Subharmonic envelopes for functions on domains

1 Формулировка основного результата

Множества $\mathbb{N}\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>1,2,}\dots \mathrm{<mo>\}</mo>}$, $ℝ$, $ℂ$ соответственно натуральных, вещественных, комплексных чисел, ${\mathbb{N}}_0\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>0<mo>\}</mo>}\cup \mathbb{N}$ и расширенная вещественная прямая $\overline{ℝ}\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}ℝ\cup \mathrm{<mo>\{</mo>}\pm \infty \mathrm{<mo>\}</mo>}$, где $-\infty \mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}\inf ℝ\mathrm{<mo>=</mo>}\sup \varnothing$, $+\infty \mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}\sup ℝ\mathrm{<mo>=</mo>}\inf \varnothing$ для пустого множества $\varnothing$, рассматриваются с их естественными алгебраическими, геометрическими, топологическими структурами.

Евклидово пространство ${ℝ}^d$ размерности $d\in \mathbb{N}$ рассматривается с евклидовой нормой

                                                     $\mathrm{<mo>|</mo>}x\mathrm{<mo>|</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\sqrt{x_1^2+\dots +x_d^2}\mathrm{,}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_d\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {ℝ}^d$

и $d$ -мерной мерой Лебега ${\mathfrak{m}}_d$.

Для пары расширенных вещественных функций $f:X\to \overline{ℝ}$ и $g:X\to \overline{ℝ}$ пишем $f⩽g$ на $D$, если $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}⩽g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ для каждой точки $x\in X$.

Через $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ обозначаем векторное пространство над $ℝ$ непрерывных функций на топологическом пространстве $X$ со значениями в $ℝ$.

Всюду далее буквой $D\subset {ℝ}^d$ обозначаем область, т. е. связное открытое подмножество в ${ℝ}^d$, а также ${\overline{B}}_o\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\left\{x\in {ℝ}^d\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}x-o\mathrm{<mo>|</mo>}\le r\right\}$ $—$ шар радиуса $r\mathrm{<mo>></mo>0}$ с центром $o\in {ℝ}^d$.

Подмножество $H$ векторного пространства над полем $ℝ$ называется конусом, если $tH\subset H$ при всех $\mathrm{0<mo><</mo>}t\in ℝ$. Если дополнительно конус $H$ содержит нулевой вектор, т. е. $tH\subset H$ при всех $0⩽t\in ℝ$, то $H$ $—$ конус с вершиной в нуле. Конус $H$ выпуклый, если $H$ $—$ выпуклое подмножество, т. е. имеет место включение $tH+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}H\subset H$ при любых $\mathrm{0<mo><</mo>}t\mathrm{<mo><</mo>1}$. Таким образом, $H$ $—$ выпуклый конус с вершиной в нуле, если $tH\subset H$ при всех $0⩽t\in ℝ$ и $H+H\subset H$.

Через ${\text{Meas}}_0^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ обозначаем выпуклый конус всех положительных конечных борелевских мер с компактным носителем в $D$, $\text{sbh}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ выпуклый конус всех субгармонических на $D$ функций, который включает в себя функцию, тождественно равную $-\infty$ на $D$. Все необходимые здесь сведения о субгармонических функциях можно почерпнуть из [1; 2].

Как и в монографии [3], если интеграл от функции по мере $\mu$ существует и принимает значение из $\overline{ℝ}$, то эту функцию называем интегрируемой по мере $\mu$, или $\mu$ -интегрируемой, а если этот интеграл еще и конечен, т. е. со значением в $ℝ$, то эту функцию называем суммируемой по мере $\mu$, или $\mu$ -суммируемой.

Понятия суммируемости или интегрируемости интегралов, а также равенств ${\mathrm{<mo>=</mo>}}^{a\mathrm{.}e\mathrm{.}}$ и неравенств ${⩽}^{a\mathrm{.}e\mathrm{.}}$ почти всюду без указания меры относятся ниже именно к мере Лебега ${\mathfrak{m}}_d$.

Всякая постоянная $c\in \overline{ℝ}$ часто рассматривается и как функция, тождественно равная $c$. Так, для функции $u:D\to \overline{ℝ}$ запись $u\ne -\infty$ означает, что функция $u$ не тождественная $-\infty$ на $D$. Через

                                                       ${\text{sbh}}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\left\{u\in \text{sbh}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}u\ne -\infty \right\}$                                                            (1)

 обозначаем выпуклый конус с вершиной в нуле всех субгармонических функций на области $D$, не равных тождественно $-\infty$.

Для расширенной вещественной функции $f:D\to \overline{ℝ}$ ее полунепрерывная сверху регуляризация $f^{\mathrm{<mo>*</mo>}}:D\to \overline{ℝ}$ определяется как

                                                        $f^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\underset{x^{\prime }\to x}{{\displaystyle \mathrm{limsup}}}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}x\in D\mathrm{.}$

Функция $f:D\to \overline{ℝ}$ локально ограничена сверху на $D$, если

                                                              $\underset{x\in K}{{\displaystyle \sup }}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo><</mo>}+\infty$

для каждого компакта $K\subset D$. Функция $f:D\to \overline{ℝ}$ локально интегрируема на $D$ по мере ${\mathfrak{m}}_d$, если существует интеграл

                                                               ${\displaystyle {\int }_K}f\text{d}{\mathfrak{m}}_d\in \overline{ℝ}$

для каждого компакта $K\subset D$, а если все интегралы здесь конечны, т. е. принимают значения из $ℝ$, то функция $f$ локально суммируема на $D$. Каждая функция $u\in {\text{sbh}}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ локально суммируема на $D$.

Наше исследование опирается на функционально-аналитические результаты из [4; 5], где достаточно детально изложена и история вопроса с обширной библиографией. Здесь для выпуклых подконусов $H\subset \text{sbh}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ они применяются для двойственного описания условий, при которых для пары субгармонических функций $u\mathrm{,}M\in {\text{sbh}}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и непрерывной функции $m\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ найдется субгармоническая функция $h\in {\text{sbh}}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, с которой $u+h⩽M+m$ на $D$. Наши основные результаты можно трактовать и как частный случай решения поставленных в [4, п. 2.3, задача 3; 5, раздел 1.2; п. 1.2.3, задача 3] общих проблем о существовании огибающей из выпуклых конусов.

 Теорема 1. Пусть область $D\subset {ℝ}^d$ содержит замкнутый шар ${\overline{B}}_o\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ радиуса $r\mathrm{<mo>></mo>0}$ с центром в точке $o\in D$, а также заданы пара субгармонических функций $u\mathrm{,}M\in {\text{sbh}}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ на $D$ вместе с непрерывной функцией $m\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Определим класс мер^[1]

                                           null                                                 (2)

 Для существования функции $h\in {\text{sbh}}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, с которой выполнены неравенства

                                                      $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}⩽m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+M\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\forall x\in D\mathrm{,}$                                                           (3)

 необходимо и достаточно, чтобы существовало число $C\in ℝ$, для которого

                                                   ${\displaystyle {\int }_D}u\text{d}\mu \le {\displaystyle {\int }_D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m+M\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\text{d}\mu +C\forall \mu \in J_o^r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$                                                         (4)

 Доказательство необходимости в теореме 1. В силу полунепрерывности субгармонических функций $u$, $h$ и $M$ они $\mu$ -интегрируемы по любой борелевской положительной мере $\mu \in {\text{Meas}}_0^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ с компактным носителем на $D$. Интегрирование неравенства (3) по положительной мере $\mu \in J_o^r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ с компактным носителем влечет за собой интегральное неравенство

                                                      ${\displaystyle {\int }_D}u\text{d}\mu +{\displaystyle {\int }_D}h\text{d}\mu \le {\displaystyle {\int }_D}m\text{d}\mu +{\displaystyle {\int }_D}M\text{d}\mu \mathrm{,}$

откуда по определению (2) класса $J_o^r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ получаем

                                            ${\displaystyle {\int }_D}u\text{d}\mu +{\displaystyle {\int }_{{\overline{B}}_o\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}h\text{d}{\mathfrak{m}}_d\le {\displaystyle {\int }_D}m\text{d}\mu +{\displaystyle {\int }_D}M\text{d}\mu длявсех\mu \in J_o^r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$                                                 (5)

 Каждая субгармоническая на $D$ функция $h$ локально ${\mathfrak{m}}_d$ -суммируема [1], ввиду чего

                                                            $c\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_{{\overline{B}}_o\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}h\text{d}{\mathfrak{m}}_d\in ℝ\mathrm{,}$

где число $c\in ℝ$ не зависит от меры $\mu \in J_o^r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Последнее вместе с (5) влечет за собой неравенство

                                                 ${\displaystyle {\int }_D}u\text{d}\mu \le {\displaystyle {\int }_D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m+M\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\text{d}\mu -cдлявсех\mu \in J_o^r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Положив здесь $C\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}-c\in ℝ$, получаем требуемое (4).

Необходимость в теореме 1 доказана.

Доказательство достаточности в теореме 1 потребует определенной подготовки и представлено в последнем разделе 3 Для этого потребуется один общий результат по двойственному описанию нижней огибающей относительно выпуклого конуса $—$ теорема A, приведенная ниже в разделе 2

Наиболее важен в теореме 1 для применений к голоморфным функциям в духе [4; 5] уже случай, когда $m\mathrm{<mo>=</mo>0}$. Случай нулевой функции $M\mathrm{<mo>=</mo>0}$, т. е. единственной непрерывной функции $m\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в правой части (3), ранее был полностью разобран в [4, следствие 8.1; 5, следствие 3.2.1; 6, теорема 7.2]. Результат теоремы 1 перекликается с исследованиями по двойственному описанию нижних огибающих из работ [9$–$11] и многих последующих, если рассматривать нижнюю субгармоническую огибающую для функции $M+m-u$ в предположении локальной ограниченности функции $u$ снизу, поскольку в этих работах всегда рассматривались нижние субгармонические огибающие исключительно для локально ограниченных сверху функций. Но в наиболее актуальном для дальнейших применений варианте $u\mathrm{<mo>=</mo>}\ln \mathrm{<mo>|</mo>}f\mathrm{<mo>|</mo>}$, где $f$ $—$ голоморфная на области $D\subset ℂ$ функция хотя бы с одним корнем, функция $\ln \mathrm{<mo>|</mo>}f\mathrm{<mo>|</mo>}$ не ограничена снизу в окрестностях корней.

2 Двойственное описание огибающей относительно выпуклого конуса в проективном пределе векторных решеток

Упорядоченное векторное пространство $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{,}\le \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ над $ℝ$ c отношением порядка $\le$, рефлексивным, антисимметричным и транзитивным, называется векторной решеткой, если для любого конечного $F\subset X$ существует точная верхняя грань в $X$, обозначаемая далее как $X-\sup F\in X$ (подробнее в [7; 8]).

Множество всех функций $f:X\to Y$, действующих из $X$ в $Y$ с областью определения на всем $X$, обозначаем далее через $Y^X$. Для векторных решеток $X$ и $Y$ через ${\text{lin}}^{+}{Y}^X$ обозначаем выпуклый конус линейных положительных, или возрастающих, функций $l:X\to Y$. Другими словами, $l\in {\text{lin}}^{+}{Y}^X$, если для любого положительного в $X$ вектора $x$ вектор $l\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ положительный в $Y$.

Пусть ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{X}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ $—$ последовательность векторных решеток $X_n$ с отношениями порядка соответственно ${\le }_n$, т. е. последовательность пар $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{X}_n\mathrm{,}{\le }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $n\in {\mathbb{N}}_0$. Ей соответствует произведение

                                                              ${\displaystyle \prod }{X}_n\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \prod _{n\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{\infty }}{X}_n\mathrm{,}$

для которого при $x{x}_n{}_{n\in {\mathbb{N}}_0}\in \prod _{{\displaystyle }}{X}_n$ полагаем ${\text{pr}}_{n}x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_n\in X_n$ $—$ проекция вектора $x\in \prod _{}{X}_n$ на пространство $X_n$. По определению $x⩽x^{\prime }$ в $\prod _{}{X}_n$, если ${\text{pr}}_{n}x{\le }_n{\text{pr}}_n{x}^{\prime }$ для каждого $n\in {\mathbb{N}}_0$.

Пусть ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ $—$ последовательность линейных положительных функций $p_n\in {\text{lin}}^{+}{X}_n^{X_{n+1}}$ из $X_{n+1}$ в $X_n$, $n\in {\mathbb{N}}_0$, для которой предполагаем сохранение точной верхней грани для конечных подмножеств, а именно:

                                                    $X_n-\sup p_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{F}_{n+1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{p}_n\left(X_{n+1}-\sup F_{n+1}\right)$

для каждого конечного $F_{n+1}\subset X_{n+1}$. Тогда следующее подпространство в произведении $\prod _{}{X}_n$, обозначаемое как

                                            $X\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}\text{pr}\lim X_n{p}_n\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}\left\{x\in {\displaystyle \prod }{X}_n\mathrm{<mo>|</mo>}{\text{pr}}_{n}x\mathrm{<mo>=</mo>}{p}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\text{pr}}_{n+1}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\forall n\in {\mathbb{N}}_0\right\}\mathrm{,}$

с тем же отношением порядка $⩽$, что и на $\prod _{}{X}_n$, $—$ векторная решетка, называемая проективным пределом последовательности ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{X}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ векторных решеток по ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$. Не умаляя общности, можно считать [4, предложение 3.1; 5, предложение 2.1.1], что

                                                ${\text{pr}}_{n}X\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}\left\{{\text{pr}}_{n}x\mathrm{<mo>|</mo>}x\in X\right\}\mathrm{<mo>=</mo>}{X}_nдлялюбогоn\in {\mathbb{N}}_0\mathrm{,}$

т. е. проекции ${\text{pr}}_n$ из проективного предела $X\mathrm{<mo>=</mo>}\text{pr}\lim X_n{p}_n$ на $X_n$ сюръективны.

Подмножество $B\subset X$ ограничено снизу (сверху) в $X$, если существует вектор $x\in X$, для которого $x⩽b$ (соответственно $b⩽x$ ) для всех $b\in B$ и $B$ ограничено в $X$, если $B$ ограничено и снизу, и сверху.

 Теорема A [4, теорема 2, следствия 6.1 и 3.1; 5, теорема 2.4.1, следствия 2.4.1 и 2.1.1]. Пусть $H\subset X\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}\text{pr}\lim X_n{p}_n$ $—$ выпуклый конус с вершиной в нуле, а для любой ограниченной в $X$ последовательности ${\left(h^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\right)}_{k\in \mathbb{N}}$ векторов $h^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\in H$ существует принадлежащий $H$ верхний предел

                                                        $\underset{k\to \infty }{{\displaystyle \lim sup}}{h}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}\underset{n\in \mathbb{N}}{{\displaystyle \inf }}\underset{k⩾n}{{\displaystyle \sup }}{h}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\in H\mathrm{.}$                                                              (1)

Пусть $S\subset X$ $—$ векторное подпространство, содержащее $H$, и при каждом $n\in {\mathbb{N}}_0$ для любого $s_n\in {\text{pr}}_{n}S$ найдется такое $h_n\in {\text{pr}}_{n}H$, что $h_n{\le }_n{s}_n$.

Пусть выбрана линейная положительная функция $q_0\in {\text{lin}}^{+}{ℝ}^{X_0}$ на $X_0$, и для суперпозиции

                                                            $q\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}{q}_0\circ {\text{pr}}_0\in {\text{lin}}^{+}{ℝ}^X$                                                                 (2)

 при любой убывающей в $X$ последовательности ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{h}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{k\in \mathbb{N}}$ с $h^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\in H$ при условии конечности

                                                              $\underset{k\in \mathbb{N}}{{\displaystyle \inf }}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{h}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in ℝ$                                                                    (3)

 эта последовательность ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{h}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{k\in \mathbb{N}}$ ограничена снизу в $X$ и

                                                           $q\left(\underset{k\in \mathbb{N}}{{\displaystyle \inf }}{h}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\right)⩾\underset{k\in \mathbb{N}}{{\displaystyle \inf }}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{h}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$                                                                 (4)

 Тогда для каждого $s\in S$ величина

                                                          $\sup \left\{q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}H\ni h⩽s\right\}\in \overline{ℝ}$                                                                (5)

 равна величине

                                        $\inf \left\{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_n\circ {\text{pr}}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}n\in {\mathbb{N}}_0\mathrm{,}{l}_n\in {\text{lin}}^{+}{ℝ}^{{\text{pr}}_{n}S}\mathrm{,}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}⩽\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_n\circ {\text{pr}}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\forall h\in H\right\}\in \overline{ℝ}\mathrm{.}$                                              (6)

 В частности, если при заданном $s\in S$ величина (6) не равна $-\infty$, то не равна $-\infty$ величина (5) и, следовательно, найдется вектор $h\in H$, огибающий снизу $s$ в том смысле, что $h\le s$.

3 Доказательство достаточности в теореме 1

Сведем рассмотрение достаточности в теореме 1 к теореме A. Для этого выберем исчерпание области $D\subset {ℝ}^d$ последовательностью ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{D}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ областей $D_n\subset {ℝ}^d$, для которого ${\overline{B}}_o\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset D_0$, замыкание $\text{clos}{D}_n$ области $D_n$ содержится в области $D_{n+1}$ при каждом $n\in {\mathbb{N}}_0$, т. е.

                                              $D\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{n\in {\mathbb{N}}_0}{\cup }}{D}_n\mathrm{,}{\overline{B}}_o\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset \text{clos}{D}_n\subset D_{n+1}привсехn\in {\mathbb{N}}_0\mathrm{.}$

Для $n\in {\mathbb{N}}_0$ рассмотрим пространство $X_n\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}{L}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{clos}{D}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ суммируемых на $\text{clos}{D}_n$ по ${\mathfrak{m}}_d$ функций с отношением поточечного предпорядка ${\le }_n^{a\mathrm{.}e\mathrm{.}}$, факторизацию которого по отношению ${\mathrm{<mo>=</mo>}}^{a\mathrm{.}e\mathrm{.}}$ обозначим через $X_n$, где ${\le }_n^{a\mathrm{.}e\mathrm{.}}$ уже отношение порядка. В качестве линейных положительных функций $p_n\in {\text{lin}}^{+}{X}_n^{X_{n+1}}$ выберем сужения <<функций>> из $X_{n+1}$ на $\text{clos}{D}_{n+1}$, которые становятся уже векторами из $X_n$. Проективный предел $\text{pr}\lim X_n{p}_n$ здесь $—$ это факторизованное по отношению ${\mathrm{<mo>=</mo>}}^{a\mathrm{.}e\mathrm{.}}$ пространство локально суммируемых на $D$ по ${\mathfrak{m}}_d$ функций с отношением порядка ${⩽}^{a\mathrm{.}e\mathrm{.}}$, которое обозначаем через $L_{\text{loc}}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. В качестве выпуклого конуса $H\subset L_{\text{loc}}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ выберем выпуклый конус

                                                          $H\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}{\text{sbh}}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset L_{\text{loc}}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$                                                                (1)

 Полунепрерывная сверху регуляризация верхнего предела последовательности субгармонических функций на области, если этот верхний предел не равен $-\infty$, c одной стороны, дает субгармоническую функцию, а с другой $—$ отличается от верхнего предела разве что на множестве нулевой ${\mathfrak{m}}_d$ -меры, и даже полярном [1; 2]. Поэтому для этого конуса $H\mathrm{<mo>=</mo>}{\text{sbh}}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ выполнено условие теоремы A, завершающееся равенством и принадлежностью к $H$ из соотношений (1). Положим

                                            $S\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+H-H\mathrm{<mo>=</mo>}C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\text{sbh}}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\text{sbh}}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset L_{\text{loc}}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$                                                  (2)

 $—$ векторное подпространство в $L_{\text{loc}}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Пусть $s_n\in {\text{pr}}_{n}S$, т. е. $s_n\mathrm{<mo>=</mo>}{g}_n+h_n-h_{n^{\prime }}$, где $g_n$ $—$ непрерывная функция из $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{clos}{D}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, а функции $h_n\in {\text{pr}}_{n}H$ и $h_{n^{\prime }}\in {\text{pr}}_{n}H$ $—$ сужения на $\text{clos}{D}_n$ функций из выпуклого конуса $H\mathrm{<mo>=</mo>}{\text{sbh}}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ из (1). Тогда существуют положительные числа $c$ и $c^{\prime }$, для которых $g_n⩾-c$ на $\text{clos}{D}_n$ и $h_{n^{\prime }}{\le }_n{c}^{\prime }$ на $\text{clos}{D}_n$. Следовательно, $h_n-c-c^{\prime }{\le }_n{s}_n$, где $h_n\in {\text{pr}}_{n}H$, а также постоянная $-c-c^{\prime }\in ℝ$ принадлежит ${\text{pr}}_{n}H$, поскольку каждая постоянная $—$ субгармоническая функция. Таким образом, выполнены условия теоремы A для выбранного в (2) подпространства $S\subset L_{\text{loc}}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

В качестве линейной положительной функции $q_0\in {\text{lin}}^{+}{ℝ}^{X_0}$ в теореме A выберем сужение меры ${\mathfrak{m}}_d$ на ${\overline{B}}_o\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в том смысле, что

                                        $q_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{f}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_{{\overline{B}}_o\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{f}_0\text{d}{\mathfrak{m}}_d\in ℝдлявсехf_0\in X_0\mathrm{<mo>=</mo>}{\text{pr}}_0{L}_{\text{loc}}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{L}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{clos}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$                                             (3)

 При таком выборе $q_0$ линейная положительная функция $q$, определенная в (2), действует по правилу

                                                  $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_{{\overline{B}}_o\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}f\text{d}{\mathfrak{m}}_d\in ℝдлявсехf\in L_{\text{loc}}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$                                                       (4)

 Функция $u:D\to \overline{ℝ}$ почти субгармоническая на $D$, если она почти всюду совпадает с некоторой субгармонической функцией на $D$ [12]. Для произвольной убывающей почти всюду последовательности ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{h}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{k\in \mathbb{N}}$ почти субгармонических на $D$ функций $h^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ условие (3) согласно (4) означает, что

                                                       $\underset{k\in \mathbb{N}}{{\displaystyle \inf }}{\displaystyle {\int }_{{\overline{B}}_o\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{h}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\text{d}{\mathfrak{m}}_d\mathrm{<mo>=</mo>}\underset{k\in \mathbb{N}}{{\displaystyle \inf }}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{h}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in ℝ\mathrm{,}$                                                            (5)

 т. е. точная нижняя грань левой части (5) конечна. Отсюда предел этой последовательности дает почти субгармоническую функцию на $D$, т. е. это верно для убывающей последовательности ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{h}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{k\in \mathbb{N}}$ из конуса $H\mathrm{<mo>=</mo>}{\text{sbh}}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Верхний предел (1) убывающей последовательности $—$ это точная нижняя грань этой последовательности. Поэтому для последовательностей ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{h}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{k\in \mathbb{N}}$ при условии (5) получаем

                                                         $-\infty \ne \underset{k\in \mathbb{N}}{{\displaystyle \inf }}{h}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\in H\mathrm{<mo>=</mo>}{\text{sbh}}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

В частности, при условии (5) убывающая последовательность ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{h}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{k\in \mathbb{N}}$ из $H$, очевидно, ограниченная сверху функцией $h^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, ограничена и снизу функцией

                                                               $\underset{k\in \mathbb{N}}{{\displaystyle \inf }}{h}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\in H\mathrm{.}$

При этом можем считать все функции $h^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ полунепрерывными сверху. Для убывающей последовательности таких функций ${{\displaystyle \inf }}_{k\in \mathbb{N}}$ можно внести под знак интеграла:

                                                      $\underset{k\in \mathbb{N}}{{\displaystyle \inf }}{\displaystyle {\int }_{{\overline{B}}_o\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{h}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\text{d}{\mathfrak{m}}_d\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_{{\overline{B}}_o\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}\underset{k\in \mathbb{N}}{{\displaystyle \inf }}{h}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\text{d}{\mathfrak{m}}_d\mathrm{.}$

Согласно (5) это означает выполнение равенства

                                                   $q\left(\underset{k\in \mathbb{N}}{{\displaystyle \inf }}{h}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\underset{k\in \mathbb{N}}{{\displaystyle \inf }}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{h}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}дляq\mathrm{<mo>:</mo>}\mathrm{<mo>=</mo>}{q}_0\circ {\text{pr}}_0\mathrm{,}$

что даже сильнее соответствующего неравенства (4). Тем самым выполнены все требуемые условия теоремы A и можем приступить к трактовке равных друг другу величин (5) и (6) для проективного предела векторных решеток $L_{\text{loc}}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и конуса (1) при условии (4) теоремы 1. Теперь, если из условия (4) теоремы 1 выведем, что величина (6) с учетом (2) и (1) для функции

                                     $s\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}m+M-u\in S\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+H-H\mathrm{<mo>=</mo>}C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\text{sbh}}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\text{sbh}}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset L_{\text{loc}}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$                                           (6)

 не равна $-\infty$, то по заключительной части теоремы A это будет означать, что найдется некоторая функция $h\in H\mathrm{<mo>=</mo>}{\text{sbh}}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, для которой $h{\le }^{a\mathrm{.}e\mathrm{.}}s\mathrm{<mo>=</mo>}m+M-u$ на $D$, или, в эквивалентной форме, $u+h{\le }^{a\mathrm{.}e\mathrm{.}}m+M$ на $D$. Отсюда в силу субгармоничности функций $u\mathrm{,}h\mathrm{,}M$ [1],[2] и непрерывности функции $m$ легко следует, что $u+h\le m+M$ всюду на $D$, что и дает требуемое неравенство (3).

Осталось показать, что при условии (4) теоремы 1, записанном в равносильной форме как

                                                     $\underset{\mu \in J_o^r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\displaystyle \inf }}\left({\displaystyle {\int }_D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m+M\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\text{d}\mu -{\displaystyle {\int }_D}u\text{d}\mu \right)\mathrm{<mo>></mo>}-\infty \mathrm{,}$                                                           (7)

 величина (6) не равна $-\infty$.

Точную нижнюю грань в (6) для функции $s\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}m+M-u$ из (6) можно записать как

                                  $\inf \left\{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_n\circ {\text{pr}}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}m+M\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_n\circ {\text{pr}}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}n\in {\mathbb{N}}_0\mathrm{,}{l}_n\in {\text{lin}}^{+}{ℝ}^{{\text{pr}}_{n}S}\mathrm{,}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}⩽\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_n\circ {\text{pr}}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}h\in H\right\}\mathrm{.}$                                        (8)

 При каждом фиксированном $n\in {\mathbb{N}}_0$ здесь $l_n$ пробегают часть ${\text{lin}}^{+}{ℝ}^{{\text{pr}}_{n}S}$ для подпространства $S\mathrm{<mo>=</mo>}C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+H-H$ из (2). Тогда обязательно $l_n\in {\text{lin}}^{+}{ℝ}^{{\text{pr}}_{n}C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\text{lin}}^{+}{ℝ}^{C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{clos}{D}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, откуда по теореме Рисса $l_n$ на $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{clos}{D}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ реализуется на пространстве $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{clos}{D}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ как некоторая положительная конечная мера Бореля $\mu$ на $D$ c компактным носителем в $\text{clos}{D}_n$. Требование из (6) вида $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}⩽\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_n\circ {\text{pr}}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ при всех $h\in H$ для $q\mathrm{<mo>=</mo>}{q}_0\circ {\text{pr}}_0$ согласно (3) в терминах меры $\mu$ можно записать как требование

                                                  ${\displaystyle {\int }_{{\overline{B}}_o\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}h\text{d}{\mathfrak{m}}_d⩽{\displaystyle {\int }_D}h\text{d}\mu привсехh\in H\cap C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$                                                        (9)

 из определения класса $J_o^r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в (2), поскольку мера $\mu \ge 0$ с компактным носителем в $D$ продолжается однозначно на все субгармонические функции, которые становятся $\mu$ -интегрируемыми ввиду возможности представить их как предел убывающей последовательности непрерывных субгармонических на $D$ функций. Это, в частности, влечет за собой конечность интегралов

                                                    ${\displaystyle {\int }_D}h\text{d}\mu \in ℝдлявсехh\in H\mathrm{<mo>=</mo>}{\text{sbh}}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Следовательно, полученные таким образом меры $\mu \in {\text{Meas}}_0^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, удовлетворяющие (9), корректно определены и принимают конечные значения на выпуклом конусе

                                                    $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+H\mathrm{<mo>=</mo>}C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\text{sbh}}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\supset {\text{sbh}}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

В частности, функции из $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+H$ суммируемы по мерам $\mu \in {\text{Meas}}_0^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, удовлетворяющим (9), а неравенство (9) верно для всех функций $h\in {\text{sbh}}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Более того, это означает, что действие на $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+H$ функций $l_n\in {\text{lin}}^{+}{ℝ}^{{\text{pr}}_{n}S}$, удовлетворяющих неравенству $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_n\circ {\text{pr}}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ для всех $h\in H$, при рассматриваемых конкретных выборах $S$ как в (2), проекций ${\text{pr}}_n$ как сужений на $\text{clos}{D}_n$ и q как в (4), может быть реализовано в виде меры $\mu \in Mea{s}_0^{+}\left(D\right)$ с носителем в $\text{clos\hspace{0.05em}}{D}_n$, удовлетворяющей (9), но уже при всех $h\in H=sbh\left(D\right)$. Другими словами, класс таких мер в действиях на $C\left(D\right)+H$ не уже класса функций $l_n\in li{n}^{+}{ℝ}^{p{r}_{n}S}$, участвующих в определении точной нижней грани (8). Отсюда сразу следует, что точная нижняя грань в (8) не меньше точной нижней грани в (7), которая не равна $-\infty$. Следовательно, и точная нижняя грань в (8) не равна $-\infty$, что завершает доказательство достаточности в теореме 1.