A non-local problem with integral conditions of the first kind for the string vibration equation

1 Постановка задачи

Рассмотрим в области $Q\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>0,}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\times \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, где $l\mathrm{,}T\mathrm{<mo><</mo>}\infty \mathrm{,}$ уравнение

                                                         $u_{tt}-{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_x\mathrm{<mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

и поставим следующую задачу: найти в области $Q$ решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным данным

                                                       $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{u}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

и нелокальным условиям

                                              ${\displaystyle {\int }_0^l}{K}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{<mo>=</mo>}{h}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\displaystyle {\int }_0^l}{K}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{<mo>=</mo>}{h}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.<mo\; stretchy="false">(</mo>3<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

Будем считать, что $a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>></mo>0}$ в ${\overline{Q}}_T$.

Особенность поставленной задачи заключается не только в том, что условия (3) являются нелокальными интегральными условиями первого рода, но и в том, что их ядра $K_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ зависят и от переменной $t$.

Напомним, что нелокальными условиями принято называть соотношения, связывающие значения искомого в области $\Omega$ решения на некотором внутреннем многообразии и в точках границы области $\Omega$.

В случае одной пространственной переменной нелокальные интегральные условия могут быть представлены следующим соотношением:

                                                 $\alpha u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\beta u_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\lambda {\displaystyle {\int }_0^l}K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{<mo>=</mo>0.<mo\; stretchy="false">(</mo><mo>*</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$

Если $\alpha$ и $\beta$ не обращаются в ноль одновременно, то условие называется интегральным условием второго рода.

Если $\alpha \mathrm{<mo>=</mo>}\beta \mathrm{<mo>=</mo>0,}$ то условие называется интегральным условием первого рода. [3]

К настоящему времени имеется значительное количество статей, посвященых исследованию нелокальных задач с интегральными условиями [5$–$8; 11]. Разработаны методы исследования разрешимости нелокальной задачи с интегральными условиями второго рода [2; 5; 10]. Если в $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\ast \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mi>\; </mi>}\beta \ne 0$, то эффективным оказался метод, впервые реализованный в [4] для многомерного уравнения. Если же в $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\ast \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mi>\; </mi>}\alpha \mathrm{<mo>=</mo>}\beta \mathrm{<mo>=</mo>0}$, то есть нелокальные условия первого рода, при обосновании рассуждения возникает много трудностей, отмеченных и в статьях [2; 6; 9]. Одним из способов преодолеть возникающие трудности является сведение условий первого рода к условиям второго рода, причем так, чтобы они оказались эквивалентными. Условия на входные данные, обеспечивающие возможность этой процедуры, отражены в следующей лемме.

Лемма. Пусть

                                          null

и выполняются условия согласования

                                                  $\begin{array}{c}{\int }_0^l{K}_i\left(x\mathrm{,0}\right)\varphi \left(x\right)dx=h_i\left(0\right),\\ {\int }_0^l\left[K_i\right(x\mathrm{,0}\left)\psi \right(x)+K_{it}(x\mathrm{,0}\left)\varphi \right(x\left)\right]dx={h^{\text{'}}}_i\left(0\right).\end{array}\left(4\right)$

Тогда нелокальные условия первого рода (3) эквивалентны нелокальным условиям второго рода

                                   $\begin{array}{c}{u}_x\left(\mathrm{0,}t\right)={\alpha }_{11}u\left(\mathrm{0,}t\right)+{\alpha }_{12}u(l,t)+{\int }_0^l{P}_1(x,t)u(x,t)dx+2{\int }_0^l{P}_2(x,t)u_t(x,t)dx+G_1\left(t\right),\\ u_x(l,t)={\alpha }_{21}u\left(\mathrm{0,}t\right)+{\alpha }_{22}u(l,t)+{\int }_0^l{P}_3(x,t)u(x,t)dx+2{\int }_0^l{P}_4(x,t)u_t(x,t)dx+G_2\left(t\right),\end{array}\left(5\right)$

где ${\alpha }_{ij}\mathrm{,}{P}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{G}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ выражаются через $K_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{h}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и их производные.

Доказательство. Пусть $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ удовлетворяет уравнению (1) и условиям (2), (3). Дифференцируя равенство (3) дважды по $t$, получим

                                         $\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_0^l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{K}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_{tt}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+2K_{1t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+K_{1tt}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{<mo>=</mo>}h{\mathrm{<mo>"</mo>}}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\\ {\displaystyle {\int }_0^l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{K}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_{tt}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+2K_{2t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+K_{2tt}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{<mo>=</mo>}h{\mathrm{<mo>"</mo>}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}\end{array}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>6<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

Теперь выразим из уравнения (1) $u_{tt}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и подставим в (6), получим

                                     $\begin{array}{c}{\int }_0^l\left(K_1\right(x,t\left)\right(f+{\left(a\right(x,t\left)u_x\right)}_x)+2K_{1t}(x,t\left)u_t\right(x,t)+K_{1tt}(x,t\left)u\right(x,t\left)\right)dx=h{"}_1\left(t\right),\\ {\int }_0^l\left(K_2\right(x,t\left)\right(f+{\left(a\right(x,t\left)u_x\right)}_x)+2K_{2t}(x,t\left)u_t\right(x,t)+K_{2tt}(x,t\left)u\right(x,t\left)\right)dx=h{"}_2\left(t\right).\end{array}\left(7\right)$

Проинтегрируем теперь слагаемые, содержащие $u_{xx}$ дважды, и получим

                               $\begin{array}{c}{\int }_0^l{K}_1(x,t){\left(a\right(x,t\left)u_x\right)}_{x}dx=K_1(l,t)a(l,t)u_x(l,t)-K_1\left(\mathrm{0,}t\right)a\left(\mathrm{0,}t\right)u_x\left(\mathrm{0,}t\right)+\\ +K_{1x}\left(\mathrm{0,}t\right)a\left(\mathrm{0,}t\right)u\left(\mathrm{0,}t\right)-K_{1x}(l,t)a(l,t)u(l,t)+{\int }_0^l{\left(K_{1x}\right(x,t\left)a\right(x,t\left)\right)}_{x}u(x,t)dx,\\ {\int }_0^l{K}_2(x,t){\left(a\right(x,t\left)u_x\right)}_{x}dx=K_2(l,t)a(l,t)u_x(l,t)-K_2\left(\mathrm{0,}t\right)a\left(\mathrm{0,}t\right)u_x\left(\mathrm{0,}t\right)+\\ +K_{2x}\left(\mathrm{0,}t\right)a(o,t)u\left(\mathrm{0,}t\right)-K_{2x}(l,t)a(l,t)u(l,t)+{\int }_0^l{\left(K_{2x}\right(x,t\left)a\right(x,t\left)\right)}_{x}u(x,t)dx.\end{array}\left(8\right)$      

Подставим (8) в (7)

                                $\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_0^l}{K}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}fdx+K_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-K_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+K_{1x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\\ -K_{1x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle {\int }_0^l}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{K}_{1x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{x}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx+2{\displaystyle {\int }_0^l}{K}_{1t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx+\\ +{\displaystyle {\int }_0^l}{K}_{1tt}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{<mo>=</mo>}h{\mathrm{<mo>"</mo>}}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\\ {\displaystyle {\int }_0^l}{K}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}fdx+K_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-K_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+K_{2x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\\ -K_{2x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle {\int }_0^l}{K}_{2x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{x}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx+2{\displaystyle {\int }_0^l}{K}_{2t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx+\\ +{\displaystyle {\int }_0^l}{K}_{2tt}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{<mo>=</mo>}h{\mathrm{<mo>"</mo>}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}\end{array}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>9<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

Так как

                                                    $\Delta \equiv K_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{K}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-K_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{K}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne \mathrm{0,}$

то (9) можно разрешить относительно $u_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $u_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Выразим их из (9) и получим нелокальные условия второго рода:

                                                $\begin{array}{c}{u}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\alpha }_{11}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\alpha }_{12}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle {\int }_0^l}{P}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx+\\ +2{\displaystyle {\int }_0^l}{P}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx+G_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\\ u_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\alpha }_{21}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\alpha }_{22}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle {\int }_0^l}{P}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx+\\ +2{\displaystyle {\int }_0^l}{P}_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx+G_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\end{array}$

где

                                        $\begin{array}{c}{\alpha }_{11}\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{\Delta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{K}_{1x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{K}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-K_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{K}_{2x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>,}\\ {\alpha }_{12}\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}-\frac{a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\Delta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{K}_{1x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{K}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-K_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{K}_{2x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>,}\\ P_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\Delta }{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{K}_{1x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}_x{K}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{K}_{2x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}_x{K}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\\ +K_{1tt}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{K}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-K_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{K}_{2tt}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>,}\\ P_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\Delta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{K}_{1t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{K}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-K_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{K}_{2t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>,}\end{array}$

                                            $\begin{array}{c}{G}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}-\frac{1}{a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\Delta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\displaystyle {\int }_0^l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{K}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{K}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-K_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{K}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}fdx+\\ +h_{1tt}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{K}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-K_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{h}_{2tt}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}\\ {\alpha }_{21}\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}\frac{a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\Delta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{K}_{1x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{K}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-K_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{K}_{2x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>,}\end{array}$

                                       $\begin{array}{c}{\alpha }_{22}\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}-\frac{1}{\Delta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{K}_{1x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{K}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-K_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{K}_{2x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>,}\\ P_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\Delta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{K}_{1x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}_x{K}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{K}_{2x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}_x{K}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\\ +K_{1tt}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{K}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-K_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{K}_{2tt}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>,}\\ P_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\Delta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{K}_{1t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{K}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-K_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{K}_{2t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>,}\\ G_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\Delta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\displaystyle {\int }_0^l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{K}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{K}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-K_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{K}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}fdx-\\ -h_{1tt}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{K}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+K_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{h}_{2tt}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>.}\end{array}$

Пусть теперь $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2) и (5). Домножим уравнение (1) на $K_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и проинтегрируем по отрезку $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$. Аналогичную процедуру проделаем с ядром $K_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, получим

                                          $\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_0^l}{K}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_{tt}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx-{\displaystyle {\int }_0^l}{K}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_x{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{x}dx\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_0^l}{K}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}fdx\mathrm{,}\\ {\displaystyle {\int }_0^l}{K}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_{tt}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx-{\displaystyle {\int }_0^l}{K}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_x{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{x}dx\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_0^l}{K}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}fdx\mathrm{.}\end{array}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>10<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

Подставим (8) в (10). Но тогда выполняются и равенства (6), из которых получены условия (5). Равенства (6) запишем в виде

                                                     $\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_0^l}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{K}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{tt}dx-h{\mathrm{<mo>"</mo>}}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}\\ {\displaystyle {\int }_0^l}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{K}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{tt}dx-h{\mathrm{<mo>"</mo>}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0.}\end{array}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>11<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

Эти условия можно свернуть таким образом:

                                                    $\begin{array}{c}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\left[{\displaystyle {\int }_0^l}{K}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx-h_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]\mathrm{<mo>=</mo>0,}\\ \frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\left[{\displaystyle {\int }_0^l}{K}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx-h_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]\mathrm{<mo>=</mo>0.}\end{array}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>12<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

Из условий согласования (4) вытекают начальные условия

                                                  $\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_0^l}{K}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{<mo>=</mo>}{h}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\\ \frac{\partial }{\partial t}{\displaystyle {\int }_0^l}{K}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{t\mathrm{<mo>=</mo>0}}\mathrm{<mo>=</mo>}{h^{\prime }}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\forall i\mathrm{<mo>=</mo>1,2.}\end{array}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>13<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

Задача Коши (12), (13) имеет единственное решение

                                                          $\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_0^l}{K}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{<mo>=</mo>}{h}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\\ {\displaystyle {\int }_0^l}{K}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{<mo>=</mo>}{h}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\end{array}$

что и означает выполнение условий (3).

2 Единственность решения задачи

Теперь рассмотрим частный случай этой задачи (1)$–$(3), в которой ядро представлено в виде $K_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\Phi }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\Psi }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Тогда условия (3) можно записать таким образом:

                                                    ${\displaystyle {\int }_0^l}{\Phi }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\Psi }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{<mo>=</mo>}{h}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}i\mathrm{<mo>=</mo>1,2.<mo\; stretchy="false">(</mo>14<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

Будем считать, что ${\Psi }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne 0$ всюду в $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ и обозначим $\frac{h_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\Psi }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}{T}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, тогда (14) можно представить так:

                                                         $\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_0^l}{\Phi }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{<mo>=</mo>}{T}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\\ {\displaystyle {\int }_0^l}{\Phi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{<mo>=</mo>}{T}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}\end{array}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>15<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

Условия (5) для этого частного случая выглядят следующим образом:

                                           $\begin{array}{c}{u}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\alpha }_{11}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\alpha }_{12}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle {\int }_0^l}{P}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx+G_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\\ u_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\alpha }_{21}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\alpha }_{22}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle {\int }_0^l}{P}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx+G_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\end{array}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>16<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

где

                                             $\begin{array}{c}{\alpha }_{11}\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{\Delta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{{\Phi }^{\prime }}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\Phi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\Phi }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{{\Phi }^{\prime }}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>,}\\ {\alpha }_{12}\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}-\frac{a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\Delta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{{\Phi }^{\prime }}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\Phi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\Phi }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{{\Phi }^{\prime }}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>,}\\ P_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\frac{a_x}{a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\Delta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{{{\Phi }^{\prime }}^{\prime }}_1{\Phi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\Phi }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{{{\Phi }^{\prime }}^{\prime }}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}\\ G_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\Delta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\displaystyle {\int }_0^l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{\Phi }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\Phi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\Phi }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\Phi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}fdx-\\ -{{T^{\prime }}^{\prime }}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\Phi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\Phi }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{{T^{\prime }}^{\prime }}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}\\ {\alpha }_{21}\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}\frac{a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\Delta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{{\Phi }^{\prime }}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\Phi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\Phi }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}{{\Phi }^{\prime }}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>,}\\ {\alpha }_{22}\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}-\frac{1}{\Delta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{{\Phi }^{\prime }}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\Phi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\Phi }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}{{\Phi }^{\prime }}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>,}\\ P_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\frac{a_x}{a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\Delta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{{{\Phi }^{\prime }}^{\prime }}_1{\Phi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\Phi }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}{{{\Phi }^{\prime }}^{\prime }}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}\\ G_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\Delta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\displaystyle {\int }_0^l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{\Phi }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\Phi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\Phi }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\Phi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}fdx-\\ -{{T^{\prime }}^{\prime }}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\Phi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\Phi }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}{{T^{\prime }}^{\prime }}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}\\ \Delta \mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}{\Phi }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\Phi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\Phi }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\Phi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne 0.\end{array}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>17<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

Введем понятие обобщенного решения. Следуя известной процедуре [1], считая что $u$ $—$ классическое решение, умножим равенство (1) на гладкую функцию, проинтегрируем по области $Q_T$ и, подставляя краевые условия, получим равенство:

                                         $\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_0^T}{\displaystyle {\int }_0^l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-u_t{v}_t+a{u}_x{v}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}dxdt+{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\alpha }_{21}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{v}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+\\ +{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\alpha }_{22}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{v}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\displaystyle {\int }_0^l}{P}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dxdt-\\ -{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\alpha }_{11}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{v}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt-{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\alpha }_{12}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{v}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt-\\ -{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\displaystyle {\int }_0^l}{P}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dxdt\mathrm{<mo>=</mo>}\\ \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_0^l}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx+{\displaystyle {\int }_0^T}{\displaystyle {\int }_0^l}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}fdxdt\mathrm{.}\end{array}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>18<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

Определение. Обобщенным решением задачи (1),(2), (16) будем называть функцию $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in$ $\in W_2^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, удовлетворяющую условию $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и тождеству

                                    $\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_0^T}{\displaystyle {\int }_0^l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-u_t{v}_t+a{u}_x{v}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}dxdt-{\displaystyle {\int }_0^T}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+{\displaystyle {\int }_0^T}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{<mo>=</mo>}\\ \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_0^l}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx+{\displaystyle {\int }_0^T}{\displaystyle {\int }_0^l}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}fdxdt\end{array}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>19<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

для любой функции $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\widehat{W}}_2^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$,

                                              $где{\widehat{W}}_2^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in W_2^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0<mo>\}</mo>.}$

Теорема. Если выполнены условия

                                                 $\begin{array}{c}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{a}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\overline{Q}}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\\ {\Phi }_i\in C^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}{\Psi }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne \mathrm{0<mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi>}\forall t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\\ {\alpha }_{12}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\alpha }_{21}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}\\ {\alpha }_{11}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\xi }_1^2+2{\alpha }_{12}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\xi }_1{\xi }_2-{\alpha }_{22}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\xi }_2^2\ge \mathrm{0,}\end{array}$

то существует не более одного обобщенного решения поставленной задачи.

Доказательство. Покажем, что существует не более одного решения задачи. Предположим, что существует два решения $u_1$ и $u_2$. Тогда $u\mathrm{<mo>=</mo>}{u}_1-u_2$ удовлетворяет тождеству:

                                         $\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_0^T}{\displaystyle {\int }_0^l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-u_t{v}_t+a{u}_x{v}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}dxdt+{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\alpha }_{21}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{v}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+\\ +{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\alpha }_{22}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{v}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\displaystyle {\int }_0^l}{P}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dxdt-\\ -{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\alpha }_{11}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{v}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt-{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\alpha }_{12}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{v}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt-\\ -{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\displaystyle {\int }_0^l}{P}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dxdt\mathrm{<mo>=</mo>0.}\end{array}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>20<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

Выберем в тождестве (18) с $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ и $\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ 

                                                      $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\left\{\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{\tau }^t}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\eta \mathrm{,0}\le t\le \tau \mathrm{,}\\ \mathrm{0,}\tau \le t\le T\mathrm{.}\end{array}\right.\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>21<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

Проинтегрируем по частям некоторые слагаемые:

                                              $\begin{array}{c}-{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\displaystyle {\int }_0^l}{u}_{t}udxdt\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^l}{u}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{,}\\ {\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\displaystyle {\int }_0^l}a{u}_x{v}_{x}dxdt\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{1}{2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\displaystyle {\int }_0^l}{a}_t{v}_x^{2}dxdt+{\displaystyle {\int }_0^l}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}{v}_x^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}\end{array}$

Подставляя в (20), получим:

                                   null

Проинтегрируем по частям и подставим в (22) такие интегралы:

                                    $\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\alpha }_{11}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{v}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{1}{2}{\alpha }_{11}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}{v}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\alpha }_{11}{a}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{v}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{,}\\ {\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\alpha }_{12}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{v}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{<mo>=</mo>}-{\alpha }_{12}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\alpha }_{12}{a}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt-\\ -{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\alpha }_{12}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{v}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{,}\\ {\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\alpha }_{22}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{v}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{1}{2}{\alpha }_{22}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}{v}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\alpha }_{22}{a}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{v}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{.}\end{array}$

Учитывая условия теоремы ${\alpha }_{12}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\alpha }_{21}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$, получим:

                                  $\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_0^l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{u}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}{v}_x^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}dx\mathrm{<mo>=</mo>}-{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\displaystyle {\int }_0^l}{a}_t{v}_x^{2}dxdt+\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{\alpha }_{11}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}{v}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\\ +2{\alpha }_{12}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\alpha }_{22}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}{v}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}+{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\alpha }_{11}{a}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{v}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt-\\ -{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\alpha }_{22}{a}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{v}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+2{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\alpha }_{12}{a}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt-2{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\displaystyle {\int }_0^l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-P_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\\ +P_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dxdt\mathrm{.}\end{array}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>23<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

Из равенства (23) вытекает неравенство и, если учесть условие теоремы ${\alpha }_{11}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\xi }_1^2+2{\alpha }_{12}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\xi }_1{\xi }_2-{\alpha }_{22}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\xi }_2^2\ge 0$, получим:

                                      $\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_0^l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{u}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}{v}_x^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}dx\le \left|{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\displaystyle {\int }_0^l}{a}_t{v}_x^{2}dxdt\right|+\left|{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\alpha }_{11}{a}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{v}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\right|+\\ +\left|{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\alpha }_{22}{a}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{v}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\right|+2\left|{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\alpha }_{12}{a}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\right|+\\ +2\left|{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\displaystyle {\int }_0^l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-P_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+P_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dxdt\right|\mathrm{.}\end{array}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>24<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

Обратимся теперь к правой части (24) Коши, Коши $—$ Буняковского и

                                                    $v^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le 2l{\displaystyle {\int }_0^l}{v}_x^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx+\frac{2}{l}{\displaystyle {\int }_0^l}{v}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{,}$

вывод которой показан в [3, с. 107]. Учитывая сказанное выше, получим оценки для таких слагаемых правой части неравенства (24):

                                     $\begin{array}{c}\left|{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\alpha }_{11}{a}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{v}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\right|\le {\displaystyle {\int }_0^{\tau }}\left|{\alpha }_{11}{a}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{v}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|dt\le {\displaystyle {\int }_0^{\tau }}\mathrm{<mo>|</mo>}{\alpha }_{11}\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}{a}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}{v}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\le \\ \le A_1{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{v}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\le 2l{A}_1{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\displaystyle {\int }_0^l}{v}_x^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dxdt+\frac{2A_1}{l}{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\displaystyle {\int }_0^l}{v}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dxdt\mathrm{,}\end{array}$

где $A_1\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}{b}_1\cdot a_2\mathrm{,}$

                                          $\begin{array}{c}2\left|{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\alpha }_{12}{a}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\right|\le 2{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}\left|{\alpha }_{12}{a}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|dt\le \\ \le 2{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}\mathrm{<mo>|</mo>}{\alpha }_{12}\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}{a}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo><mo>|</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo><mo>|</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}dt\le A_2{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{v}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+v^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}dt\mathrm{,}\end{array}$

где $A_2\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}{b}_2\cdot a_2\mathrm{,}$

                                      $\begin{array}{c}\left|{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\alpha }_{22}{a}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{v}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\right|\le {\displaystyle {\int }_0^{\tau }}\left|{\alpha }_{22}{a}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{v}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|dt\le {\displaystyle {\int }_0^{\tau }}\mathrm{<mo>|</mo>}{\alpha }_{22}\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}{a}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}{v}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\le \\ \le A_3{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{v}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\le 2l{A}_3{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\displaystyle {\int }_0^l}{v}_x^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dxdt+\frac{2A_3}{l}{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}{\displaystyle {\int }_0^l}{v}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dxdt\mathrm{,}\end{array}$