The excitation equations for longitudinally and azimuthally irregular waveguides taking into account the finite wall conductivity

Full Text

Введение

Теория возбуждения и распространения волн в произвольно нерегулярных прямолинейных волноводах (продольно-азимутально нерегулярных волноводах) является основой моделирования и оптимизации как пассивных устройств СВЧ [1–9], так и электронных приборов СВЧ и КВЧ: релятивистских ЛОВ-ЛБВ [3, 10], гиротронов, гиро-ЛБВ [11, 12]. Однако в настоящее время развита теория возбуждения лишь продольно-нерегулярных волноводов [13–17]. Отсутствие в теории возбуждения продольно-азимутально нерегулярных волноводов электронными потоками сдерживает моделирование и, соответственно, разработку высокоорбитных гирорезонансных приборов миллиметрового диапазона, приборов О-типа и Е-типа (приборы с электростатической фокусировкой, как в гелитроне), где для повышения селекции мод требуется использование ребристых, в том числе продольно-азимутально нерегулярных волноводных систем. В статье обобщена теория, изложенная в [14–17], для случая, когда внутренняя граница волновода $b=b\left(\phi ,z\right)$. Ниже приводятся примеры комплектаций нерегулярных волноводных систем.

1. Постановка задачи

Рассмотрим продольно-азимутально нерегулярный волновод, его внутренняя граница задается произвольной кусочно-гладкой функцией $b=b\left(\phi ,z\right)$ (рис. 1). Преобразуем исходную цилиндрическую систему координат $r,\phi ,z$ в новую $\rho ,\phi ,z$, где $\rho =r/b\left(\phi ,z\right)$. При переходе от исходной системы координат к неортогональной радиус-вектор внутренней точки может быть задан как $\overrightarrow{r}(\rho ,\phi ,z)=z{\overrightarrow{z}}_0+\rho b\left(x,y\right)({\overrightarrow{x}}_0\cos \phi +{\overrightarrow{y}}_0\sin \phi ).$ В векторной форме уравнения Максвелла в неортогональной системе координат $\rho ,\phi ,z$ имеют вид

$rot{\overrightarrow{H}}^{\text{'}}={\epsilon }_a\stackrel{⌢}{g}\frac{\partial {\overrightarrow{E}}^{\text{'}}}{\partial t}+\stackrel{⌢}{g}{\overrightarrow{\delta }}^{\text{'}}$; (1)

$rot{\overrightarrow{E}}^{\text{'}}=-{\mu }_a\stackrel{⌢}{g}\frac{\partial {\overrightarrow{H}}^{\text{'}}}{\partial t}-\stackrel{⌢}{g}{{\overrightarrow{\delta }}^{\text{'}}}^M$. (2)

Рис. 1. Примеры продольно-азимутально нерегулярных волноводов, где их внутренняя граница задается кусочно-гладкой функцией.

Физические компоненты вектора $\overrightarrow{H}$ могут быть записаны следующим образом:

$\left.\begin{array}{l}{H}_{\tau }={H^{\text{'}}}_{\rho }/b;\\ H_{\phi }={H^{\text{'}}}_{\phi }/b-\frac{{H^{\text{'}}}_{\rho }}{b^2}\frac{\partial b}{\partial \phi };\\ H_z={H^{\text{'}}}_z-{H^{\text{'}}}_{\rho }\frac{\rho }{b}\frac{\partial b}{\partial z}.\end{array}\right\}$ (3)

Компоненты векторов $\overrightarrow{E},\overrightarrow{\delta },{\overrightarrow{\delta }}^M$ записываются аналогично $\overrightarrow{H}.$ В соответствии с (3) плотности токов ${\overrightarrow{\delta }}^{\text{'}}$ и ${{\overrightarrow{\delta }}^{\text{'}}}^M$ в уравнениях (1) и (2) должны выражаться через физические компоненты.

Представим это на примере ${\overrightarrow{\delta }}^{\text{'}}$

${{\delta }^{\text{'}}}_{\rho }^{}={\delta }_r^{}b;{{\delta }^{\text{'}}}_{\phi }^{}={\delta }_{\phi }^{}b+{\delta }_r^{}\frac{\partial b}{\partial \phi };{{\delta }^{\text{'}}}_z^{}={\delta }_z^{}+{\delta }_r^{}\rho \frac{\partial b}{\partial z}.$ (4)

В системе координат $\rho ,\phi ,z$ внутренняя граница продольно-азимутально нерегулярного волновода $b=b\left(\phi ,z\right)$ преобразуется в регулярный цилиндр с внутренней границей $\rho =1$. Таким образом, граничные условия для уравнений (1), (2) в системе координат $\rho ,\phi ,z$ в случае конечной проводимости стенок приобретают простейший вид

${\left.\left[{\overrightarrow{\rho }}_0\dot{\overrightarrow{E}}\right]\right|}_{\rho =1}=-\overleftrightarrow{G}{\left.\left[{\overrightarrow{\rho }}_0\left[{\overrightarrow{\rho }}_0\dot{\overrightarrow{H}}\right]\right]\right|}_{\rho =1}$, (5)

где $\overleftrightarrow{G}={\dot{W}}_{\sigma }^0\sqrt{\frac{g}{g^{11}}}\left(\begin{array}{cc}\rho \left[g^{11}{g}^{22}-{\left(g^{12}\right)}^2\right]& g^{11}{g}^{22}-g^{12}{g}^{13}\\ g^{11}{g}^{23}-g^{12}{g}^{13}& \frac{1}{\rho }\left[g^{11}{g}^{22}-{\left(g^{13}\right)}^2\right]\end{array}\right)$; ${\dot{W}}_{\sigma }^0$ — волновое сопротивление стенки волновода, ${\dot{W}}_{\sigma }^0=(1+j)\sqrt{\frac{\pi f{\mu }_{\sigma }}{\sigma }}$; ${\mu }_{\sigma }$, $\sigma$ — магнитная проницаемость и удельная проводимость; f — рабочая частота;  $\stackrel{⌢}{g}$— метрический тензор, компоненты которого имеют вид:

$\stackrel{⌢}{g}=\sqrt{g}\left(\begin{array}{l}\frac{g^{11}}{\rho }{g}^{12}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{g^{13}}{\rho }\\ g^{21}\rho g^{22}{g}^{23}\\ \frac{g^{31}}{\rho }{g}^{32}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{g^{33}}{\rho }\end{array}\right)$ $\begin{array}{l}\sqrt{g}=V=b^2\rho ;g^{11}=\frac{1}{b^4}\left(b^2+{\left(\frac{\partial b}{\partial \phi }\right)}^2+{\rho }^2{b}^2{\left(\frac{\partial b}{\partial z}\right)}^2\right);\\ g^{22}=1/{\left(b\rho \right)}^2;g^{33}=1;g^{12}=-\frac{1}{b^3\rho }\frac{\partial b}{\partial \phi }=g^{21};\\ g^{13}=-\frac{\rho }{b}\frac{\partial b}{\partial z}=g^{31};g^{23}=g^{32}=0.\end{array}$

2. Вывод уравнений возбуждения продольно-азимутально нерегулярного волновода электронными потоками

Представим решение уравнений (1)–(3) в виде

$\left.\begin{array}{l}{\dot{\overrightarrow{E}}}_t=\sum _{j=1}^J\sum _{n=-N}^N\left({\dot{A}}_{nj}^E\left(z\right){\overrightarrow{e}}_{nj}^E+{\dot{A}}_{nj}^M\left(z\right){\overrightarrow{e}}_{nj}^M\right);\\ {\dot{\overrightarrow{E}}}_z=\sum _{j=1}^J\sum _{n=-N}^N{\dot{C}}_{nj}\left(z\right){\phi }_{nj}\overrightarrow{z};\\ {\dot{\overrightarrow{H}}}_t=\sum _{j=1}^J\sum _{n=-N}^N\left({\dot{B}}_{nj}^E\left(z\right){\overrightarrow{h}}_{nj}^E+{\dot{B}}_{nj}^M\left(z\right){\overrightarrow{h}}_{nj}^M\right);\\ {\dot{\overrightarrow{H}}}_z=\sum _{j=1}^J\sum _{n=-N}^N{\dot{D}}_{nj}\left(z\right){\psi }_{nj}\overrightarrow{z}.\end{array}\right\}$ (6)

Для (6) использована следующая система базисных функций:

$\left.\begin{array}{l}{\phi }_{nj}=J_n\left({\nu }_{nj}\rho \right)e^{in\phi },{\psi }_{nj}=J_n\left({\mu }_{nj}\rho \right)e^{in\phi };\\ {\overrightarrow{e}}_{nj}^E=\left\{{\overrightarrow{\rho }}_0{\nu }_{nj}{J^{\text{'}}}_n\left({\nu }_{nj}\rho \right)+{\overrightarrow{\phi }}_{0}i\frac{n}{\rho }{J}_n\left({\nu }_{nj}\rho \right)\right\}{e}^{in\phi };\\ {\overrightarrow{e}}_{nj}^M=\left\{{\overrightarrow{\rho }}_0\frac{in}{\rho }{J}_n\left({\mu }_{nj}\rho \right)-{\overrightarrow{\phi }}_0{\mu }_{nj}{J^{\text{'}}}_m\left({\mu }_{nj}\rho \right)\right\}{e}^{in\phi };\\ {\overrightarrow{h}}_{nj}^E=\left\{-{\overrightarrow{\rho }}_0\frac{in}{\rho }{J}_n\left({\nu }_{nj}\rho \right)+{\overrightarrow{\phi }}_0{\nu }_{nj}{J^{\text{'}}}_n\left({\nu }_{nj}\rho \right)\right\}{e}^{in\phi };\\ {\overrightarrow{h}}_{nj}^M=\left\{{\overrightarrow{\rho }}_0{\mu }_{nj}{J^{\text{'}}}_n\left({\mu }_{nj}\rho \right)+{\overrightarrow{\phi }}_{0}i\frac{n}{\rho }{J}_n\left({\mu }_{nj}\rho \right)\right\}{e}^{in\phi },\end{array}\right\}$ (7)

где  $J_n\left(x\right)$— функции Бесселя 1-го рода n-го порядка; $J_n\left(v_{nj}\rho \right)=0$; ${J^{\text{'}}}_n\left({\mu }_{nj}\rho \right)=0$.Для проекций используем комплексно-сопряженную систему базисных функций:

$\left.\begin{array}{l}{\phi }_{-mi}={(-1)}^m{J}_m\left({\nu }_{mi}\rho \right)e^{-im\phi },{\psi }_{-mi}=J_m\left({\mu }_{mi}\rho \right)e^{-im\phi };\\ {\overrightarrow{e}}_{-mi}^E={(-1)}^m\left\{{\overrightarrow{\rho }}_0{\nu }_{mi}{J^{\text{'}}}_m\left({\nu }_{mi}\rho \right)-{\overrightarrow{\phi }}_{0}i\frac{m}{\rho }{J}_m\left({\nu }_{mi}\rho \right)\right\}{e}^{-im\phi };\\ {\overrightarrow{e}}_{-mi}^M={(-1)}^{m+1}\left\{{\overrightarrow{\rho }}_0\frac{im}{\rho }{J}_m\left({\mu }_{mi}\rho \right)+{\overrightarrow{\phi }}_0{\mu }_{mi}{J^{\text{'}}}_m\left({\mu }_{mi}\rho \right)\right\}{e}^{-im\phi };\\ {\overrightarrow{h}}_{-mi}^E={(-1)}^m\left\{{\overrightarrow{\rho }}_0\frac{im}{\rho }{J}_m\left({\nu }_{mi}\rho \right)+{\overrightarrow{\phi }}_0{\nu }_{mi}{J^{\text{'}}}_m\left({\nu }_{mi}\rho \right)\right\}{e}^{-im\phi };\\ {\overrightarrow{h}}_{-mi}^M={(-1)}^m\left\{{\overrightarrow{\rho }}_0{\mu }_{mi}{J^{\text{'}}}_m\left({\mu }_{mi}\rho \right)-{\overrightarrow{\phi }}_{0}i\frac{m}{\rho }{J}_m\left({\mu }_{mi}\rho \right)\right\}{e}^{-im\phi }.\end{array}\right\}$ (8)

Комплексные амплитуды находим из модифицированных уравнений проекций, приведенных в [16, 17], с учетом разницы граничных условий (5) и условий для базисных функций

${\left.\left[{\overrightarrow{\rho }}_0\dot{\overrightarrow{E}}\right]\right|}_{\rho =1}=0$.

Уравнения комплексных амплитуд имеют вид

 (9)

Подставляя в (9) решения (6) и (8), а также используя закон сохранения заряда в интегралах возбуждения справа $Q_{mi}^1,Q_{mi}^2,Q_{mi}^3$, получаем уравнения возбуждения:

$\begin{array}{l}2\pi \left(\frac{d{\dot{B}}_{m,i}^E\left(z\right)}{{\epsilon }_0\omega dz}+i{\dot{A}}_{m,i}^E\left(z\right)\right)e_{m,i}^{}+i\sum _{n=-N}^N\sum _{j=1}^J{\dot{C}}_{n,j}\left(z\right)F_{m,n}^6\left(z\right)\left(m{I}_{m,n,i,j}^{12}-{\nu }_{m,i}{I}_{m,n,i,j}^{10}\right)+\\ +i\sum _{n=-N}^N\sum _{j=1}^J{\dot{A}}_{n,j}^E\left(z\right)\left(\begin{array}{l}{F}_{m,n}^1\left(z\right)\left(m{\nu }_{n,j}{I}_{m,n,i,j}^2+n{\nu }_{m,i}{I}_{m,n,i,j}^3-mn{I}_{m,n,i,j}^5-{\nu }_{m,i}{\nu }_{n,j}{I}_{m,n,i,j}^1\right)+\\ +F_{m,n}^3\left(z\right)\left(m{\nu }_{n,j}{I}_{m,n,i,j}^9+n{\nu }_{m,i}{I}_{m,n,i,j}^{10}-mn{I}_{m,n,i,j}^{12}-{\nu }_{m,i}{\nu }_{n,j}{I}_{m,n,i,j}^8\right)\end{array}\right)+\end{array}$

$\begin{array}{l}+\sum _{n=-N}^N\sum _{j=1}^J{\dot{A}}_{n,j}^E\left(z\right)\left(F_{m,n}^2\left(z\right)\left(n{\nu }_{m,i}{I}_{m,n,i,j}^3-m{\nu }_{n,j}{I}_{m,n,i,j}^2\right)\right)+\\ +\sum _{n=-N}^N\sum _{j=1}^J{\dot{A}}_{n,j}^M\left(z\right)\left(F_{m,n}^1\left(z\right)\left(mn{I}_{m,n,i,j}^4-n{\nu }_{m,i}{I}_{m,n,i,j}^7\right)+F_{m,n}^3\left(z\right)\left(mn{I}_{m,n,i,j}^{13}-n{\nu }_{m,i}{I}_{m,n,i,j}^{11}\right)\right)+\\ +i\sum _{n=-N}^N\sum _{j=1}^J{\dot{A}}_{n,j}^M\left(z\right)\left(F_{m,n}^2\left(z\right)\left(m{\mu }_{n,j}{I}_{m,n,i,j}^6+n{\nu }_{m,i}{I}_{m,n,i,j}^7-{\nu }_{m,i}{\mu }_{n,j}{I}_{m,n,i,j}^{14}\right)\right)=\frac{Q_{m,i}^1}{{\epsilon }_0\omega };\end{array}$

$\begin{array}{l}{Q}_{m,i}^1=\frac{I_0}{K}\sum _{k=1}^K{e}^{\left(m{\phi }_k-{\theta }_k\right)i}\left(\begin{array}{l}{\rho }_k\left({\nu }_{m,i}{J}_{m+1}\left({\nu }_{m,i}{\rho }_k\right)-m\frac{J_m\left({\nu }_{m,i}{\rho }_k\right)}{{\rho }_k}\right)b\left({\phi }_k,z\right)\frac{\partial b\left({\phi }_k,z\right)}{\partial z}+\\ +\frac{{\beta }_{\phi ,k}}{{\beta }_{z,k}}\left({\nu }_{m,i}{J}_{m+1}\left({\nu }_{m,i}{\rho }_k\right)-m\frac{J_m\left({\nu }_{m,i}{\rho }_k\right)}{{\rho }_k}\right)\frac{\partial b\left({\phi }_k,z\right)}{\partial \phi }+\\ +\left({\nu }_{m,i}{J}_{m+1}\left({\nu }_{m,i}{\rho }_k\right)-m\frac{J_m\left({\nu }_{m,i}{\rho }_k\right)}{{\rho }_k}\right)\frac{{\beta }_{r,k}}{{\beta }_{z,k}}\left(\frac{\left(1-b\left({\phi }_k,z\right)\right)}{{\left(b\left({\phi }_k,z\right)\right)}^2}{\left(\frac{\partial b\left({\phi }_k,z\right)}{\partial \phi }\right)}^2-b\left({\phi }_k,z\right)\right)+\\ +im\frac{J_m\left({\nu }_{m,i}{\rho }_k\right)}{{\rho }_k}\left(\frac{{\beta }_{r,k}}{{\beta }_{z,k}}\left(\frac{\partial b\left({\phi }_k,z\right)}{\partial \phi }\left(\frac{1}{b\left({\phi }_k,z\right)}-1\right)\right)+\frac{{\beta }_{\phi ,k}}{{\beta }_{z,k}}b\left({\phi }_k,z\right)\right);\end{array}\right)\\ \end{array}$

$\begin{array}{l}2\pi \left(\frac{d{\dot{B}}_{m,i}^M\left(z\right)}{{\epsilon }_0\omega dz}+i{\dot{A}}_{m,i}^M\left(z\right)\right)h_{m,i}^{}+\frac{2\pi }{{\epsilon }_0\omega }{\dot{D}}_{m,i}\left(z\right){\mu }_{m,i}^2{I}_{m,i}^{22}+\sum _{n=-N}^N\sum _{j=1}^J{\dot{C}}_{n,j}\left(z\right)F_{m,n}^{6}m{I}_{m,n,i,j}^{24}\left(z\right)+\\ +\sum _{n=-N}^N\sum _{j=1}^J{\dot{A}}_{n,j}^M\left(z\right)F_{m,n}^2\left(z\right)\left(m{\mu }_{n,j}{I}_{m,n,i,j}^{20}-n{\mu }_{m,i}{I}_{m,n,i,j}^{21}\right)-i\sum _{n=-N}^N\sum _{j=1}^J{\dot{A}}_{n,j}^M\left(z\right)mn\left(F_{m,n}^1\left(z\right)I_{m,n,i,j}^{18}+F_{m,n}^3\left(z\right)I_{m,n,i,j}^{22}\right)+\\ +\sum _{n=-N}^N\sum _{j=1}^J{\dot{A}}_{n,j}^E\left(z\right)m\left(F_{m,n}^1\left(z\right)\left({\nu }_{n,j}{I}_{m,n,i,j}^{16}-n{I}_{m,n,i,j}^{19}\right)+F_{m,n}^3\left(z\right)\left({\nu }_{n,j}{I}_{m,n,i,j}^{23}-n{I}_{m,n,i,j}^{24}\right)\right)+\\ +i\sum _{n=-N}^N\sum _{j=1}^J{\dot{A}}_{n,j}^E\left(z\right)F_{m,n}^2\left(z\right)\left(n{\mu }_{m,i}{I}_{m,n,i,j}^{17}+m{\nu }_{n,j}{I}_{m,n,i,j}^{16}-{\mu }_{m,i}{\nu }_{n,j}{I}_{m,n,i,j}^{25}\right)=\frac{Q_{m,i}^2}{{\epsilon }_0\omega };\end{array}$

$\begin{array}{l}{Q}_{m,i}^2=\frac{I_0}{K}\sum _{k=1}^K{e}^{\left(m{\phi }_k-{\theta }_k\right)i}\left(\begin{array}{l}\left({\mu }_{m,i}{J}_{m+1}\left({\mu }_{m,i}{\rho }_k\right)-m\frac{J_m\left({\mu }_{m,i}{\rho }_k\right)}{{\rho }_k}\right)\left(\frac{{\beta }_{r,k}}{{\beta }_{z,k}}\left(\frac{\partial b\left({\phi }_k,z\right)}{\partial \phi }\left(\frac{1}{b\left({\phi }_k,z\right)}-1\right)\right)+\frac{{\beta }_{\phi ,k}}{{\beta }_{z,k}}b\left({\phi }_k,z\right)\right)+\\ +im\frac{J_m\left({\mu }_{m,i}{\rho }_k\right)}{{\rho }_k}\frac{{\beta }_{r,k}}{{\beta }_{z,k}}\left({\left(\frac{\partial b\left({\phi }_k,z\right)}{\partial \phi }\right)}^2\frac{\left(b\left({\phi }_k,z\right)-1\right)}{{\left(b\left({\phi }_k,z\right)\right)}^2}+b\left({\phi }_k,z\right)\right)-\\ -im\frac{{\beta }_{\phi ,k}}{{\beta }_{z,k}}\frac{J_m\left({\mu }_{m,i}{\rho }_k\right)}{{\rho }_k}\frac{\partial b\left({\phi }_k,z\right)}{\partial \phi }-im{J}_m\left({\mu }_{m,i}{\rho }_k\right)b\left({\phi }_k,z\right)\frac{\partial b\left({\phi }_k,z\right)}{\partial z};\end{array}\right)\\ \end{array}$

$\begin{array}{l}\frac{2\pi }{{\epsilon }_0\omega }{\dot{B}}_{m,i}^E\left(z\right)e_{m,i}-i\sum _{n=-N}^N\sum _{j=1}^J{\dot{C}}_{n,j}\left(z\right)F_{m,n}^5\left(z\right)I_{m,n,i,j}^{12}-\\ -\sum _{n=-N}^N\sum _{j=1}^J{\dot{A}}_{n,j}^M\left(z\right)n{F}_{m,n}^6\left(z\right)I_{m,n,i,j}^{13}+i\sum _{n=-N}^N\sum _{j=1}^J{\dot{A}}_{n,j}^E\left(z\right)F_{m,n}^6\left(z\right)\left(n{I}_{m,n,i,j}^{12}-{\nu }_{n,j}{I}_{m,n,i,j}^9\right)=\frac{Q_{m,i}^3}{{\epsilon }_0\omega };\end{array}$

$Q_{m,i}^3=\frac{I_0}{K}\sum _{k=1}^K{e}^{\left(m{\phi }_k-{\theta }_k\right)i}{J}_m\left({\nu }_{m,i}{\rho }_k\right){\left(b\left({\phi }_k,z\right)\right)}^2;$

$\begin{array}{l}-2\pi \left(\frac{d{\dot{A}}_{m,i}^E\left(z\right)}{{\mu }_0\omega dz}+i{\dot{B}}_{m,i}^E\left(z\right)\right)e_{m,i}-\frac{2\pi }{{\mu }_0\omega }{\nu }_{m,i}^2{I}_{m,i}^{12}{\dot{C}}_{m,i}\left(z\right)+\sum _{n=-N}^N\sum _{j=1}^J{\dot{D}}_{n,j}\left(z\right)m{F}_{m,n}^6\left(z\right)I_{m,n,i,j}^{13}+\\ +\sum _{n=-N}^N\sum _{j=1}^J{\dot{B}}_{n,j}^E\left(z\right)F_{m,n}^2\left(z\right)\left(n{\nu }_{m,i}{I}_{m,n,i,j}^3-m{\nu }_{n,j}{I}_{m,n,i,j}^2\right)+i\sum _{n=-N}^N\sum _{j=1}^J{\dot{B}}_{n,j}^E\left(z\right)mn\left(F_{m,n}^1\left(z\right)I_{m,n,i,j}^5+F_{m,n}^3\left(z\right)I_{m,n,i,j}^{12}\right)+\\ +\sum _{n=-N}^N\sum _{j=1}^J{\dot{B}}_{n,j}^M\left(z\right)m\left(F_{m,n}^1\left(z\right)\left({\mu }_{n,j}{I}_{m,n,i,j}^6-n{I}_{m,n,i,j}^4\right)+F_{m,n}^3\left(z\right)\left({\mu }_{n,j}{I}_{m,n,i,j}^{26}-n{I}_{m,n,i,j}^{13}\right)\right)+\\ +i\sum _{n=-N}^N\sum _{j=1}^J{\dot{B}}_{n,j}^M\left(z\right)F_{m,n}^2\left(z\right)\left(n{\nu }_{m,i}{I}_{m,n,i,j}^7+m{\mu }_{n,j}{I}_{m,n,i,j}^6-{\nu }_{m,i}{\mu }_{n,j}{I}_{m,n,i,j}^{14}\right)=-\frac{W_{m,i}^1}{{\mu }_0\omega };\end{array}$

$W_{m,i}^1=W_{\sigma }^0\left(\begin{array}{l}\left(m{J}_m\left({\nu }_{m,i}\right)-{\nu }_{m,i}{J}_{m+1}\left(\nu {}_{m,i}\right)\right)\sum _{n=-N}^N\left(\left(F_{m,n}^7\left(z\right)+F_{m,n}^{10}\left(z\right)\right)\sum _{j=1}^J{\dot{B}}_{n,j}^E\left(z\right)\left(n{J}_n\left({\nu }_{n,j}\right)-{\nu }_{n,j}{J}_{n+1}\left(\nu {}_{n,j}\right)\right)\right)+\\ +\left(m{J}_m\left({\nu }_{m,i}\right)-{\nu }_{m,i}{J}_{m+1}\left(\nu {}_{m,i}\right)\right)\sum _{n=-N}^N\left(\left(F_{m,n}^7\left(z\right)-F_{m,n}^8\left(z\right)+F_{m,n}^9\left(z\right)+F_{m,n}^{10}\left(z\right)\right)\sum _{j=1}^J{\dot{D}}_{n,j}\left(z\right)J_n\left({\mu }_{n,j}\right)\right)+\\ +i\left(m{J}_m\left({\nu }_{m,i}\right)-{\nu }_{m,i}{J}_{m+1}\left(\nu {}_{m,i}\right)\right)\sum _{n=-N}^N\left(n\left(F_{m,n}^7\left(z\right)+F_{m,n}^{10}\left(z\right)\right)\sum _{j=1}^J{\dot{B}}_{n,j}^M\left(z\right)J_n\left({\mu }_{n,j}\right)\right);\end{array}\right.$

$\begin{array}{l}-2\pi \left(\frac{d{\dot{A}}_{m,i}^M\left(z\right)}{{\mu }_0\omega dz}+i{\dot{B}}_{m,i}^M\left(z\right)\right)h_{m,i}^{}+i\sum _{n=-N}^N\sum _{j=1}^J{\dot{D}}_{n,j}\left(z\right)F_{m,n}^6\left(z\right)\left({\mu }_{m,i}{I}_{m,n,i,j}^{30}-m{I}_{m,n,i,j}^{22}\right)+\\ +i\sum _{n=-N}^N\sum _{j=1}^J{\dot{B}}_{n,j}^M\left(z\right)\left(\begin{array}{l}{F}_{m,n}^1\left(z\right)\left(mn{I}_{m,n,i,j}^{18}+{\mu }_{m,i}{\mu }_{n,j}{I}_{m,n,i,j}^{15}-m{\mu }_{n,j}{I}_{m,n,i,j}^{20}-n{\mu }_{m,i}{I}_{m,n,i,j}^{21}\right)+\\ +F_{m,n}^3\left(z\right)\left(mn{I}_{m,n,i,j}^{22}+{\mu }_{m,i}{\mu }_{n,j}{I}_{m,n,i,j}^{27}-m{\mu }_{n,j}{I}_{m,n,i,j}^{29}-n{\mu }_{m,i}{I}_{m,n,i,j}^{30}\right)\end{array}\right)+\end{array}$

$\begin{array}{l}+\sum _{n=-N}^N\sum _{j=1}^J{\dot{B}}_{n,j}^M\left(z\right)F_{m,n}^2\left(z\right)\left(m{\mu }_{n,j}{I}_{m,n,i,j}^{20}-n{\mu }_{m,i}{I}_{m,n,i,j}^{21}\right)+\\ +\sum _{n=-N}^N\sum _{j=1}^J{\dot{B}}_{n,j}^E\left(z\right)\left(F_{m,n}^1\left(z\right)\left(mn{I}_{m,n,i,j}^{19}-n{\mu }_{m,i}{I}_{m,n,i,j}^{17}\right)+F_{m,n}^3\left(z\right)\left(mn{I}_{m,n,i,j}^{24}-n{\mu }_{m,i}{I}_{m,n,i,j}^{28}\right)\right)+\\ +i\sum _{n=-N}^N\sum _{j=1}^J{\dot{B}}_{n,j}^E\left(z\right)F_{m,n}^2\left(z\right)\left(m{\nu }_{n,j}{I}_{m,n,i,j}^{16}+n{\mu }_{m,i}{I}_{m,n,i,j}^{17}-{\mu }_{m,i}{\nu }_{n,j}{I}_{m,n,i,j}^{25}\right)=\frac{W_{m,i}^2}{{\mu }_0\omega };\end{array}$

$W_{m,i}^2=W_{\sigma }^0\left(\begin{array}{l}m{J}_m\left({\mu }_{m,i}\right)\sum _{n=-N}^N\left(n\left(F_{m,n}^7\left(z\right)+F_{m,n}^{10}\left(z\right)\right)\sum _{j=1}^J{\dot{B}}_{n,j}^M\left(z\right)J_n\left({\mu }_{n,j}\right)\right)+\\ +im{J}_m\left({\mu }_{m,i}\right)\sum _{n=-N}^N\left(\left(F_{m,n}^8\left(z\right)-F_{m,n}^7\left(z\right)-F_{m,n}^9\left(z\right)-F_{m,n}^{10}\left(z\right)\right)\sum _{j=1}^J{\dot{D}}_{n,j}\left(z\right)J_n\left({\mu }_{n,j}\right)\right)+\\ +im{J}_m\left({\mu }_{m,i}\right)\left(\sum _{n=-N}^N\left(F_{m,n}^7\left(z\right)+F_{m,n}^{10}\left(z\right)\right)\sum _{j=1}^J{\dot{B}}_{n,j}^E\left(z\right)\left({\nu }_{n,j}{J}_{n+1}\left(\nu {}_{n,j}\right)-n{J}_n\left({\nu }_{n,j}\right)\right)\right);\end{array}\right.$

$\begin{array}{l}-\frac{2\pi }{{\mu }_0\omega }{\dot{A}}_{m,i}^M\left(z\right)h_{m,i}+i\sum _{n=-N}^N\sum _{j=1}^J{\dot{D}}_{n,j}\left(z\right)F_{m,n}^5\left(z\right)I_{m,n,i,j}^{22}+\\ +i\sum _{n=-N}^N\sum _{j=1}^J{\dot{B}}_{n,j}^M\left(z\right)F_{m,n}^6\left(z\right)\left({\mu }_{n,j}{I}_{m,n,i,j}^{29}-n{I}_{m,n,i,j}^{22}\right)-\sum _{n=-N}^N\sum _{j=1}^J{\dot{B}}_{n,j}^E\left(z\right)n{F}_{m,n}^6\left(z\right)I_{m,n,i,j}^{24}=-\frac{W_{m,i}^3}{{\mu }_0\omega };\end{array}$

$W_{m,i}^3=W_{\sigma }^0\left(\begin{array}{l}{J}_m\left({\mu }_{m,i}\right)\sum _{n=-N}^N\left(\left(F_{m,n}^7\left(z\right)+F_{m,n}^9\left(z\right)+F_{m,n}^{10}\left(z\right)-F_{m,n}^{11}\left(z\right)\right)\sum _{j=1}^J{\dot{D}}_{n,j}\left(z\right)J_n\left({\mu }_{n,j}\right)\right)+\\ +J_m\left({\mu }_{m,i}\right)\sum _{n=-N}^N\left(F_{m,n}^8\left(z\right)\sum _{j=1}^J{\dot{B}}_{n,j}^E\left(z\right)\left({\nu }_{n,j}{J}_{n+1}\left({\nu }_{n,j}\right)-n{J}_n\left({\nu }_{n,j}\right)\right)\right)-\\ -i{J}_m\left({\mu }_{m,i}\right)\left(\sum _{n=-N}^{N}n{F}_{m,n}^6\left(z\right)\sum _{j=1}^J{\dot{B}}_{n,j}^M\left(z\right)J_n\left({\mu }_{n,j}\right)\right);\end{array}\right.$

где k — номер крупной частицы; ${\beta }_{r,k}$, ${\beta }_{\phi ,k}$, ${\beta }_{z,k}$ — соответственно $\frac{{\upsilon }_{r,k}}{c}$, $\frac{{\upsilon }_{\phi ,k}}{c}$, $\frac{{\upsilon }_{z,k}}{c}$ в исходной системе координат r, $\phi$, z; с — скорость света в вакууме; I₀ — ток пучка.

$\begin{array}{l}{F}_{m,n}^1\left(z\right)={\int }_0^{2\pi }\frac{e^{\left(n-m\right)\phi i}}{{\left(b(\phi ,z)\right)}^2}{\left(\frac{\partial b(\phi ,z)}{\partial \phi }\right)}^{2}d\phi ;F_{m,n}^2\left(z\right)={\int }_0^{2\pi }\frac{e^{\left(n-m\right)\phi i}}{b(\phi ,z)}\frac{\partial b(\phi ,z)}{\partial \phi }d\phi ;\\ F_{m,n}^3\left(z\right)={\int }_0^{2\pi }{e}^{\left(n-m\right)\phi i}{\left(\frac{\partial b(\phi ,z)}{\partial z}\right)}^{2}d\phi ;F_{m,n}^4\left(z\right)={\int }_0^{2\pi }{e}^{\left(n-m\right)\phi i}\frac{\partial b(\phi ,z)}{\partial z}d\phi ;\\ F_{m,n}^5\left(z\right)={\int }_0^{2\pi }{e}^{\left(n-m\right)\phi i}{\left(b(\phi ,z)\right)}^{2}d\phi ;F_{m,n}^6\left(z\right)={\int }_0^{2\pi }{e}^{\left(n-m\right)\phi i}b(\phi ,z)\frac{\partial b(\phi ,z)}{\partial z}d\phi ;\end{array}$

$F_{m,n}^7\left(z\right)={\int }_0^{2\pi }\frac{e^{\left(n-m\right)\phi i}d\phi }{\sqrt{{\left(\frac{\partial b\left(\phi ,z\right)}{\partial \phi }\right)}^2+{\left(b\left(\phi ,z\right)\right)}^2\left(1+{\left(\frac{\partial b\left(\phi ,z\right)}{\partial z}\right)}^2\right)}};$

$\begin{array}{l}{F}_{m,n}^8\left(z\right)={\int }_0^{2\pi }\frac{e^{\left(n-m\right)\phi i}\frac{\partial b\left(\phi ,z\right)}{\partial z}\frac{\partial b\left(\phi ,z\right)}{\partial \phi }d\phi }{\sqrt{{\left(\frac{\partial b\left(\phi ,z\right)}{\partial \phi }\right)}^2+{\left(b\left(\phi ,z\right)\right)}^2\left(1+{\left(\frac{\partial b\left(\phi ,z\right)}{\partial z}\right)}^2\right)}};\\ F_{m,n}^9\left(z\right)={\int }_0^{2\pi }\frac{e^{\left(n-m\right)\phi i}{\left(\frac{\partial b\left(\phi ,z\right)}{\partial \phi }\right)}^{2}d\phi }{{\left(b\left(\phi ,z\right)\right)}^2\sqrt{{\left(\frac{\partial b\left(\phi ,z\right)}{\partial \phi }\right)}^2+{\left(b\left(\phi ,z\right)\right)}^2\left(1+{\left(\frac{\partial b\left(\phi ,z\right)}{\partial z}\right)}^2\right)}};\end{array}$

$\begin{array}{l}{F}_{m,n}^{10}\left(z\right)={\int }_0^{2\pi }\frac{{\left(\frac{\partial b\left(\phi ,z\right)}{\partial z}\right)}^2{e}^{\left(n-m\right)\phi i}d\phi }{\sqrt{{\left(\frac{\partial b\left(\phi ,z\right)}{\partial \phi }\right)}^2+{\left(b\left(\phi ,z\right)\right)}^2\left(1+{\left(\frac{\partial b\left(\phi ,z\right)}{\partial z}\right)}^2\right)}};\\ F_{m,n}^{11}\left(z\right)={\int }_0^{2\pi }\frac{{\left(b\left(\phi ,z\right)\right)}^2{\left(\frac{\partial b\left(\phi ,z\right)}{\partial z}\right)}^2{e}^{\left(n-m\right)\phi i}d\phi }{\sqrt{{\left(\frac{\partial b\left(\phi ,z\right)}{\partial \phi }\right)}^2+{\left(b\left(\phi ,z\right)\right)}^2\left(1+{\left(\frac{\partial b\left(\phi ,z\right)}{\partial z}\right)}^2\right)}};\end{array}$

$I_{m,n,i,j}^1={\int }_0^1\rho J_{m+1}\left(\nu {}_{m,i}\rho \right)J_{n+1}\left(\nu {}_{n,j}\rho \right)d\rho ;$$I_{m,n,i,j}^2={\int }_0^1{J}_m\left({\nu }_{m,i}\rho \right)J_{n+1}\left(\nu {}_{n,i}\rho \right)d\rho ;$

$I_{m,n,i,j}^3={\int }_0^1{J}_{m+1}\left(\nu {}_{m,i}\rho \right)J_n\left({\nu }_{n,j}\rho \right)d\rho ;$ $I_{m,n,i,j}^4={\int }_0^1\frac{J_m\left({\nu }_{m,i}\rho \right)J_n\left({\mu }_{n,j}\rho \right)}{\rho }d\rho ;$ $I_{m,n,i,j}^5={\int }_0^1\frac{J_m\left({\nu }_{m,i}\rho \right)J_n\left({\nu }_{n,j}\rho \right)}{\rho }d\rho ;$

$I_{m,n,i,j}^6={\int }_0^1{J}_m\left({\nu }_{m,i}\rho \right)J_{n+1}\left(\mu {}_{n,i}\rho \right)d\rho ;$ $I_{m,n,i,j}^7={\int }_0^1{J}_{m+1}\left(\nu {}_{m,i}\rho \right)J_n\left({\mu }_{n,j}\rho \right)d\rho ;$

$I_{m,n,i,j}^9={\int }_0^1{\rho }^2{J}_m\left(\nu {}_{m,i}\rho \right)J_{n+1}\left(\nu {}_{n,j}\rho \right)d\rho ;$ $I_{m,n,i,j}^{10}={\int }_0^1{\rho }^2{J}_{m+1}\left(\nu {}_{m,i}\rho \right)J_n\left(\nu {}_{n,j}\rho \right)d\rho ;$

$I_{m,n,i,j}^{11}={\int }_0^1{\rho }^2{J}_{m+1}\left(\nu {}_{m,i}\rho \right)J_n\left(\mu {}_{n,j}\rho \right)d\rho ;$ $I_{m,n,i,j}^{12}={\int }_0^1\rho J_m\left({\nu }_{m,i}\rho \right)J_n\left({\nu }_{n,j}\rho \right)d\rho ;$ $I_{m,n,i,j}^{13}={\int }_0^1\rho J_m\left({\nu }_{m,i}\rho \right)J_n\left({\mu }_{n,j}\rho \right)d\rho ;$

$I_{m,n,i,j}^{14}={\int }_0^1\rho J_{m+1}\left(\nu {}_{m,i}\rho \right)J_{n+1}\left(\mu {}_{n,j}\rho \right)d\rho ;$ $I_{m,n,i,j}^{15}={\int }_0^1\rho J_{m+1}\left(\mu {}_{m,i}\rho \right)J_{n+1}\left(\mu {}_{n,j}\rho \right)d\rho ;$

$I_{m,n,i,j}^{16}={\int }_0^1{J}_m\left({\mu }_{m,i}\rho \right)J_{n+1}\left(\nu {}_{n,i}\rho \right)d\rho ;$ $I_{m,n,i,j}^{17}={\int }_0^1{J}_{m+1}\left(\mu {}_{m,i}\rho \right)J_n\left(\nu {}_{n,j}\rho \right)d\rho ;$ $I_{m,n,i,j}^{18}={\int }_0^1\frac{J_m\left({\mu }_{m,i}\rho \right)J_n\left({\mu }_{n,j}\rho \right)}{\rho }d\rho ;$