Eta-invariant of elliptic parameter-dependent boundary-value problems

Capa

Citar

Texto integral

Resumo

In this paper, we study the eta-invariant of elliptic parameter-dependent boundary value problems and its main properties. Using Melrose’s approach, we de ne the eta-invariant as a regularization of the winding number of the family. In this case, the regularization of the trace requires obtaining the asymptotics of the trace of compositions of invertible parameter-dependent boundary value problems for large values of the parameter. Obtaining the asymptotics uses the apparatus of pseudodifferential boundary value problems and is based on the reduction of parameter-dependent boundary value problems to boundary value problems with no parameter.

Sobre autores

K. Zhuikov

RUDN University

Autor responsável pela correspondência
Email: zhuykovcon@gmail.com
Moscow, Russia

A. Savin

RUDN University

Email: a.yu.savin@gmail.com
Moscow, Russia

Bibliografia

  1. Агранович М. С. Об эллиптических псевдодифференциальных операторах на замкнутой кривой// Тр. Моск. мат. об-ва. - 1984. - 47. - С. 22-67.
  2. Агранович М. С., Вишик М. И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида// Усп. мат. наук. - 1964. - 19, № 3. - C. 53-161.
  3. Жуйков К. Н. Савин А. Ю. Эта-инвариант для семейств с параметром и периодическими коэффициентами// Уфимск. мат. ж. - 2022. - 14, № 2. - С. 37-57.
  4. Жуйков К. Н., Савин А. Ю. Эта-инварианты для операторов с параметром, ассоциированных с действием дискретной группы// Мат. заметки. - 2022. - 112, № 5. - C. 705-717.
  5. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими и угловыми точками// Тр. Моск. мат. об-ва. - 1967. - 16. - С. 209-292.
  6. Ремпель Ш., Шульце Б.-В. Теория индекса эллиптических краевых задач. - М.: Москва, 1986.
  7. Скубачевский А. Л. Краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений и их приложения// Усп. мат. наук. - 2016. - 71, № 5. - С. 801-906.
  8. Шубин М. А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. - М: Наука, 1978.
  9. Эскин Г. И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1973.
  10. Atiyah M., Patodi V., Singer I. Spectral asymmetry and Riemannian geometry. I// Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. - 1975. - 77. - С. 43-69.
  11. Atiyah M., Patodi V., Singer I. Spectral asymmetry and Riemannian geometry. II// Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. - 1976. - 78. - С. 405-432.
  12. Atiyah M., Patodi V., Singer I. Spectral asymmetry and Riemannian geometry. III// Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. - 1976. - 79. - С. 71-99.
  13. Boutet de Monvel L. Boundary problems for pseudodifferential operators// Acta Math. - 1971. - 126.- С. 11-51.
  14. Bunke U. On the gluing problem for the η-invariant// J. Differ. Geom. - 1995. - 41. - С. 397-488.
  15. Dai X. Adiabatic limits, non-multiplicativity of signature and the Leray spectral sequence// J. Am. Math. Soc. - 1991. - 4. - С. 265-321.
  16. Donnelly H. Eta-invariants for G-spaces// Indiana Univ. Math. J. - 1978. - 27. - С. 889-918.
  17. Fedosov B. V., Schulze B.-W., Tarkhanov N. The index of higher order operators on singular surfaces// Paci c J. Math. - 1999. - 191, № 1. - С. 25-48.
  18. Gilkey P. B., Smith L. The eta invariant for a class of elliptic boundary value problems// Commun. Pure Appl. Math. - 1983. - 36. - С. 85-132.
  19. Grubb G. Functional calculus of pseudodifferential boundary problems. - Boston: Birkh¨auser, 1996.
  20. Kuchment P. An overview of periodic elliptic operators// Bull. Am. Math. Soc. - 2016. - 53, № 3. - С. 343-414.
  21. Lesch M. Differential operators of Fuchs type, conical singularities, and asymptotic methods. - Stuttgart- Leipzig: B. G. Teubner Verlag, 1997.
  22. Lesch M., Moscovici H., Pflaum M. J. Connes-Chern character for manifolds with boundary and eta cochains// Mem. Am. Math. Soc. - 2012. - 220, № 1036. - С. viii+92.
  23. Lesch M., Pflaum M. Traces on algebras of parameter dependent pseudodifferential operators and the eta-invariant// Trans. Am. Math. Soc. - 2000. - 352, № 11. - С. 4911-4936.
  24. Melrose R. The eta invariant and families of pseudodifferential operators// Math. Res. Lett. - 1995. - 2, № 5. - С. 541-561.
  25. Melrose R., Rochon F. Eta forms and the odd pseudodifferential families index// В сб.: «Perspectives in mathematics and physics: Essays dedicated to Isadore Singer’s 85th birthday». - Somerville: Int. Press, 2011. - С. 279-322.
  26. Mrowka T., Ruberman D., Saveliev N. An index theorem for end-periodic operators// Composю Math. - 2016. - 152, № 2. - С. 399-444.
  27. Mu¨ller W. Eta-invariants and manifolds with boundary// J. Differ. Geom. - 1994. - 40. - С. 311-377.
  28. Nazaikinskii V., Savin A., Schulze B.-W., Sternin B. Elliptic theory on singular manifolds. - Boca Raton: CRC-Press, 2005.
  29. Ruzhansky M., Turunen V. Global quantization of pseudo-differential operators on compact Lie groups, SU(2), 3-sphere, and homogeneous spaces// Int. Math. Res. Not. - 2013. - 2013, № 11. - С. 2439-2496.
  30. Savin A. Yu., Zhuikov K. N. η-invariant and index for operators on the real line periodic at in nity// Eurasian Math. J. - 2021. - 12, № 3. - С. 57-77.
  31. Schrohe E. A short introduction to Boutet de Monvel’s calculus// В сб.: «Approaches to singular analysis. Based on the workshop, Berlin, Germany, April 8-10, 1999». - Basel: Birkha¨user, 2001. - С. 85-116.
  32. Taubes C. H. Gauge theory on asymptotically periodic 4-manifolds// J. Differ. Geom. - 1987. - 25, № 3. - С. 363-430.
  33. Zhuikov K. N. Index of differential-difference operators on an in nite cylinder// Russ. J. Math. Phys. - 2022. - 29, № 2. - С. 280-290.

Arquivos suplementares

Arquivos suplementares
Ação
1. JATS XML
Baixar

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».