Accounting for a capillary pressure jump in a saturated porous medium for a more correct calculation of hydrocarbon reserves

Full Text

Введение

При промышленной разработке газоконденсатных месторождений одной из основных проблем является выпадение конденсата в пласте при снижении давления ниже давления насыщения. Выпадение конденсата может происходить как в пласте в целом – в ходе снижения пластового давления в процессе истощения пласта, так и в призабойной зоне скважины вследствие образования воронки депрессии вокруг скважины [1–5]. Методы поддержания пластового давления (ППД) позволяют увеличить добычу конденсата [4] по сравнению с традиционной добычей на истощение. При детальном изучении составов добываемых смесей, с одной стороны, и расчетов их фазовых равновесий, с другой, выявляется несоответствие этих составов [6]. Несоответствие экспериментальных и расчетных значений указывает на наличие определенных физико-химических механизмов, которые не учитываются в расчетных моделях.

Одним из таких механизмов, который вызывает смещение термодинамического равновесия, являются капиллярные силы [7], которые приводят к заметной разности давлений в жидкой и газовой фазах исходной пластовой смеси вследствие большей кривизны межфазных поверхностей в пористой среде [8]. Это приводит к изменению термодинамического равновесия газ–конденсат в пластовых условиях. При этом существует диапазон термобарических условий, при котором количество конденсата в пласте оказывается существенно больше, чем предсказывают «традиционные» оценки количества конденсата без учета капиллярного скачка давления (КСД) на межфазном фронте. Это явление может приводить к уменьшению добычи конденсата по сравнению с прогнозными показателями.

В качестве примера использования предложенной методики были взяты данные по Карачаганакскому нефтегазоконденсатному месторождению (КНГКМ).

Теоретическая постановка задачи

Рассматривается состояние углеводородной смеси в поровом пространстве при заданной температуре T. Будем принимать, что учитывается только поровое пространство, приходящееся на исследуемую смесь, т. е. за вычетом возможно присутствующей неподвижной связанной пластовой воды. Таким образом, все параметры смеси соотносятся с объемом пор, заполненным данной смесью. Состояние смеси описывается набором мольных плотностей, образующих N-мерные вектора n=(n_i), n_g=(n_gi), n_l=(n_li), где индекс i соответствует номеру химических компонентов смеси, индексы g и l показывают газовую и жидкую фазу соответственно, а N – полное число компонент. Этим векторам соответствуют векторы мольных концентраций c=(c_i), c_g=(c_gi), c_l=(c_li), определяемые соотношениями c_i=n_i/n, c_gi=n_gi/n_g, c_li=n_li/n_l, где значения определяются из выражений (1):

$n=\sum _{i=1}^N{n}_i,n_g=\sum _{i=1}^N{n}_{gi},n_l=\sum _{i=1}^N{n}_{li}.$ (1)

При распаде смеси при заданной температуре T на газовую и жидкую фазу условием термодинамического равновесия является равенство химических потенциалов

$\mu (T,n_g)=\mu (T,n_l).$ (2)

Уравнения на равенство химических потенциалов (2) дополняются уравнениями на условие баланса (3):

$n=S_g{n}_g+S_l{n}_l,$ (3)

где S_g и S_l – насыщенности (объемные доли газовой и жидкой фазы соответственно в поровом пространстве, занятом исследуемой смесью), для которых верно соотношение S_l+S_g=1.

Традиционно для расчета термодинамического равновесия смеси вместо химического потенциала используют величину летучести, которая определяется следующим уравнением (4):

${\mu }_i=RT\ln F_i+{\mu }_{i0}\left(T\right).$ (4)

Откуда получалось N нелинейных уравнений вида

$\Phi =\ln F(P_g,c_g,T)-\ln F(P_l,c_l,T).$ (5)

Расчеты проводились с учетом КСД, поэтому к указанным в формуле (5) величинам добавляется соотношение P_l=P_g+P_c, где значение КСД может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

В данной работе расчеты летучести проводились с использованием уравнения состояния (УС) Пенга–Робинсона [9–14], летучесть для которого определяется выражением:

$\begin{array}{c}\ln F_i=\ln \left(P{c}_i\right)-\ln (Z-b)+\\ +\frac{a}{2\sqrt{2}b}\left[\frac{2s_i}{a}-\frac{b_i}{b}\right]\ln \left[\frac{Z+(1-\sqrt{2})b}{Z+(1+\sqrt{2})b}\right]+\frac{b_i}{b}(Z-1).\end{array}$ (6)

Здесь величины a, b, b_i и s_i задаются выражениями (7)

$\begin{array}{c}a=\sum _{i,j=1}^N{a}_{ij}{c}_i{c}_j,b=\sum _{i=1}^N{b}_i{c}_i,\\ a_{ij}=(1-k_{ij}){\left(a_i{a}_j\right)}^{1/2},a_i={\Omega }_{Ai}{(1+m_i\left(1-T_{ri}^{1/2}\right))}^2\frac{P_{ri}}{T_{ri}^2},\\ m_i=\mathrm{0,37464}+\mathrm{0,153226}{\omega }_i-\mathrm{0,2699}{\omega }_i^2\\ для{\omega }_i\le \mathrm{0,49,}\\ m_i=\mathrm{0,37964}+\mathrm{0,1408503}{\omega }_i-\\ -\mathrm{0,16442}{\omega }_i^2+\mathrm{0,16666}{\omega }_i^3\\ для{\omega }_i>\mathrm{0,49,}\\ b_i={\Omega }_{Bi}\frac{p_{ri}}{T_{ri}},s_i=\sum _{j=1}^N{a}_{ij}{c}_j,T_{ri}=\frac{T}{T_{ci}},p_{ri}=\frac{P}{P_{ci}}.\end{array}$ (7)

Здесь P_ci, T_ci – критические температура и давление i-ого компонента смеси; w_i – ацентрический фактор; W_Ai, W_Bi – безразмерные параметры, определяющие соответствие расчетной по УС критической точки компонента заданным значениям; k_ij – бинарный коэффициент, позволяющий учесть взаимодействие между i-м и j-м компонентами; T_ri, p_ri, k_ij – безразмерные параметры.

Величина Z-коэффициента сжимаемости в уравнении (6) является решением кубического уравнения (8):

$\begin{array}{c}{Z}^3-(1-b)Z^2+(a-2b-3b^2)Z-\\ -(ab-b^2-b^3)=0.\end{array}$ (8)

Система из N нелинейных уравнений вида (5) дополняется N уравнениями баланса при заданной общей мольной концентрации смеси c:

$c={\lambda }_g{c}_g+{\lambda }_l{c}_l,$ (9)

где l_g, l_l – мольные доли газовой и жидкой фаз смеси, однозначно связанные с насыщенностями фаз

$S_g={\lambda }_g{n}_g^{-1}({\lambda }_g{n}_g^{-1}+{\lambda }_l{n}_l^{-1}),$ (10)

$S_l={\lambda }_l{n}_l^{-1}({\lambda }_g{n}_g^{-1}+{\lambda }_l{n}_l^{-1}),$ (11)

при этом параметры l_g, l_l и мольные концентрации c_gi и c_li удовлетворяют следующим уравнениям:

${\lambda }_g+{\lambda }_l=\mathrm{1,}\sum _{i=1}^N{c}_{gi}=1,\sum _{i=1}^N{c}_{li}=1.$ (12)

Уравнения (9) замыкают систему из 2N+2 нелинейных уравнений (5), (9) и (12) для определения неизвестных значений концентраций и мольных долей фаз, которые использовались для восстановления значений насыщенностей жидкой и газовой фаз по формулам (10) и (11). Стоит отметить, что решение подобной задачи сильно зависит от незначительных изменений мольных долей тяжелых компонент смеси. Для решения системы нелинейных уравнений (5), (9) и (12) использовались методы, описанные в [15, 16].

Таким образом, в результате расчетов получалась термодинамическая капиллярная кривая (ТКК), определяемая выражением

$P_c=P_c(P_g,P_l,S_l),$ (13)

где S_l определяются из (11), и для фиксированного значения давления в газовой фазе (P_g) решалось уравнение вида

$u(P_l,S_l)=P_c(P_g,P_l,S_l)-p_c\left(S_l\right),$ (14)

где p_c(S_l) – экспериментальная капиллярная кривая (ЭКК), полученная одним из методов, описанных в [16]. Решением уравнения (14) являются точки пересечения ТКК и ЭКК. Взаимные положения и количество точек пересечения обоих видов капиллярных кривых (КК) зависит от типа пористой среды. В случаях смачиваемой и несмачиваемой пористых сред КК имеют как минимум одну общую точку, а в случае смешанной смачиваемости имеют как минимум две точки пересечения.

Имея координаты точек пересечения, а также параметры ТКК, несложно получить составы газовой и жидкой фаз методом решения системы нелинейных уравнений (5), (9) и (12). Используя полученные результаты, можно определить значение КГФ добываемого газоконденсата. Стандартный способ расчета конденсатогазового фактора (КГФ), изложенный в [17], подразумевает расчет КГФ как потенциального содержания С5+ в добытом газе по формуле:

$q=\frac{{\displaystyle \sum _5^N{M}_{Ck}{c}_{gk}}}{\mathrm{24,04}},$ (15)

где M_Ck – молярная масса углеводородной компоненты с числом атомов углерода равным k.

Определение (15) подразумевает, что жидкая фаза при стандартных условиях состоит только из углеводородных компонентов тяжелее С4 (бутана), а газовая фаза не содержит в себе компонентов легче С5 (пентана). Такое допущение может приводить к занижению массы конденсата, выделяющейся из пластового флюида при стандартных условиях, в связи с чем имеет смысл рассмотреть другой способ расчета КГФ, а именно как отношение массы конденсата, выпавшего из газовой фазы, находящейся в объеме V, при стандартных условиях (P=1,01 бар, T=293 K) к объему V:

$q=\frac{M_l(с.у.)}{V}=\frac{M_l(с.у.)}{V_l(с.у.)+V_g(с.у.)}.$ (16)

Объемы газовой и жидкой фаз связаны с насыщенностью, рассчитанной по (10), (11), соотношением $S_{l\left(g\right)}=\frac{V_{l\left(g\right)}}{V_l+V_g},$ тогда для объема жидкой фазы справедливым будет:

$V_l=\frac{S_l}{1-S_l}{V}_g.$ (17)

С учетом соотношений M_l(c.y.)=r_l(c.y.)V_l и (17) выражение (16) для КГФ переписывается следующим образом:

$\begin{array}{c}q=\frac{{\rho }_l(с.у.)V_l(с.у.)}{V_l(с.у.)+V_g(с.у.)}=\\ =\frac{{\rho }_l(с.у.)V_g(с.у.)S_l}{(1-S_l+S_l)V_g(с.у.)}={\rho }_l(с.у.)S_l.\end{array}$ (18)

Эффект от учета КСД оценивался как разница между значением КГФ в точке росы (q) и точкой начала конденсации (q_cj), получаемой в результате расчета с учетом КСД.

Исследуемые данные

В данной работе исследовалась газоконденсатная смесь из КНГКМ [18, 19]. Исходный состав, температура и давление пласта и мольная масса фракции C5+ для различных глубин пласта (ГП) от 4000 до 5000 м представлены в табл. 1. Для корректного описания термодинамики газоконденсатной смеси с помощью PVT-моделирования необходимо, чтобы состав фракции C5+ был разбит на более мелкие фракции [20]. Это разбиение должно строиться на основании данных лабораторного анализа. В случае недоступности таких данных приходится прибегать к методам математического реконструирования состава фракции С5+, например [12, 20]. В настоящей работе фракция С5+ была разбита на 16 компонентов согласно методике, описанной в [12]. Полученный таким образом компонентный состав был использован для построения PVT-модели исследуемой газоконденсатной смеси.

Значения КГФ для пластового флюида, рассчитанные по формулам (15) и (18), также представлены в табл. 1.

 

Таблица 1. Исходные состав, температура пласта, давление пласта, мольная масса фракции С5+, значения КГФ, рассчитанные по формулам (15) и (18) в зависимости от ГП

Table 1. Initial composition, reservoir temperature, reservoir pressure, C5+ fraction molar mass, gas-condensate factor (GCF) values calculated using formulas (15) and (18) depending on the formation depth (FD)

ГП, м/FD, m	4000		4200		4400		4600		4800
	Содержание (z), % мол/Content (z), % mol
H2S	3,69	3,703		3,713		3,722		3,728
CO2	4,79	4,839		4,886		4,930		4,971
N2	0,7	0,7		0,699		0,697		0,696
C1	75,4	74,735		74,041		73,321		72,565
C2	5,45	5,454		5,455		5,453		5,447
C3	2,62	2,647		2,673		2,697		2,720
C4	1,37	1,398		1,424		1,451		1,477
C5+	5,93	6,522		7,105		7,731		8,401
T, K	343,0	345,8		348,6		351,4		354,2
Pнас, бар/Psat, bar	449	458		465		470		485
М C5+, г/моль M C5+, g/mol	170,3	175,32		180,32		185,32		190,3
КГФ (15), г/м3 GCF (15), g/m3	423,503	470,66		524,206		561,3		540,846
КГФ (18), г/м3 GCF (18), g/m3	392,706	444,844		504,806		546,869		524,142

 

Полученные значения КГФ методами (15) и (18) при расчетах без КСД (q) имеют различия в диапазоне 2,5–7,3 %, что подтверждает необходимость учета содержания компонентов легче С5 в конденсате и компонентов тяжелее С4 в газовой фазе. В связи с этим далее в работе для расчета КГФ использовалась формула (18).

КК для данной газоконденсатной смеси, продемонстрированная на рис. 1, основана на результатах работы [19]. Пористая среда характеризуется пористостью f=12,2 % и проницаемостью k=3,4×10^–3 мкм². Данная КК взята для 2-й скважины КНГКМ. На рисунке точками показаны исходные данные, линией – их аппроксимация полиномом третьей степени.

 

Рис. 1.    Капиллярная кривая для рассматриваемой смеси КНГКМ с f=12,2 % и k=3,4×10–3 мкм2

Fig. 1.     Capillary curve for the considered Karachaganak oil and gas condensate field (KOGCF) mixture with f=12,2% and k=3,4×10^–3 mm²

 

Данная смесь является гидрофобной, из чего следует, что давление в газовой фазе больше, чем давление в жидкости (P_g>P_l).

Результаты расчетов

Был произведен расчет фазового равновесия в окрестности точки росы для различных ГП H и для различных значений P_g и P_l КНГКМ. Получены ТКК, которые описываются уравнением (13). Для значения H=4000 м была обнаружена двухфазная область при давлениях P_g>P_dew. Согласно [7] граница двухфазной области в окрестности точки росы аппроксимируется прямой (P_l–P_dew)=a(P_g–P_dew) с коэффициентом наклона a, где P_dew – давление точки росы. Для H=4000 м значение коэффициента a=0,9228. Результаты расчета двухфазного равновесия для H=4000 м представлены на рис. 2 в виде фазовой диаграммы (ФД) в координатах (P_g,P_l).

 

Рис. 2. Фрагмент ФД для температуры T=343 K в окрестности точки росы для ГП H=4000 м

Fig. 2. Fragment of phase diagram (FD) for temperature T=343 K near dew point for FD H=4000 m

 

Был произведен пересчет КК на ЭКК для каждого значения ГП на пластовые условия с использованием формулы:

$P_{c\left(H\right)}=\frac{{\sigma }_H}{{\sigma }_w}{P}_{c\left(w\right)},$ (19)

где s_H – величина поверхностного натяжения для ГП H, выраженная в Н/м; s_w – величина поверхностного натяжения для воды, равная 0,063 Н/м, при пластовой температуре 348,75 K; P_c(H) – значение КСД для ГП H, выраженное в барах; P_c(w) – значение КСД для воды, выраженное в барах.

Полученные ЭКК продемонстрированы на рис. 3. В результате перерасчета по формуле (19) величина максимального КСД уменьшилась в среднем в 499 раз.

 

Рис. 3. ЭКК для различных значений ГП H. Расшифровка кривых: поверхностное натяжение (sH´10–5 в Н/м), ГП (H в м)

Fig. 3. Experimental capillary curve (ECC) for different values of the FD H. Curve code: surface tension (s_H´10^–5 in H/m), FD (H in m)

 

Полученные ТКК и ЭКК изображены на рис. 4. ТКК продемонстрирована черной линией, ЭКК – синей. Как можно заметить по продемонстрированному рисунку, величина КСД P_c(H) уменьшается с ростом величины H.

 

Рис. 4. ТКК и ЭКК для различных значений ГП: а) H=4000 м; б) H=4200 м; в) H=4400 м; г) H=4600 м; д) H=4800 м

Fig. 4. Thermodynamic capillary curve (TCC) and ECC for different values of FD: a) H=4000 m; б) H=4200 m; в) H=4400 m; г) H=4600 m; д) H=4800 m

 

Полученные данные по КК использовались для решения уравнения (14). В результате были найдены значения P_c(H) точек пересечения для каждой ГП H. Величины давления P_g и соответствующие им значения КСД P_c(H) представлены в табл. 2 для рассматриваемых ГП.

 

Таблица 2. Данные о давлении начала конденсации и соответствующем КСД, полученные в результате решения уравнения (14)

Table 2. Data on the pressure of the beginning of condensation and the corresponding capillary pressure jump (CPJ) obtained by solving the equation (14)

H, м	4000	4200	4400	4600	4800
Pg, бар	452,45	459,5	464,5	470,125	486,2
Pc(H), бар	–0,02487	–0,004984	–0,002306	–0,000979	–0,000601

 

Полученные данные в дальнейшем используются для расчета значений КГФ по формуле (18), как с КСД, так и без него. Результаты расчетов КГФ продемонстрированы в табл. 3.

 

Таблица 3. КГФ и разница в значениях КГФ, полученных обычным расчетом и расчетом с учетом капиллярных эффектов, в зависимости от ГП при расчете КГФ по формуле (18)

Table 3. GCF and difference in GCF obtained in calculations with and without capillary effects depending on FD according to the formula (18)

H, м	Pdew–Pg, бар	q, г/м3	q–qcj, г/м3
4000	–0,95497	392,7061	7,044839
4200	0,651079	444,8444	14,58636
4400	2,135236	504,8063	45,82637
4600	2,140759	546,8698	64,47018
4800	1,414867	524,1427	34,59183

 

Стоит отметить, что расчет точки пересечения двух КК для случая ГП H=4000 м возможен более простым методом. Если рассматривать ее как точку пересечения прямой с коэффициентом a и ЭКК, то в данном случае расчет КСД задается формулой

$P_{c\left(4000\right)}=P_g-(\alpha P_g+(1-\alpha \left)P_{dew}\right).$ (20)

Подставляя в уравнение (14) вместо выражения для ТКК формулу (20), аналогично ранее рассмотренной методике, находятся значения P_g и P_c(4000). Расчет значения КГФ для данного подхода дает значение q–q_cj=8,263 г/м³, что отличается на 17 % в большую сторону от исходного метода. Таким образом, становится возможным производить оценку запасов с меньшим количеством расчетов, хотя и с некоторым ухудшением качества оценки.

Заключение

Проведены расчеты фазового равновесия углеводородной смеси КНГКМ на различных ГП для 1 и 2 объектов разработки

Поправка к значению КГФ добываемого газоконденсата при учете капиллярных эффектов в пласте составляет от 7,04 г/м³ для глубины в 4000 м до 64,47 г/м³ для глубины в 4600 м при разработке месторождения без ППД или с частичным ППД.

Поскольку разница КГФ добываемого газоконденсата и КГФ пластового флюида дает коэффициент извлечения конденсата, то более точное определение КГФ добываемого газоконденсата позволяет оценить потенциальные потери извлекаемых запасов.

Представленная методика легко обобщается на случай летучей нефти в части учета КСД при расчетах фазового равновесия в системе газ–нефть.

About the authors

Maksim I. Raikovsky

Technology Company SLB

Author for correspondence.
Email: maksim.raikovskyi@gmail.com
ORCID iD: 0000-0003-2776-6105

Intern

Russian Federation, Moscow

Alexander Yu. Demyanov

Technology Company SLB

Email: Demianov_a_ju@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-2424-5267

Cand. Sc., Senior Researcher

Russian Federation, Moscow

Oleg Yu. Dinariev

Technology Company SLB

Email: ODinariev@gmail.com
ORCID iD: 0000-0003-4822-3302

Cand. Sc., Scientific Advisor

Russian Federation, Moscow

Denis V. Rudenko

Technology Company SLB

Email: Rudenkodv@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-0724-7682

Cand. Sc., Principal Research Scientist

Russian Federation, Moscow

References

Supplementary files