text{F}\left(X\right){\left.\text{=}\frac{\partial q^i}{\partial Q^I}\right|}_{{\sigma }_R\left(X\right)}{\overline{){\text{e}}_i}}_{\gamma \left(X\right)}\otimes {\overline{)E^I}}_X\mathrm{.}$ (3.4)

Здесь ${\left({\text{e}}_i\right)}_{i=1}^3$ — поле локальных базисов, порожденное координатами ${\left(q^i\right)}_{i=1}^3$, а ${\left(E^I\right)}_{I=1}^3$ — поле дуальных базисов, отвечающее полю локальных базисов ${\left({\text{E}}_I\right)}_{I=1}^3$, соответствующему координатам ${\left(Q^I\right)}_{I=1}^3$.

Замечание 6. Каждая из систем криволинейных координат ${\left(Q^I\right)}_{I=1}^3$ и ${\left(q^i\right)}_{i=1}^3$ определяет соответствующее представление поля радиус-векторов $\text{p}$:

${\tilde{\text{p}}}_R:=\text{p}\circ {\sigma }_R^{-1}:O_R\to \mathcal{V}\mathrm{,}{\tilde{\text{p}}}_R\left(Q^1\mathrm{,}{Q}^2\mathrm{,}{Q}^3\right)\text{=}{X}^I\left(Q^1\mathrm{,}{Q}^2\mathrm{,}{Q}^3\right){\text{c}}_I\mathrm{,}$

$\widetilde{\text{p:= }}\text{p}\circ {\sigma }^{-1}:O\to \mathcal{V}\mathrm{,}\tilde{\text{p}}\left(q^1\mathrm{,}{q}^2\mathrm{,}{q}^3\right)\text{=}{x}^i\left(q^1\mathrm{,}{q}^2\mathrm{,}{q}^3\right){\text{c}}_i\mathrm{,}$

где $O_R\mathrm{,}O\subset {ℝ}^3$ — открытые множества, а ${\sigma }_R:{\mathcal{S}}_R\to O_R$ и $\sigma :\mathcal{S}\to O$ — координатные отображения (2.13). Полям ${\tilde{\text{p}}}_R$и $\tilde{\text{p}}$, согласно свойствам (2.12), отвечают поля локальных базисов ${\left({\text{E}}_I\right)}_{I=1}^3$ и ${\left({\text{e}}_i\right)}_{i=1}^3$, заданные равенствами

${\text{E}}_I\text{=}\frac{\partial {\tilde{\text{p}}}_R}{\partial Q^I}\text{=}\frac{\partial X^J}{\partial Q^I}{\text{c}}_J{\text{\hspace{1em}и\hspace{1em}e}}_i\text{=}\frac{\partial \tilde{\text{p}}}{\partial q^i}\text{=}\frac{\partial x^j}{\partial q^i}{\text{c}}_j\mathrm{.}$

Наконец, поля дуальных базисов ${\left(E^I\right)}_{I=1}^3$ и ${\left(e^i\right)}_{i=1}^3$ определяются поточечно на основе соотношений

$⟨E^I\mathrm{,}{\text{\hspace{0.17em}E}}_J⟩={\delta }_J^I\mathrm{,}I\mathrm{,}J=1,\mathrm{2,}3$$и\hspace{1em}⟨e^i\mathrm{,}{\text{\hspace{0.17em}e}}_j⟩\text{=}{\delta }_j^i\mathrm{,}i\mathrm{,}j=1,\mathrm{2,}3.$

В явном виде

$E^I=\frac{\partial Q^I}{\partial X^J}{c}^J\text{\hspace{1em}и\hspace{1em}}{e}^i=\frac{\partial q^i}{\partial x^j}{c}^j\mathrm{.}$

Несмотря на то что разложения (3.3) и (3.4) отвечают общему представлению производного отображения и используют, в действительности, лишь аффинно-топологическую структуру объемлющего пространства (2.3), в дальнейших рассуждениях удобно перейти на стандартный формализм евклидовых тензоров, излагаемый в руководствах по механике континуума [1]. Для этого, используя соответствие между векторами и ковекторами по изоморфизму, порожденному метрикой (2.4) [70], заменим в разложениях дуальные ковекторные базисы на дуальные векторные базисы^[7]:

$\text{F}\left(X\right){\left.\text{=}\frac{\partial x^i}{\partial X^I}\right|}_{\text{Coor}\left(X\right)}{\text{c}}_i\otimes$${\text{c}}^I{\left.\text{=}\frac{\partial q^i}{\partial Q^I}\right|}_{{\sigma }_R\left(X\right)}{\overline{){\text{e}}_i}}_{\gamma \left(X\right)}\otimes {\overline{){\text{E}}^I}}_X\mathrm{.}$ (3.5)

Здесь ${\left({\text{c}}^I\right)}_{I=1}^3$ и ${\left({\text{E}}^I\right)}_{I=1}^3$ — дуальные базисы, определенные системами равенств

${\text{c}}^I\text{}\cdot {\text{c}}_J\text{=}{\delta }_J^I{\text{\hspace{1em}и\hspace{1em}E}}^I\text{}\cdot {\text{E}}_J\text{=}{\delta }_J^I\mathrm{,}I\mathrm{,}J\text{\hspace{0.17em}=1,}\mathrm{2,}3.$

Разложения такого вида используются в дальнейшем.

3.2. Семейство форм и условие совместности

16°. Гипотеза локальной разгрузки. Определение натурального состояния является деликатной проблемой и требует уточнения, по меньшей мере, следующих положений: 1) понятие тестового образца, 2) подготовка тестового образца к определенному начальному состоянию, 3) определяющее соотношение для тестового образца и 4) аналитическое описание натурального состояния. Рассмотрение этих положений требует привлечения тонких термодинамических рассуждений и потому выходит за рамки настоящей работы. Для того чтобы ограничиться аналитическим описанием в смысле классического анализа, предположим, что a priori задан тензор второго ранга ${\text{N}}_1\in \text{End}\left(\mathcal{V}\right)$, который ассоциируется с откликом тестового образца в натуральном состоянии.

Для формализации идеи локального перехода к натуральному состоянию в работе предлагается следующая гипотеза локальной разгрузки [84]. Предположим, что задана некоторая промежуточная форма ${\mathcal{S}}_R$ вместе с упругим потенциалом (1), и предположим, что каждой точке $X\in {\mathcal{S}}_R$ этой формы соответствует деформация ${\gamma }^{\left(X\right)}:{\mathcal{S}}_R\to {\mathcal{S}}^{\left(X\right)}$ в некоторую форму , такая, что

${\left.\frac{\partial {\widehat{W}}_1\left(X\mathrm{,}\text{\hspace{0.17em}F}\right)}{\partial \text{F}}\right|}_{{\text{F=F}}^{\left(X\right)}\left(X\right)}={\text{N}}_1\mathrm{,}$ (3.6)

где ${\text{F}}^{\left(X\right)}\text{=}D{\gamma }^{\left(X\right)}$ — градиент ${\gamma }^{\left(X\right)}$. Таким образом, приходим к семейству ${\left\{{\gamma }^{\left(X\right)}\right\}}_{X\in {\mathcal{S}}_R}$ деформаций и соответствующему семейству ${\left\{{\mathcal{S}}^{\left(X\right)}\right\}}_{X\in {\mathcal{S}}_R}$ форм.

17°. Синтезирование локальных деформаций. Для каждой деформации ${\gamma }^{\left(X\right)}$ в произвольной точке $Y\in {\mathcal{S}}_R$ ее градиент ${\text{F}}^{\left(X\right)}\left(Y\right)\in \text{End}\left(\mathcal{V}\right)$ имеет следующие разложения в соответствии с (3.5):

${\text{F}}^{\left(X\right)}\left(Y\right)\text{=}{\left.\left[\widetilde{{\text{F}}^{\left(X\right)}}\right]{\text{\hspace{1em}}}_I^i\right|}_Y{\text{c}}_i\otimes {\text{c}}^I\text{=}$${\left.{\left[{\text{F}}^{\left(X\right)}\right]}_I^i\right|}_Y{\overline{){\text{e}}_i}}_{{\gamma }^{\left(X\right)}\left(Y\right)}\otimes {\overline{){\text{E}}^I}}_Y\mathrm{.}$ (3.7)

Синтезируем теперь по семейству ${\left\{{\text{F}}^{\left(X\right)}\right\}}_{X\in {\mathcal{S}}_R}$ градиентов деформации ${\text{F}}^{\left(X\right)}\text{:\hspace{0.17em}}{\mathcal{S}}_R\to \text{End}\left(\mathcal{V}\right)$ новое поле $\text{H:\hspace{0.17em}}{\mathcal{S}}_R\to \text{End}\left(\mathcal{V}\right)$, значение которого в каждой точке $X\in {\mathcal{S}}_R$определяется равенством

$\text{H}\left(X\right)\text{:=}{\left.{\text{F}}^{\left(X\right)}\left(Y\right)\right|}_{Y=X}\mathrm{.}$ (3.8)

Тогда разложения (7) переходят в разложения

$\text{H}\left(X\right)\text{=}{\left.\tilde{H}{\text{\hspace{1em}}}_I^i\right|}_{\text{Coor}\left(X\right)}{\text{c}}_i\otimes {\text{c}}^I{\left.=H_I^i\right|}_{{\sigma }_R\left(X\right)}{\overline{){\text{e}}_i}}_{{\gamma }^{\left(X\right)}\left(X\right)}\otimes {\overline{){\text{E}}^I}}_X\mathrm{,}$ (3.9)

где компоненты синтезированы по компонентам исходных тензоров:

${\left.\tilde{H}{\text{\hspace{1em}}}_I^i\right|}_{\text{Coor}\left(X\right)}={\left.\left[\widetilde{{\text{F}}^{\left(X\right)}}\right]{\text{\hspace{1em}}}_I^i\right|}_X$$и\hspace{1em}{\left.H_I^i\right|}_{{\sigma }_R\left(X\right)}\text{=}{\left.{{\text{F}}^{\left(X\right)}}_I^i\right|}_X\mathrm{.}$

Назовем тензор (3.8) локальной деформацией в точке $X$, а поле $\text{H}$, соответственно, полем локальных деформаций. Предположим далее, что это поле является гладким. По построению, в соответствии с равенством (3.6), для значений поля $\text{H}$ выполнено следующее соотношение:

$\forall X\in {\mathcal{S}}_R:{\left.\frac{\partial {\widehat{W}}_1\left(X\mathrm{,}\text{\hspace{0.17em}F}\right)}{\partial \text{F}}\right|}_{\text{F=H}\left(X\right)}{\text{=N}}_1\mathrm{.}$ (3.10)

Несмотря на то что второе разложение в (3.9) является наиболее общим, оно обладает следующим недостатком. Поле базисов $X\mapsto {\left({\overline{){\text{e}}_i}}_{{\gamma }^{\left(X\right)}\left(X\right)}\right)}_{i=1}^3$ может не порождаться одной координатной системой, т. е. это поле в общем случае неголономно. Для упрощения дальнейших рассуждений будем в качестве криволинейных координат ${\left(q^i\right)}_{i=1}^3$ выбирать прямоугольные координаты ${\left(x^i\right)}_{i=1}^3$. Тогда придем к разложению

$\text{H}\left(X\right){\left.=H_I^i\right|}_{{\sigma }_R\left(X\right)}{\text{c}}_i\otimes {\overline{){\text{E}}^I}}_X\mathrm{,}$ (3.11)

для локальной деформации и разложению

$\stackrel{-1}{\text{H}\left(X\right)\text{=}}{\left.{\stackrel{-1}{\left[\text{H}\right]}}_i^I\right|}_{{\sigma }_R\left(X\right)}{\overline{){\text{E}}_I}}_X\otimes {\text{c}}^i$ (3.12)

для обратного к ней отображения^[8]. Здесь

$H_J^i{\stackrel{-1}{\left[\text{H}\right]}}_j^J={\delta }_j^i\text{\hspace{1em}и\hspace{1em}}{\stackrel{-1}{\left[\text{H}\right]}}_i^I{H}_J^i={\delta }_J^I\mathrm{.}$ (3.13)

Следуя терминологии, предложенной в монографии [35], назовем тензор $\text{P}\left(X\right):=\stackrel{-1}{\text{H}\left(X\right)}$  имплантом.

Замечание 7. Столь детальное построение поля $\text{H}$ может показаться излишним. Вместе с тем, если проанализировать тот способ определения $\text{H}$, который принят в континуальной теории дефектов [32; 38; 85], то возникает следующая проблема. В теории дефектов предполагается, что форма ${\mathcal{S}}_R$самонапряженного кристалла состоит из инфинитезимальных объемов, соединенных упругими связями. При разрыве этих связей объемы, предоставленные самим себе, переходят в натуральное состояние. Таким образом, натуральное состояние кристалла представлено континуальной совокупностью разгруженных инфинитезимальных объемов, в то время как локальная деформация переводит инфинитезимальный объем, находящийся в составе формы ${\mathcal{S}}_R$, в тот же объем, но в натуральном состоянии. Но определение инфинитезимального объема и тем более совокупности таких объемов в рамках континуального приближения требует деликатных рассуждений [45]. Именно по этой причине в работе предложен иной подход, использующий лишь определенные выше понятия формы и деформации. В таком случае совокупности инфинитезимальных объемов отвечает континуальная совокупность локально натуральных форм ${\mathcal{S}}^{\left(X\right)}$, а поле $\text{H}$ синтезируется по соответствующим деформациям.

18°. Восстановление семейства деформаций. Рассмотрим теперь обратную задачу: предположим, что задано гладкое поле $\text{H:\hspace{0.17em}}{\mathcal{S}}_R\to \text{End}\left(\mathcal{V}\right)$ обратимых линейных преобразований, имеющее разложение (3.11) и удовлетворяющее свойству (3.10). Восстановим по нему семейство деформаций ${\left\{{\gamma }^{\left(X\right)}\right\}}_{X\in {\mathcal{S}}_R}$, которое бы его синтезировало.

С этой целью для фиксированной точки $X\in {\mathcal{S}}_R$ определим отображение ${\gamma }^{\left(X\right)}:{\mathcal{S}}_R\to {\mathcal{S}}^{\left(X\right)}$, которое в паре координатных систем ${\left(Q^I\right)}_{I=1}^3$ и ${\left(x^i\right)}_{i=1}^3$ имеет представление

$x^i\left(Q^1\mathrm{,}{Q}^2\mathrm{,}{Q}^3\right):=b_X^i+{\left.H_I^i\right|}_{{\sigma }_R\left(X\right)}{Q}^I\mathrm{,}i=1,\mathrm{2,}\mathrm{3,}$ (3.14)

где ${\left(b_X^i\right)}_{i=1}^3$ — фиксированная тройка чисел, своя, для каждого выбора $X$, а ${\left(Q^I\right)}_{I=1}^3$ — криволинейные координаты переменной точки $Y\in {\mathcal{S}}_R$. Тогда из линейности представления (3.14) вытекает гладкость отображения ${\gamma }^{\left(X\right)}$, а из обратимости матрицы $\left[{\left.H_I^i\right|}_{{\sigma }_R\left(X\right)}\right]$ — его обратимость. Следовательно, ${\gamma }^{\left(X\right)}$ — деформация. Помимо этого

${\left.\frac{\partial x^i}{\partial Q^I}\right|}_{{\sigma }_R\left(Y\right)}{\left.=H_I^i\right|}_{{\sigma }_R\left(X\right)}\mathrm{,}$

что, в частности, дает ${\text{F}}^{\left(X\right)}\left(X\right)\text{=H}\left(X\right)$. Это означает, что деформация ${\gamma }^{\left(X\right)}$ является искомой. Воспроизведя проделанную процедуру для всех точек $X\in {\mathcal{S}}_R$, приходим к семейству деформаций ${\left\{{\gamma }^{\left(X\right)}\right\}}_{X\in {\mathcal{S}}_R}$, синтезирующему $\text{H}$.

Имея в виду полученный результат, каждое гладкое тензорное поле $\text{H:\hspace{0.17em}}{\mathcal{S}}_R\to \text{End}\left(\mathcal{V}\right)$, удовлетворяющее свойству (3.10), можно рассматривать как поле локальных деформаций. При необходимости семейство деформаций ${\left\{{\gamma }^{\left(X\right)}\right\}}_{X\in {\mathcal{S}}_R}$ можно восстановить за счет представленной выше процедуры.

19°. Совместность локальных деформаций. Существование глобальной натуральной формы ${\mathcal{S}}_0$эквивалентно следующему свойству гладкого тензорного поля обратимых линейных преобразований $\text{H}$, удовлетворяющего соотношению (3.10). Назовем поле $\text{H}$ совместным, если существуют форма ${\mathcal{S}}_0$ и деформация ${\gamma }_0\in \text{Deform}\left({\mathcal{S}}_R;{\mathcal{S}}_0\right)$ такая, что $D{\gamma }_0=\text{H}$, т. е. $\text{H}\left(X\right)$ совпадает в каждой точке $X\in {\mathcal{S}}_R$ с градиентом деформации ${\text{F}}_0\left(X\right)$. В противном случае назовем поле $\text{H}$ несовместным.

В случае совместности поля $\text{H}$ соотношение (3.10) дает, что

$\forall X\in {\mathcal{S}}_R:{\left.\frac{\partial {\widehat{W}}_1\left(X\mathrm{,}\text{\hspace{0.17em}F}\right)}{\partial \text{F}}\right|}_{\text{F=}{D}_X{\gamma }_0}{\text{=N}}_1\mathrm{,}$

и форму ${\mathcal{S}}_0$действительно можно интерпретировать как глобальную натуральную. Таким образом, отсутствие у тела глобального натурального состояния эквивалентно несовместности поля локальных деформаций.

В рамках классической теории потенциала [73] для совместности поля $\text{H}$ необходимо (а в случае односвязности ${\mathcal{S}}_R$ и достаточно) выполнение равенства

$\text{curl\hspace{0.05em}}H\text{=0}\mathrm{,}$ (3.15)

которое, с учетом разложения (3.11), равносильно следующей системе координатных соотношений:

${\partial }_J{H}_K^i-{\partial }_K{H}_J^i=0,i\mathrm{,}J\mathrm{,}K=1,\mathrm{2,}3.$ (3.16)

Здесь и далее символ ${\partial }_I$ является сокращенным обозначением для оператора частной производной $\frac{\partial }{\partial Q^I}$. Следуя Кренеру [38], возьмем равенства (3.16) в качестве основы для синтезирования геометрии на материальном многообразии.

3.3. Геометрическая интерпретация условия совместности

20°. Поле $\mathrm{\Gamma }$. С целью получить геометрическую интерпретацию условия совместности поля локальных деформаций $\text{H}$представим соотношения (3.16) в эквивалентном виде. Свертка их левой части с компонентами поля $\stackrel{-1}{\text{H}}$, определенного равенствами (3.12), приводит к следующей совокупности соотношений:

${\stackrel{-1}{\left[\text{H}\right]}}_i^I{\partial }_J{H}_K^i-{\stackrel{-1}{\left[\text{H}\right]}}_i^I{\partial }_K{H}_J^i=0I\mathrm{,}J\mathrm{,}K=1,\mathrm{2,}3.$ (3.17)

Введем обозначение

${\Gamma }_{JK}^I:={\stackrel{-1}{\left[\text{H}\right]}}_i^I{\partial }_J{H}_K^i\mathrm{,}$ (3.18)

тогда формула (3.17) примет компактный вид

${\Gamma }_{JK}^I-{\Gamma }_{KJ}^I=0I\mathrm{,}J\mathrm{,}K=1,\mathrm{2,}3.$ (3.19)

Рассмотрим набор скалярных полей $\Gamma =\left[{\Gamma }_{JK}^I\right]$ более детально.

21°. Свойства поля $\mathrm{\Gamma }$. Для скалярных полей ${\Gamma }_{JK}^I$, определенных равенствами (3.18), справедливо следующее утверждение:

Предложение 1. Скалярные функции ${\Gamma }_{JK}^I$ являются коэффициентами некоторой аффинной связности на многообразии ${\mathfrak{S}}_R$, над которым определена форма (2.8).

Доказательство предложения 1 предварим следующими вспомогательными рассуждениями. При переходе от формы ${\mathcal{S}}_R$к многообразию ${\mathfrak{S}}_R$ криволинейные координаты ${\left(Q^I\right)}_{I=1}^3$, ассоциированные с этой формой, становятся координатами на этом многообразии, порожденными картой $\left(S_R\mathrm{,}{\sigma }_R\right)$. Обратно любые локальные координаты на многообразии ${\mathfrak{S}}_R$ можно рассматривать как криволинейные координаты на $\mathcal{E}$ с учетом естественного вложения^[9] ${\iota }_{S_R}:S_R\rightarrowtail \mathcal{E}$. Кроме того, используя то же самое вложение, поля, заданные на многообразии ${\mathfrak{S}}_R$, можно рассматривать как поля на форме ${\mathcal{S}}_R$, и обратно поля, заданные на форме ${\mathcal{S}}_R$, можно рассматривать как поля на многообразии ${\mathfrak{S}}_R$. Далее подобные переходы между структурами ${\mathfrak{S}}_R$ и ${\mathcal{S}}_R$ для координат и полей в работе явно не оговариваются.

Поскольку компоненты поля локальных деформаций $\text{H}$ отнесены к паре координат ${\left(Q^I\right)}_{I=1}^3$ и ${\left(x^i\right)}_{i=1}^3$, они подчиняются более сложному закону преобразования, чем компоненты тензора второго ранга. Вместе с тем, предполагая прямоугольные координаты ${\left(x^i\right)}_{i=1}^3$ фиксированными, можно по-прежнему иметь дело со стандартным законом преобразования компонент тензора второго ранга. Действительно, предположим, что заданы локальные координаты ${\left(Q^I\right)}_{I=1}^3$ и ${\left({\tilde{Q}}^I\right)}_{I=1}^3$ на многообразии ${\mathfrak{S}}_R$, районы действия которых имеют непустое пересечение.

Цепное правило дифференцирования, примененное к компонентам градиента деформации ${\text{F}}^{\left(X\right)}$ в точке $Y\in {\mathcal{S}}_R$, влечет равенство

${\overline{)\widetilde{\left[{\text{F}}^{\left(X\right)}\right]}{\text{\hspace{1em}}}_J^i}}_Y=$${\left.\frac{\partial Q^K}{\partial {\tilde{Q}}^J}\right|}_{{\tilde{\sigma }}_R\left(Y\right)}{\overline{){\left[{\text{F}}^{\left(X\right)}\right]}_K^i}}_Y\mathrm{.}$ (3.20)

Здесь и в дальнейшем компоненты полей, отвечающие координатам ${\left({\tilde{Q}}^I\right)}_{I=1}^3$, обозначаются тильдой сверху. В полученном соотношении предполагается, что прямоугольные координаты ${\left(x^i\right)}_{i=1}^3$ фиксированы. Полагая затем в формуле (3.20) $Y=X$, приходим к искомому закону преобразования компонент локальной деформации:

${\overline{){\tilde{H}}_J^i}}_{{\tilde{\sigma }}_R\left(X\right)}={\left.\frac{\partial Q^K}{\partial {\tilde{Q}}^J}\right|}_{{\tilde{\sigma }}_R\left(X\right)}{\overline{)H_K^i}}_{{\sigma }_R\left(X\right)}\mathrm{.}$ (3.21)

Замечание 8. Формула (3.21) позволяет установить эквивалентность соотношений (3.15) и (3.16), не привлекая общее представление ротора в криволинейных координатах. Действительно, в прямоугольных координатах ${\left(X^I\right)}_{I=1}^3$ равенство (3.15) равносильно совокупности равенств $A_{JK}^i=0$, где

$A_{JK}^i=\frac{\partial {\tilde{H}}_K^i}{\partial X^J}-\frac{\partial {\tilde{H}}_J^i}{\partial X^K}\mathrm{,}$

что вытекает из частного представления ротора в прямоугольных координатах [1]. С другой стороны, в силу формулы (3.21), приходим к равенствам

${\tilde{H}}_K^i=H_M^i\frac{\partial Q^M}{\partial X^K}$$и\hspace{1em}{\tilde{H}}_J^i\text{=}{H}_L^i\frac{\partial Q^L}{\partial X^J}\mathrm{,}$

дифференцирование которых дает, соответственно,

$\frac{\partial {\tilde{H}}_K^i}{\partial X^J}=H_M^i\frac{{\partial }^2{Q}^M}{\partial X^J\partial X^K}+\frac{\partial Q^M}{\partial X^K}\frac{\partial H_M^i}{\partial X^J}=H_M^i\frac{{\partial }^2{Q}^M}{\partial X^J\partial X^K}+\frac{\partial Q^M}{\partial X^K}\frac{\partial Q^L}{\partial X^J}\frac{\partial H_M^i}{\partial X^L}$

и

$\frac{\partial {\tilde{H}}_J^i}{\partial X^K}=H_M^i\frac{{\partial }^2{Q}^M}{\partial X^K\partial X^J}+\frac{\partial Q^M}{\partial X^J}\frac{\partial H_M^i}{\partial X^K}=H_M^i\frac{{\partial }^2{Q}^M}{\partial X^K\partial X^J}+\frac{\partial Q^M}{\partial X^J}\frac{\partial Q^L}{\partial X^K}\frac{\partial H_M^i}{\partial X^L}\mathrm{.}$

Используя свойство перестановочности повторных производных и заменяя соответствующим образом индексы, приходим к соотношению

$A_{JK}^i=\frac{\partial Q^L}{\partial X^J}\frac{\partial Q^M}{\partial X^K}\left(\frac{\partial H_M^i}{\partial X^L}-\frac{\partial H_L^i}{\partial X^M}\right)\mathrm{.}$

Этим доказана равносильность (3.15) и (3.16).

Доказательство предложения 1. Согласно общей теории аффинных связностей [86], достаточно показать, что поля ${\tilde{\Gamma }}_{JK}^I$, отвечающие координатам ${\left({\tilde{Q}}^I\right)}_{I=1}^3$, связаны с полями ${\Gamma }_{JK}^I$, соответствующими координатам ${\left(Q^I\right)}_{I=1}^3$, следующим законом преобразования:

${\tilde{\Gamma }}_{JK}^I={\Gamma }_{SM}^L\frac{\partial {\tilde{Q}}^I}{\partial Q^L}\frac{\partial Q^S}{\partial {\tilde{Q}}^J}\frac{\partial Q^M}{\partial {\tilde{Q}}^K}+\frac{\partial {\tilde{Q}}^I}{\partial Q^L}\frac{{\partial }^2{Q}^L}{\partial {\tilde{Q}}^J\partial {\tilde{Q}}^K}\mathrm{.}$ (3.22)

Для этого, используя определение (3.18) полей ${\Gamma }_{JK}^I$ и закон преобразования (3.21), проделаем следующие выкладки:

${\tilde{\Gamma }}_{JK}^I=\widetilde{\stackrel{-1}{\left[\text{H}\right]}}{\text{\hspace{1em}}}_i^I{\partial }_J{\tilde{H}}_K^i=$

$=\frac{\partial {\tilde{Q}}^I}{\partial Q^L}{\stackrel{-1}{\left[\text{H}\right]}}_i^L\frac{\partial }{\partial {\tilde{Q}}^J}\left(\frac{\partial Q^M}{\partial {\tilde{Q}}^K}{H}_M^i\right)=$

$=\frac{\partial {\tilde{Q}}^I}{\partial Q^L}{\stackrel{-1}{\left[\text{H}\right]}}_i^L\frac{\partial Q^S}{\partial {\tilde{Q}}^J}\frac{\partial H_M^i}{\partial Q^S}$$\frac{\partial Q^M}{\partial {\tilde{Q}}^K}+\frac{\partial {\tilde{Q}}^I}{\partial Q^L}{\stackrel{-1}{\left[\text{H}\right]}}_i^L{H}_M^i\frac{{\partial }^2{Q}^M}{\partial {\tilde{Q}}^J\partial {\tilde{Q}}^K}\mathrm{.}$

Применяя снова определение (3.18), а также вторую из формул (3.13), приходим к формуле (3.22), что завершает доказательство.

В настоящей работе аффинная связность, соответствующая полям (3.18), обозначается через $\Gamma$. Ее основное свойство представлено в следующем утверждении:

Предложение 2. Кривизна связности $\Gamma$ равна нулю, т. е.

$\Re \left(\Gamma \right)=\text{0}\mathrm{.}$

Доказательство. Компоненты кривизны в координатном репере ${\left(\frac{\partial }{\partial Q^I}\right)}_{I=1}^3$ определяются по формуле:

${\Re }_{ABC}^D={\partial }_A{\Gamma }_{BC}^D-{\partial }_B{\Gamma }_{AC}^D+{\Gamma }_{BC}^E{\Gamma }_{AE}^D-{\Gamma }_{AC}^E{\Gamma }_{BE}^D\mathrm{.}$

Достаточно показать, что ${\Re }_{ABC}^D=0$. Действительно, согласно определению (3.18) и правилу дифференцирования произведения,

${\partial }_A{\Gamma }_{BC}^D={\partial }_A\left({\stackrel{-1}{\left[\text{H}\right]}}_i^D{\partial }_B{H}_C^i\right)=$${\partial }_A{\stackrel{-1}{\left[\text{H}\right]}}_i^D{\partial }_B{H}_C^i+{\stackrel{-1}{\left[\text{H}\right]}}_i^D{\partial }_A{\partial }_B{H}_C^i\mathrm{.}$

Аналогичным образом получается выражение

${\partial }_B{\Gamma }_{AC}^D={\partial }_B{\stackrel{-1}{\left[\text{H}\right]}}_i^D{\partial }_A{H}_C^i+{\stackrel{-1}{\left[\text{H}\right]}}_i^D{\partial }_B{\partial }_A{H}_C^i\mathrm{.}$

В силу теоремы Шварца о перестановочности повторных производных [83], тогда приходим к равенству

${\partial }_A{\Gamma }_{BC}^D-{\partial }_B{\Gamma }_{AC}^D={\partial }_A{\stackrel{-1}{\left[\text{H}\right]}}_i^D{\partial }_B{H}_C^i-{\partial }_B{\stackrel{-1}{\left[\text{H}\right]}}_i^D{\partial }_A{H}_C^i\mathrm{.}$  (3.23)

Далее, используя снова формулу (3.18), приходим к следующему соотношению:

${\Gamma }_{BC}^E{\Gamma }_{AE}^D-{\Gamma }_{AC}^E{\Gamma }_{BE}^D=$${\stackrel{-1}{\left[\text{H}\right]}}_i^E{\stackrel{-1}{\left[\text{H}\right]}}_J^D\left({\partial }_B{H}_C^i{\partial }_A{H}_E^j-{\partial }_A{H}_C^i{\partial }_B{H}_E^j\right)$ (3.24)

Получим вспомогательное тождество. Для этого продифференцируем по $Q^A$ второе из тождеств (3.13), предварительно заменив $I$ на $D$ и $J$ на $E$, а индекс суммирования — на $j$:

$H_E^j{\partial }_A{\stackrel{-1}{\left[\text{H}\right]}}_j^D+{\stackrel{-1}{\left[\text{H}\right]}}_j^D{\partial }_A{H}_E^j=0$

что влечет

$H_E^j{\partial }_A{\stackrel{-1}{\left[\text{H}\right]}}_j^D=-{\stackrel{-1}{\left[\text{H}\right]}}_j^D{\partial }_A{H}_E^j\mathrm{.}$ (3.25)

Домножая обе части полученного равенства на $\stackrel{-1}{{\left[\text{H}\right]}_i^E}$ и производя суммирование по $E$, приходим, в силу первого из равенств (3.13), к соотношению

${\partial }_A\stackrel{-1}{{\left[\text{H}\right]}_j^D}=-\stackrel{-1}{{\left[\text{H}\right]}_i^E}\stackrel{-1}{{\left[\text{H}\right]}_j^D}{\partial }_A{H}_E^j\mathrm{.}$

Наконец, домножая обе части последнего равенства на ${\partial }_B{H}_C^i$ и суммируя по $i$, получаем желаемую формулу:

${\partial }_A{\stackrel{-1}{\left[\text{H}\right]}}_i^D{\partial }_B{H}_C^i=-{\stackrel{-1}{\left[\text{H}\right]}}_i^E{\stackrel{-1}{\left[\text{H}\right]}}_j^D{\partial }_B{H}_C^i{\partial }_A{H}_E^j\mathrm{.}$

Используя ее, можно преобразовать равенство (3.23) к виду:

${\partial }_A{\Gamma }_{BC}^D-{\partial }_B{\Gamma }_{AC}^D=$$-{\stackrel{-1}{\left[\text{H}\right]}}_i^E{\stackrel{-1}{\left[\text{H}\right]}}_J^D\left({\partial }_B{H}_C^i{\partial }_A{H}_E^j-{\partial }_A{H}_C^i{\partial }_B{H}_E^j\right)$

Сравнивая теперь полученное соотношение с (3.24), приходим к желаемому заключению, что ${\Re }_{ABC}^D=0$.

Из предложения 2 вытекает, что в случае, когда многообразие ${\mathfrak{S}}_R$ односвязно, аффинная связность $\Gamma$ обладает свойством абсолютного параллелизма [87]: параллельный перенос вектора из одной точки многообразия ${\mathfrak{S}}_R$в другую точку того же многообразия не зависит от выбора кривой, соединяющей эти точки.

Замечание 9. Используя формулу (3.25), полученную в доказательстве предложения 2, можно прийти к эквивалентному представлению для полей ${\Gamma }_{JK}^I$:

${\Gamma }_{JK}^I=-\stackrel{-1}{{\left[\text{P}\right]}_K^i}{\partial }_J{P}_i^I\mathrm{,}$ (3.26)

в котором частные производные компонент поля локальных деформаций заменены на частные производные компонент поля имплантов.

22°. Условие совместности в терминах кручения. Таким образом, если через $\mathfrak{T}\left(\Gamma \right)$ обозначить кручение связности $\Gamma$ [86], то условия совместности (3.19) примут окончательную форму:

$\mathfrak{T}\left(\Gamma \right)=\text{0}\mathrm{,}$ (3.27)

поскольку левая часть (3.19) есть не что иное, как представление кручения в координатном репере. Этим показано, что поле локальных деформаций $\text{H}$ совместно в том и только в том случае, когда справедливо равенство (3.27).

Замечание 10. Связность $\Gamma$, коэффициенты которой определяются по формуле (3.18), известна в литературе как связность Вайценбока [88, 32] и может быть получена иным способом, с помощью метода подвижного репера. Действительно, определим репер ${\left({\text{z}}_i\right)}_{i=1}^3$ на многообразии ${\mathfrak{S}}_R$ в соответствии с равенствами

${\text{z}}_i\text{=}{P}_i^I\frac{\partial }{\partial Q^I}\mathrm{,}i=1,\mathrm{2,}3.$

Иными словами, репер ${\left({\text{z}}_{\text{i}}\right)}_{i=1}^3$ получен действием поля (3.12) на исходный репер ${\left({\text{c}}_i\right)}_{i=1}^3$. Определим теперь связность $\Gamma$ на ${\mathfrak{S}}_R$ так, чтобы элементы нового репера были взаимно параллельны, т. е.

${\Gamma }_{{\text{z}}_i}{\text{z}}_j\text{=0}\mathrm{,}i\mathrm{,}j=1,\mathrm{2,}3.$

Тогда, как можно показать (см., например, в [34]), коэффициентами $\Gamma$ будут поля (3.18).

Несмотря на геометрическую наглядность этого способа построения связности $\Gamma$, нужно по-прежнему доказывать, что равенства (3.27) являются условиями совместности локальных деформаций. По этой причине координатный подход, изложенный в основном тексте статьи, представляется более естественным.

3.4. Неевклидова отсчетная форма

23°. Материальная метрика. Поле локальных деформаций $\text{H}$ позволяет наделить многообразие ${\mathfrak{S}}_R$ метрикой $\text{G=}{G}_{IJ}d{Q}^I\otimes d{Q}^J$ в соответствии с соотношением

${\text{G}}_X\left(\text{u}\mathrm{,}\text{\hspace{0.17em}v}\right)\text{:=}$$H\left(X\right)\left[\text{u}\right]\text{}\cdot H\left(X\right)\left[\text{v}\right]$ (3.28)

определенным в любой точке $X\in {\mathfrak{S}}_R$ и для любых векторов $\text{u}\mathrm{,}\text{\hspace{0.17em}v}\in T_X{\mathfrak{S}}_R$. В координатном репере ${\left(\frac{\partial }{\partial Q^I}\right)}_{I=1}^3$ компоненты метрики $\text{G}$ имеют вид $G_{IJ}={\delta }_{ij}{H}_I^i{H}_J^j$.

К метрике (3.28) можно прийти альтернативным путем, используя метод синтезирования поля. Действительно, для каждой точки $X\in {\mathfrak{S}}_R$ определим метрический тензор ${\text{G}}^{\left(X\right)}$ согласно равенству:

${\text{G}}_Y^{\left(X\right)}\left(\text{u}\mathrm{,}\text{\hspace{0.17em}v}\right)\text{ :=}$$F^{\left(X\right)}\left(Y\right)\left[\text{u}\right]\text{}\cdot$$F^{\left(X\right)}\left(Y\right)\left[\text{v}\right]$ (3.29)

для любой точки $Y\in {\mathfrak{S}}_R$. Фактически ${\text{G}}^{\left(X\right)}$ является переносом исходной евклидовой метрики (2.4) на многообразие ${\mathfrak{S}}_R$. Теперь определим поле $\text{G: \hspace{0.17em}}X\mapsto {\overline{){\text{G}}^{\left(X\right)}}}_X$, что, в силу (3.29), приводит к соотношению

${\text{G}}_X\left(\text{u}\mathrm{,}\text{\hspace{0.17em}v}\right)\text{ := }$$F^{\left(X\right)}\left(X\right)\left[\text{u}\right]\text{}\cdot$$F^{\left(X\right)}\left(X\right)\left[\text{v}\right]$ (3.30)

Тогда согласно определению (3.8) локальных деформаций, поле, заданное равенством (3.30), совпадает с полем, значения которого определяются формулой (3.28).

Замечание 11. С физической точки зрения поле локальных деформаций переводит инфинитезимальный объем, окружающий точку $X\in {\mathcal{S}}_R$, в натуральное состояние. По этой причине метрика $\text{G}$, определенная равенством (3.28) или (3.30), возвращает метрические образы элементов длины и угла в натуральном состоянии.

24°. Структура неевклидовой формы. Связность $\Gamma$, определенная формулой (3.18), и материальная метрика $\text{G}$, заданная формулой (3.28) или (3.30), а также форма объема $\mu =d{V}_{\text{G}}$, порожденная материальной метрикой [71], задают на многообразии ${\mathfrak{S}}_R$ структуру пространства с неевклидовой связностью:

$S_R=\left({\mathfrak{S}}_R\mathrm{,}\text{\hspace{0.17em}G}\mathrm{,}d{V}_{\text{G}}\mathrm{,}\Gamma \right)$ (3.31)

Полученное пространство является искомой неевклидовой отсчетной формой, синтезированной по семейству форм ${\left\{{\mathcal{S}}^{\left(X\right)}\right\}}_{X\in {\mathcal{S}}_R}$. Геометрическая характеристика пространства — тензор кручения $\mathfrak{T}\left(\Gamma \right)$ — служит одновременно и мерой несовместности поля локальных деформаций $\text{H}$. Таким образом, в рамках установленного соответствия между несовместными деформациями и геометрией случаю совместных деформаций отвечает пространство нулевого кручения, т. е. пространство евклидовой связности $\Gamma ={\overline{)\nabla }}_{S_R}$.

Замечание 12. Процедура установления соответствия между несовместными деформациями и геометрией, восходящая к работам Кренера [38], аналогична процедуре, предложенной Картаном для построения неевклидовой геометрии [89–91]. Действительно, Картан вывел уравнения структуры евклидова пространства, представленные соотношениями с нулевой правой частью. Вводя независимые поля — $2$-формы кручения и кривизны, Картан заменил нулевые правые части уравнений структуры на эти поля, что привело к пространствам аффинной связности нового типа. Таким образом, в рамках рассуждений Картана формы кручения и кривизны являются мерами отклонения полученной геометрии от евклидовой.

С другой стороны, условие совместности локальных деформаций имеет вид (3.27) и геометрически характеризует евклидову связность. Определяя антисимметричное тензорное поле ${\mathfrak{T}}_0\ne \text{0}$, заменим условие совместности на более общее равенство:

$\mathfrak{T}\left(\Gamma \right)={\mathfrak{T}}_0\mathrm{.}$

Тем самым совершен переход к пространству неевклидовой связности и случаю несовместных деформаций.

Замечание 13. Несмотря на то что промежуточная форма ${\mathcal{S}}_R$ (2.8) в общем случае не совпадает с отсчетной формой $\mathcal{B}$ (2.6), выполненных построений достаточно для определения геометрии на материальном многообразии $\mathfrak{B}$. Действительно, формы $\mathcal{B}$ и ${\mathcal{S}}_R$ связаны некоторой деформацией ${\chi }_R:\mathcal{B}\to {\mathcal{S}}_R$, и геометрия из ${\mathfrak{S}}_R$ может быть перенесена на $\mathfrak{B}$ посредством этого отображения.

Вместе с тем в выборе формы ${\mathcal{S}}_R$ имеется произвол, поэтому могла бы возникнуть ситуация, что геометрия на материальном многообразии зависит от этого выбора. Однако, как показано в работе [34], в действительности такой зависимости нет: две геометрии, перенесенные из различных промежуточных форм на материальное многообразие, имеют одни и те же инварианты аффинной связности.

Замечание 14. В континуальной теории дефектов неевклидово пространство (3.31) используется для формализации глобального натурального состояния кристалла с дислокациями [32; 38; 85]. В таком случае тензор кручения определяет плотность дислокаций $\alpha ={\alpha }^{AB}\frac{\partial }{\partial Q^A}\otimes \frac{\partial }{\partial Q^B}$ с компонентами [74]

${\alpha }^{AB}=-\frac{1}{2}{ϵ}^{ACD}{\mathfrak{T}}_{CD}^B\mathrm{.}$

Здесь ${ϵ}^{ABC}=\frac{e^{ABC}}{\sqrt{\det \text{G}}}$, где $\det \text{G}$ — определитель материальной метрики $G$, а $e^{ABC}$ — четность перестановки $\left(A\mathrm{,}B\mathrm{,}C\right)$. Наравне с кручением $\mathfrak{T}$, тензор плотности дислокаций $\alpha$ может служить мерой несовместности поля локальных деформаций, поскольку равенство $\mathfrak{T}=\text{0}$ эквивалентно равенству $\alpha =\text{0}$.

Замечание 15. Наряду со связностью Вайценбока $\Gamma$ можно определить связность Леви-Чивита $L$, используя материальную метрику (3.28). Коэффициенты связности определяются по классической формуле:

$L_{AB}^C=\frac{G^{CD}}{2}\left({\partial }_A{G}_{DB}+{\partial }_B{G}_{AD}-{\partial }_D{G}_{AB}\right)\mathrm{,}$ (3.32)

где $\left[G^{AB}\right]={\left[G_{AB}\right]}^{-1}$ — матрица, обратная к матрице метрических коэффициентов $G_{AB}=\text{G}\left(\frac{\partial }{\partial Q^A}\mathrm{,}\frac{\partial }{\partial Q^B}\right)$. В таком случае структура (3.31) заменяется на риманово пространство

$S_R=\left({\mathfrak{S}}_R\mathrm{,}\text{\hspace{0.17em}G}\mathrm{,}d{V}_{\text{G}}\mathrm{,}L\right)$ (3.33)

характеризующееся тензором кривизны Римана.

Замечание 16. Для моделирования состояния, вызванного непрерывным распределением точечных дефектов, в работах [33; 85; 92] предложено использовать связность Вейля $\nabla$, которая определяется согласно условиям:

а) связность $\nabla$ симметрична, то есть $\mathfrak{T}=\text{0}$,

б) ${\nabla }_{\text{u}}\text{G=}\nu \left(\text{u}\right)\text{G}$, где $\nu$ — наперед заданная 1-форма на ${\mathfrak{S}}_R$.

В частности, из условия б) следует, что тензор неметричности $\mathfrak{Q}$, определяемый равенством

$\mathfrak{Q}\left(\text{u}\mathrm{,}\text{\hspace{0.17em}v}\mathrm{,}\text{\hspace{0.17em}w}\right)\text{ := }$$G\left({\nabla }_{\text{u}}\text{v}\mathrm{,}\text{\hspace{0.17em}w}\right)+\text{G}\left(\text{v}\mathrm{,}{\nabla }_{\text{u}}\text{w}\right)-\text{u}\left[\text{G}\left(\text{v}\mathrm{,}\text{\hspace{0.17em}w}\right)\right]$ (3.34)

и характеризующий несовместность связности с заданной метрикой, равен $\mathfrak{Q}=-\nu \otimes \text{G}$.

3.5. Пример синтезирования неевклидовой формы

25°. Семейство деформаций. Для иллюстрации применения метода синтезирования неевклидовой формы рассмотрим модельный пример. Предположим, что промежуточная форма ${\mathcal{S}}_R$ является полым шаром с внутренним радиусом $R^i$, внешним радиусом $R^e$ и центром в точке $o$, т. е.

${\mathcal{S}}_R=\left\{X\in \mathcal{E}:R^i<\parallel X-o\parallel <R^e\right\}$

Используя сферическую симметрию формы ${\mathcal{S}}_R$, введем в пространстве $\mathcal{E}$ сферические координаты $\left(r\mathrm{,}\theta \mathrm{,}\phi \right)$, связанные с прямоугольными координатами $\left(x^1\mathrm{,}{x}^2\mathrm{,}{x}^3\right)$следующими формулами перехода:

$x^1=r\sin \theta \cos \phi \mathrm{,}{x}^2=r\sin \theta \sin \phi \mathrm{,}{x}^3=r\cos \theta \mathrm{,}$

где $r>0$, $\theta \in \left[0,\pi \right]$ и $\phi \in \left[0,2\pi \right]$. Координаты, отвечающие точкам формы ${\mathcal{S}}_R$, обозначим символами $\left(R\mathrm{,}\Theta \mathrm{,}\Phi \right)$.

Пусть задано семейство ${\left\{{\gamma }^{\left(\rho \right)}\right\}}_{\rho \in \left]R^i\mathrm{,}{R}^e\right[}$ деформаций ${\gamma }^{\left(\rho \right)}:{\mathcal{S}}_R\to {\mathcal{S}}^{\left(\rho \right)}$, для которого выполнены следующие условия:

а) для каждого значения $\rho \in \left]R^i\mathrm{,}{R}^e\right[$ деформация центрально-симметрична. При этом для всех точек сферы ${\mathcal{L}}_{\rho }=\left\{X\in \mathcal{E}:\parallel X-o\parallel =\rho \right\}$ справедливо свойство:

$\forall X\in {\mathcal{L}}_{\rho }:{\left.\frac{\partial {\widehat{W}}_1\left(X\mathrm{,}\text{\hspace{0.17em}F}\right)}{\partial \text{F}}\right|}_{\text{F}{D}_X{\gamma }^{\left(\rho \right)}}{\text{=N}}_1$;

б) в сферических координатах $\left(r\mathrm{,}\theta \mathrm{,}\phi \right)$ каждая деформация ${\gamma }^{\left(\rho \right)}$имеет представление

${\tilde{\gamma }}^{\left(\rho \right)}=\left(\omega \left(\rho \right)f_0\left(R\right),\Theta \mathrm{,}\Phi \right),$ (3.35)

где $\omega \mathrm{,}{f}_0: \left[R^i\mathrm{,}{R}^e\right]\to {ℝ}_{>0}$ — гладкие функции.

Следовательно, семейство ${\left\{{\gamma }^{\left(\rho \right)}\right\}}_{\rho \in \left]R^i\mathrm{,}{R}^e\right[}$ является семейством ${\left\{{\gamma }^{\left(X\right)}\right\}}_{X\in {\mathcal{S}}_R}$ разгрузочных деформаций, элементы которого, отвечающие точкам на одной сфере, совпадают.

26°. Синтезирование поля локальных деформаций. С целью определить поле локальных деформаций представим каждую разгрузочную деформацию ${\gamma }^{\left(\rho \right)}$ в виде (2.14), где ${\sigma }_R$ по-прежнему отвечает сферическим координатам, а $\sigma$, напротив, порождается декартовыми координатами. Учитывая (3.35), приходим к соотношению:

${\tilde{\gamma }}^{\left(\rho \right)}=\left(\omega \left(\rho \right)f_0\left(R\right)\sin \Theta \cos \Phi \mathrm{,}\omega \left(\rho \right)f_0\left(R\right)\sin \Theta \sin \Phi \mathrm{,}\omega \left(\rho \right)f_0\left(R\right)\cos \Theta \right)$ (3.36)

Дифференцируя представление (3.36) (с учетом того, что $\rho$ — параметр семейства), получаем матрицу градиента деформации ${\text{F}}^{\left(\rho \right)}\text{=}{\left[F^{\left(\rho \right)}\right]}_I^i{\text{c}}_i\otimes {\text{E}}^I$:

${\left[{\text{F}}^{\left(\rho \right)}\right]}_I^i=$$\begin{array}{c}\omega \left(\rho \right)f_0^{\text{'}}\left(R\right)\sin \Theta \cos \Phi \\ \omega \left(\rho \right)f_0^{\text{'}}\left(R\right)\sin \Theta \sin \Phi \\ \omega \left(\rho \right)f_0^{\text{'}}\left(\right)R\cos \Theta \end{array}$$\begin{array}{c}\omega \left(\rho \right)f_0\left(R\right)\cos \Theta \cos \Phi \\ \omega \left(\rho \right)f_0\left(R\right)\cos \Theta \sin \Phi \\ -\omega \left(\rho \right)f_0\left(R\right)\sin \Theta \end{array}$$\begin{array}{c}-\omega \left(\rho \right)f_0\left(R\right)\sin \Theta \sin \Phi \\ \omega \left(\rho \right)f_0\left(R\right)\sin \Theta \cos \Phi \\ 0\end{array}$ (3.37)

В соответствии с формулой (3.8) полагаем в (3.37) $R=\rho$, т. е.

$\text{H}\left(\rho \mathrm{,}\Theta \mathrm{,}\Phi \right){\left.{\text{:= F}}^{\left(\rho \right)}\left(R\mathrm{,}\Theta \mathrm{,}\Phi \right)\right|}_{R=\rho }\mathrm{.}$