On expanding attractors of arbitrary codimension

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

Thanks to the works by R.V. Plykin and V.Z. Grines, the most studied expanding attractors are orientable attractors of codimension one of A -diffeomorphisms of multidimensional closed manifolds and one-dimensional attractors on closed surfaces. In this paper, we prove that there exist closed manifolds of any dimension, starting with three, admitting structurally stable diffeomorphisms and diffeomorphisms satisfying Smale’s axiom A, with expanding attractors of arbitrary codimension. For some codimensions the type of manifolds is obtained.

About the authors

E. V. Zhuzhoma

National Research University “Higher School of Economics”

Author for correspondence.
Email: zhuzhoma@mail.ru
Nizhniy Novgorod, Russia

V. S. Medvedev

National Research University “Higher School of Economics”

Email: medvedev-1942@mail.ru
Nizhniy Novgorod, Russia

References

  1. Аносов Д.В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны. -М.: Наука, 1967.
  2. Аносов Д.В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны// Тр. МИАН.-1967.-90.-С. 3-210.
  3. Аносов Д.В. Об одном классе инвариантных множеств гладких динамических систем// В сб.: «Тpуды пятой междунаpодной конфеpенции по нелинейным колебаниям. Т. 2. Качественные методы».-Киев: Инcт. мат. АН УССP, 1970.- С. 39-44.
  4. Гринес В.З. О топологической сопpяженности диффеомоpфизмов двумеpного многообpазия на одномеpных базисных множествах// Усп. мат. наук.- 1974.- 29, № 6.- С. 163-164.
  5. Гринес В.З. О топологической сопряженности диффеоморфизмов двумерного многообразия на одномерных ориентируемых базисных множествах, 1// Тр. ММО.- 1975.- 32.- С. 35-60.
  6. Гринес В.З., Жужома Е.В. О грубых диффеоморфизмах с растягивающимися аттракторами и сжимающимися репеллерами коразмерности один// Докл. РАН. -2000.- 374.-С. 274-276.
  7. Гринес В.З., Жужома Е.В. Структурно устойчивые диффеоморфизмы с базисными множествами коразмерности один// Изв. РАН. Сер. Мат.- 2002.-66, № 2.- С. 3-66.
  8. Гринес В.З., Починка О.В. Введение в топологическую классификацию диффеоморфизмов на многообразиях размерности два и три.- М.-Ижевск: РХД, 2011.
  9. Гуревич В., Волмэн Г. Теория размерности.- М.: ГИИЛ, 1948.
  10. Жужома Е.В., Медведев В. С. О неориентируемых двумерных базисных множествах на 3многообразиях// Мат. сб.- 2002.-193, № 6. -С. 83-104.
  11. Жужома Е.В., Медведев В.С. О двумерных растягивающихся аттракторах A-потоков// Мат. заметки. -2020.- 107, № 5.- С. 787-790.
  12. Кузнецов С.П. Динамический хаос и гиперболические аттракторы. От математики к физике.-М.- Ижевск: Инст. комп. иссл., 2013.
  13. Плыкин Р.В. О топологии базисных множеств диффеоморфизмов Смейла// Мат. сб.- 1971.- 84.- С. 301-312.
  14. Плыкин Р.В. Источники и стоки A-диффеоморфизмов поверхностей// Мат. сб.- 1974.-94.-С. 243-264.
  15. Плыкин Р.В. О геометрии гиперболических аттракторов гладких каскадов// Усп. мат. наук.- 1984.- 39, № 6.- С. 75-113.
  16. Хирш М. Дифференциальная топология.-М.: Мир, 1979.
  17. Aranson S., Belitsky G., Zhuzhoma E. Introduction to the Qualitative Theory of Dynamical Systems on Surfaces.-Providence: Am. Math. Soc., 1996.
  18. Bothe H. The ambient structure of expanding attractors, II. Solenoids in 3-manifolds// Math. Nachr.- 1983.-112.- С. 69-102.
  19. Bowen R. Periodic points and measures for axiom A diffeomorphisms// Trans. Am. Math. Soc.- 1971.- 154.- С. 337-397.
  20. Farrel F.T., Jones L.E. New attractors in hyperbolic dynamics// Diff. Geom.- 1980.- 15.-С. 107-133.
  21. Farrel F.T., Jones L.E. Expanding immesions on branched manifolds// Am. J. Math. - 1981.- 103, № 1. -С. 41-101.
  22. Grines V., Zhuzhoma E. On structurally stable diffeomorphisms with codimension one expanding attractors// Trans. Am. Math. Soc. -2005.-357.- С. 617-667.
  23. Grines V., Zhuzhoma E. Expanding attractors// Regul. Chaotic Dyn. -2006.- 11, № 2.-С. 225-246.
  24. Grines V., Zhuzhoma E. Surface Laminaions and Chaotic Dynamical Systems.- Izhevsk: R&C Dynam., Inst. Comp. Sci., 2021.
  25. Hirsch M., Pugh C., Shub M. Invariant manifolds.- Berlin-Heidelberg: Springer, 1977.
  26. Jiang B., Ni Y., Wang Sh. 3-manifolds that admit knotted solenoids as attractors// Trans. Am. Math. Soc. -2004.- 356.- С. 335-346.
  27. Jones L.E. Locally strange hyperbolic sets// Trans. Am. Math. Soc. -1983.- 275, № 1.-С. 153-162.
  28. Jones L.E. Anosov diffeomorphisms and expanding immersions. II// Trans. Am. Math. Soc.- 1986.- 294, № 1. -С. 197-216.
  29. Ma J., Bin Yu. The realization of Smale solenoid type attractors in 3-manifolds// Topology Appl. - 2007.- 154.- С. 3021-3031.
  30. Ma J., Bin Yu. Genus two Smale-Williams solenoid attractors in 3-manifolds// J. Knot Theory Ramifications.-2011.- 20, № 6.- С. 909-926.
  31. Man˜´e R. A proof of C1 stability conjecture// Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci. -1988.-´ 66.- С. 161- 210.
  32. Medvedev V., Zhuzhoma E. On the existence of codimension one non-orientable expanding attractors// J. Dyn. Contr. Syst. -2005.-11, № 3. -С. 405-411.
  33. Medvedev V., Zhuzhoma E. Two-dimensional attractors of A-flows and fibered links on three-manifolds// Nonlinearity.-2022.-35.-С. 2192-2205.
  34. Robinson C. Structural stability of C1 diffeomorphisms// J. Differ. Equ. -1976.- 22, № 1.- С. 28-73.
  35. Robinson C. Dynamical Systems: Stability, Symbolic Dynamics, and Chaos.- Boca Raton: CRC Press, 1999.
  36. Robinson C., Williams R. Classification of expanding attractors: an example// Topology.- 1976.- 15.- С. 321-323.
  37. Smale S. Differentiable dynamical systems// Bull. Am. Math. Soc.- 1967.- 73.-С. 741-817.
  38. Williams R. Expanding attractors// Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci. -1974.-´ 43.-С. 169-203.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».