Спектральный анализ одномерной системы Дирака с суммируемым потенциалом и оператора Штурма-Лиувилля с коэффициентами-распределениями
- Авторы: Савчук А.М.1, Садовничая И.В.1
-
Учреждения:
- Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
- Выпуск: Том 66, № 3 (2020): Спектральный анализ
- Страницы: 373-530
- Раздел: Статьи
- URL: https://journals.rcsi.science/2413-3639/article/view/327745
- DOI: https://doi.org/10.22363/2413-3639-2020-66-3-373-530
- ID: 327745
Цитировать
Полный текст
Аннотация
Мы рассматриваем одномерный оператор Дирака LP,U. Краевые условия предполагаются регулярными по Биркгофу, а потенциал P(x) - суммируемым на [0, ]. Вводятся понятия сильно и слабо регулярного оператора. В обоих случаях найдены асимптотические формулы для собственных значений. В этих формулах мы выписываем главные асимптотические члены и оцениваем остатки, которые специфицируем в зависимости от функционального класса потенциала: Lp[0,], где p ∈ [1, 2], и пространства Бесова , где p ∈ [1, 2], а θ ∈ (0, 1/p). Дополнительно мы доказываем равномерность наших оценок по шарам . Затем мы получаем асимптотические формулы длянормированных собственных функций в сильно регулярном случае с такими же оценками остатковв равномерной на [0,] метрике. В слабо регулярном случае собственные значения асимптотически двукратны, и мы проводим аналогичные оценки для соответствующих двумерных спектральных проекторов. Далее мы доказываем базисность Рисса в пространстве (L2[0,])2 системы собственных и присоединенных функций произвольного сильно регулярного оператора LP,U. В слабо регулярном случае доказана базисность Рисса двумерных подпространств.
Параллельно с оператором LP,U мы рассматриваем оператор Штурма-Лиувилля Lq,U , порожденный дифференциальным выражением -y'' + q(x)y с потенциалом q первого порядка сингулярности (т. е. предполагаем, что первообразная u = q(-1) лежит в L2[0, ]) и регулярными по Биркгофукраевыми условиями. С помощью подобия мы сводим к этому случаю операторы более общего вида , где и . Для оператора Lq,U получаем такие же результаты об асимптотике собственных значений, собственных функций, результаты о базисности, как и для LP,U.
Затем для оператора Дирака LP,U мы доказываем равномерность базисности Рисса по шарам при p>1 или θ>0. Задача об условной базисности естественным образом обобщается до задачи о равносходимости спектральных разложений в различных метриках. Мы доказываем результат о равносходимости, варьируя три индекса: (раскладываемая функция), (потенциал) и , в (равносходимость спектральных разложений посоответствующей норме). В завершение мы доказываем теоремы об условной и безусловной базисности системы собственных и присоединенных функций оператора LP,U в пространствах , и в различных пространствах Бесова .
Об авторах
А. М. Савчук
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Автор, ответственный за переписку.
Email: artem_savchuk@mail.ru
119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1
И. В. Садовничая
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Email: ivsad@yandex.ru
119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1
Список литературы
- Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи. - М.: Мир, 1968.
- Баскаков А.Г., Кацарян Т.К. Спектральный анализ интегро-дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями// Дифф. уравн. - 1988. -24, № 8. - С. 1424-1433.
- Беляев А.А., Шкаликов А.А. Мультипликаторы в пространствах бесселевых потенциалов: случай индексов неотрицательной гладкости// Мат. заметки. - 2017. - 102, № 5. - С. 684-699.
- Берг Й., Лефстрем Й. Интерполяционные пространства. - М.: Мир, 1980.
- Богачев В.И., Смолянов О.Г. Действительный и функциональный анализ. - Москва-Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2009.
- Бурлуцкая М.Ш., Корнев В.В., Хромов А.П. Система Дирака с недифференцируемым потенциалом и периодическими краевыми условиями// Журн. выч. мат. и мат. физ. - 2012. -52, № 9. - С. 1621- 1632.
- Бурлуцкая М.Ш., Курдюмов В.П., Хромов А.П. Уточненные асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций системы Дирака// Докл. РАН. - 2012. -443, № 4. - С. 414-417.
- Вагабов А.И. Об уточнении асимптотической теоремы Тамаркина// Дифф. уравн. - 1993. -29, № 1. - С. 41-49.
- Вагабов А.И. Об асимптотике по параметру решений дифференциальных систем с коэффициентами из класса Lq// Дифф. уравн. - 2010. -46, № 1. - С. 16-22.
- Велиев О.А., Шкаликов А.А. О базисности Рисса собственных и присоединенных функций периодической и антипериодической задач Штурма-Лиувилля// Мат. заметки. - 2009. - 85, № 5. - С. 671-686.
- Винокуров В.А., Садовничий В.А. Асимптотика собственных значений и собственных функций и формула следа для потенциала, содержащего δ-функции// Дифф. уравн. - 2002. -38, № 6. - С. 735-751.
- Владимиров А.А. О сходимости последовательностей обыкновенных дифференциальных операторов// Мат. заметки. - 2004. -75, № 6. - С. 941-943.
- Владимиров А.А., Шейпак И.А. Индефинитная задача Штурма-Лиувилля для некоторых классов самоподобных сингулярных весов// Тр. МИАН. - 2006. -255. - С. 88-98.
- Владимиров А.А., Шейпак И.А. Самоподобные функции в пространстве L2[0,1] и задача Штурма-Лиувилля с сингулярным индефинитным весом// Мат. сб. - 2006. -197, № 11. - С. 13-30.
- Владимиров А.А., Шейпак И.А. О задаче Неймана для уравнения Штурма-Лиувилля с самоподобным весом канторовского типа// Функц. анализ и его прилож. - 2013. -47, № 4. - С. 18-29.
- Владыкина В.Е. Спектральные характеристики оператора Штурма-Лиувилля при минимальных условиях на гладкость коэффициентов// Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Мат. Мех. - 2019. - № 6. - С. 23-28.
- Гарнетт Д. Ограниченные аналитические функции. - М.: Мир, 1984.
- Гомилко А.М., Радзиевский Г.В. Равносходимость рядов по собственным функциям обыкновенных функционально-дифференциальных операторов// Докл. РАН. - 1991. -316, № 2. - С. 265-270.
- Гохберг И., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. - М.: Наука, 1965.
- Данфорд Н., Шварц Д. Линейные операторы. I, II, III. - М.: Мир, 1962, 1966, 1974.
- Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений. I// Дифф. уравн. - 1980. -16, № 5. - С. 771-794.
- Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений. II// Дифф. уравн. - 1980. -16, № 6. - С. 980-1009.
- Ильин В.А. Равносходимость с тригонометрическим рядом разложений по корневым функциям одномерного оператора Шредингера с комплексным потенциалом класса L1// Дифф. уравн. - 1991. -27, № 4. - С. 577-597.
- Ильин В.А. Равномерная на всей прямой R равносходимость с интегралом Фурье спектрального разложения, отвечающего самосопряженному расширения оператора Шредингера с равномерно локально суммируемым потенциалом// Дифф. уравн. - 1995. -31, № 12. - С. 1957-1967.
- Ильин В.А., Антониу И. О равномерной на всей прямой R равносходимости с интегралом Фурье спектрального разложения произвольной функции из класса Lp(R), отвечающего самосопряженному расширению оператора Хилла// Дифф. уравн. - 1995. -31, № 8. - С. 1310-1322.
- Ильин В.А., Антониу И. О спектральных разложениях, соответствующих оператору Лиувилля, порожденному оператором Шредингера с равномерно локально суммируемым потенциалом// Дифф. уравн. - 1996. -32, № 4. - С. 435-440.
- Като Т. Теория возмущений линейных операторов. - М.: Мир, 1972.
- Кац И.С. О существовании спектральных функций некоторых сингулярных дифференциальных систем второго порядка// ДОКЛ. АН СССР. - 1956. -106, № 1. - С. 15-18.
- Кац И.С., Крейн М.Г. Дополнение II «О спектральных функциях струны» к книге Ф. Аткинсона «Дискретные и непрерывные граничные задачи». - М.: Мир, 1968.
- Кацнельсон В.Э. Об условиях базисности системы корневых векторов некоторых классов операторов// Функц. анализ и его прилож. - 1967. -1, № 2. - С. 39-51.
- Келдыш М.В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных операторов// Усп. мат. наук. - 1971. -26, № 4. - С. 15-41.
- Кесельман Г.М. О безусловной сходимости разложений по собственным функциям конкретных дифференциальных операторов// Изв. вузов. Сер. Мат. - 1964. -39, № 2. - С. 82-93.
- Коддингтон Э., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Изд-во иностранной литературы, 1958.
- Корнев В.В., Хромов А.П. Система Дирака с недифференцируемым потенциалом и антипериодическими краевыми условиями// Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Мат. Мех. Информ. - 2013. -13, № 3. - С. 28-35.
- Костюченко А.Г., Шкаликов А.А. О суммируемости разложений по собственным функциям дифференциальных операторов и операторов свертки// Функц. анализ и его прилож. - 1978. -12, № 4. - С. 24-40.
- Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. - М.: Наука, 1966.
- Крейн М.Г.РАН. Сер. Мат. - 1952. -О неопределенном случае краевой задачи Штурма-Лиувилля в интервале16, № 4. - С. 293-324. (0,∞)// Изв.
- Левитан Б.М. Об асимптотическом поведении спектральной функции самосопряженного дифференциального уравнения второго порядка и о разложении по собственным функциям// Изв. АН СССР. Сер. Мат. - 1953. -17. - С. 331-367.
- Левитан Б.М. Об асимптотическом поведении спектральной функции самосопряженного дифференциального уравнения второго порядка и о разложении по собственным функциям. II// Изв. АН СССР. Сер. Мат. - 1955. -19, № 1. - С. 33-58.
- Левитан Б.М., Саргсян И.С. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака. - М.: Наука, 1988.
- Лидский Б.В. О суммируемости рядов по главным векторам несамосопряженных операторов// Тр. Моск. мат. об-ва. - 1962. -11. - С. 3-35.
- Ломов И.С. О локальной сходимости биортогональных рядов, связанных с дифференциальными операторами с негладкими коэффициентами. I, II// Дифф. уравн. - 2001. -37, № 3. - С. 328-342.
- Лунев А.А., Маламуд М.М. О базисности Рисса системы корневых векторов для 2×2-системы типа Дирака// Докл. РАН. - 2014. -458, № 3. - С. 1-6.
- Макин А.С. О сходимости разложений по корневым функциям периодической краевой задачи// Докл. РАН. - 2006. -406, № 4. - С. 452-457.
- Маркус А.С. О разложении по корневым векторам слабо возмущенного самосопряженного оператора// Докл. АН СССР. - 1962. -142, № 3. - С. 538-541.
- Марченко В.А. Некоторые вопросы теории одномерных линейных дифференциальных операторов второго порядка. I// Тр. Моск. мат. об-ва. - 1952. -1. - С. 327-420.
- Марченко В.А. Некоторые вопросы теории одномерных линейных дифференциальных операторов второго порядка. II// Тр. Моск. мат. об-ва. - 1953. -1. - С. 3-83.
- Мирзоев К.А. Операторы Штурма-Лиувилля// Тр. Моск. мат. об-ва. - 2014. - 75, № 2. - С. 335-359.
- Мирзоев К.А., Шкаликов А.А. Дифференциальные операторы четного порядка с коэффициентами распределениями// Мат. заметки. - 2016. -99, № 5. - С. 788-793.
- Михайлов В.П. О базисности Рисса в L2(0,1)// Докл. АН СССР. - 1962. -144. - С. 981-984.
- Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. - М.: Наука, 1969.
- Нейман-заде М.И., Шкаликов А.А. Операторы Шредингера с сингулярными потенциалами из пространств мультипликаторов// Мат. заметки. - 1999. -66, № 5. - С. 723-733.
- Рапопорт И.М. О некоторых асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений. - Киев: Изд-во Акад. Наук Укр. ССР, 1954.
- Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. - М.: Мир, 1979.
- Рыхлов В.С. Асимптотика системы решений для квазидифференциального оператора// В сб.: «Диф. уравнения и теория функций. Разложения и сходимость», вып. 5. - Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1983. - С. 51-59.
- Рыхлов В.С. О скорости равносходимости для дифференциальных операторов с ненулевым коэффициентом при (n - 1)-й производной// Докл. АН СССР. - 1984. -279, № 5. - С. 1053-1056.
- Савчук А.М. Система Дирака с потенциалом из пространств Бесова// Дифф. уравн. - 2016. -52, № 4. - С. 454-469.
- Савчук А.М. Оператор типа Кальдерона-Зигмунда и его связь с асимптотическими оценками для обыкновенных дифференциальных операторов// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2017. -63, № 4. - С. 689-702.
- Савчук А.М. О базисности системы собственных и присоединенных функций одномерного оператора Дирака// Изв. РАН. Сер. Мат. - 2018. -82, № 2. - С. 113-139.
- Савчук А.М. Равномерные оценки остатков, возникающие при спектральном анализе линейных дифференциальных систем// Дифф. уравн. - 2019. -55, № 5. - С. 625-635.
- Савчук А.М., Садовничая И.В. Асимптотические формулы для фундаментальных решений системы Дирака с комплекснозначным суммируемым потенциалом// Дифф. уравн. - 2013. - 49, № 5. - С. 573-584.
- Савчук А.М., Садовничая И.В. Базисность Рисса из подпространств для системы Дирака с суммируемым потенциалом// Докл. РАН. - 2015. -462, № 3. - С. 274-277.
- Савчук А.М., Садовничая И.В. Базисность Рисса со скобками для системы Дирака с суммируемым потенциалом// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2015. -58. - С. 128-152.
- Савчук А.М., Садовничая И.В. Равномерная базисность системы корневых векторов оператора Дирака// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2018. -64, № 1. - С. 180-193.
- Савчук А.М., Шкаликов А.А. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами// Мат. заметки. - 1999. -66, № 6. - С. 897-912.
- Савчук А.М., Шкаликов А.А. Формула следа для оператора Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами// Мат. заметки. - 2000. -68, № 3. - С. 427-442.
- Савчук А.М., Шкаликов А.А. Операторы Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями// Тр. Моск. мат. об-ва. - 2003. - 64. - С. 159-219.
- Савчук А.М., Шкаликов А.А. О собственных значениях оператора Штурма-Лиувилля с потенциалами из пространств Соболева// Мат. заметки. - 2006. - 80, № 6. - С. 864--884.
- Савчук А.М., Шкаликов А.А. Обратные задачи для оператора Штурма-Лиувилля с потенциалами из пространств Соболева. Равномерная устойчивость// Функц. анализ и его прилож. - 2010. -44, № 4. - С. 34-53.
- Савчук А.М., Шкаликов А.А. Равномерная устойчивость обратной задачи Штурма-Лиувилля по спектральной функции в шкале соболевских пространств// Тр. МИАН. - 2013. - 283. - С. 188-203.
- Савчук А.М., Шкаликов А.А. Асимптотический анализ решений обыкновенных дифференциальных уравнений с коэффициентами-распределениями// Мат. сб. - 2020 (принято в печать).
- Садовничая И.В. О равносходимости разложений в ряды по собственным функциям операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями// Мат. сб. - 2010. -201, № 9. - С. 61-76.
- Садовничая И.В. Равносходимость спектральных разложений для системы Дирака с потенциалом из пространств Лебега// Тр. МИАН. - 2016. -293. - С. 296-324.
- Садовничая И.В. Сходимость спектральных разложений для оператора Штурма-Лиувилля// Сб. тезисов Межд. конф. по диф. уравнениям и динам. системам, Суздаль, Россия, 6-11 июля 2018. - Владимир: Изд-во ВлГУ, 2018. - С. 185-186.
- Садовничая И.В. Равносходимость спектральных разложений для обыкновенных дифференциальных операторов второго порядка с коэффициентами-распределениями// Сб. тезисов Межд. конф. по диф. уравнениям и динам. системам, Суздаль, Россия, 3-8 июля 2020. - Владимир: Изд-во ВлГУ, 2020. - С. 107-108.
- Седлецкий А.М. О равномерной сходимости негармонических рядов Фурье// Тр. МИАН. - 1991. - 200. - С. 299-309.
- Стеклов В.А. Sur les expressions asymptotiques de certaines fonctions, definies par les´ equations´ differentielles lin´ eaires du second ordre, et leurs applications au probl´ eme du d` eveloppement d’une fonction´ arbitraire en series proc´ edant suivant les-dites fonctions// Сообщ. Харьков. мат. об-ва. Вторая сер. -´ 1907. -10. - С. 97-199.
- Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений и о разложении произвольной функции в ряды. - Петроград: Типография Фроловой, 1917.
- Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. - М.: Мир, 1980.
- Трибель Х. Теория функциональных пространств. - М.: Мир, 1986.
- Харди Г.Г., Литтльвуд Дж.Е., Полиа Г. Неравенства. - М.: Гос. изд-во иностранной литературы, 1948.
- Хромов А.П. Разложение по собственным функциям обыкновенных дифференциальных операторов на конечном интервале// Докл. АН СССР. - 1962. -146, № 6. - С. 1294-1297.
- Хромов А.П. Разложение по собственным функциям обыкновенных линейных дифференциальных операторов с нерегулярными распадающимися краевыми условиями// Мат. сб. - 1966. -70. - С. 310- 329.
- Хромов А.П. О суммировании разложений по собственным функциям краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения с распадающимися краевыми условиями и об одном аналоге теоремы Вейерштрасса// В сб.: «Обыкновенные дифференциальные уравнения и разложения в ряды Фурье». - Саратов: Саратовский ун-т, 1968. - С. 29-41.
- Хромов А.П. О равносходимости разложений по собственным функциям дифференциальных операторов второго порядка. II// В сб.: «Дифференциальные уравнения и вычислительная математика», вып. 5. - Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1975. - С. 3-20.
- Шин Д. Теорема существования квазидифференциального уравнения n-го порядка// Докл. АН СССР. - 1938. -18, № 8. - С. 515-518.
- Шин Д. О решениях линейного квазидиференциального уравнения n-го порядка// Мат. сб. - 1940. - 7, № 3. - С. 479-532.
- Шин Д. О квазидифференциальных операторах в гильбертовом пространстве// Мат. сб. - 1943. -13, № 1. - С. 39-70.
- Шкаликов А.А. О базисности собственных функций обыкновенного дифференциального оператора// Усп. мат. наук. - 1979. -34, № 5. - С. 235-236.
- Шкаликов А.А. О базисности собственных векторов квадратичных операторных пучков// Мат. заметки. - 1981. -30, № 3. - С. 371-385.
- Шкаликов А.А. Возмущения самосопряженных и нормальных операторов с дискретным спектром// Усп. мат. наук. - 2016. -71, № 5. - С. 113-174.
- Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач. - М.: Физматлит, 2007.
- Albeverio S., Gesztesy F., Hoegh-Krohn R., Holden H.¨ Solvable models in quantum mechanics. - Providence: AMS Chelsea Publishing, 2005.
- Albeverio S., Kurasov P. Singular perturbations of differential operators. - Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2001.
- Atkinson F., Everitt W., Zettl A. Regularization of a Sturm-Liouville problem with an interior singularity using quasi-derivatives// Differ. Integral Equ. - 1988. -1, № 2. - С. 213-221.
- Bak J.-G., Shkalikov A.A. Multipliers in dual Sobolev spaces and Schrodinger operators with distribution¨ potentials// Math. Notes. - 2002. -71. - С. 587-594.
- Baskakov A.G., Polyakov D.M. Spectral properties of the Hill operator// Math. Notes. - 2016. -99, № 3-4. - С. 598-602.
- Baskakov A.G., Polyakov D.M. The method of similar operators in the spectral analysis of the Hill operator with nonsmooth potential// Sb. Math. - 2017. -208, № 1. - С. 1-43.
- Ben Amara J., Shkalikov A.A. Oscillation theorems for Sturm-Liouville problems with distribution potentials// Moscow Univ. Math. Bull. - 2009. -64, № 3. - С. 132-137.
- Bennett C., Sharpley R.C. Interpolation of operators. - Boston etc.: Academic press, 1988.
- Bennewitz C. Spectral asymptotics for Sturm-Liouville equations// Proc. Lond. Math. Soc. (3). - 1989. -59, № 2. - С. 294-338.
- Bennewitz C., Everitt W.N. On second-order left-definite boundary value problems// В сб.: «Ordinary differential equations and operators. A tribute to F. V. Atkinson», Proc. Symp., Dundee, Scotland, March- July 1982. - Berlin etc.: Springer-Verlag, 1983. - С. 31-67.
- Benzinger H.E. Green’s function for ordinary differential operators// J. Differ. Equ. - 1970. -7, № 3. - С. 478-496.
- Birkhoff G.D. On the asymptotic character of the solutions of certain linear differential equations containing a parameter// Trans. Am. Math. Soc. - 1908. - 9, № 2. - С. 219-231.
- Birkhoff G.D. Boundary value and expansion problems of ordinary linear differential equations// Trans. Am. Math. Soc. - 1908. -9, № 4. - С. 373-395.
- Camassa R., Holm D. An integrable shallow water equation with peaked solitons// Phys. Rev. Lett. - 1993. -71. - С. 1661-1664.
- Djakov P., Mityagin B. Instability zones of periodic 1-dimensional Schrodinger and Dirac operators//¨ Russ. Math. Surv. - 2006. - 61, № 4. - С. 663-766.
- Djakov P., Mityagin B. Bari-Markus property for Riesz projections of Hill operators with singular potentials// Contemp. Math. - 2009. -481. - С. 59-80.
- Djakov P., Mityagin B. Spectral gap asymptotics of one-dimensional Schrodinger operators with singular¨ periodic potentials// Integral Transforms Spec. Funct. - 2009. -20, № 3-4. - С. 265-273.
- Djakov P., Mityagin B. Fourier method for one-dimensional Schrodinger operators with singular periodic¨ potentials// В сб.: «Topics in operator theory. Vol. 2: Systems and mathematical physics», Proc. 19th Int. Workshop Operator Theory Appl. (IWOTA), Williamsburg, USA, July 22-26, 2008. - Basel: Birkhauser,¨ 2010. - С. 195-236.
- Djakov P., Mityagin B. Criteria for existence of Riesz bases consisting of root functions of Hill and 1D Dirac operators// J. Funct. Anal. - 2012. -263, № 8. - С. 2300-2332.
- Djakov P., Mityagin B. Equiconvergence of spectral decompositions of 1D Dirac operators with regular boundary conditions// J. Approx. Theory. - 2012. -164, № 7. - С. 879-927.
- Djakov P., Mityagin B. Equiconvergence of spectral decompositions of Hill operators// Dokl. Math. - 2012. -86, № 1. - С. 542-544.
- Djakov P., Mityagin B. Unconditional convergence of spectral decompositions of 1D Dirac operators with regular boundary conditions// Indiana Univ. Math. J. - 2012. -61, № 1. - С. 359-398.
- Djakov P., Mityagin B. Equiconvergence of spectral decompositions of Hill-Schrodinger operators//¨ J. Differ. Equ. - 2013. -255, № 10. - С. 3233-3283.
- Djakov P., Mityagin B. Riesz basis property of Hill operators with potentials in weighted spaces// Trans. Moscow Math. Soc. - 2014. -75. - С. 151-172.
- Dunford N. A survey of the thoery of spectral operators// Bull. Am. Math. Soc. (N.S.). - 1958. -64. - С. 217-274.
- Eckhardt J., Kostenko A. The inverse spectral problem for indefinite strings// Invent. Math. - 2016. - 204, № 3. - С. 939-977.
- Eckhardt J., Kostenko A.S., Malamud M.M., Teschl G. One-dimensional Schrodinger operators with¨ δ-interactions on Cantor-type sets// J. Differ. Equ. - 2014. -257. - С. 415-449.
- Eckhardt J., Gesztesy F., Nichols R., Teschl G. Weyl-Titchmarsh theory for Sturm-Liouville operators with distributional potentials// Opuscula Math. - 2013. - 33, № 3. - С. 467-563.
- Eckhardt J., Teschl G. Sturm-Liouville operators with measure-valued coefficients// J. d’Anal. Math. - 2013. -120, № 1. - С. 151-224.
- Everitt W.N., Markus L. Boundary value problems and symplectic algebra for ordinary differential and quasi-differential operators. - Providence: Amer. Math. Soc., 1999.
- Feller W. Generalized second order differential operators and their lateral conditions// Illinois J. Math. - 1957. -1, № 4. - С. 459-504.
- Frayer C., Hryniv R.O., Mykytyuk Ya.V., Perry P.A. Inverse scattering for Schrodinger operators with¨ Miura potentials. I. Unique Riccati representatives and ZS-AKNS system// Inverse Problems. - 2009. - 25, № 11. - 115007.
- Grafakos L. Modern Fourier analysis. - New York: Springer, 2009.
- Grudsky S., Rybkin A. On positive type initial profiles for the KdV equation// Proc. Am. Math. Soc. - 2014. -142, № 6. - С. 2079-2086.
- Gunson J. Perturbation theory for a Sturm-Liouville problem with an interior singularity// Proc. R. Soc. London Ser. A Math. Phys. Eng. Sci. - 1987. -414. - С. 255-269.
- Haar A. Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme. (Erste Mitteilung.)// Math. Ann. - 1910. - 69, № 3. - С. 331-371.
- Haar A. Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme. (Zweite Mitteilung.)// Math. Ann. - 1912. - 71, № 1. - С. 38-53.
- Hobson E.W. On a general convergence theorem, and the theory of the representation of a function by a series of normal functions// Proc. Lond. Math. Soc. (2). - 1908. -6. - С. 349-395.
- Hryniv R., Mykytyuk Ya. 1D Schrodinger operators with singular periodic potentials// Methods Funct.¨ Anal. Topol. - 2001. -7, № 4. - С. 31-42.
- Hryniv R., Mykytyuk Ya. Inverse spectral problems for Sturm-Liouville operators with singular potentials// Inverse Problems. - 2003. - 19, № 3. - С. 665-684.
- Hryniv R., Mykytyuk Ya. Inverse spectral problems for Sturm-Liouville operators with singular potentials. III. Reconstruction by three spectra// J. Math. Anal. Appl. - 2003. -284, № 2. - С. 626-646.
- Hryniv R., Mykytyuk Ya. Transformation operators for Sturm-Liouville operators with singular potentials// Math. Phys. Anal. Geom. - 2004. -7, № 2. - С. 119-149.
- Hryniv R., Mykytyuk Ya. Inverse spectral problems for Sturm-Liouville operators with singular potentials. IV. Potentials in the Sobolev space scale// Proc. Edinb. Math. Soc. (2). - 2006. - 49, № 2. - С. 309-329.
- Hryniv R., Mykytyuk Ya., Perry P.A. Inverse scattering for Schrodinger operators with Miura potentials.¨ II. Different Riccati representatives// Commun. Part. Differ. Equ. - 2011. -36. - С. 1587-1623.
- Hryniv R., Mykytyuk Ya., Perry P.A. Sobolev mapping properties of the scattering transform for the Schrodinger equation// В сб.: «Spectral theory and geometric analysis», Int. Conf. in honor of Mikhail¨ Shubin’s 65th birthday, Boston, USA, July 29 - August 2, 2009. - Providence: Am. Math. Soc., 2011. - С. 79-93.
- Kappeler T., Mohr C.¨ Estimates for periodic and Dirichlet eigenvalues of the Schrodinger operator with¨ singular potentials// J. Funct. Anal. - 2001. -186. - С. 62-91.
- Kappeler T., Topalov P. Global well-posedness of mKdV in L2(T,R)// Commun. Part. Differ. Equ. - 2005. -30. - С. 435-449.
- Kappeler T., Topalov P. Global wellposedness of KdV in H-1(R,R)// Duke Math. J. - 2006. -135. - С. 327-360.
- Kashin B.S., Saakyan A.A. Orthogonal series. - Providence: Am. Math. Soc., 1989.
- Korotyaev E. Characterization of the spectrum of Schrodinger operators with periodic distributions// Int.¨ Math. Res. Not. IMRN. - 2003. -37. - С. 2019-2031.
- Kostenko A.S., Malamud M.M. 1-D Schrodinger operators with local point interactions on a discrete¨ set// J. Differ. Equ. - 2010. -249. - С. 253-304.
- Kostenko A.S., Malamud M.M. One-dimensional Schrodinger operator with¨ δ-interactions// Funct. Anal. Appl. - 2010. -44, № 2. - С. 151-155.
- Kurasov P. On the Coulomb potentials in one dimension// J. Phys. A. - 1996. -29, № 8. - С. 1767-1771.
- Langer H. Zur Spektraltheorie verallgemeinerter gewonlicher Differentialoperatoren zweiter Ordnung mit¨ einer nichtmonotonen Gewichtsfunktion. - Jyvaskyl¨ a: Univ. Jyv¨ askyl¨ a Math. Inst., 1972.¨
- Lunyov A.A., Malamud M.M. On the completeness of the root vectors for first order systems// Dokl. Math. - 2013. -88, № 3. - С. 678-683.
- Lunyov A.A., Malamud M.M. On the Riesz basis property of root vectors system for 2 × 2 Dirac type operators// J. Math. Anal. Appl. - 2016. -441. - С. 57-103.
- Malamud M.M., Oridoroga L.L. On the completeness of root subspaces of boundary value problems for first order systems of ordinary differential equations// J. Funct. Anal. - 2012. -263. - С. 1939-1980.
- Maz’ya V.G., Verbitsky I.E. Boundedness and compactness criteria for the one-dimensional Schrodinger¨ operator// В сб.: «Function spaces, interpolation theory and related topics», Proc. Int. Conf. in honour of J. Peetre on his 65th birthday, Lund, Sweden, August 17-22, 2000. - Berlin: de Gruyter, 2002. - С. 369-382.
- Maz’ya V.G., Verbitsky I.E. The form boundedness criterion for the relativistic Schrodinger operator//¨ Ann. Inst. Fourier (Grenoble). - 2004. -54, № 2. - С. 317-339.
- Maz’ya V.G., Verbitsky I.E. Infinitesimal form boundedness and Trudinger’s subordination for the Schrodinger operator// Invent. Math. - 2005. -¨ 162. - С. 81-136.
- Mikhailets V.A., Molyboga V.M. Singular eigenvalue problems on the circle// Methods Funct. Anal. Topol. - 2004. - 10, № 3. - С. 44-53.
- Mikhailets V.A., Molyboga V.M. One-dimensional Schrodinger¨ operators with singular periodic potentials// Methods Funct. Anal. Topol. - 2008. -14, № 2. - С. 184-200.
- Mikhailets V.A., Molyboga V.M. Spectral gaps of the one-dimensional Schrodinger operators with¨ singular periodic potentials// Methods Funct. Anal. Topol. - 2009. - 15, № 1. - С. 31-40.
- Mingarelli A.B. Volterra-Stieltjes integral equations and generalized ordinary differential expressions. - Berlin: Springer, 1983.
- Minkin A. Equiconvergence theorems for differential operators// J. Math. Sci. (N. Y.). - 1999. -96. - С. 3631-3715.
- Radzievskii G.V. Boundary value problems and related moduli of continuity// Funct. Anal. Appl. - 1995. -29, № 3. - С. 217-219.
- Rybkin A. Regularized perturbation determinants and KdV conservation laws for irregular initial profiles// В сб.: «Topics in operator theory. Vol. 2: Systems and mathematical physics», Proc. 19th Int. Workshop Operator Theory Appl. (IWOTA), Williamsburg, USA, July 22-26, 2008. - Basel: Birkhauser, 2010. -¨ С. 427-444.
- Rykhlov V.S. Asymptotical formulas for solutions of linear differential systems of the first order// Results Math. - 1999. - 36. - С. 342-353.
- Savchuk A.M., Shkalikov A.A. The Dirac operator with complex-valued summable potential// Math. Notes. - 2014. -96, № 5. - С. 3-36.
- Stekloff V.A. Solution gen´ erale du probl´ eme de d` eveloppement d’une fonction arbitraire en s´ eries suivant´ les fonctions fondamentales de Sturm-Liouville// Rom. Acc. L. Rend. (5). - 1910. -19. - С. 490-496.
- Stone M.H. A comparison of the series of Fourier and Birkhoff// Trans. Am. Math. Soc. - 1926. -28, № 4. - С. 695-761.
- Tamarkine J.D. Application de la methode des fonctions fondamentales´ a l’` etude de l’´ equation diff´ erentielle´ des verges vibrantes elastiques// Сообщ. Харьков. мат. об-ва. Вторая сер. - 1911. -´ 12. - С. 19-46.
- Tamarkine J.D. Addition a l’article intitul` e «Application de la m´ ethode des fonctions fondamentales´ a` l’etude de l’´ equation diff´ erentielle des verges vibrantes´ elastiques»// Сообщ. Харьков. мат. об-ва. Вторая´ сер. - 1911. -12. - С. 65-69.
- Tamarkine Y.D. Some general problems of the theory of linear differential equations and expansions of an arbitrary functions in series of fundamental functions// Math. Z. - 1928. -27, № 1. - С. 1-54.
- Volkmer H. Eigenvalue problems of Atkinson, Feller and Krein, and their mutual relationship// Electron. J. Differ. Equ. - 2005. -48.
- Weidmann J. Spectral theory of ordinary differential operators. - Berlin: Springer, 1987.
- Zettl A. Formally self-adjoint quasi-differential operators// Rocky Mountain J. Math. - 1975. -5. - С. 453-474.
Дополнительные файлы
