On Entropy Solutions of Anisotropic Elliptic Equations with Variable Nonlinearity Indices

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

For a certain class of second-order anisotropic elliptic equations with variable nonlinearity indices and L1 right-hand side we consider the Dirichlet problem in arbitrary unbounded domains. We prove the existence and uniqueness of entropy solutions in anisotropic Sobolev spaces with variable indices.

About the authors

L M Kozhevnikova

Sterlitamak Branch of Bashkir State University; Elabuga Branch of Kazan Federal University

Email: kosul@mail.ru
37 Lenina av., 453103 Sterlitamak, Russia; 89 Kazanskaya st., 423604 Elabuga, Russia

References

  1. Жиков В. В. О вариационных задачах и нелинейных эллиптических уравнениях с нестандартными условиями роста// Пробл. мат. анализа. - 2011. - 54. - C. 23-112.
  2. Ковалевский А. А. Априорные свойства решений нелинейных уравнений с вырождающейся коэрцитивностью и L1-данными// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2006. - 16.- C. 47-67.
  3. Ковалевский А. А. О сходимости функций из cоболевского пространства, удовлетворяющих специальным интегральным оценкам// Укр. мат. ж. - 2006. - 58, № 2. - C. 168-183.
  4. Кожевникова Л. M. Об энтропийном решении эллиптической задачи в анизотропных пространствах Соболева-Орлича// Журн. выч. мат. и мат. физ. - 2017. - 57, № 3. - C. 429-447.
  5. Кожевникова Л. M. Существование энтропийных решений эллиптической задачи в анизотропных пространствах Соболева-Орлича// Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прилож. Темат. обз. - 2017. - 139. - С. 15-38.
  6. Кожевникова Л. M., Камалетдинов А. Ш. Существование решений анизотропных эллиптических уравнений с переменными показателями нелинейностей в неограниченных областях// Вестн. Волгоград. гос. ун-та. Сер. 1. Мат. Физ. - 2016. - № 5(36). - C. 29-41.
  7. Кружков С. Н. Квазилинейные уравнения первого порядка со многими независимыми переменными// Мат. сб. - 1970. - 81, № 123. - C. 228-255.
  8. Aharouch L., Bennouna J., Touzani A. Existence of renormalized solution of some elliptic problems in Orlicz spaces// Rev. Mat. Complut. - 2009. - 22, № 1. - С. 91-110.
  9. Alvino A., Boccardo L., Ferone V., Orsina L., Trombetti G. Existence results for nonlinear elliptic equations with degenerate coercivity// Ann. Mat. Pura Appl. (4). - 2003. - 182, № 1. - С. 53-79.
  10. Azroul E., Hjiaj H., Touzani A. Existence and regularity of entropy solutions for strongly nonlinear p(x)-elliptic equations// Electron. J. Differ. Equ. - 2013. - 2013, № 68. - С. 1-27.
  11. Benboubker M. B., Azroul E., Barbara A. Quasilinear elliptic problems with nonstandartd growths// Electron. J. Differ. Equ. - 2011. - 2011, № 62. - С. 1-16.
  12. Benboubker M. B., Chrayteh H., El Moumni M., Hjiaj H. Entropy and renormalized solutions for nonlinear elliptic problem involving variable exponent and measure data// Acta Math. Sin. (Engl. Ser.). - 2015. - 31, № 1. - С. 151-169.
  13. Benboubker M. B., Hjiaj H., Ouaro S. Entropy solutions to nonlinear elliptic anisotropic problem with variable exponent// J. Appl. Anal. Comput. - 2014. - 4, № 3. - С. 245-270.
  14. Bendahmane M., Karlsen K. Nonlinear anisotropic elliptic and parabolic equations in RN with advection and lower order terms and locally integrable data// Potential Anal. - 2005. - 22, № 3. - С. 207-227.
  15. Bendahmane M., Wittboldb P. Renormalized solutions for nonlinear elliptic equation with variable exponents and L1-data// Nonlinear Anal. - 2009. - С. 1-21.
  16. Benilan Ph., Boccardo L., Galloue¨t Th., Gariepy R., Pierre M., Vazquez J. L. An L1-theory of existence and uniqueness of solutions of nonlinear elliptic equations// Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5). - 1995. - 22, № 2. - С. 241-273.
  17. Benkirane A., Bennouna J. Existence of entropy solutions for some elliptic problems involving derivatives of nonlinear terms in Orlicz spaces// Abstr. Appl. Anal. - 2002. - 7, № 2. - С. 85-102.
  18. Bidaut-Veron M. F. Removable singularities and existence for a quasilinear equation with absorption or source term and measure data// Adv. Nonlinear Stud. - 2003. - 3. - С. 25-63.
  19. Boccardo L., Galloue¨t Th. Nonlinear elliptic equations with right-hand side measures// Commun. Part. Differ. Equ. - 1992. - 17, № 3-4. - С. 641-655.
  20. Boccardo L., Galloue¨t Th., Marcellini P. Anisotropic equations in L1// Differ. Integral Equ. - 1996. - 9, № 1. - С. 209-212.
  21. Boccardo L., Galloue¨t T., Vazquez J. L. Nonlinear elliptic equations in RN without growth restrictions on the data// J. Differ. Equ. - 1993. - 105, № 2. - С. 334-363.
  22. Bonzi B. K., Ouaro S. Entropy solutions for a doubly nonlinear elliptic problem with variable exponent// J. Math. Anal. Appl. - 2010. - 370. - С. 392-405.
  23. Brezis H. Semilinear equations in RN without condition at infinity// Appl. Math. Optim. - 1984. - 12, № 3. - С. 271-282.
  24. Diening L., Harjulehto P., Ha¨ sto¨ P., Ruzicka M. Lebesgue and Sobolev Spaces with Variable Exponents. - Berlin-Heidelberg: Springer, 2011.
  25. El Hachimi A., Jamea A. Uniqueness result of entropy solution to nonlinear neumann problems with variable exponent and L1-data// J. Nonlinear Evol. Equ. Appl. - 2017. - 2017, № 2. - С. 13-25.
  26. Fan X. Anisotropic variable exponent Sobolev spaces and p(x)-Laplacian equations// Complex Var. Elliptic Equ. - 2011. - 56, № 7-9. - С. 623-642.
  27. Gwiazda P., Wittbold P., Wro´blewska A., Zimmermann A. Renormalized solutions of nonlinear elliptic problems in generalized Orlicz spaces// J. Differ. Equ. - 2012. - 253. - С. 635-666.
  28. Halsey T. C. Electrorheological fluids// Science. - 1992. - 258, № 5083. - С. 761-766.
  29. Ouaro S. Well-Posedness Results for Anisotropic Nonlinear Elliptic Equations with Variable Exponent and L1-Data// Cubo. - 2010. - 12, № 1. - С. 133-148.
  30. Sancho’n M., Urbano J. M. Entropy solutions for the p(x)-laplace equation// Trans. Am. Math. Soc. - 2009. - 361, № 12. - С. 6387-6405.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».