On Stability with Respect to Part of Variables in some Critical Cases

Capa

Citar

Texto integral

Resumo

 We consider the problem of stability with respect to a part of variables in critical cases, when it is necessary to take into account nonlinear summands in series expansions of the right-hand sides of equations. This problem is nonlocal because of presence of uncontrolled variables (the stability with respect to them is not analyzed), and has a number of features that complicate the study in comparison with the analogous problem of stability with respect to all variables. We discuss an analogue of the Lyapunov reduction principle as applied to this problem. Two situations, differing in the way for critical variables entering the equations for non-critical variables, are distinguished. We propose the signs of stability, asymptotic stability and instability with respect to a part of variables. They are established basing on similar properties of auxiliary systems of smaller dimension. For the case when the characteristic equation for the linear approximation system has several zero roots we obtain the conditions of asymptotic stability with respect to a part of variables, which are established on the basis of stable subsystems with homogeneous right-hand side. For the proof, the sign-constant scalar Lyapunov functions as well as vector Lyapunov – Matrosov functions and the comparison method are used. In order to compare our results with known ones, we present a number of examples that show the effectiveness of the application of the proved theorems. 

Sobre autores

Alexander Kosov

Matrosov Institute for System Dynamics and Control Theory of Siberian Branch of Russian Academy of Sciences

Autor responsável pela correspondência
Email: kosov_idstu@mail.ru
ORCID ID: 0000-0003-1352-1828

 Ph. D. (Mathematics and Physics), Leading researcher, Matrosov
Institute for System Dynamics and Control Theory of Siberian Branch of Russian
Academy of Sciences (134 Lermontov Str., Irkutsk 664033, Russian Federation) 

Rússia, 134 Lermontov Str., Irkutsk 664033, Russian Federation

Bibliografia

  1. V. P. Prokop'ev, "On stability of motion with respect to a part of variables in the critical case of a single zero root", Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 39.:3 (1975), 399-403.
  2. V. N. Shchennikov, "On partial stability in the critical case of 2k purely imaginary roots", Differential and integral equations: Methods of topological dynamics, Gor'kiy state university named after N. I. Lobachevsky, Gor'kiy, 1985, 46-50 (In Russ.).
  3. P. A. Shamanaev, "On the stability of the zero solution with respect to a part of variables in linear approximation", Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes, 19:3 (2023), 374-390. DOI: https://doi.org/10.21638/11701/spbu10.2023.306 (In Russ.).
  4. P. A. Shamanaev, "On the partial instability of the zero solution of nonlinear systems to the first approximation", Zhurnal Srednevolzhskogo Matematicheskogo Qbshchestva, 26:3 (2024), 280-293. DOI: https://doi.org/10.15507/2079-6900.26.202403.1-14 (In Russ.).
  5. A. A. Karasev, A. E. Lamotkin, "On sustainability by the part of variables in the critical case of 2n zero roots with 2n groups of decisions", Mechanics. Research and Innovations. Gomel., 2017, no. 10, 75–79. (In Russ.).
  6. A. S. Oziraner, "On asymptotic stability and instability relative to a part of variables", Journal of Applied Mathematics and Mechanics., 37:4 (1973), 623–629.
  7. A. M. Liapunov, "The general problem of the stability of motion", International Journal of Control, 55:3 (1992), 531–534.
  8. A. M. Lyapunov, Study of one of the special cases of the problem of stability of motion, Leningrad. State University Press, Leningrad, 1963 (In Russ.), 116 p.
  9. V. G. Veretennikov, Stability and oscillations of nonlinear systems., Nauka. Chief Editorial Board of Physical and Mathematical literature, Moscow, 1984. (In Russ.), 320 p.
  10. V. I. Zubov, Methods of A. M. Lyapunov and their application. Transl. prep. under the auspices of the United States Atomic energy commis. Ed. for this Engl. ed. by L. F. Boron., P. Noordhoff, Groningen, 1964, 263 p.
  11. N. N. Krasovskii, Stability of motion. Applications of Lyapunov's second method to differential systems and equations with delay. Translated by J.L. Brenner., Stanford University Press, Stanford, Calif., 1963, 188 p.
  12. V. I. Zubov, "Mathematical methods for the study of automatic control systems", 1962,
  13. p.
  14. G. V. Kamenkov, Selected works. Vol. 1. Stability of motion. Oscillations. Aerodynamics., Science, Moscow, 1971 (In Russ.), 260 p.
  15. I. G. Malkin, Theory of stability of motion, Nauka. Chief Editorial Board of Physical and Mathematical literature, Moscow, 1966 (In Russ.), 532 p.
  16. V. A. Pliss, "Reduction principle in the theory of stability of motion", Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., 28:6. (1964), 1297–1324 (In Russ.).
  17. A. S. Oziraner, "On the stability of motion in critical cases", Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 39:3 (1975), 392–399.
  18. Z. Artstein, "Topological dynamics of an ordinary differential equations", Journal of Differential Equations, 23:2 (1977), 216-223. DOI: https://doi.org/10.1016/0022-0396(77)90127-9.
  19. A. A. Kosov, "On the problem of stability of motion with respect to a part of variables", Problems of qualitative theory of differential equations, 1988, 185–194 (In Russ.).
  20. V. V. Rumyantsev, "On motion stability with respect to a part of variables", 1957, no. 4, 9–16 (In Russ.).
  21. N. I. Matrosova, "Lyapunov vector-functions in the study of the special critical case of zero roots", Method of Lyapunov functions and its applications., Nauka, Novosibirsk, 1984, 53–64 (In Russ.).
  22. A. S. Oziraner, V. V. Rumiantsev, "Method of Liapunov functions in the problem stability for motion with respect to a part of the variables", Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 36:2 (1972.), 364–384.
  23. A. A.Martynyuk, A. Yu. Obolenskij, "Stability of solutions of autonomous Wazewski systems", Differential Equations, 16:8 (1980), 1392–1407.
  24. A. S. Oziraner, "On the question about the stability of motion with respect to a part of variables", Moscow University Bulletin. Series Mathematics and Mechanics, 1971, no. 1, 92-100 (In Russ.).
  25. I. I. Akhmetgaleev, "Stability of systems with homogeneous mappings", Method of Lyapunov functions and its applications, Nauka, Novosibirsk, 1984, 126-137 (In Russ.).

Arquivos suplementares

Arquivos suplementares
Ação
1. JATS XML
Baixar

Declaração de direitos autorais © Kosov A., 2025

Creative Commons License
Este artigo é disponível sob a Licença Creative Commons Atribuição 4.0 Internacional.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».