Method of Monotone Solutions for Reaction-Diffusion Equations

Capa

Citar

Texto integral

Resumo

Existence of solutions of reaction-diffusion systems of equations in unbounded domains is studied by the Leray-Schauder (LS) method based on the topological degree for elliptic operators in unbounded domains and on a priori estimates of solutions in weighted spaces. We identify some reactiondiffusion systems for which there exist two subclasses of solutions separated in the function space, monotone and non-monotone solutions. A priori estimates and existence of solutions are obtained for monotone solutions allowing to prove their existence by the LS method. Various applications of this method are given.

Sobre autores

V Volpert

Institut Camille Jordan, UMR 5208 CNRS, University Lyon; INRIA Team Dracula, INRIA Lyon La Doua; RUDN University

Email: volpert@math.univ-lyon1.fr
1, 69622 Villeurbanne, France; 69603 Villeurbanne, France;6 Miklukho-Maklaya st., 117198 Moscow, Russia

V Vougalter

University of Toronto

Email: volpert@math.univ-lyon1.fr
Toronto, M5S 2E4 Ontario, Canada

Bibliografia

  1. Борисович Ю. Г., Звягин В. Г., Сапронов Ю. И. Нелинейные фредгольмовы отображения и теория Лере-Шаудера// Усп. мат. наук. - 1977. - 32, № 4. - C. 3-54.
  2. Вишик М. И. О сильно эллиптических системах дифференциальных уравнений// Мат. сб. - 1951. - 29. - C. 615-676.
  3. Волевич Л. Р. Разрешимость краевых задач для общих эллиптических систем// Мат. сб. - 1965. - 68. - C. 373-416.
  4. Вольперт А. И., Вольперт В. А. Применение теории вращения векторных полей к исследованию волновых решений параболических уравнений// Тр. Моск. Мат. об-ва. - 1989. - 52. - C. 58-109.
  5. Рабинович В. С. Псевдодифференциальные операторы в неограниченных областях, с конической структурой на бесконечности// Мат. сб. - 1969. - 80. - C. 77-96.
  6. Рабинович В. С. Фредгольмовость общих краевых задач на некомпактных многообразиях и предельные операторы// Докл. РАН. - 1992. - 325, № 2. - C. 237-241.
  7. Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial diffrential equations satisfying general boundary conditions// Comm. Pure Appl. Math. - 1959. - 12. - C. 623-727.
  8. Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial diffrential equations satisfying general boundary conditions II// Commun. Pure Appl. Math. - 1964. - 17.- C. 35- 92.
  9. Apreutesei N., Ducrot A., Volpert V. Competition of species with intra-specific competition// Math. Model. Nat. Phenom. - 2008. - 3, № 4. - C. 1-27.
  10. Apreutesei N., Ducrot A., Volpert V. Travelling waves for integro-differential equations in population dynamics// Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B. - 2009. - 11, № 3. - C. 541-561.
  11. Apreutesei N., Tosenberger A., Volpert V. Existence of reaction-diffusion waves with nonlinear boundary conditions// Math. Model. Nat. Phenom. - 2013. - 8, № 4. - C. 2-17.
  12. Apreutesei N., Volpert V. Properness and topological degree for nonlocal reaction-diffusion operators// Abstr. Appl. Anal. - 2011. - ID 629692.
  13. Apreutesei N., Volpert V. Existence of travelling waves for a class of integro-differential equations from population dynamics// Int. Electron. J. Pure Appl. Math. - 2012. - 5, № 2. - C. 53-67.
  14. Apreutesei N., Volpert V. Reaction-diffusion waves with nonlinear boundary conditions// Nonlinear Heterog. Medium. - 2013. - 8, № 2. - C. 23-35.
  15. Apreutesei N., Volpert V. Travelling waves for reaction-diffusion problems with nonlinear boundary conditions. Application to a model of atherosclerosis// Pure Appl. Funct. Anal. - 2017 (в печати).
  16. Benevieri P., Furi M. A simple notion of orientability for Fredholm maps of index zero between Banach manifolds and degree theory// Ann. Sci. Math. Que´bec - 1998. - 22. - C. 131-148.
  17. Benevieri P., Furi M. On the concept of orientability for Fredholm maps between real Banach manifolds// Topol. Methods Nonlinear Anal. - 2000. - 16, № 2. - C. 279-306.
  18. Berestycki H., Larrouturou B., Lions P. L. Multidimensional traveling wave solutions of a flame propagation model// Arch. Ration. Mech. Anal. - 1990. - 111. - C. 97-117.
  19. Berestycki H., Nirenberg L. Travelling fronts in cylinders// Ann. Inst. H. Poincare´ Anal. Non Line´aire - 1992. - 9, № 5. - C. 497-572.
  20. Bessonov N., Reinberg N., Volpert V. Mathematics of Darwin’s diagram// Math. Model. Nat. Phenom. - 2014. - 9, № 3. - C. 5-25.
  21. Bocharov G., Meyerhans A., Bessonov N., Trofimchuk S., Volpert V. Spatiotemporal dynamics of virus infection spreading in tissues// Plos ONE. - 2016. - doi: 10.1371/journal.pone.0168576.
  22. Collet J. F., Volpert V. Computation of the index of linear elliptic operators in unbounded cylinders// J. Funct. Anal. - 1999. - 164. - C. 34-59.
  23. Dancer E. N. Boundary value problems for ordinary differential equations on infinite intervals// Proc. Lond. Math. Soc. - 1975. - 30, № 3. - C. 76-94.
  24. Demin I., Volpert V. Existence of waves for a nonlocal reaction-diffusion equation// Math. Model. Nat. Phenom. - 2010. - 5, № 5. - C. 80-101.
  25. Elworthy K. D., Tromba A. J. Degree theory on Banach manifolds// В сб. «Nonlinear Functional Analysis». - Providence: Amer. Math. Soc., 1970. - С. 86-94.
  26. Elworthy K. D., Tromba A. J. Differential structures and Fredholm maps on Banach manifolds// В сб. «Global Analysis». - Providence: Amer. Math. Soc., 1970. - С. 45-94.
  27. Eymard N., Volpert V., Vougalter V. Existence of pulses for local and nonlocal reaction-diffusion equations// J. Dynam. Differ. Equ. - 2017. - 29, № 3. - C. 1145-1158.
  28. Fenske C. Analytische Theorie des Abbildungrades fur Abbildungen in Banachraumen// Math. Nachr. - 1971. - 48. - C. 279-290.
  29. Fife P. C., McLeod J. B. The approach to solutions of nonlinear diffusion equations to traveling front solutions// Arch. Ration. Mech. Anal. - 1977. - 65. - C. 335-361.
  30. Fife P. C., McLeod J. B. A phase plane discussion of convergence to travelling fronts for nonlinear diffusion// Arch. Ration. Mech. Anal. - 1981. - 75. - C. 281-314.
  31. Fitzpatrick P. M. The parity as an invariant for detecting bifurcaton of the zeroes of one parameter families of nonlinear Fredholm maps// Lecture Notes in Math. - 1993. - 1537. - C. 1-31.
  32. Fitzpatrick P. M., Pejsachowicz J. Parity and generalized multiplicity// Trans. Am. Math. Soc. - 1991. - 326. - C. 281-305.
  33. Fitzpatrick P. M., Pejsachowicz J. Orientation and the Leray-Schauder degree for fully nonlinear elliptic boundary value problems// Mem. Am. Math. Soc. - 1993. - 101, № 483. - C. 1-131.
  34. Fitzpatrick P. M., Pejsachowicz J., Rabier P. J. The degree of proper C2 Fredholm mappings// J. Reine Angew. Math. - 1992. - 427. - C. 1-33.
  35. Fitzpatrick P. M., Pejsachowicz J., Rabier P. J. Orientability of Fredholm families and topological degree for orientable nonlinear Fredholm mappings// J. Funct. Anal. - 1994. - 124. - C. 1-39.
  36. Galochkina T., Marion M., Volpert V. Initiation of reaction-diffusion waves of blood coagulation// в печати.
  37. Gardner R. A. Existence and stability of traveling wave solution of competition models: a degree theoretic approach// J. Differ. Equ. - 1982. - 44. - C. 343-364.
  38. Isnard C. A. Orientation and degree in infinite dimensions// Notices Am. Math. Soc. - 1972. - 19.- A-514.
  39. Leray J., Schauder J. Topologie et e´quations fonctionnelles// Ann. Sci. E´ c. Norm. Supe´r (3). - 1934. - 51. - C. 45-78.
  40. Marion M., Volpert V. Existence of pulses for a monotone reaction-diffusion system// Pure Appl. Funct. Anal.- 2016.- 1, № 1. - C. 97-122.
  41. Marion M., Volpert V. Existence of pulses for the system of competition of species// J. Dyn. Differ. Equ. - 2017. - в печати.
  42. Miranda C. Equazioni alle Derivate Parziale di Tipo Elliptico. - Berlin: Springer-Verlag, 1955.
  43. Muravnik A. On the half-plane Dirichlet problem for differential-difference elliptic equations with several nonlocal terms// Math. Model. Nat. Phenom. - 2017. - 12, № 6. - в печати.
  44. Onanov G. G., Skubachevskii A. L. Nonlocal problems in the mechanics of three-layer shells// Math. Model. Nat. Phenom. - 2017. - 12, № 6. - в печати.
  45. Rabier P. J., Stuart C. A. Fredholm and properness properties of quasilinear elliptic operators on RN // Math. Nachr. - 2001. - 231. - C. 29-168.
  46. Rabinovich V., Roch S., Silbermann B. Limit operators and their applications in operator theory// Oper. Theory Adv. Appl. - 2004. - 150. - C. 1-392.
  47. Rossovskii L. Elliptic functional differential equations with incommensurable contractions// Math. Model. Nat. Phenom.- 2017.- 12, № 6. - в печати.
  48. Skubachevskii A. L. Nonlocal elliptic problems and multidimensional diffusion processes// Russ. J. Math. Phys. - 1995. - 3, № 3. - C. 327-360.
  49. Skubachevskii A. L. Elliptic Functional Differential Equations and Applications. - Basel: Birkha¨user, 1997.
  50. Smale S. An infinite dimensional version of Sard’s theorem// Am. J. Math. - 1965. - 87. - C. 861-866.
  51. Tasevich A. Analysis of functional-differential equation with orthotropic contractions// Math. Model. Nat. Phenom. - 2017. - 12, № 6. - в печати.
  52. Trofimchuk S., Volpert V. Travelling waves for a bistable reaction-diffusion equation with delay// Arxiv. - 2017. - 1701.08560v1.
  53. Volpert A., Volpert V. The construction of the Leray-Schauder degree for elliptic operators in unbounded domains// Ann. Inst. H. Poincare´ Anal. Non Line´aire - 1994. - 11, № 3. - C. 245-273.
  54. Volpert A., Volpert V. Existence of multidimensional travelling waves and systems of waves// Commun. Part. Differ. Equ. - 2001. - 26, № 3-4. - C. 76-85.
  55. Volpert A., Volpert V. Properness and topological degree for general elliptic operators// Abstr. Appl. Anal. - 2003. - № 3. - C. 129-181.
  56. Volpert A., Volpert V. Formally adjoint problems and solvability conditions for elliptic operators// Russ. J. Math. Phys. - 2004. - 11, № 4. - C. 474-497.
  57. Volpert A., Volpert V. Fredholm property of elliptic operators in unbounded domains// Trans. Moscow Math. Soc. - 2006. - 67. - C. 127-197.
  58. Volpert A., Volpert Vit., Volpert Vl. Traveling Wave Solutions of Parabolic Systems. - Providence: Amer. Math. Soc., 1994.
  59. Volpert V. Asymptotic behavior of solutions of a nonlinear diffusion equation with a source term of general form// Sib. Math. J. - 1989. - 30, № 1. - C. 25-36.
  60. Volpert V. Convergence to a wave of solutions of a nonlinear diffusion equation with source of general type// Sib. Math. J. - 1989. - 30, № 2. - C. 203-210.
  61. Volpert V. Elliptic Partial Differential Equations. Vol. 1. Fredholm Theory of Elliptic Problems in Unbounded Domains. - Basel: Birkha¨user, 2011.
  62. Volpert V. Elliptic Partial Differential Equations. Vol. 2. Reaction-Diffusion Equations. - Basel: Birkha¨user, 2014.
  63. Volpert V. Pulses and waves for a bistable nonlocal reaction-diffusion equation// Appl. Math. Lett. - 2015. - 44. - C. 21-25.
  64. Volpert V., Reinberg N., Benmir M., Boujena S. On pulse solutions of a reaction-diffusion system in population dynamics// Nonlinear Anal. - 2015. - 120. - C. 76-85.
  65. Volpert V., Volpert A., Collet J. F. Topological degree for elliptic operators in unbounded cylinders// Adv. Differ. Equ. - 1999. - 4, № 6. - C. 777-812.
  66. Vougalter V., Volpert V. Solvability relations for some non Fredholm operators// Int. Electron. J. Pure Appl. Math. - 2010. - 2, № 1. - C. 75-83.
  67. Vougalter V., Volpert V. Solvability conditions for some non-Fredholm operators// Proc. Edinb. Math. Soc. (2). - 2011. - 54, № 1. - C. 249-271.
  68. Vougalter V., Volpert V. On the existence of stationary solutions for some non Fredholm integro-differential equations// Doc. Math. - 2011. - 16. - C. 561-580.
  69. Vougalter V., Volpert V. Existence of stationary pulses for nonlocal reaction-diffusion equations// Doc. Math. - 2014. - 19. - C. 1141-1153.

Arquivos suplementares

Arquivos suplementares
Ação
1. JATS XML
Baixar

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».