On homogenization of the Lavrent’ev-Bitsadze equation in a partially perforated domain with the third boundary condition on the boundary of the cavities. Subcritical, critical and supercritical cases

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

For the Lavrent’ev—Bitsadze equation in a partially perforated model domain with a characteristic size of microinhomogeneities \(\varepsilon,\) we consider the problem with the third-kind boundary condition on the boundary of the cavities (the Fourier condition), which has a small parameter \(\varepsilon^\alpha\) as a multiplier in the coefficients, and the Dirichlet condition on the outer part of the boundary. For this problem, we construct a homogenized problem and prove the convergence of the solutions of the original problem to the solution of the homogenized problem in three cases. The subcritical case with \(\alpha>1\) is characterized by the fact that dissipation at the boundary of the cavities is negligibly small, in the critical case with \(\alpha=1\) a potential appears in the equation due to dissipation, and in the supercritical case with \(\alpha<1\) the dissipation plays the major role, it leads to degeneracy of the solution of the entire problem.

About the authors

G. A. Chechkin

Lomonosov Moscow State University; Ufa Science Center of the Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: chechkin@mech.math.msu.su
Moscow, Russia; Ufa, Russia

References

  1. Бекмаганбетов К.А., Толеубай А.М., Чечкин Г.А. Об аттракторах системы уравнений Навье- Стокса в двумерной пористой среде// Пробл. мат. анализа.-2022.- 115.-С. 15-28.- DOI: 10.1007/ s10958-022-05814-y.
  2. Беляев А.Г., Пятницкий А.Л., Чечкин Г.А. Асимптотическое поведение решения краевой задачи в перфорированной области с осциллирующей границей// Сиб. мат. ж. -1998.- 39, № 4.- С. 730-754.
  3. Беляев А.Г., Пятницкий А.Л., Чечкин Г.А. Усреднение в перфорированной области с осциллирующим третьим краевым условием// Мат. сб.- 2001.- 192, № 7.- С. 3-20.
  4. Егер В., Олейник О.А., Шамаев А.С. О задаче усреднения для уравнения Лапласа в частично перфорированной области// Докл. РАН. - 1993.- 333, № 4. -С. 424-427.
  5. Егер В., Олейник О.А., Шамаев А.С. Об асимптотике решений краевой задачи для уравнения Лапласа в частично перфорированной области с краевыми условиями третьего рода на границах полостей// Тр. Моск. мат. об-ва.-1997.-58.-С. 187-223.
  6. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими и угловыми точками// Тр. Моск. мат. об-ва.-1967.-16.-С. 209-292.
  7. Кондратьев В.А., Чечкин Г.А. Усреднение уравнения Лаврентьева-Бицадзе в полуперфорированной области// Дифф. уравн.- 2002.-38, № 10.-С. 1390-1396.
  8. Кондратьев В.А., Чечкин Г.А. Об асимптотике решений уравнения Лаврентьева-Бицадзе в полуперфорированной области// Дифф. уравн.-2003.- 39, № 5.- С. 645-655.
  9. Моисеев Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром.-М.: Изд-во Моск. унив., 1988.
  10. Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей.- М.: Наука, 1991.
  11. Олейник О.А. Лекции об уравнениях с частными производными: учебник.- М.: Изд-во Моск. унив., 2024.
  12. Олейник О.А., Шамаев А.С. Об усреднении решений краевой задачи для уравнения Лапласа в частично перфорированной области с условием Дирихле на границе полостей// Докл. РАН. - 1994.- 337, № 2.-С. 168-171.
  13. Олейник О.А., Шапошникова Т.А. О задаче усреднения в частично перфорированной области со смешанными краевыми условиями на границе полостей// Дифф. уравн.- 1995.- 31, № 7.-С. 1140-1150.
  14. Bekmaganbetov K.A., Chechkin G.A., Chepyzhov V.V. «Strange term» in homogenization of attractors of reaction-diffusion equation in perforated domain// Chaos, Solitons Fractals.- 2020.- 140.- 110208.- doi: 10.1016/j.chaos.2020.110208.
  15. Bekmaganbetov K.A., Chechkin G.A., Chepyzhov V.V. Application of Fatou’s lemma for strong homogenization of attractors to reaction-diffusion systems with rapidly oscillating coefficients in orthotropic media with periodic obstacles// Mathematics.- 2023.- 11, № 6.-1448.-doi: 10.3390/math11061448.
  16. Bekmaganbetov K.A., Chechkin G.A., Chepyzhov V.V. Homogenization of attractors to reaction-diffusion system in a medium with random obstacles// Discrete Contin. Dyn. Syst.- 2024.- 44, № 11.-С. 3474- 3490.-doi: 10.3934/dcds.2024066.
  17. Bekmaganbetov K.A., Chechkin G.A., Chepyzhov V.V., Tolemis A.A. Homogenization of attractors to Ginzburg-Landau equations in media with locally periodic obstacles: critical case// Bull. Karaganda Univ. Math. Ser.-2023.- 3.-С. 11-27.-doi: 10.31489/2023M3/11-27.
  18. Bekmaganbetov K.A., Chechkin G.A., Chepyzhov V.V., Tolemis A.A. Attractors of Ginzburg-Landau equations with oscillating terms in porous media. Homogenization procedure// Appl. Anal. - 2024.- 103, № 1. -С. 29-44.-doi: 10.1080/00036811.2023.2173182.
  19. Bekmaganbetov K.A., Chechkin G.A., Chepyzhov V.V., Tolemis A.A. Homogenization of attractors to Ginzburg-Landau equations in media with locally periodic obstacles: sub- and supercritical cases// Bull. Karaganda Univ. Math. Ser.- 2024.- 2.- С. 40-56.- doi: 10.31489/2024M2/40-56.
  20. Bekmaganbetov K.A., Chechkin G.A., Toleubay A.M. Attractors of 2D Navier-Stokes system of equations in a locally periodic porous medium// Bull. Karaganda Univ. Math. Ser. -2022.- 3.- С. 35-50.-doi: 10.31489/2022M3/35-50.
  21. Chechkin G.A., Friedman A., Piatnitski A.L. The boundary value problem in domains with very rapidly oscillating boundary// J. Math. Anal. Appl. - 1999.- 231, № 1.- С. 213-234.
  22. Chechkin G.A., Piatnitski A.L. Homogenization of boundary-value problem in a locally periodic perforated domain// Appl. Anal. -1999.- 71, № 1-4.-С. 215-235.
  23. Cioranescu D., Donato P. On a Robin problem in perforated domains// В сб.: «Homogenization and Applications to Material Sciences». -Tokyo: Gakk¯otosho, 1997.-С. 123-136.
  24. Cioranescu D., Saint Jean Paulin J. Truss structures, Fourier conditions and eigenvalue problems// В сб.: «Boundary Variation».-Berlin-New York: Springer, 1992.-С. 6-12.
  25. Ene H.I., Sanchez-Palencia E. Equations et ph´enom`enes de surface por l’´ecoulement dans un mod`ele de milieu poreux// J. M´ecan.- 1975.-14.-С. 73-108.
  26. Ja¨ger W., Mikeli´c A. On the flow conditions at the boundary between a porous medium and an impermeable solid// В сб.: «Progress in partial differential equations».-London: Longman Sci. Tech., 1994.-С. 145- 161.
  27. Ja¨ger W., Mikeli´c A. On the boundary conditions at the contact interface between a porous medium and a free fluid// Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (4). - 1996.- 23, № 3.-С. 403-465.
  28. Ja¨ger W., Mikeli´c A. Homogenization of the Laplace equation in a partially perforated domain// В сб.: «Homogenization: In Memory of Serguei Kozlov».- River Edge: World Sci. Publ., 1999.-С. 259-284.
  29. Larson R.E., Higdon J.J.L. Microscopic flow near the surface of two-dimensional porous media. Part I- axial flow// J. Fluid Mech.- 1986.- 178.- С. 449-472.
  30. Larson R.E., Higdon J.J.L. Microscopic flow near the surface of two-dimensional porous media. Part II - traverse flow// J. Fluid Mech.- 1986.- 166.-С. 119-136.
  31. Lions J.-L., Magenes E. Probl`emes aux limites non homog`enes et applications. Vol. I. -Paris: Dunod, 1968.
  32. Osher S. Boundary value problems for equations of mixed type I. The Lavrent’ev-Bitsadze model// Commun. Part. Differ. Equ. -1977.-2, № 5.- С. 499-547.
  33. Saffman P.G. On the boundary conditions at the interface of a porous medium// Stud. Appl. Math.- 1971.-1.- С. 93-101.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).