On euclidean manifolds being a subspace of the space of probability measures with finite supports to a certain infinite compact set of dimension zero

 Введение

Настоящее исследование авторов и данная статья посвящены изучению топологии пространств вероятностной меры. Эта тема находится на стыке двух областей $—$ бесконечномерной топологии и теории меры [1; 2]. Причина, по которой бесконечномерная топология представляет интерес при изучении пространств вероятностных мер, заключается в том, что пространства мер, которые имеют дополнительную выпуклую структуру, являются идеальными "естественно" возникающими бесконечномерными объектами для применения мощных методов бесконечномерной топологии [13]. С 1990-х годов пространства вероятностных мер изучались в рамках категории компактов, где проблемы топологической классификации проявлялись весьма элементарно: пространство вероятностных мер компакта рассматривалось гомеоморфно либо конечномерному для компакта конечного, либо бесконечно-мерному объемному кубу. Помимо компактности было даже не всегда ясно, что следует рассматривать как пространство вероятностных мер на компакте. Исследования последних лет показывают развитие некоторых новых подходов. В [14] отождествили евклидовы пространства с подпространствами счетного бесконечного произведения системы подпространств. Тогда объединенное множество имеет две естественные топологии, а именно: слабую топологию (прямой предел) относительно последовательных включений подпространств и относительную топологию, унаследованную от топологии счетного бесконечного произведения системы подпространств. Также в [14] приведено несколько характеристик топологических многообразий, смоделированных на ( $R^{\infty }\mathrm{,}\sigma$ )- или ( $Q^{\infty }\mathrm{,}\Sigma$ )- многообразиях, которые применяются к битопологическим группам, битопологическим линейным пространствам, пространствам мер, пространствам отображений, гиперпространствам.

В работе [15] развита теория классов бесконечномерных банаховых многообразий мер в абстрактном измеримом пространстве, используя диаграммы, которые “сбалансированы” между функциями плотности и логарифмической плотности. Отмечено, что многообразия сохраняют многие особенности конечномерной информационной геометрии. Важен выбор меры $\mu$. Работа [16] рассматривает сохранение подфункторами функтора вероятностных мер пространств счетной размерности и экстензорные свойства подпространств пространства вероятностных мер. В [17] изучены гомотопически плотные подпространства пространства вероятностных мер, определяемых бесконечным метрическим компактным множеством, которые являются конечномерными и бесконечномерно-размерными топологическими многообразиями. Рассматривая различные свойства подпространств пространства вероятностных мер, доказан ряд свойств соответствия и ряд условий эквивалентности.

Также в работе [18] авторы доказали ряд утверждений, что действие компактной группы $G$, определяемой стратифицированным пространством $X$, непрерывно для пространства $Z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, являющегося стратифицированным пространством, содержащим самостратифицированное пространство $X$ как замкнутое подмножество. Доказан эквивариантный аналог некоторых результатов Р. Коти относительно $A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}R\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}S\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ -пространств. Также показано, что орбитальное пространство $Z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}G$ под действием группы $G$ является пространством $S$.

В работе [19] рассмотрены гомотопически плотные свойства и топологические и экстензорные свойства одноточечной компактификации и компактификации по Александрову для локально компактного пространства и для некоторых подпространств пространства вероятностных мер.

В данной статье сформулированы и доказаны теоремы о топологических свойствах многообразий, являющихся подпространством пространства вероятностных мер, $—$ подпространств гомотопически плотных в пространстве вероятностных мер с конечными носителями на компакте, рассмотрены частные случаи конечного и бесконечного компакта.

1 Подпространства пространства вероятностных мер с конечными носителями на компакте

Для компактов $X$ имеется простая топологическая классификация пространств $P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ всех вероятностных мер. В случае конечного $n$ -точечного пространства $X\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}n\mathrm{<mo>\}</mo>}$ точки $\mu$ пространства $P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{P}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ являются выпуклыми линейными комбинациями мер Дирака:

                                                    $\mu =m_0\delta \left(0\right)+m_1\delta \left(1\right)+\mathrm{...}+m_{n-1}\delta (n-1).$

Поэтому они естественно отождествляются с точками $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ -мерного симплекса ${\sigma }^{n-1}$. При этом меры Дирака $\delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ образуют вершины симплекса, а массы $m_i$, помещенные в точки $i$, являются барицентрическими координатами меры $\mu$. Таким образом, компакт $P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ аффинно гомеоморфен симплексу ${\sigma }^{n-1}$ [20].

В случае бесконечного компакта $X$ пространство $P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ также является компактом (функтор $P$ сохраняет вес). Далее, оно содержит симплексы сколь угодно большого числа измерений, поэтому оно бесконечномерно. По теореме Кэли [12] выпуклый компакт $P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset R^{C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ аффинно вкладывается в ${\mathcal{l}}_2$. Следовательно, по теореме Келлера компакт $P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ как бесконечномерный выпуклый компакт, лежащий в ${\mathcal{l}}_2$, гомеоморфен гильбертову кубу $Q\mathrm{<mo>=</mo>}{I}^{{\chi }_0}$.

С другой стороны, пространство $P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ всех вероятностных мер на компакте $X$ называется множеством всех регулярных борелевских вероятностных мер на $X$, снабженным слабейшей из топологий, для которых непрерывен каждый функционал $f_u\mathrm{<mo>:</mo>}C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\to R$, переводящей меру $\mu$ в $\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ ( $U$ $—$ открытое в $X$ множество).

Для произвольного компакта $X$ и меры $\mu \in P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ определен ее носитель $supp\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ это наименьшее из замкнутых множеств $F\subset X$, для которых $\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}F\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, т. е. $\sup p\left(\mu \right)=\text{∩}\{A:A=\overline{A},\mu \in P(A\left)\right\}$;

$P_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>}\mu \in P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}\left|supp\mu \right|\le n\mathrm{<mo>\}</mo>}-$ множество всех мер $\mu$ с не более чем $n$ носителями.

Определение [12]. Топологическое пространство $X$ называется многообразием, моделированным на пространстве $Y$, или $Y$ -многообразием, если всякая точка пространства $X$ имеет окрестность, гомеоморфную открытому подмножеству пространства $Y$.

Определение [12]. Подмножество $A\subset X$ пространства $X$ называется гомотопически плотным в $X$, если существует гомотопия $h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}X\times \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}\to X$ такая, что $h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}i{d}_X$ и $h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,<mo\; stretchy="false">(</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset A$.

Для бесконечного (любого) компакта $X$ и любого $n\in N$ функтора $P_n$ положим $P_{n\mathrm{,}n-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{P}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{P}_{n-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, где $P_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>}\mu \in P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}\left|supp\mu \right|\le n\mathrm{<mo>\}</mo>}$ [21].

Теорема 1. Для любого компакта $X$ подпространство $P_{n\mathrm{,}n-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ пространства $P_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ является $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ -мерным многообразием и гомотопически плотным в $P_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Доказательство. Пусть $X$ $—$ произвольный компакт. Возможны два случая.

1 ${}^0$. $X$ $—$ конечное множество. Для определенности пусть $X$ состоит из $n$ точек. Тогда $P_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{P}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\sigma }^{n-1}-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ -мерный стандартный симплекс, т. е. $T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}{x}_2\mathrm{,...,}{x}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\sigma }^{n-1}$ симплекс с вершинами в точках $x_i$. А подпространство $P_{n\mathrm{,}n-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}{x}_2\mathrm{,...,}{x}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\backslash F_r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}{x}_2\mathrm{,...,}{x}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}intT\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}{x}_2\mathrm{,...,}{x}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, т. е. $P_{n\mathrm{,}n-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{T}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}{x}_2\mathrm{,...,}{x}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ внутренность симплекса. Внутренность $T^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}{x}_2\mathrm{,...,}{x}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ гомеоморфна пространству $R^{n-1}$ [22], т. е. $P_{n\mathrm{,}n-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ есть $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ -мерное многообразия $R^{n-1}$.

2 ${}^0$. $X$ $—$ бесконечной компакт. Известно, что пространство $P_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ состоит из линейной комбинации мер Дирака следующего вида:

                                                         $\mu \mathrm{<mo>=</mo>}{m}_1{\delta }_1+m_2{\delta }_2+\mathrm{...}+m_n{\delta }_n\mathrm{,}$                                                              (1)

 где ${\delta }_{x_i}$ $—$ меры Дирака, $x_i\in X\mathrm{,}0\le m_i\le \mathrm{1,}{\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}{m}_i\mathrm{<mo>=</mo>1}$.

Рассмотрим подпространство $P_{n\mathrm{,}n-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ пространства $P_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Очевидно, что $P_{n\mathrm{,}n-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ открыто в $P_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Возьмем произвольную точку $\mu \in P_{n\mathrm{,}n-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, тогда

                                                         $\mu \mathrm{<mo>=</mo>}{m}_1{\delta }_1+m_2{\delta }_2+\mathrm{...}+m_n{\delta }_n\mathrm{,}$

$x_1\mathrm{,}{x}_2\mathrm{,...,}{x}_n$ $—$ взаимно различны, т. е. $\left|x_1\mathrm{,}{x}_2\mathrm{,...,}{x}_n\right|\mathrm{<mo>=</mo>}n$ и $m_i\mathrm{<mo>></mo>0}$, $m_i\mathrm{<mo><</mo>1}$. Отсюда $\mu \in T^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}{x}_2\mathrm{,...,}{x}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}intT\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}{x}_2\mathrm{,...,}{x}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ внутренность симплекса. Известно, что $T^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}{x}_2\mathrm{,...,}{x}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ гомеоморфно пространству $R^{n-1}$. В качестве $O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ отождествляем множеству $T^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}{x}_2\mathrm{,...,}{x}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, т. е. каждая точка пространства $P_{n\mathrm{,}n-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ имеет окрестность, гомеоморфную $R^{n-1}$. Значит, пространство $P_{n\mathrm{,}n-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ есть $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ -мерное многообразие.

Теперь покажем, что подпространство $P_{n\mathrm{,}n-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ гомотопически плотно в $P_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Искомую гомотопию $h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mu \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}{P}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\times \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}\to P_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ построим, полагая $h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mu \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1}-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mu +t\cdot r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, где $t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, $\mu \in P_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\to P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}supp\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ барицентрически открытое отображение [22]. Если $t\mathrm{<mo>=</mo>0}$, то $h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mu \mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1}-\mathrm{0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mu +0\cdot r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\mu$, т. е. $h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mu \mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}i{d}_{P_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$.

Если $t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, то $h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mu \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1}-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mu +t\cdot r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in P_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $supph\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mu \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ состоит ровно из $n$ -различных точек, т. е. $h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mu \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in P_{n\mathrm{,}n-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Это означает, что $P_{n\mathrm{,}n-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ гомотопически плотно в $P_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Теорема 1 доказана.

Если $X$ $—$ бесконечный компакт, тогда для компакта $X$ существует счетное собственное всюду плотное подмножество, т. е. $\left|A_0\right|\mathrm{<mo>=</mo>}{\chi }_0$ и $\overline{A}\mathrm{<mo>=</mo>}X$.

 Пусть $A$ имеет вид $\mathrm{<mo>\{</mo>}{x}_1\mathrm{,}{x}_2\mathrm{,...,}{x}_n\mathrm{,...<mo>\}</mo>}$ т. е. $A\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}{x}_i\mathrm{<mo>:</mo>}i\in N\mathrm{,}{x}_i\in X\mathrm{<mo>\}</mo>}$.

 Для любого $n\in N$ положим

                                                          $A_n\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}{x}_i\mathrm{<mo>:</mo>}{x}_i\in A\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{1,}n}\mathrm{<mo>\}</mo>.}$

В этом случае имеется следующая цепочка подпространств $A_i$, для которых имеют место:

 а) $A_i$ ={точка};

 б) $A_n$ состоит из $n$ точек компакта $X$, т. е. $\left|A_n\right|\mathrm{<mo>=</mo>}n$;

 в) $A_1\subset A_2\subset \mathrm{...}\subset A_n\subset \mathrm{...}$;

 г) ${\overline{A}}_n\mathrm{<mo>=</mo>}{A}_n$ т. е. $A_n$ замкнуто и компактно;

 д) ${\displaystyle {\cup }_{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}{A}_n\mathrm{<mo>=</mo>}A$.

Из свойств всюду плотных подмножеств бесконечных компактов и свойств функтора $P$ вероятностных мер подпространство $P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ всюду плотно в $P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\displaystyle {\cup }_{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}{A}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle {\cup }_{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

С другой стороны, множество $P_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ тоже всюду плотно в $P_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $P_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{P}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\displaystyle {\cup }_{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}{A}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle {\cup }_{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}{P}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Рассмотрим множество

                                                      $P_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\backslash P_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{P}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\backslash {\displaystyle \underset{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}{\overset{\infty }{\cup }}}{P}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Для нормального функтора $P_n$, компакта $X$ и любого непустого $A\subset X\mathrm{,}A\ne X$ из замкнутого подмножества $A\subset X$ имеет место равенство:

                                                         $P_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\backslash A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{P}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\backslash S_{P_n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$                                                               (2)

 Здесь через $S_{P_n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ обозначаем множество $\{\mu \in P_n(X):\sup p_{P_n}(\mu )\text{∩}A\ne \varnothing \}$.

Пусть $X$ $—$ бесконечный компакт и $x_0\in X$. Рассмотрим подмножество $\{\mu \in P_n(X):\sup p_{P_n}(\mu )\cap A\ne \varnothing \}$. Очевидно, что $S_P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ всюду плотно в $P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Это подмножество является ${\mathcal{l}}_2$ многообразием. Следовательно, в силу выпуклости $S_P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ гомеоморфно ${\mathcal{l}}_2$. Заметим, что любое компактное подмножество $S_P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ является $Z$ -множеством в $S_P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ [22].

Для различных точек $x_0$ и $x_1$ компакта $X$ пересечение $S_P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $S_P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ тоже гомеоморфно гильбертовому пространству ${\mathcal{l}}_2$. Если мы рассмотрим счетное подмножество $\mathrm{<mo>\{</mo>}{x}_0\mathrm{,}{x}_1\mathrm{,...,}{x}_n\mathrm{,...<mo>\}</mo>}$ бесконечного компакта $X$, то пересечение ${\displaystyle {\cap }_{i\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{\infty }}{S}_P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ является всюду плотным выпуклым подмножеством компакта $P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Следовательно, подпространство ${\displaystyle {\cap }_{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}{S}_P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ тоже гомеоморфно в ${\mathcal{l}}_2$ [20].

С другой стороны, для любого замкнутого подмножества $A\subset X$, отличного от $X$, подпространство $S_P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ гомеоморфно ${\mathcal{l}}_2$ [22]. Очевидно, что $P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset S_P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Следовательно, $P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ есть $Z$ -множество в $S_P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $S_P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\backslash P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ гомеоморфно ${\mathcal{l}}_2$.

Теорема 2. Для любого компакта $X$ и любого замкнутого подмножества $A\subset X$, отличного от $X$, подпространство $S_{P_n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ гомотопически плотно в $P_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Доказательство. Пусть $X$ $—$ произвольный компакт и $A\subset X$, $A$ замкнуто в $X$, $A\ne X$.

 Возможны два случая:

 1. Компакт $X$ конечен;

 2. Компакт $X$ бесконечен.

Рассмотрим отдельно 1. Если $X$ конечное $n$ -элементное множество, то $P_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ аффинно гомеоморфно симплексу ${\sigma }^{n-1}$.

В этом случае множеств $S_{P_n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ не пусто и выпукло. Следовательно, является гомотопически плотно в $S_{P_n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

2. Пусть $X$ бесконечно и $A\ne X$. Искомую гомотопию $h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mu \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}{P}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\times \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}\to P_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ строим, полагая $h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mu \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1}-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mu +t{\mu }_0\mathrm{,}$ где null $—$ фиксированная точка множества $P_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\backslash A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Например, мера Дира ${\delta }_{x_0}$ в точке $x_0\in X\backslash A$, $t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$.

Если $t\mathrm{<mo>=</mo>0}$, то $h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mu \mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1}-\mathrm{0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mu +0\cdot {\mu }_0\mathrm{<mo>=</mo>}\mu$, т. е. $h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mu \mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}i{d}_{P_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$.

Если $t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, то $h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mu \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1}-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mu +t\cdot {\mu }_0$. В этом случае носитель меры $h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mu \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ содержит точки $supp\mu$ и точки $supp\mu$, т. е. $\sup ph(\mu ,t)\supseteq \sup p\mu \cup \sup p{\mu }_0$. Это означает, что $h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mu \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in S_{P_n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Следовательно, множество $S_{P_n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ гомотопически плотно в $P_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Теорема 2 доказана.

Теорема 3. Для любого бесконечного компакта $X$ и его замкнутого подмножества $A$, отличного от $X$, подпространство $P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\backslash P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ гомотопически плотно в $P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Доказательство. Пусть $X$ $—$ бесконечный компакт и $A\subset X$, $A\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{A}$, $A\ne X$. В этом случае $P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ гомеоморфно гильбертовому кубу $Q\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\prod }_{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-\mathrm{1,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}}_i$, т. е. $P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\simeq Q\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\prod }_{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-\mathrm{1,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}}_i$, где $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-\mathrm{1,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ отрезок в $R$. Искомую гомотопию $h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mu \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\times \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}\to P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ строим, полагая

                                                           $h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mu \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1}-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mu +t{\mu }_0\mathrm{,}$

где $\mu \in P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, ${\mu }_0\in P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\backslash P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

 Если $\mu \in P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $t\mathrm{<mo>=</mo>0}$, то $h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mu \mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1}-\mathrm{0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mu +0\cdot {\mu }_0\mathrm{<mo>=</mo>}\mu$, т. е. $h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mu \mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}i{d}_{P_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$.

 Если $t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, тогда $h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mu \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1}-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mu +t\cdot {\mu }_0$. Носитель меры $h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mu \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ содержит целиком отрезок [0; 1] и не лежит в множестве $A$. Следовательно, мера $h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mu \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overline{\in }P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Отсюда, мера $h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mu \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\backslash P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Это означает, что подпространство $P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\backslash P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ гомотопически плотно в $P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Теорема 3 доказана.

Следствие. Для любого компакта $X$ и любой точки $x_0\in X$ верно:

 а) $S_{P_n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ гомотопически плотно в $P_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$;

 б) подпространство $P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\backslash {\delta }_{x_0}$ гомотопически плотно в $P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Заключение

В заключение отметим сформулированные и доказанные в данной статье теоремы о топологических свойствах многообразий $—$ подпространств гомотопически плотных в пространстве вероятностных мер с конечными носителями на компакте.

1. Для любого компакта $X$ подпространство $P_{n\mathrm{,}n-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ пространства $P_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ является $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ -мерным многообразием и гомотопически плотным в $P_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

2. Для любого компакта $X$ и любого замкнутого подмножества $A\subset X$, отличного от $X$, подпространство $S_{P_n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ гомотопически плотно в $P_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

3. Для любого бесконечного компакта $X$ и его замкнутого подмножества $A$, отличного от $X$, подпространство $P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\backslash P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ гомотопически плотно в $P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.