Типичность фрактально-хаотической структуры интегральных воронок в гамильтоновых системах с разрывной правой частью


Цитировать

Полный текст

Аннотация

В работе рассмотрена линейно-квадратичная задача оптимального управления, в которой управление принимает значения в некотором двумерном треугольнике. Фазовый портрет оптимального синтеза содержит особые экстремали второго порядка, а управление на любой оптимальной траектории имеет счетное число точек разрыва - так называемый чаттеринг-режим. Обнаружен абсолютно новый феномен, а именно, хаотическое поведение оптимальных траекторий на конечных промежутках времени. Оптимальная траектория при любых фиксированных начальных условиях, конечно же, фиксирована; тем не менее, картина оптимального синтеза в целом содержит хаотические структуры канторовского типа, наподобие подковы Смейла, генерируемые гомоклинической точкой. Динамика переключений управления описывается с помощью топологической цепи Маркова. Вычислены оценки размерности множества неблуждающих точек и энтропия. Во второй части работы доказано, что подобное поведение решений типично для кусочно гладких гамильтоновых систем в окрестности специальных особых точек на стыке трех гиперповерхностей разрыва правой части системы.

Об авторах

М. И. Зеликин

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Email: mzelikin@mtu-net.ru
Москва, Россия

Л. В. Локуциевский

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Email: lion.lokut@gmail.com
Москва, Россия

Р. Хильдебранд

Институт прикладного анализа и стохастики им. К.Вейерштрасса

Email: hildebra@wias-berlin.de
Berlin, Germany

Список литературы

  1. Аграчев А. А., Гамкрелидзе Р. В. Принцип оптимальности второго порядка для задачи быстродействия// Мат. сб. - 1976. - 100 (142 ), № 4 (8). - С. 610-643.
  2. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. - М.: Едиториал УРСС, 1989.
  3. Дмитрук А. В. Квадратичные условия понтрягинского минимума в задаче оптимального управления, линейной по управлению. I. Теорема о расшифровке// Изв. АН СССР. Сер. мат. - 1986. - 50, № 2. - С. 284-312.
  4. Дмитрук А. В. Квадратичные достаточные условия минимальности анормальных субримановых геодезических// Итоги науки и техн. Сер. Совр. мат. прилож. - 1999. - 4.- С. 5-89.
  5. Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. Т. 1. - М.: Изд-во иностр. лит., 1963.
  6. Зеликин М. И., Борисов В. Ф. Особые оптимальные режимы в задачах математической экономики// Итоги навки и техн. Сер. Совр. мат. и ее прилож. - 2003. - 11. - С. 3-161.
  7. Зеликин М. И., Киселев Д. Д., Локуциевский Л. В. Оптимальное управление и теория Галуа// Мат. сб. - 2013. - 204, № 11. - С. 83-98.
  8. Зеликин М. И., Локуциевский Л. В., Хильдебранд Р. Геометрия окрестностей особых экстремалей в задачах с многомерным управлением// Тр. МИАН. - 2012. - 277. - С. 74-90.
  9. Зеликин М. И., Локуциевский Л. В., Хильдебранд Р. Стохастическая динамика алгебр Ли скобок Пуассона в окрестности точки негладкости гамильтониана// Докл. РАН. - 2013. - 450, № 1. - С. 1- 6.
  10. Зеликин М. И., Мельников Н.Б., Хильдебранд Р. Топологическая структура фазового портрета типичного слоя оптимального синтеза для задач с накоплением переключений// Тр. МИАН. - 2001. - 233. - С. 125-152.
  11. Зеликина Л. Ф., Зеликин М. И., Хлюстов К. В. Особые стратифицированные многообразия для инволютивных управляемых систем// Дифф. уравн. - 2001. - 37, № 9. - C. 1161-1167.
  12. Каток А. Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. - М.: Факториал, 1999.
  13. Локуциевский Л. В. Гамильтоновость потока особых траекторий// Мат. сб. - 2014. - 205, № 3. - С. 133-160.
  14. Локуциевский Л. В. Особые режимы в управляемых системах с многомерным управлением из многогранника// Изв. РАН. Сер. мат. - 2014. - 78, № 5. - С. 167-190.
  15. Милютин А. А., Илютович А. Е., Осмоловский Н. П., Чуканов С. В. Оптимальное управление в линейных системах. - М.: Наука, 1993.
  16. Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Обобщенный метод Лиувилля интегрирования гамильтоновых систем// Функц. анализ и его прилож. - 1978. - 12, № 2. - С. 46-56.
  17. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. - М.: Наука, 1969.
  18. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. - М.: Наука, 1985.
  19. Falconer K. Fractal Geometry. Mathematical Foundations and Applications. - Chichester: Wiley, 2003.
  20. Fuller A. T. Dimensional properties of optimal and sub-optimal nonlinear control systems// J. Franklin Inst. - 1970. - 289. - С. 379-393.
  21. Hildebrand R., Lokutsievskiy L. V., Zelikin M. I. Generic fractal structure of nite parts of trajectories of piecewise smooth hamiltonian systems// Russ. J. Math. Phys. - 2013. - 20, № 1. - С. 25-32.
  22. Kelley H. J., Kopp R. E., Moyer H. G. Singular extremals// В сб.: «Topics in Optimization». - N.Y.: Academic Press, 1967. - С. 63-101.
  23. Krener A. J. The high order maximum principle and its application to singular extremals// SIAM J. Control Optim. - 1977. - 15, № 2. - С. 256-293.
  24. Kupka I. Fuller’s phenomena// В сб.: «Progr. Systems Control Theory». - Boston: Birkha¨user, 1990. - С. 129-142.
  25. Lewis R. M. Defenitions of order and junction condition in singular control problems// SIAM J. Control Optim. - 1980. - 18, № 1. - С. 21-32.
  26. Lokutsievskiy L. V. Generic structure of the lagrangian manifold in chattering problems// Sb. Math. - 2014. - 205, № 3. - С. 432-458.
  27. Lokutsievskii L. V., Zelikin M. I., Hildebrand R. Fractal structure of hyperbolic Lipschitzian dynamical systems// Russ. J. Math. Phys. - 2012. - 19, № 1. - С. 27-44.
  28. Marchal C. Chattering arcs and chattering controls// J. Optim. Theory Appl. - 1973. - 11, № 5. - С. 441- 468.
  29. McDannel J. P., Powers W. F. Necessary conditions for joining optimal singular and non-singular subarcs// SIAM J. Control Optim. - 1971. - 9. - С. 161-173.
  30. Zelikin M. I., Borisov V. F. Theory of chattering control with applications to astronautics, robotics, economics, and engineering. - Boston: Birkha¨user, 1994.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».