Inverse Spectral Problem for Integrodifferential Sturm-Liouville Operators with Discontinuity Conditions

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

We consider the Sturm-Liouville operator perturbed by a convolution integral operator on a finite interval with Dirichlet boundary-value conditions and discontinuity conditions in the middle of the interval. We study the inverse problem of restoration of the convolution term by the spectrum. The problem is reduced to solution of the so-called main nonlinear integral equation with a singularity. To derive and investigate this equations, we do detailed analysis of kernels of transformation operators for the integrodifferential expression under consideration. We prove the global solvability of the main equation, this implies the uniqueness of solution of the inverse problem and leads to necessary and sufficient conditions for its solvability in terms of spectrum asymptotics. The proof is constructive and gives the algorithm of solution of the inverse problem.

About the authors

S A Buterin

Saratov State University

Email: buterinsa@info.sgu.ru
Saratov, Russia

References

  1. Бутерин С. А. Обратная спектральная задача восстановления оператора свертки, возмущенного одномерным оператором// Мат. заметки. - 2006. - 80, № 5. - С. 668-682.
  2. Бутерин С. А. О восстановлении сверточного возмущения оператора Штурма-Лиувилля по спектру// Дифф. уравн. - 2010. - 46, № 1. - С. 146-149.
  3. Бутерин С. А. Обратная спектральная задача для интегро-дифференциальных операторов с условием разрыва// В сб.: «Математика. Механика. Т. 17». - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2015. - С. 9-12.
  4. Бутерин С. А. Обратная задача для интегро-дифференциального оператора второго порядка с условием разрыва// В сб.: «Совр. пробл. теории функций и их прил.». - Саратов: Изд-во «Научная книга», 2018. - С. 70-73.
  5. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. - М.: ИЛ, 1962.
  6. Еремин М. С. Обратная задача для интегро-дифференциального уравнения второго порядка с особенностью// Дифф. уравн. - 1988. - 24, № 2. - С. 350-351.
  7. Иосида К. Функциональный анализ. - М.: Мир, 1967.
  8. Курышова Ю. В. Обратная спектральная задача для интегро-дифференциальных операторов// Мат. заметки. - 2007. - 81, № 6. - С. 855-866.
  9. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. - М.: Гостехиздат, 1956.
  10. Левитан Б. М., Саргсян И. С. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака. - М.: Наука, 1988.
  11. Маламуд М. М. О некоторых обратных задачах// В сб.: «Краевые задачи математической физики». - Киев: Наукова Думка, 1979. - С. 116-124.
  12. Марченко В. А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. - Киев: Наукова думка, 1977.
  13. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. - М.: Физматгиз, 1977.
  14. Юрко В. А. Обратная задача для интегро-дифференциальных операторов первого порядка// В сб.: «Функциональный анализ». - Ульяновск, 1984. - С. 144-151.
  15. Юрко В. А. Обратная задача для интегро-дифференциальных операторов// Мат. заметки. - 1991. - 50, № 5. - С. 134-144.
  16. Юрко В. А. О краевых задачах с условиями разрыва внутри интервала// Дифф. уравн. - 2000. - 36, № 8. - С. 1139-1140.
  17. Юрко В. А. Обратная задача для дифференциальных систем на конечном интервале в случае кратных корней характеристического многочлена// Дифф. уравн. - 2005. - 41, № 6. - С. 781-786.
  18. Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач. - М.: Физматлит, 2007.
  19. Beals R., Deift P., Tomei C. Direct and inverse scattering on the line. - Providence: AMS, 1988.
  20. Bondarenko N. P. An inverse problem for an integro-differential operator on a star-shaped graph// Math. Methods Appl. Sci. - 2018. - 41, № 4. - С. 1697-1702.
  21. Bondarenko N., Buterin S. On recovering the Dirac operator with an integral delay from the spectrum// Results Math. - 2017. - 71, № 3-4. - С. 1521-1529.
  22. Buterin S. A. On an inverse spectral problem for a convolution integro-differential operator// Results Math. - 2007. - 50, № 3-4. - С. 173-181.
  23. Buterin S. A. On inverse spectral problems for first-order integro-differential operators with discontinuities// Appl. Math. Lett. - 2018. - 78.- С. 65-71.
  24. Buterin S. A., Choque Rivero A. E. On inverse problem for a convolution integro-differential operator with Robin boundary conditions// Appl. Math. Lett. - 2015. - 48. - С. 150-155.
  25. Buterin S. A., Sat M. On the half inverse spectral problem for an integro-differential operator// Inverse Probl. Sci. Eng. - 2017. - 25, № 10. - С. 1508-1518.
  26. Buterin S. A., Vasiliev S. V. On uniqueness of recovering the convolution integro-differential operator from the spectrum of its non-smooth one-dimensional perturbation// Bound. Value Probl. - 2018. - 2018, № 55. - https://doi.org/10.1186/s13661-018-0974-2.
  27. Freiling G., Yurko V. A. Inverse Sturm-Liouville problems and their applications. - New York: NOVA Science Publ., 2001.
  28. Freiling G., Yurko V. A. Inverse spectral problems for singular non-selfadjoint differential operators with discontinuities in an interior point// Inverse Problems. - 2002. - 18. - С. 757-773.
  29. Hald O. H. Discontinuous inverse eigenvalue problems// Commun. Pure Appl. Math. - 1984. - 37.- С. 539-577.
  30. Hardy G. H., Littlewood J. E., Po´lya G. Inequalities. - Cambridge: Cambridge University Press, 1988.
  31. Ignatiev M. On an inverse spectral problem for one integro-differential operator of fractional order// J. Inverse Ill-Posed Probl. - 2018. - doi: 10.1515/jiip-2017-0121.
  32. Ignatyev M. On an inverse spectral problem for the convolution integro-differential operator of fractional order// Results Math. - 2018. - doi: 10.1007/s00025-018-0800-2.
  33. Krueger R. J. Inverse problems for nonabsorbing media with discontinuous material properties// J. Math. Phys. - 1982. - 23, № 3. - С. 396-404.
  34. Kuryshova Yu. V., Shieh C.-T. An inverse nodal problem for integro-differential operators// J. Inverse Ill-Posed Probl. - 2010. - 18, № 4. - С. 357-369.
  35. Lakshmikantham V., Rama Mohana Rao M. Theory of integro-differential equations. - Singapore: Gordon & Breach Sci. Publ., 1995.
  36. Manafov M. Dzh. An inverse spectral problem for Sturm-Liouville operator with integral delay// Electron. J. Differ. Equ. - 2017. - 2017, № 12. - С. 1-8.
  37. Shepelsky D. G. The inverse problem of reconstruction of the medium’s conductivity in a class of discontinuous and increasing functions// В сб.: «Spectral Operator Theory and Related Topics». - Providence: Am. Math. Soc., 1994. - С. 209-232.
  38. Shieh C.-T., Yurko V. A. Inverse nodal and inverse spectral problems for discontinuous boundary value problems// J. Math. Anal. Appl. - 2008. - 347. - С. 266-272.
  39. Wang Y.-P. Inverse problems for Sturm-Liouville operators with interior discontinuities and boundary conditions dependent on the spectral parameter// Math. Methods Appl. Sci. - 2013. - 36, № 7. - С. 857- 868.
  40. Wang Y. P. Inverse problems for discontinuous Sturm-Liouville operators with mixed spectral data// Inverse Probl. Sci. Eng. - 2015. - 23, № 7. - С. 1180-1198.
  41. Wang Y.-P., Wei G. The uniqueness for Sturm-Liouville problems with aftereffect// Acta Math. Sci. - 2012. - 32A, № 6. - С. 1171-1178.
  42. Wang Y. P., Yurko V. A. On the inverse nodal problems for discontinuous Sturm-Liouville operators// J. Differ. Equ. - 2016. - 260, № 5. - С. 4086-4109.
  43. Yang C. F. Inverse nodal problems of discontinuous Sturm-Liouville operator// J. Differ. Equ. - 2013. - 254, № 4. - С. 1992-2014.
  44. Yang C.-F., Yang X.-P. An interior inverse problem for the Sturm-Liouville operator with discontinuous conditions// Appl. Math. Lett. - 2009. - 22, № 9. - С. 1315-1319.
  45. Yurko V. A. Integral transforms connected with discontinuous boundary value problems// Integral Transforms Spec. Funct. - 2000. - 10, № 2. - С. 141-164.
  46. Yurko V. A. Inverse spectral problems for differential operators and their applications. - Amsterdam: Gordon & Breach Sci. Publ., 2000.
  47. Yurko V. A. Method of spectral mappings in the inverse problem theory. - Utrecht: VSP, 2002.
  48. Yurko V. A. An inverse spectral problems for integro-differential operators// Far East J. Math. Sci. - 2014. - 92, № 2. - С. 247-261.
  49. Yurko V. A. Inverse problems for second order integro-differential operators// Appl. Math. Lett. - 2017. - 74.- С. 1-6.
  50. Yurko V. A. Inverse spectral problems for first order integro-differential operators// Bound. Value Probl. - 2017. - 2017, № 98. - https://doi.org/10.1186/s13661-017-0831-8.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».