Asymptotic Behavior of Solutions of a Complete Second-Order Integro-Differential Equation

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

In this paper, we study a complete second-order integro-differential operator equation in a Hilbert space. The difference-type kernel of an integral perturbation is a holomorphic semigroup bordered by unbounded operators. The asymptotic behavior of solutions of this equation is studied. Asymptotic formulas for solutions are proved in the case when the right-hand side is close to an almost periodic function. The obtained formulas are applied to the study of the problem of forced longitudinal vibrations of a viscoelastic rod with Kelvin-Voigt friction.

About the authors

D. A. Zakora

Vernadsky Crimean Federal University

Author for correspondence.
Email: dmitry.zkr@gmail.com
Simferopol’, Russia

References

  1. Власов В.В., Раутиан Н.А. Спектральный анализ функционально-дифференциальных уравнений.- М.: МАКС Пресс, 2016.
  2. Власов В.В., Раутиан Н.А. Экспоненциальная устойчивость полугрупп, порождаемых вольтерровыми интегро-дифференциальными уравнениями с сингулярными ядрами// Дифф. уравн.- 2021.- 57, № 10.-С. 1426-1430.
  3. Голдстейн Дж. Полугруппы линейных операторов и их приложения.- Киев: Выща школа, 1989.
  4. Закора Д.А. Экспоненциальная устойчивость одной полугруппы и приложения// Мат. заметки.- 2018.-103, № 5.-С. 702-719.
  5. Закора Д.А. Асимптотика решений в задаче о малых движениях сжимаемой жидкости Максвелла// Дифф. уравн.- 2019.- 55, № 9.-С. 1195-1208.
  6. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязко-упругости.- М.: Наука, 1970.
  7. Като Т. Теория возмущений линейных операторов.-М.: Мир, 1972.
  8. Крейн C.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве.-М.: Наука, 1967.
  9. Alabau-Boussouria F., Cannarsa P. A general method for proving sharp energy decay rates for memorydissipative evolution equations// C. R. Math. Acad. Sci. Paris.-2009.- 347.-С. 867-872.
  10. Alabau-Boussouria F., Cannarsa P., Sforza D. Decay estimates for second order evolution equations with memory// J. Funct. Anal.- 2008.- 254.-С. 1342-1372.
  11. Ammar-Khodja F., Benabdallah A., Mun˜oz Rivera J.E., Racke R. Energy decay for Timoshenko systems of memory type// J. Differ. Equ. - 2003.-194, № 1.-С. 82-115.
  12. Amendola G., Fabrizio M., Golden J.M. Thermodynamics of Materials with Memory.-Boston: Springer, 2012.
  13. Dafermos C.M. Asymptotic stability in viscoelasticity// Arch. Ration. Mech. Anal.- 1970.-37.-С. 297- 308.
  14. Dafermos C.M. An abstract Volterra equation with applications to linear viscoelasticity// J. Differ. Equ. - 1970.-7, № 3.-С. 554-569.
  15. Dell’Oro F. Asymptotic stability of thermoelastic systems of Bresse type// J. Differ. Equ. - 2015.- 258, № 11.-С. 3902-3927.
  16. Engel K. -J., Nagel R. One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Eqations.- New York: Springer, 2000.
  17. Fabrizio M., Morro A. Mathematical Problems in Linear Viscoelasticity.- Philadelphia: SIAM, 1992.
  18. Fatori L.H., Monteiro R.N., Sare H.D.F. The Timoshenko system with history and Cattaneo law// Appl. Math. Comput. -2014.- 228, № 1.-С. 128-140.
  19. Liu Z., Zheng S. Semigroups Associated with Dissipative Systems.-London: Chapman & Hall/CRC, 1999. 20. Ma Z., Zhang L., Yang X. Exponential stability for a Timoshenko-type system with history// J. Math. Anal. Appl. -2011.-380, № 1.- С. 299-312.
  20. Messaoudi S.A., Apalara T.A. General stability result in a memory-type porous thermoelasticity system of type III// Arab J. Math. Sci.- 2014.- 20, № 2.- С. 213-232.
  21. Mun˜oz Rivera J.E., Naso M.G. Asymptotic stability of semigroups associated with linear weak dissipative systems with memory// J. Math. Anal. Appl. -2007.- 326.-С. 691-707.
  22. Pandolfi L. Linear systems with persistent memory: An overview of the biblography on controllability// ArXiv. -2018.-1804.01865 [math.OC].
  23. Racke R., Said-Houari B. Global existence and decay property of the Timoshenko system in thermoelasticity with second sound// Nonlinear Anal. -2012.-75, № 13.- С. 4957-4973.
  24. Renardy M., Hrusa W.J., Nohel J.A. Mathematical problems in viscoelasticity.- Harlow: Longman Scientific & Technical, 1987.
  25. Zakora D. On the spectrum of rotating viscous relaxing fluid// Журн. мат. физ. анал. геом.- 2016.- 12, № 4.- С. 338-358.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».