Mathematical modeling of minimization of electricity consumption by industrial enterprises with continuous production

全文:

Введение

Повышение эффективности использования электроэнергии на промышленных предприятиях с непрерывным характером производства (ППНХП) требует выполнения системы мероприятий, в том числе специальных [1, 2]. К универсальным, наиболее общим, мероприятиям обычно относят следующие:

• учёт и контроль расхода электроэнергии;
• составление электробалансов отдельных электропотребляющих машин и агрегатов, цехов и предприятия в целом;
• нормирование электропотребления;
• разработка и реализация конкретных мероприятий по рациональному использованию электроэнергии.

Одним из путей повышения энергоэффективности работы промышленных предприятий является минимизация расхода ими электроэнергии при сохранении объёма выпускаемой продукции за рассматриваемый период. Минимизации расхода электроэнергии можно добиться привлечением потребителей; в рассматриваемом случае – ППНХП на административно-экономической основе [3].

В [4–6] предложена следующая технология реализации потенциала энергосбережения и повышения энергоэффективности (ЭС и ПЭЭ) на ППНХП:

• разработка новых методов и технических решений по снижению энергетических затрат;
• оптимизация расхода топлива, электрической и тепловой энергии в основных технологических процессах промышленного производства с использованием современных технических средств учёта, контроля и управления;
• разработка методов экспериментальных исследований и измерений на действующем оборудовании ППНХП;
• составление математических моделей параметров управления режимами энергопотребления, обеспечивающих минимум энергетических затрат.

В связи с этим на основе выполненного анализа современного состояния управления потреблением электроэнергии промышленными предприятиями можно сделать вывод, что целесообразным является разработка и использование специально созданной для этой цели математической модели.

Результаты исследования

При решении задач реализации потенциала ЭС и ПЭЭ в качестве основных энергетических показателей электропотребления, которые зависят от многих факторов, обычно рассматриваются: потребляемая активная мощность – P, расход электроэнергии – W, удельное электропотребление – d (на единицу произведенной продукции) [7, 8].

Обычно на показатели электропотребления наибольшее влияние оказывает объём и номенклатура выпускаемой продукции за расчётный период (П). В математических моделях это влияние описывается выражением Р=f(П) [9]. При выпуске нескольких видов продукции учитываются их объём и доля каждого вида в общем выпуске продукции, а также режим работы оборудования при изготовлении каждого вида продукции. Потребляемая мощность определяется для каждого вида продукции. В этих случаях исследования проводятся на основе системного подхода, что позволяет разработать методы оптимизации электрических нагрузок и определить зависимости между режимом работы электрооборудования и его энергетическими показателями [10, 11].

Как известно [12, 13], исследования можно выполнять как на физической модели (на уменьшенном варианте реального объекта), так и на математической модели. В первом случае изучают сам процесс, а во втором исследуют уравнения, описывающие тот или иной процесс. Обычно в таких случаях невозможно аналитическое решение таких уравнений, поэтому с помощью различных приближенных методов уравнения приводят к виду, при котором они могут быть решены.

При оптимизации электропотребления разрабатываются и выполняются энергосберегающие мероприятия, для осуществления которых требуются значительные финансовые средства. При этом для оценки различных стратегий используются разработанные модели, и при изменении любого параметра с их помощью можно быстро и точно найти новые решения, обеспечивающие оптимальность системы в целом [14–16].

Промышленные предприятия, как правило, располагают информацией по итогам работы в отчетном периоде об объемах произведенной продукции и фактических расходах электроэнергии на каждый вид продукции в соответствии с принятой для производственных подразделений методикой учёта электроэнергии за отчетный период (год, месяц, неделя) [17–19]. Необходимо отметить, что предложенная методика применима для предприятий, выпускающих один тип продукции с различающимися объемами по временным интервалам. На основе этой информации можно нормировать удельный расход электроэнергии по соотношению:

$d_i^{}=f\left({\text{П}}_i\right)=\frac{W_i^{}}{{\text{П}}_i^{}},$                                                                           (1)

где W_i – расход электроэнергии за отчетный период (год, месяц, неделя), кВтч; d_i – удельный расход электроэнергии за отчетный период (год, месяц, неделя), кВтч/т; П_i – объём выпускаемой продукции за отчетный период (год, месяц, неделя), т.

Анализ статистических данных об объемах производства и соответствующих им удельных расходах электроэнергии показал, что наилучшим образом связь удельных расходов электроэнергии с объёмами производства отражается экспоненциальной зависимостью вида [9]:

$d_i^{}=f\left({\text{П}}_i\right)=\exp (a_{i0}^{}+a_{i1}^{}{\text{П}}_i^{}),$                                                                   (2)

где $a_{i0}^{}, a_{i1}^{}$– коэффициенты, определяемые для каждой зависимости (для каждого производственного подразделения предприятия).

Таким образом, на уровне производственных подразделений объём потребления электроэнергии можно определять на основе полученных зависимостей (1) по соотношению:

$W_i^{}=f\left({\text{П}}_i\right)=d_i^{}{\text{П}}_i^{}.$                                                                          (3)

Задача состоит в минимизации общего расхода или удельного расхода электроэнергии при ограничивающем условии для объема выпускаемой продукции П_i, т. е.:

$W_i^{}=f\left({\text{П}}_i\right)\to \min \text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}или\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{d}_i^{}=f\left({\text{П}}_i\right)\to \min .$

Исходя из особенностей работы оборудования ППНХП, для обеспечения неизменного объёма производства продукции в течение технологического процесса при минимально возможном потреблении электроэнергии задача оптимального распределения производства готовой продукции в течение отчётного периода (без учета простых и функциональных ограничений) пошагово решается следующим образом [20, 21].

Минимизируется целевая функция, которая представляет собой сумму затрат на электроэнергию при производстве готовой продукции в j-цехах предприятия:

$W_j^{}={\text{П}}_j^{}{e}_{}^{a+b{\text{П}}_j^{}}\to \min ,$                                                                   (4)

здесь

$W_j=W_1^{}+W_2^{}+W_3^{}+\mathrm{...}+W_n^{}.$                                                                 (5)

Ограничения:

по балансу готовой продукции, произведённой в цехах предприятия за отчетный период (год, месяц, неделя):

${\text{П}}_j={\text{П}}_1^{}+{\text{П}}_2^{}+{\text{П}}_3^{}+\mathrm{...}+{\text{П}}_n^{},$                                                                    (6)

по максимальному и минимальному объемам готовой продукции, которая может быть произведена цехом за отчётный период (год, месяц, неделя):

${\text{П}}_j^{\min }\le {\text{П}}_j^{}\le {\text{П}}_j^{\max },j\in N.$                                                                    (7)

Описанная уравнениями (4)–(7) задача с учетом ограничений минимизируется с помощью функции Лагранжа:

$\begin{array}{c}L=W_1+W_2+W_3+\mathrm{...}+W_n+\\ +\lambda {\text{(П}}_1-{\text{П}}_2^{}-{\text{П}}_3^{}-\mathrm{...}-{\text{П}}_n^{})=\\ ={\text{П}}_1^{}{e}_{}^{a+b{\text{П}}_1^{}}+{\text{П}}_2^{}{e}_{}^{a+b{\text{П}}_2^{}}+{\text{П}}_3^{}{e}_{}^{a+b{\text{П}}_3^{}}+\mathrm{...}+{\text{П}}_n^{}{e}_{}^{a+b{\text{П}}_n^{}}+\\ +\lambda {\text{(П}}_1^{}-{\text{П}}_2^{}-{\text{П}}_3^{}-{\text{П}}_n^{}),\end{array}$                                (8)

где λ – неопределенные множители Лагранжа с учётом условия баланса производства готовой продукции в отчетном периоде.

Для обеспечения минимума функции (8) должно выполняться следующее условие:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial L}{\partial {\text{П}}_1^{}}=w_1-\lambda =(1+b{\text{П}}_1^{})e_{}^{a+b{\text{П}}_1^{}}-\lambda =0;\\ \frac{\partial L}{\partial {\text{П}}_2^{}}=w_2-\lambda =(1+b{\text{П}}_2^{})e_{}^{a+b{\text{П}}_2^{}}-\lambda =0;\\ \frac{\partial L}{\partial {\text{П}}_3^{}}=w_3-\lambda =(1+b{\text{П}}_3^{})e_{}^{a+b{\text{П}}_3^{}}-\lambda =0;\\ \mathrm{......}\\ \frac{\partial L}{\partial {\text{П}}_n^{}}=w_n-\lambda =(1+b{\text{П}}_1^{})e_{}^{a+b{\text{П}}_n^{}}-\lambda =0;\\ \frac{\partial L}{\partial {\lambda }_{}^{}}=\text{П}-{\text{П}}_1^{}-{\text{П}}_2^{}-{\text{П}}_3^{}-\mathrm{...}-{\text{П}}_n^{}=\mathrm{0,}\end{array}\right.$                                            (9)

где $w_i^{}=\frac{\partial W_j}{\partial {\text{П}}_j^{}}$ – относительный прирост потребления электроэнергии j-го цеха при производстве готовой продукции П_j за отчетный период,

Из системы (9) видно что, значения λ равны:

$\lambda =(1+b{\text{П}}_j^{})e_{}^{a+b{\text{П}}_1^{}}.$

Для решения системы уравнений значения λ находим по минимальным значениям объема продукции, т. е.

Тогда для определения значения П_i имеем трансцендентные уравнения вида

$f\left({\text{П}}_i\right)=\lambda -(1+b{\text{П}}_j^{})e_{}^{a+b{\text{П}}_1^{}}=0.$                                                      (10)

Для решения уравнения (10) применим метод итерации.

С учетом (10) уравнение имеет следующий вид:

${\text{П}}_j^{}=\frac{\lambda }{b}{e}_{}^{-(a+b{\text{П}}_1^{})}-\frac{1}{b}.$

Значения П_i из (4) определяются методом итерации.

Таким образом, для обеспечения минимума потребления электроэнергии в процессе производства готовой продукции необходимо выполнять условия, записанные в виде (6), (7).

В частных случаях, т. е. с учетом всех условий, приведенных в (8), получаем:

$\left.\begin{array}{l}{w}_n^{}=-{\lambda }_i,i\in N;\\ \text{П}-\sum _{i=1}^n{\text{П}}_i^{}=\mathrm{0,}\end{array}\right\}.$

Это означает, что при сохранении баланса готовой продукции равенство относительного прироста расхода электроэнергии i-го цеха при производстве продукции П_j за рассматриваемый отчетный период является критерием минимального потребления электроэнергии [22, 23].

Для проверки правильности сформулированных выше выводов рассмотрена задача обеспечения минимального расхода электроэнергии на готовую продукцию, производимую промышленными предприятиями с непрерывным характером производства в течение отчетного периода. В связи с тем, что потребление электроэнергии на предприятии пропорционально удельной стоимости продукции, рекомендуется использовать стоимостные характеристики вместо характеристик электропотребления

${\text{П}}_j^{}=\frac{\lambda }{b}{e}_{}^{-(a+b{\text{П}}_1^{})}-\frac{1}{b}.$

Значения П_i определяются с помощью метода итерации.

Таким образом, для обеспечения минимума потребления электроэнергии в процессе производства готовой продукции необходимо выполнять условия, записанные в виде (6)–(8).

В частных случаях, т. е. с учетом всех условий, приведенных в (8), получаем:

$\left.\begin{array}{l}{w}_n^{}=-{\lambda }_j,i\in N\\ \text{П}-\sum _{i=1}^n{\text{П}}_j^{}=0\end{array}\right\}.$

Это означает, что при сохранении баланса готовой продукции равенство относительного прироста расхода электроэнергии j-го цеха при производстве продукции П за рассматриваемый период является критерием минимального потребления электроэнергии.

Для подтверждения сформулированных выше выводов рассмотрена задача обеспечения минимального расхода электроэнергии на производство продукци на ППНХП в течение отчетного периода по подразделениям предприятия (по цехам). Коэффициенты, определенные по уравнениям (2) и (3), приведены в табл. 1.

 

Таблица 1.     Коэффициенты, характеризующие расход электроэнергии по подразделениям предприятия (по цехам), определенные по уравнениям (2) и (3)

Table 1.           Coefficients, characterizing electrical power consumption by divisions of the enterprise (by workshops), determined according to equations (2) and (3)

Подразделения (цех)/ Divisions (workshop)	а0	а1
№ 1	3,0092	0,0041
№ 2	3,0067	0,0043
№ 3	2,9663	0,0043

 

Введен ряд ограничений в соответствии с уравнениями (6) и (7):

по балансу готовой продукции, произведённой предприятием за год:

$\sum _{k=I}^{\text{IV}}{\text{П}}_j^{}={\text{П}}_1^I+{\text{П}}_2^I+{\text{П}}_3^I+\mathrm{...}+=854;$

плановые обязательства по объему производимой продукции, принятые предприятием (табл. 2).

ограничения по максимальному и минимальному объемам продукции, произведённой в цехах предприятия по кварталам, имеют следующий вид:

цех № 1:        67≤П₁≤81

цех № 2:        69≤П₂≤82

цех № 3:        65≤П₃≤75.

 

Таблица 2.     Плановые значения выпуска готовой продукции ППНХП

Table 2.           Planned output values of finished products of the industrial enterprises of continuous production (IECP)

Кварталы/Quarters	1	2	3	4	Сумма/Total
Пплан, т/Пplan, t	210	241	201	202	854

 

Здесь граничные условия для каждого цеха заранее заданы руководством предприятия, а минимальные и максимальные значения определяются спецификой технологического процесса. Например, сокращение производства до минимального значения нецелосообразно с экономической точки зрения, а увеличение его выше максимального значения ограничено возможностями предприятия (или цеха).

Ежеквартальный план по выпуску продукции и соответствующая ему потребляемая электроэнергия приведены в табл. 3.

 

Таблица 3.     Ежеквартальный план производства продукции и потребление электроэнергии предприятием

Table 3.           Quarterly plan for production and electrical power consumption by the enterprise

Кварталы Quarters	1	2	3	4	Сумма Total
Объем произведенной продукции, Пплан, т Volume of produced products, Пplan, t	210	241	201	202	854
Расход электроэнергии на производство продукции, Wплан, 104·кВт·ч Electrical power consumption for production, Wplan, 104·kW·h	81,69	93,749	78,189	78,578	332,21

 

Поквартальное изменение в течение года потребления электроэнергии и объёма произведенной продукции на предприятии чёрной металлургии с непрерывным характером производства показано в табл. 4.

Видно, что при незначительном изменении объёма производимой продукции в течение года наблюдаются значительные изменения объёма потребленной электроэнергии. При сохранении годового объема готовой продукции минимальное потребление электроэнергии в месяц составляет 324,03·10⁶ кВт·ч, а различие между плановым и оптимальным годовым потреблением электроэнергии составляет 8,176·10⁶ кВт·ч. Годовое потребление электроэнергии уменьшается на 2,5 % при сохранении объемов производства продукции, т. е. условия ограничения по максимальному и минимальному объемам продукции, произведённой в цехах предприятия за год по кварталам в разрезах цехов, выполняются. Результаты исследования подтверждают адекватность предложенной модели.

 

Таблица 4.     Поквартальное изменение выпуска готовой продукции и потребления электроэнергии

Table 4.           Quarterly changes in finished product output and electrical power consumption

Кварталы Quarters	1	2	3	4	Сумма Total
Пплан, т/Пplan, t	210	241	201	202	854
Поптим., т/Пoptim, t	205	238	201	210	854
Разница в объемах произведенной продукции , т Difference in volume of products, t	5	3	0	–8	0
Wплан, 104·кВт·ч Wplan, 104·kW·h	81,69	93,749	78,189	78,578	332,21
Wоптим., 104·кВт·ч Woptim, 104·kW·h	80,01	83,84	79,57	80,61	324,03
Разница в объемах потребления ЭЭ, 104·кВт·ч Difference in electrical power consumption volumes, 104·kW·h	1,68	9,909	–1,381	–2,032	8,176

 

Результаты подобного сравнения, но в разрезе цехов (на примере трех цехов), приведены в табл. 5.

 

Таблица 5.     Изменение по кварталам выпуска готовой продукции и потребления электроэнергии в разрезе цехов

Table 5.           Quarterly changes in the output of finished products and electrical power consumption by workshop division

Подразделения (цехи) Divisions (workshops)	Кварталы Quarters	1	2	3	4	Сумма Total
№ 1	Поптимал, т Пoptimal, t	70	81	67	69	287
	Wоптимал, 104·кВт·ч Woptimal, 104·kW·h	27,01	28,26	26,68	26,90	109
№ 2	Поптимал, т Пoptimal, t	69	82	69	75	295
	Wоптимал, 104·кВт·ч Woptimal, 104·kW·h	27,21	28,77	27,21	27,92	111
№ 3	Поптимал, т Пoptimal, t	66	75	65	66	272
	Wоптимал, 104·кВт·ч Woptimal, 104·kW·h	25,79	26,81	25,68	25,79	104

 

В табл. 6 достоверность полученных результатов и сделанных на их основе выводов подтверждена сравнением с результатами, полученными методом отыскания относительного экстремума функций нескольких переменных [24, 25].

 

Таблица 6.     Сравнение полученных результатов методом отыскания относительного экстремума функций нескольких переменных

Table 6.           Comparison of results obtained by the method of finding the relative extremum of functions of several variables

Кварталы Quarters	1	2	3	4	Сумма Total
Результаты, полученные разработанным авторами методом Results obtained by the method developed by the authors
Поптим., т/Пoptimal, t	204	238	202	210	854
Wоптим., 104·кВт·ч Woptimal, 104·kW·h	80,01	83,84	79,57	80,61	324,03
Результаты, полученные методом, предложенным в [24, 25] Results obtained by the method proposed in [24, 25]
Поптим., т/Пoptimal, t	205	238	201	210	854
Wоптим., 104·кВт·ч Woptimal, 104·kW·h	79,86	83,84	80,52	80,61	324,83
Разница в объемах  потребленной ЭЭ, 104·кВт·ч Difference in electrical power consumption volumes, 104·kW·h	0,15	0	–0,95	0	–0,8

 

Заключение

Решена задача минимизации потребления электроэнергии на основе математической модели и градиентного метода в условиях оптимального планирования объема продукции, выпускаемой на ППНХП. При разработке математической модели, учитывающей характер технологического процесса и граничные условия в простой и интегральной форме, выявлена целесообразность оптимального планирования электропотребления предприятием.

На основе проведенных расчетно-эксперимен-тальных исследований установлено, что предложенная математическая модель является адекватной, так как обеспечивает минимум потребления электроэнергии. При учете различных видов ограничений она обладает высокими вычислительными качествами. При этом оптимальный объем выпускаемой продукции относится к определенному отрезку времени (месяц, год) при условии строгого соблюдения требований технологического процесса.

Адекватность разработанной модели подтверждена на примере работы металлургического предприятия. При этом выявлено условие минимального потребления электроэнергии. Результаты расчетов по предложенной методике и с применением метода отыскания относительного экстремума функций нескольких переменных практически совпали. Использование на практике предложенного авторами метода позволяет сократить годовое электропотребление на 8,176·10⁶ кВт·ч, что составит 2,5 % от суммарного объема. Естественно, что при этом должны учитываться основные факторы, влияющие на потребление электроэнергии на данном конкретном промышленном предприятии, а также граничные условия в простой и интегральной форме.

作者简介

Ikromjon Rakhmonov

Tashkent State Technical University

编辑信件的主要联系方式.
Email: ilider1987@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0003-2076-5919

Dr. Sc., Professor

乌兹别克斯坦, 2, Universitetskaya street, Tashkent, 100095

Vasily Ushakov

National Research Tomsk Polytechnic University

Email: vyush@tpu.ru

Dr. Sc., Professor, National Research

俄罗斯联邦, 30, Lenin avenue, Tomsk, 634050

Aysulu Najimova

Karakalpak State University

Email: a_najimova@karsu.uz
ORCID iD: 0009-0001-7336-8362

PhD, Associate Professor

乌兹别克斯坦, 1, Ch. Abdirov street, Nukus, 230100

Kamoliddin Obidov

“TIIAME” NRU Bukhara Institute of Natural Resources Management

Email: fedika1@mail.ru

Associate Dean on Working with Youth

乌兹别克斯坦, 32, Gazli highway, Bukhara, 200100

Seidamet Suleimanov

Research and production company KazTechAutomatics

Email: seidamet.s@gmail.com

ostdoctoral Student, Director

哈萨克斯坦, 11, Seifullin street, Temirtau, 101400

参考

补充文件