全文:
Введение
Динамические системы играют важную роль в различных областях знаний и зачастую бывает так, что одна и также динамическая система может описывать похожие процессы, но разной природы. Это свойство динамической системы иногда называют универсальностью. Не исключением является и динамическая система Селькова. Она часто встречается в биологии при исследовании гликолитических реакций, которые имеют автоколебательные режимы [1].
Далее в статье [2] было предложено использовать динамическую систему Селькова для описания автоколебательных режимов микросейсм колебаний земной поверхности малой амплитуды, источником которых являются природные и техногенные процессы.
В работе [3] было проведено обобщение динамической системы на случай учета наследственности. Это свойство динамической системы сохранять память о своей эволюции, т.е. текущее состояние системы зависит от предыдущих ее состояний. С точки зрения математики наследственность можно описать в общем случае с помощью интегро-дифференциальных уравнений вольтеровского типа [4], а при определенных условиях с помощью производных дробных постоянных или переменных порядков, которые изучаются в рамках теории дробного исчисления [5, 6]. Поэтому мы далее динамическую систему Селькова с учетом наследственности будем называть дробной динамической системой Селькова.
Был проведен количественный и качественный анализ динамической системы Селькова с учетом наследственности, основные результаты которого были отражены не только в статье [3], но и в других работах автора [7, 9, 16].
В настоящей работе предлагается дальнейшее исследование дробной динамической системы Селькова, которое связано с построением бифуркационных диаграмм на основе полученного решения в зависимости от различных значений параметров системы.
Постановка задачи и методика ее решения
Рассмотрим следующую задачу:
(1)
где функции решения, , , функции из класса , параметр имеющий размерность времени, заданные константы, текущее время процесса, время моделирования; положительные константы, отвечающие за начальные условия; операторы дробных производных имееют вид:
понимются в смысле Герасимова-Капуто [11, 18], порядки которых являются функциями из класса .
Замечание 1. Отметим, что информацию о производных дробного переменного порядка можно найти в обзорной статье [12].
В настоящей работе мы будем использовать численный алгоритм, основанный на семействе методов предиктор-корректор (метод Адамса-Башфорта-Мултона) [13-16].
(2)
Для корректора (формула Адамса-Моултона) получим:
(3)
где , а весовые коэффициенты в (3) определяются по формуле:
Замечание 2. Исследование свойств метола Адамса-Башфорта-Мултона проводилось в статье автора [16].
Результаты моделирования
Численный алгоритм (2), (3) был реализован на языке программирования Python [17] в среде PyCharm 2024.1 с возможностью визуализации результатов моделирования [18].
Пример 1. На рис.1 приведен график 3D поверхностей и , где , , , , константы.
Рис. 1. Поверхности: a) x = x(α1,α2); b) y = y(α1,α2).
Figure 1. Surfaces: a) x = x(α1,α2); b) y = y(α1,α2).
На рис. 1. приведены бифуркационные диаграммы в виде поверхностей искомого решения и от значений порядков дробных производных и . Отметим, что на поверхностях рис.1a и рис. 1b есть области которые отвечают за регулярные режимы, например, затухающие колебания соответствуют областям без всплесков, в области всплесков могут формироваться предельные циклы, а также предхаотические или хаотические режимы. Кроме того, мы видим область рваные области, что, как мы покажем дальше, связано с сингулярностью.
На рис. 2 дается бифуркационная диаграмма сечение поверхности на рис. 1 при для решения (рис.2a) и при для решения (рис. 2b). Мы видим на этих бифуркационных диаграммах, например, на рис.2a три режима, сначала идет затухающий режим вплоть до , причем прерывистая линия вначале указывает на сингулярность. Далее идут всплески, которые указывают предельный цикл. Причем на рис.2a всплески с возрастающей амплитудой указываю на то, что орбита предельного цикла увеличивается. Это подтверждается фазовыми траекториями на врезках к рис.2a и рис.2b.
Рис. 2. Расчетные кривые a) x(α1), α2 = 1; b) y(α2), α1 = 1.
Figure 2. Calculated curves a) x(α1), α2 = 1; b) y(α2), α1 = 1.
На рис. 3 приведены бифуркационные диаграммы, построенные при других значениях параметров с врезками фазовых траекторий для различных участков диаграмм. Здесь мы можем отметить, например, на рис. 3a всплески идут с уменьшающейся амплитудой, что указывает на уменьшении орбиты предельного цикла. Здесь сингулярности нет.
Рис. 3. Расчетные кривые a) x(α1), α2 = 0.8; b) y(α2), α1 = 0.8.
Figure 3. Calculated curves a) x(α1), α2 = 0.8; b) y(α2), α1 = 0.8.
На рис. 3b всплески идут сначала с возрастающей амплитудой, потом с убывающей и т.д. Однако если такое чередование будет непоследовательным или иметь хотический характер, то мы будет приходить к хаотическим или предхаотическим режимам.
Отметим, что на рис. 3b мы также видим апериодический режим режим при котором отсутствуют колебания, которому на бифуркационной диаграмме соответствует кривая без всплесков.
Рассмотрим теперь другой пример дробной динамической системы Селькова, когда и являются функциями от .
Пример 2. Значения параметров выберем следующми: , остальные параметры возьмем из Примера 1. Порядки дробных производных изменяются во времени по следующим законам:
(4)
Построим бифуркационные диаграммы в виде поверхностей для решений и (Рис. 4).
Рис. 4. 3D поверхности a) x(α1,α2); b) y(α1,α2).
Figure 4. 3D surfaces a) x(α1,α2); b) y(α1,α2).
Мы видим, что на рис. 4 поверхности представляют вполне регулярную фигуру цилиндрической формы.
На рис. 5 приведены расчетные кривые и по формулам (4) (рис.5a,b). Сечения поверхности плоскостями и (рис. 5,c,d), также фазовая траектория (рис. 5e).
Рис. 5. Расчетные кривые a) α1 (t); b) α2 (t); c) x(α1); d) y(α2); e) y = y(x).
Figure 5. Calculated curves a) α1 (t); b) α2 (t); c) x(α1); d) y(α2); e) y = y(x).
В заключение приведем бифуркационные диаграммы других ключевых параметров дробной динамической системы Селькова (рис.6).
Рис. 6. Бифуркационные диаграммы зависимостей решения x и y от различных значений параметров модели.
Figure 6. Bifurcation diagrams of the dependences of the solution x and y on various values of the model parameters.
Здесь мы также видим на бифуркационных диаграммах (рис. 6), что есть "спокойные" участки, а есть участки со всплесками. Все это указывает на наличие различных динамических режимов.
Заключение
Исследованы различные бифуркационные диаграммы для дробной динамической системы Селькова в случае, когда . Алгоритм построения бифуркационных диаграмм основан на численном алгоритме Адамса-Башфорта-Мултона (2), (3). Фазовые траектории и осциллограммы были получены с помощью программного комплекса ABMSelkovFracSim[16] написанного на языке программирования Python на в среде PyCharm 2014.1.
Показано, что расчетные кривые зависимостей решения дробной динамической системы Селькова от значений порядков дробных производных характеризуют изменение динамических режимов, т.е. являются бифуркационными диаграммами. Показано, наличие регулярных и хаотических режимов, а также наличие сингулярности.
Дальнейшее изучение бифуркационных диаграмм связано с построением карт динамических режимов [19, 20], а также в случае когда . Для этих целей необходимо привлекать более мощные вычислительные ресурсы, например, вычислительные серверы с возможностью использования процессоров CPU или GPU.