On a system of coupled linear oscillators with fractional friction and nonconstant coefficients for describing geoacoustic emission.

全文:

Введение

Высокочастотная геоакустическая эмиссия (ГЭ) представляет собой важный и актуальный объект исследования в области геофизики и геоэкологии. Этот феномен включает в себя акустические волны, возникающие в результате различных геологических процессов, таких как деформация горных пород, землетрясения, обвалы, а также антропогенные воздействия, включая строительство и добычу полезных ископаемых. Высокочастотные сигналы, часто превышающие 100 кГц, предоставляют ценную информацию о микро- и макроструктурах земной коры, а также о динамике процессов, происходящих в подземной среде [1-7].

Акустические волны, генерируемые в результате геологических процессов, могут служить индикаторами изменений в состоянии горных пород и предсказывать потенциальные риски, связанные с геодинамическими явлениями. Например, анализ ГЭ позволяет выявлять зоны повышенной активности, что может быть критически важным для предотвращения катастроф, связанных с обвалами или землетрясениями [1, 3, 6, 7]. В этом контексте высокочастотная ГЭ становится не только объектом научного интереса, но и инструментом для обеспечения безопасности и устойчивости инфраструктуры.

Современные технологии регистрации и обработки сигналов, такие как массивы микрофонов и цифровые системы обработки данных, значительно расширяют возможности исследования высокочастотной ГЭ [2, 4–6]. Эти технологии позволяют не только фиксировать сигналы с высокой временной и пространственной разрешающей способностью, но и проводить их анализ с использованием методов машинного обучения и статистической обработки данных. Это создает новые перспективы для понимания сложных геодинамических процессов и их взаимосвязей.

Другой подход в исследовании высокочастотной ГЭ связан с математическим моделированием [1]. Этот подход является актуальным так как математических моделей высокочастотной ГЭ очень мало представлено в научной литературе. Преимущество такого подхода заключается в том, что можно с точки зрения математики описать динамический процесс высокочастотной ГЭ, получить его некоторые закономерности, которые потом можно использовать в решении прикладных задач.

В настоящей работе с помощью инструментов математического моделирования была предложена математическая модель высокочастотной ГЭ как система двух линейных связанных осцилляторов с непостоянными коэффициентами и эффектами наследственности в диссипативных членах по аналогии с со статьей [8]. Эффекты наследственности [9] указывают на то, что текущее состояние динамической системы зависит от предыдущих ее состояний, а их математическое описание дается в терминах дробных производных, которые изучаются в рамках теории дробного исчисления [10, 11]. Предложенная математическая модель обобщает ранее известную модель из работ авторов [12, 13], а настоящая статья является продолжением этих работ.

Постановка задачи и методика решения

Рассмотрим следующую динамическую систему:

$\left\{\begin{array}{l}{\ddot{g}}_{1}t=\left(\frac{a_1}{t}-\frac{a_1}{b_1}\right){\partial }_{0t}^{{\beta }_1}{g}_{1}t-\left(\frac{a_1}{t^2}+c_1^2\right)g_{1}t+\left(\frac{a_1}{t}-\frac{a_1}{b_1}\right)A_1{c}_1{t}^{a_1}\exp \left(-\frac{a_1}{b_1}t\right)cos{c}_{1}t+{\varphi }_{\mathrm{0,1}}+k{g}_{2}t,\\ {\ddot{g}}_{2}t=\left(\frac{a_2}{t}-\frac{a_2}{b_2}\right){\partial }_{0t}^{{\beta }_2}{g}_{2}t-\left(\frac{a_2}{t^2}+c_2^2\right)g_{2}t+\left(\frac{a_2}{t}-\frac{a_2}{b_2}\right)A_2{c}_2{t}^{a_2}\exp \left(-\frac{a_2}{b_2}t\right)cos{c}_{1}t+{\varphi }_{\mathrm{0,2}}+k{g}_{1}t,\end{array}\right.$ (1)

где $g_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{g}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in C^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{t}_0\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ - функции решения, $k$ - коэффициент линейной связи заданная константа, $T$ - время моделирования процесса, $t_0\cancel{=}0$, $a_i\mathrm{,}{b}_i\mathrm{,}{c}_i\mathrm{,}{A}_i\mathrm{,}{\varphi }_{\mathrm{0,}i}$, $i\mathrm{<mo>=</mo>1,2}$ - заданные константы. Для системы (1) начальные условия можно задать в виде:

$\left\{\begin{array}{c}{g}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{A}_1{t}_0^{a_1}\exp \left(-\frac{a_1}{b_1}{t}_0\right)\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_1{t}_0+{\varphi }_{\mathrm{0,1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\\ {\dot{g}}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\left(\frac{a_1}{t_0}-\frac{a_1}{b_1}\right)g_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+A_1{c}_1{t}_0^{a_1}\exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\frac{a_1}{b_1}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cos \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_1{t}_0+{\varphi }_{\mathrm{0,1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\\ g_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{A}_2{t}_0^{a_2}\exp \left(-\frac{a_2}{b_2}{t}_0\right)\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_2{t}_0+{\varphi }_{\mathrm{0,2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\\ {\dot{g}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\left(\frac{a_2}{t_0}-\frac{a_2}{b_2}\right)g_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+A_2{c}_2{t}_0^{a_2}\exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\frac{a_2}{b_2}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cos \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_2{t}_0+{\varphi }_{\mathrm{0,2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\end{array}\right.$ (2)

Дробные производные в правых частях динамической системы (1) понимаются в смысле Герасимова-Капуто [14, 15]:

$\begin{array}{ll}{\partial }_{0t}^{{\beta }_1}\hfill & g_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-{\beta }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}\frac{{\dot{g}}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\tau }{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{{\beta }_1}}\mathrm{,}\hfill \\ {\partial }_{0t}^{{\beta }_2}{g}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\hfill & \frac{1}{\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-{\beta }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}\frac{{\dot{g}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\tau }{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{{\beta }_2}}\mathrm{,}a\mathrm{<mo><</mo>}{\beta }_1\mathrm{.}{\beta }_2\mathrm{<mo><</mo>1,}\hfill \end{array}$ (3)

где $\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ гамма-функция Эйлера.

Замечание 1. Задача (1), (2) является задачей Коши для системы связанных линейных осцилляторов с дробным трением и непостоянными коэффициентами. В случае, когда ${\beta }_1\mathrm{<mo>=</mo>}{\beta }_2\mathrm{<mo>=</mo>1}$, то мы получаем задачу Коши, которая была исследована в работах [12, 13].

Замечание 2. Необходимо отметить, что в статье [16] была предложена система связанных линейных осцилляторов с непостоянными коэффициентами для описания высокочастотной геоакустической эмиссии с дробной инерцией. Однако так как система является линейной и не описывает автоколебания, то дробная инерция приводит к быстро затухающим осцилляциям.

Замечание 3. Заметим, что непостоянные коэффициенты в системе (1) со временем убывают до некоторых постоянных значений. Это свойство системы (1) было использовано авторами статьи [12] для качественного анализа системы (1) при ${\beta }_1\mathrm{<mo>=</mo>}{\beta }_2\mathrm{<mo>=</mo>1}$. В том числе и вопросы существования и единственности решения. В настоящей работы мы не будем исследовать этот вопрос, его можно исследовать по аналогии с методикой работы [17].

Несмотря на то, что система (1) является линейной, но за счет наличия непостоянных коэффициентов, решение в аналитическом виде получить сложно. Поэтому мы применим численные методы для решения задачи (1), (2).

Построим нелокальную явную конечно-разностную схему. Для этой цели введем равномерную сетку с шагом $\tau \mathrm{<mo>=</mo>}T\mathrm{<mo>/</mo>}N$, где $N$ $—$ количество узлов сетки. Пусть функции $g_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $g_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ обладают необходимой гладкостью, тогда вводим сеточные функции $g_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{g}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $j\mathrm{<mo>=</mo>0,}\cdots \mathrm{,}N-\mathrm{1,}{t}_j\mathrm{<mo>=</mo>}j\tau$. Аппроксимации целочисленных производных в правой части системы (1) и дробных операторов (3) имеет вид:

$\begin{array}{l}{\ddot{g}}_{1}t\approx \frac{g_{\mathrm{1,}j+1}-2g_{\mathrm{1,}j}+g_{\mathrm{1,}j-1}}{{\tau }^2}\mathrm{,}{\ddot{g}}_{2}t\approx \frac{g_{\mathrm{2,}j+1}-2g_{\mathrm{2,}j}+g_{\mathrm{2,}j-1}}{{\tau }^2}\\ {\partial }_{0t}^{{\beta }_1}{g}_{1}t\approx \frac{{\tau }^{-{\beta }_1}}{\Gamma -{\beta }_1}\sum _i^{j-1}{w}_i^{{\beta }_1}{g}_{\mathrm{1,}j-i+1}-g_{\mathrm{1,}j-i}\\ {\partial }_{0t}^{{\beta }_2}{g}_{2}t\approx \frac{{\tau }^{-{\beta }_2}}{\Gamma -{\beta }_2}\sum _i^{j-1}{w}_i^{{\beta }_2}{g}_{\mathrm{2,}j-i+1}-g_{\mathrm{2,}j-i}\end{array}$ (4)

где весовые коэффициенты имеют вид:

$w_i^{{\beta }_i}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}i+{\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{1-{\beta }_1}-i^{1-{\beta }_1}\mathrm{,}{w}_i^{{\beta }_2}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}i+{\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{1-{\beta }_2}-i^{1-{\beta }_2}\mathrm{.}$

Подставляя аппроксимации дифференциальных операторов (4) в (1) с учетом сеточных функций и после некоторых преобразований мы приходим к следующей дискретной системе:

$\left\{\begin{array}{c}{g}_{\mathrm{1,}j+1}\text{}\mathrm{<mo>=</mo>}\text{}\frac{1}{1\text{}-\text{}{M}_{\mathrm{1,}j}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{}2\text{}-\text{}{M}_{\mathrm{1,}j}\text{}-\text{}{P}_{\mathrm{1,}j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{g}_{\mathrm{1,}j}\text{}-\text{}{g}_{\mathrm{1,}j\text{}\text{}\text{}-1}\text{}+\text{}{F}_{\mathrm{1,}j}\text{}+\text{}K{g}_{\mathrm{2,}j}\text{}\text{}+\text{}\text{}{M}_{\mathrm{1,}j}\text{}{\displaystyle \sum _{i\text{}-\text{}1}^{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}}\text{}{w}_i^{{\beta }_1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{g}_{\mathrm{1,}\text{}j-\text{}i+\text{}1}\text{}-\text{}{g}_{1\text{}\mathrm{,}j\text{}-\text{}1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\text{}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\\ g_{\mathrm{2,}j+1}\text{}\mathrm{<mo>=</mo>}\text{}\frac{1}{1\text{}-\text{}{M}_{\mathrm{2,}j}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{}2\text{}-\text{}{M}_{\mathrm{2,}j}\text{}-\text{}{P}_{\mathrm{2,}j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{g}_{\mathrm{2,}j}\text{}-\text{}{g}_{\mathrm{2,}j\text{}-\text{}1\text{}}\text{}+\text{}{F}_{\mathrm{2,}j}\text{}+\text{}K{g}_{\mathrm{1,}j}\text{}\text{}+\text{}\text{}{M}_{\mathrm{2,}j}\text{}{\displaystyle \sum _{i\text{}-\text{}1}^{j\text{}\mathrm{<mo>=</mo>}\text{}1}}\text{}{w}_i^{{\beta }_2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{g}_{\mathrm{2,}j\text{}-\text{}i\text{}+\text{}1}\text{}-\text{}{g}_{\mathrm{2,}j\text{}-\text{}1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}\end{array}\right.$ (5)

$M_{\mathrm{1,}j}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{a_1}{j\tau }-\frac{a_1}{b_1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{{\tau }^{2-{\beta }_1}}{\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}-{\beta }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}{M}_{\mathrm{2,}j}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{a_2}{j\tau }-\frac{a_2}{b_2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{{\tau }^{2-{\beta }_2}}{\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}-{\beta }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}$

$P_{\mathrm{1,}j}\mathrm{<mo>=</mo>}{\tau }^2\left(\frac{a_1}{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2}+c_1^2\right)\mathrm{,}{P}_{\mathrm{2,}j}\mathrm{<mo>=</mo>}{\tau }^2\left(\frac{a_2}{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2}+c_2^2\right)\mathrm{,}K\mathrm{<mo>=</mo>}{\tau }^{2}k\mathrm{,}$

$F_{\mathrm{1,}j}\mathrm{<mo>=</mo>}{\tau }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{a_1}{j\tau }-\frac{a_1}{b_1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{A}_1{c}_1{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{a_1}\exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\frac{a_1}{b_1}j\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cos \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_{1}j\tau +{\varphi }_{\mathrm{0,}q}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

$F_{\mathrm{2,}j}\mathrm{<mo>=</mo>}{\tau }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{a_2}{j\tau }-\frac{a_2}{b_2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{A}_2{c}_2{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{a_2}\exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\frac{a_2}{b_2}j\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cos \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_j\tau +{\varphi }_{\mathrm{0,}q}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Начальные условия (2) для дискретной системы (5) запишем в виде:

$\begin{array}{ll}\hfill & g_{\mathrm{1,1}}\mathrm{<mo>=</mo>}{g}_{\mathrm{1,0}}+\tau {\varphi }_1\mathrm{,}{g}_{\mathrm{2,1}}\mathrm{<mo>=</mo>}{g}_{\mathrm{2,0}}+\tau {\varphi }_2\mathrm{,}\hfill \\ g_{\mathrm{1,0}}\text{}\mathrm{<mo>=</mo>}\text{}{A}_1{t}_0^{a_1}\text{}\exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\frac{a_1}{b_1}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\hfill & \sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_1{t}_0\text{}+{\varphi }_{\mathrm{1,0}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{g}_{\mathrm{2,0}}\text{}\mathrm{<mo>=</mo>}\text{}{A}_2{t}_0^{a_2}\exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{}-\frac{a_2}{b_2}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_2{t}_0\text{}+{\varphi }_{\mathrm{2,0}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill \\ {\varphi }_1\text{}\mathrm{<mo>=</mo>}\text{}\left(\text{}\frac{a_1}{t_0}\text{}-\text{}\frac{a_1}{b_1}\text{}\right)g_{\mathrm{1,0}}+A_1{c}_1{t}_0^{a_1}\exp \left(\text{}-\frac{a_1}{b_1}{t}_0\right)\text{}\cos \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_1{t}_0\text{}+\text{}{\varphi }_{\mathrm{0,1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & \hfill \\ {\varphi }_2\text{}\mathrm{<mo>=</mo>}\text{}\left(\text{}\frac{a_2}{t_0}-\frac{a_2}{b_2}\right)g_{\mathrm{2,0}}\text{}+\text{}{A}_2{c}_2{t}_0^{a_2}\text{}\exp \left(-\text{}\frac{a_2}{b_2}{t}_0\right)\text{}\cos \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_2\text{}{t}_0\text{}+\text{}{\varphi }_{\mathrm{0,2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}\hfill & \hfill \end{array}$ (6)

Замечание 4. Дискретная задача (5) и (6) является нелокальной явной конечно-разностной схемой. Ее нелокальность определяется наличием сумм в правых частях системы (5), в которых присутствуют компоненты решения на предыдущих шагах.

Следуя методике статьи [18], можно показать, что схема (5), (6) имеет первый порядок точности. Несмотря на то, что схема (5), (6) является условно устойчивой, мы всегда можем контролировать шаг сетки, путем увеличения ее узлов.

Результаты моделирования

С помощью нелокальной явной конечно-разностной схемы (5,6) были произведены расчеты осциллограмм и фазовых траекторий и их визуализация, которые мы осуществим в компьютерной среде сивольной математики Maple 2022 [19].

В таблице приведены значения некоторых параметров модели (1), которые мы будем использовать в дальнейшем в моделировании [12].

 

Таблица

Параметры задачи

[Task parameters]

Параметры	Значения
$a_1$	1.3785
$b_1$	0.004
$c_1$	31416
$a_2$	3.1831
$b_1$	0.006
$c_1$	31416
$A_1$	0.5
$A_2$	0.7
$k$	${10}^7$

 

Пример 1. (Случай ${\beta }_1\mathrm{<mo>=</mo>}{\beta }_2\mathrm{<mo>=</mo>1}$ ). Значения параметров для расчетов по численной схеме (5), (6) выберем следующими: $t\in {\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>10}}^{-5}\mathrm{,5}\cdot {10}^{-2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, $N\mathrm{<mo>=</mo>5000}$.

На рис. 1 приведен пример, который рассматривался в статьях авторов [12, 13]. Здесь мы наблюдаем взаимодействие источников: второй источник, который соответствует второму осциллятору в системе (1) больше, чем первый источник. Поэтому при отдаче энергии от второго источника, на осциллограмме (рис. 1а) мы видим возникновение трех последовательных затухающих импульсов различной формы, а на осциллограмме (рис. 1b) мы четко видим всего два импульса, а третий прослеживается не четко из-за меньшей энергии. Фазовая траектория (рис. 1с) представляет собой замкнутую фигуру, в которой отражена динамика на осциллограммах (три импульса различной формы).

 

Рис. 1. Осциллограммы и фазовая траектория для Примера 1.

[Figure 1. Oscillograms and phase trajectory for Example 1.]

 

Пример 2. (Случай ${\beta }_1\mathrm{<mo>=</mo>}{\beta }_2\cancel{=}1$ ). Значение параметров: ${\beta }_1\mathrm{<mo>=</mo>}{\beta }_2\mathrm{<mo>=</mo>0.9}$ и $t\in {\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>10}}^{-5}{\mathrm{,10}}^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, остальные значения параметров возьмем из Примера 1.

На рис.2 мы видим, что число импульсов стало большим по сравнению с рис.1, однако количество импульсов как на рис.2а, так и на рис.2b одинаково. Заметим, что амплитуда первого импульса на осциллограмме (рис.2b) больше, чем амплитуда аналогичного импульса на рис.2a. Амплитуда второго импульса рис.2а наоборот больше амплитуды аналогичного импульса на рис.2b и далее динамика сохраняется. Число импульсов увеличилось в силу того, что значения параметров и меньше единицы, что уменьшает эффект от диссипации энергии. Фазовая траектория (рис.2с) также имеет замкнутую траекторию, как и на рис.1с. Также можно четко заметить на фазовой траектории области, отвечающие за тот или иной импульс. Таких ярко выраженных областей четыре.

 

Рис. 2. Осциллограммы и фазовая траектория для Примера 2.

[Figure 2. Oscillograms and phase trajectory for Example 2.]

 

Пример 3. (Случай ${\beta }_1\mathrm{<mo>></mo>}{\beta }_2$ ). Значение параметров: ${\beta }_1\mathrm{<mo>=</mo>0.9,}{\beta }_2\mathrm{<mo>=</mo>0.1}$ и $t\in {\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>10}}^{-5}{\mathrm{,10}}^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, остальные значения параметров возьмем из Примера 1.

На рис. 3 приведен пример, когда эффект от диссипации энергии для второго осциллятора минимален ( ${\beta }_2\mathrm{<mo>=</mo>0.1}$ ). Мы видим, что первый импульс на осциллограмме (рис. 3b) обладает большей амплитудой не только по сравнению с аналогичным импульсом на рис. 3а, но и по сравнению с первым импульсом на рис. 2b. Кроме того, следующие импульсы на осциллограмме (рис. 3b) имеют большие амплитуды, чем на рис. 2b из Примера 2. Аналогично, мы видим похожую динамику и на рис. 3a. Такая динамика обусловлена тем, что для второго осциллятора диссипативный член играет меньшую роль и значит второй осциллятор отдает больше своей энергии первому осциллятору. Это также можно увидеть на рис 3a, здесь у второго импульса амплитуда даже больше чем у первого. На фазовой траектории (рис. 3с) мы видим динамику процесса, которая отражает множество импульсов на осциллограммах.

 

Рис. 3. Осциллограммы и фазовая траектория для Примера 3.

[Figure 3. Oscillograms and phase trajectory for Example 3.]

 

Отметим также, что амплитуда первого импульса на рис.3a имеет примерно такую же амплитуду, как и на первом импульсе осциллограммы (рис.2а) из Примера 2. Посмотрим, как этот эффект измениться, если мы выберем значения параметров ${\beta }_1\mathrm{<mo>=</mo>0.1,}{\beta }_2\mathrm{<mo>=</mo>0.9}$, т.е. наоборот.

Пример 4. (Случай ${\beta }_1\mathrm{<mo><</mo>}{\beta }_2$ ). Значение параметров: ${\beta }_1\mathrm{<mo>=</mo>0.1,}{\beta }_2\mathrm{<mo>=</mo>0.9}$ и $t\in {\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>10}}^{-5}{\mathrm{,10}}^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, остальные значения параметров возьмем из Примера 1.

На рис. 4а мы видим, что амплитуда первого импульса стала меньшей по сравнению с аналогичным импульсом на рис. 3a. Далее первый импульс на рис. 4а обладает меньшей амплитудой, чем первый импульс на рис. 4b, т.е. для первого импульса сохраняется динамика как из предыдущих примеров. Второй импульс на рис. 4a имеет меньшую амплитуду по сравнению с первым, но большую по сравнению со вторым импульсом на рис. 4b. Фазовая траектория на рис. 4с имеет схожую форму с фазовой траекторией на рис. 3с.

 

Рис. 4. Осциллограммы и фазовая траектория для Примера 4.

[Figure 4. Oscillograms and phase trajectory for Example 4.]

 

Заключение

В статье предложена новая математическая модель геоакустической эмиссии, которая обобщает ранее известную модель [12, 13]. Особенность модели $–$ наличие эффекта наследственности, который учитывается в модельных уравнениях по средствам производных дробных порядков в диссипативных членах. Порядки дробных производных указывают на степень влияния диссипации (трения) на рассматриваемый процесс. При уменьшении значений порядков дробных производных влияние диссипации падает, что дает возможность больше энергии передавать между источниками. В работе на конкретных примерах это было показано.

Дальнейшее продолжение работы может быть связано с исследованием качественных свойств предложенной модели, а также сопоставление полученных результатов с реальными сигналами высокочастотной геоакустической эмиссии В целом результаты статьи показали, что имеет смысл учитывать эффекты наследственности при моделировании высокочастотной геоакустической эмиссии.

Благодарность. Авторы благодарны рецензенту за тщательное прочтение статьи и ценные предложения и комментарии.

作者简介

Darya Sergienko

Vitus Bering Kamchatka State University; Institute of Cosmophysical Research and Radio Wave Propagation, Far Eastern Branch of the Russian Academy of Sciences

编辑信件的主要联系方式.
Email: darya@ikir.ru
ORCID iD: 0009-0008-6512-4537

aspirant of the Department of Mathematics and Computer Science, Vitus Bering Kamchatka State University, Petropavlovsk-Kamchatsky, Russia; programmer of the Laboratory of Acoustic Research, Institute of Cosmophysical Research and Radio Wave Propagation FEB RAS

俄罗斯联邦, 683032, Petropavlovsk-Kamchatsky, Pogranichnaya str., 4; 684034, Paratunka village, Mirnaya str., 7

Roman Parovik

Institute of Cosmophysical Research and Radio Wave Propagation, Far Eastern Branch of the Russian Academy of Sciences

Email: darya@ikir.ru
ORCID iD: 0000-0002-1576-1860

Doctor of Physico-Mathematical Sciences, Professor, Leading Researcher at the Laboratory of Modeling Physical Processes

俄罗斯联邦, 684034, Paratunka village, Mirnaya str., 7

参考

补充文件