Nonautonomous dynamics: classification, invariants, and implementation

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

The work is a brief review of the results obtained in nonautonomous dynamics based on the concept of uniform equivalence of nonautonomous systems. This approach to the study of nonautonomous systems was proposed in [10] and further developed in the works of the second author, and recently - jointly by both authors. Such an approach seems to be fruitful and promising, since it allows one to develop a nonautonomous analogue of the theory of dynamical systems for the indicated classes of systems and give a classi cation of some natural classes of nonautonomous systems using combinatorial type invariants. We show this for classes of nonautonomous gradient-like vector elds on closed manifolds of dimensions one, two, and three. In the latter case, a new equivalence invariant appears, the wild embedding type for stable and unstable manifolds [14,17], as shown in a recent paper by the authors [5].

About the authors

V. Z. Grines

National Research University “Higher School of Economics”

Author for correspondence.
Email: vgrines@yandex.ru
Nizhniy Novgorod, Russia

L. M. Lerman

National Research University “Higher School of Economics”

Email: lermanl@mm.unn.ru
Nizhniy Novgorod, Russia

References

  1. Алексеев В. М., Фомин С. В. Михаил Валерьевич Бебутов// Усп. мат. наук. - 1970. - 25, № 3. - С. 237-239.
  2. Аносов Д. В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны// Тр. МИАН. - 1967. - 90. - С. 3-210.
  3. Вайнштейн А. Г., Лерман Л. М. Неавтономные надстройки над диффеоморфизмами и геометрия близости// Усп. мат. наук. - 1976. - 31, № 5. - С. 231-232.
  4. Вайнштейн А. Г., Лерман Л. М. Равномерные структуры и эквивалентность диффеоморфизмов// Мат. заметки. - 1978. - 23, № 5. - С. 739-752.
  5. Гринес В. З., Лерман Л. М. Неавтономные векторные поля на S3: простаядинамика и дикое вложение сепаратрис// Теор. мат. физ. - 2022. - 212, № 1. - С. 15-32.
  6. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференицальных уравнений в банаховом пространстве. - М.: Наука, 1970.
  7. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. - М.: Наука, 1967.
  8. Левитан Б. М., Жиков В. В. Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения. - М.: МГУ, 1978.
  9. Лерман Л. М. О неавтономных динамических системах типа Морса-Смейла// Дисс. канд. физ.-мат. наук. - Горький: Горьк. гос. ун-т, 1975.
  10. Лерман Л. М., Шильников Л. П. О классификации грубых неавтономных систем с конечным числом ячеек// Докл. АН СССР. - 1973. - 209, № 3. - С. 544-547.
  11. Морозов А. Д., Морозов К. Е. Транзиторный сдвиг в задаче о флаттере// Нелин. динамика. - 2015. - 11, № 3. - С. 447-457.
  12. Akhmet’ev P. M., Medvedev T. V., Pochinka O. V. On the number of the classes of topological conjugacy of Pixton di eomorphisms// Qual. Theory Dyn. Syst. - 2021. - 20. - 76.
  13. Amerio L. Soluzioni quasi-periodiche, o limitate, di sistemi di erenziali non lineari quasi-periodici, o limitati// Ann. Mat. Pura Appl. - 1955. - 39. - С. 97-119.
  14. Artin E., Fox R. Some wild cells and spheres in three-dimensional space// Ann. Math. - 1948. - 49.- С. 979-990.
  15. Barreira L., Valls C. Stability of nonautonomous di erential equations. - Berlin-Heidelberg: Springer, 2008.
  16. Bochner S. Sur les fonctions presque p´eriodiques de Bohr// C. R. - 1925. - 180. - С. 1156-1158.
  17. Bonatti Ch., Grines V. Knots as topological invariant for gradient-like di eomorphisms of the sphere S3// J. Dyn. Control Syst. - 2000. - 6, № 4. - С. 579-602.
  18. Bonatti Ch., Grines V., Medvedev V., Pecou E. Topological classi cation of gradient-like di eomorphisms on 3-manifolds// Topology. - 2004. - 43. - С. 369-391.
  19. Bonatti C., Grines V. Z., Pochinka O. Topological classi cation of Morse-Smale di eomorphisms on 3manifolds// Duke Math. J. - 2019. - 168, № 13. - С. 2507-2558.
  20. Cerf J. Sur les di ´eomorphismes de la sph´ere de dimension trois (Γ4 = 0). - Berlin: Springer, 1968.
  21. Coppel W. A. Stability and asymptotic behavior of di erential equations. - Boston: D.C. Heath and Company, 1965.
  22. Corduneanu C. Almost periodic oscillations and waves. - New York: Springer, 2009.
  23. Daverman R. J., Venema G. A. Embedding in manifolds. - Providence: AMS, 2009.
  24. Favard J. Sur les eq´uations di erentielles ´a coe cients presqu-periodiques// Acta Math. - 1927. - 51.- С. 31-81.
  25. Gonchenko S. V., Shilnikov L. P., Turaev D. V. On dynamical properties of multidimensional diffeomorphisms from Newhouse regions// Nonlinearity. - 2008. - 21, № 5. - С. 923-972.
  26. Grines V., Medvedev T., Pochinka O. Dynamical systems on 2-and 3-manifolds. - Cham: Springer, 2016.
  27. Harrold O. G., Gri th H. C., Posey E. E. A characterization of tame curves in three-space// Trans. Am. Math. Soc. - 1955. - 79. - С. 12-34.
  28. Lerman L. M., Gubina E. V. Nonautonomous gradient-like vector elds on the circle: classi cation, structural stability and autonomization// Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. S. - 2020. - 13, № 4. - С. 1341- 1367.
  29. Lerman L. M., Shilnikov L. P. Homoclinical structures in nonautonomous systems: nonautonomous chaos// Chaos. - 1992. - 2, № 3. - С. 447-454.
  30. Marcus L. Asymptotically autonomous di erential equations// В сб.: «Contributions to the Theory of Nonlinear Oscillations. III». - Princeton: Princeton Univ. Press, 1956. - С. 17-29.
  31. Massera J. L., Scha¨ er J. J. Linear di erential equations and function spaces. - New York-London: Academic Press, 1966.
  32. Mazur B. A note on some contractible 4-manifolds// Ann. Math. - 1961. - 73, № 1. - С. 221-228.
  33. Mosovsky B. A., Meiss J. D. Transport in transitory dynamical systems// SIAM J. Appl. Dyn. Syst. - 2011. - 10, № 1. - С. 35-65.
  34. Newman M. H. A. Elements of the topology of plane sets of points. - Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1964.
  35. Perron O. Die Stabilit¨atsfrage bei Differentialgleichungen// Math. Z. - 1930. - 32. - С. 703-728.
  36. Pixton D. Wild unstable manifolds// Topology. - 1977. - 16, № 2. - С. 167-172.
  37. Pochinka O., Shubin D. On 4-dimensional ows with wildly embedded invariant manifolds of a periodic orbit// Appl. Math. Nonlinear Sci. Ser. - 2020. - 5, № 2. - С. 261-266.
  38. Sell G. Nonautonomous di erential equations and topological dynamics. I// Trans. Am. Math. Soc. - 1967. - 127. - С. 241-262.
  39. Sell G. Nonautonomous di erential equations and topological dynamics. II// Trans. Am. Math. Soc. - 1967. - 127. - С. 263-283.
  40. Smale S. Morse inequality for a dynamical systems// Bull. Am. Math. Soc. - 1960. - 66. - С. 43-49.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».