Multiplication of Distributions and Algebras of Mnemofunctions

Мұқаба

Дәйексөз келтіру

Толық мәтін

Аннотация

In this paper, we discuss methods and approaches for definition of multiplication of distributions, which is not defined in general in the classical theory. We show that this problem is related to the fact that the operator of multiplication by a smooth function is nonclosable in the space of distributions. We give the general method of construction of new objects called new distributions, or mnemofunctions, that preserve essential properties of usual distributions and produce algebras as well. We describe various methods of embedding of distribution spaces into algebras of mnemofunctions. All ideas and considerations are illustrated by the simplest example of the distribution space on a circle. Some effects arising in study of equations with distributions as coefficients are demonstrated by example of a linear first-order differential equation.

Авторлар туралы

A Antonevich

Belarusian State University

Email: antonevich@bsu.by
Minsk, Belarus

T Shagova

Belarusian State University

Email: tanya.shagova@gmail.com
Minsk, Belarus

Әдебиет тізімі

  1. Альбеверио С., Гестези Ф., Хеэг-Крон Р., Холден Х. Решаемые модели в квантовой механике. - М.: Мир, 1991.
  2. Антоневич А. Б., Радыно Я. В. Об общем методе построения алгебр обобщенных функций// Докл. АН СССР. - 1991. - 43, № 3. - С. 680-684.
  3. Антоневич А. Б., Романчук Т. А. Уравнения с дельта-образными коэффициентами: метод конечномерных аппроксимаций. - Saarbrucken: LAP Lambert, 2012.
  4. Антоневич А. Б., Шагова Т. Г. Вложения распределений в алгебру мнемофункций на окружности// Пробл. физ. мат. и техн. - 2018. - 37, № 4. - С. 52-61.
  5. Антоневич А. Б., Шагова Т. Г., Шкадинская Е. В. Алгебра мнемофункций на окружности// Пробл. физ. мат. и техн. - 2018. - 36, № 3. - С. 55-62.
  6. Антоневич А. Б., Шукур Али А. О росте аналитической функции в круге// Докл. НАН Беларуси. - 2016. - 60, № 5. - С. 41-45.
  7. Антосик П., Микусинский Я., Сикорский Р. Теория обобщенных функций. Секвенциальный подход. - М.: Мир, 1976.
  8. Березин Ф. А., Фаддеев Л. Д. Замечание об уравнении Шредингера с сингулярным потенциалом// Докл. АН СССР. - 1961. - 137, № 5. - С. 1011-1014.
  9. Бремерман Г. Распределения, комплексные переменные и преобразования Фурье. - М.: Мир, 1965.
  10. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. - М.: Наука, 1979.
  11. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними. - М.: Физматлит, 1959.
  12. Данилов В. Г., Маслов В. П., Шелкович В. М. Алгебры особенностей сингулярных решений квази-линейных строго гиперболических систем первого порядка// Теор. мат. физ. - 1998. - 114, № 1. - C. 3-55.
  13. Девис М. Прикладной нестандартный анализ. - М.: Мир, 1980.
  14. Евграфов М. А. Асимптотические оценки и целые функции. - М.: Гостехиздат, 1957.
  15. Егоров Ю. В. К теории обобщенных функций// Усп. мат. наук. - 1990. - 45, № 5. - С. 3-40.
  16. Жиков В. В., Пастухова С. Е. Об операторных оценках в теории усреднения// Усп. мат. наук. - 2016. - 71, № 3. - С. 27-122.
  17. Завалищин С. Т., Сесекин А. Н. Импульсные процессы. Модели и приложения. - М.: Наука, 1991.
  18. Иванов В. К. Гиперраспределения и умножение распределений Шварца// Докл. АН СССР. - 1972. - 204, № 5. - C. 1045-1048.
  19. Левенштам В. Б. Дифференциальные уравнения с большими высокочастотными слагаемыми (усреднения и асимптотики). - Ростов-на-Дону: ЮФУ, 2010.
  20. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1950.
  21. Мельникова И. В., Бовкун В. А., Алексеева У. А. Решение квазилинейных стохастических задач в абстрактных алгебрах Коломбо// Дифф. уравн. - 2017. - 53, № 12. - C. 1653-1663.
  22. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике. - Киев: Наукова думка, 1971.
  23. Суслина Т. А. Усреднение задачи Дирихле для эллиптических уравнений высокого порядка с периодическими коэффициентами// Алгебра и анализ. - 2017. - 29, № 2. - C. 139-192.
  24. Antonevich A., Burachewskij A., Radyno Ya. On closability of nonclosable operators// Panamer. Math. J. - 1997. - 7, № 4. - С. 37-51.
  25. Antonevich A. B., Radyno Ya. V. On the problem of distributions multiplication// 10th Conf. «Problems and Methods in Mathematical Physics», Chemnitz, Germany, Sep. 13-17. - Leipzig: Teubner, 1994. - С. 9-14.
  26. Baglini L. L., Giordano P. The Category of Colombeau algebras// Monatsh. Math. - 2017. - 182.- С. 649-674.
  27. Christov Ch., Damianov B. Asymptotic functions - a new class of generalized functions. I// Bulgar. J. Phys.- 1978.- 6. - С. 543-556.
  28. Christov Ch., Damianov B. Asymptotic functions - a new class of generalized functions. II// Bulgar. J. Phys.- 1979.- 1. - С. 3-23.
  29. Christov Ch., Damianov B. Asymptotic functions - a new class of generalized functions. III// Bulgar. J. Phys.- 1979.- 3. - С. 245-256.
  30. Christov Ch., Damianov B. Asymptotic functions - a new class of generalized functions. IV// Bulgar. J. Phys.- 1979.- 4. - С. 377-397.
  31. Colombeau J. F. A multiplication of distributions// J. Math. Anal. Appl. - 1983. - 94. - С. 96-115.
  32. Colombeau J. F. New generalized functions and multiplication of distributions. - Amsterdam: North- Holland, 1984.
  33. Grosser M., Kunzinger M., Oberguggenberger M., Steinbauer R. Geometric theory of generalized functions with applications to general relativity. - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2001.
  34. Kostenko A. S., Malamud M. M. 1-D Schro¨dinger operator with local point interaction on a discrete set// J. Differ. Equ. - 2010. - 249. - С. 253-304.
  35. Nedeljkov M., Pilipovic S., Scarpalezos D. Linear theory of Colombeau’s generalized functions. - Harlow: Addison-Wesley Longman, 1998.
  36. Oberguggenberger M. Multiplication of distributions and application to partial differential equations. - Harlow: Longman Higher Education, 1992.
  37. Rosinger E. E. Generalized solutions of nonlinear partial differential equations. - North-Holland: Mathematics Studies, 1987.
  38. Schwartz L. The´orie des distributions: en 2 vol. - Paris: Hermann, 1950.
  39. Schwartz L. Sur l’impossibilite´ de la multiplication des distributions// C. R. Acad. Sci. Paris. - 1954. - 239. - С. 847-848.

Қосымша файлдар

Қосымша файлдар
Әрекет
1. JATS XML
Жүктеу

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».