Potentials for a three-dimensional elliptic equation with one singular coefficient and their application

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

A potential theory for a three-dimensional elliptic equation with one singular coefficient is considered. Double- and simple-layer potentials with unknown density are introduced, which are expressed in terms of the fundamental solution of the mentioned elliptic equation. When studying these potentials, the properties of the Gaussian hypergeometric function are used.

Theorems are proved on the limiting values of the introduced potentials and their conormal derivatives, which make it possible to equivalently reduce boundary value problems for singular elliptic equations to an integral equation of the second kind, to which the Fredholm theory is applicable.

The Holmgren problem is solved for a three-dimensional elliptic equation with one singular coefficient in the domain bounded \(x=0\) by the coordinate plane and the Lyapunov surface for \(x>0\) as an application of the stated theory. The uniqueness of the solution to the stated problem is proved by the well-known \(abc\) method, and existence is proved by the method of the Green's function, the regular part of which is sought in the form of the double-layer potential with an unknown density. The solution to the Holmgren problem is found in a form convenient for further research.

About the authors

Tuhtasin G. Ergashev

V. I. Romanovskiy Institute of Mathematics, Uzbekistan Academy of Science; Tashkent Institute of Irrigation and Agricultural Mechanization Engineers

Author for correspondence.
Email: ergashev.tukhtasin@gmail.com
ORCID iD: 0000-0003-3542-8309
Scopus Author ID: 57204027944
http://www.mathnet.ru/person37309

Dr. Phys. & Math. Sci.; Lab. of Differential Equations and Their Applications; Associate Professor; Dept. Higher Mathematics

4-a, Universitetskaya st., Tashkent, 100174, Uzbekistan; 39, Kari Niyaziy st., Tashkent, 100000, Uzbekistan

References

  1. Kondrat’ev B. P. Teoriia potentsiala. Novye metody i zadachi s resheniiami [Theory of Potential. New Methods and Problems with Solutions]. Moscow, Mir, 2007, 512 pp. (In Russian)
  2. Ergashev T. G. Fundamental solutions for a class of multidimensional elliptic equations with several singular coefficients, J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys., 2020, vol. 13, no. 1, pp. 48–57. https://doi.org/10.17516/1997-1397-2020-13-1-48-57.
  3. Ergashev T. G. Fundamental solutions of the generalized Helmholtz equation with several singular coefficients and confluent hypergeometric functions of many variables, Lobachevskii J. Math, 2020, vol. 41, no. 1, pp. 15–26. https://doi.org/10.1134/S1995080220010047.
  4. Hasanov A. Fundamental solutions bi-axially symmetric Helmholtz equation, Complex Var. Elliptic Equ., 2007, vol. 52, no. 8, pp. 673–683. https://doi.org/10.1080/17476930701300375.
  5. Hasanov A., Karimov E. T. Fundamental solutions for a class of three-dimensional elliptic equations with singular coefficients, Appl. Math. Letters, 2009, vol. 22, no. 12, pp. 1828–1832, arXiv: 0901.0468 [math-ph]. https://doi.org/10.1016/j.aml.2009.07.006.
  6. Urinov A. K., Karimov E. T. On fundamental solutions for 3D singular elliptic equations with a parameter, Appl. Math. Letters, 2011, vol. 24, no. 3, pp. 314–319. https://doi.org/10.1016/j.aml.2010.10.013.
  7. Ergashev T. G. On fundamental solutions for multidimensional Helmholtz equation with three singular coefficients, Comp. Math. Appl., 2019, vol. 77, no. 1, pp. 69–76, arXiv: 1804.04363 [math.AP].
  8. Urinov A. K., Ergashev T. G. Confluent hypergeometric functions of many variables and their application to the finding of fundamental solutions of the generalized helmholtz equation with singular coefficients, Vestn. Tomsk. Gos. Univ. Mat. Mekh., 2018, no. 55, pp. 45–56 (In Russian). https://doi.org/10.17223/19988621/55/5.
  9. Mavlyaviev R. M., Garipov I. B. Fundamental solution of multidimensional axisymmetric Helmholtz equation, Complex Var. Elliptic Equ., 2017, vol. 63, no. 3, pp. 287–296. https://doi.org/10.1080/17476933.2016.1218853.
  10. Mavlyaviev R. M. Construction of fundamental solutions to B-elliptic equations with minor terms, Russian Math. (Iz. VUZ), 2017, vol. 61, no. 6, pp. 60–65. https://doi.org/10.3103/S1066369X17060081.
  11. Urinov A. K., Karimov K. T. The Dirichlet problem for a three-dimensional equation of mixed type with three singular coefficients, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2017, vol. 21, no. 4, pp. 665–683 (In Russian). https://doi.org/10.14498/vsgtu1559.
  12. Shishkina E. L. The Dirichlet problem for an elliptic singular equation, Complex Var. Elliptic Equ., 2020, vol. 65, no. 7, pp. 1210–1218. https://doi.org/10.1080/17476933.2019.1588259.
  13. Ergashev T. G. Generalized Holmgren problem for an elliptic equation with several singular coefficients, Differ. Equ., 2020, vol. 56, no. 7, pp. 842–856. https://doi.org/10.1134/S0012266120070046.
  14. Gellerstedt S. Sur un problème aux limites pour l’équation (y^{2s}z_{xx}+z_{yy}=0), Ark. Mat. Astron. Fys. A, 1935, vol. 25, no. 10, pp. 1–12 (In French).
  15. Frankl F. On the theory of the equation (yfrac{partial^2z}{partial x^2}+frac{partial^2z}{partial y^2}=0), Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., 1946, vol. 10, no. 2, pp. 135–166 (In Russian).
  16. Pul’kin S. P. Certain boundary value problems for equations (u_{xx}pm u_{yy}+{p}{x^{-1}}u_x=0), Uch. Zap. Kuibyshev. Ped. Inst., 1958, vol. 21, pp. 3–55 (In Russian).
  17. Smirnov M. M. Vyrozhdaiushchiesia ellipticheskie i giperbolicheskie uravneniia [Degenerate Elliptic and Hyperbolic Equations]. Moscow, Nauka, 1966, 292 pp. (In Russian)
  18. Srivastava H. M., Hasanov A., Choi J. Double-layer potentials for a generalized bi-axially symmetric Helmholtz equation, Sohag J. Math., 2015, vol. 2, no. 1, pp. 1–10, arXiv: 0810.3979 [math.AP].
  19. Berdyshev A. S., Hasanov A., Ergashev T. G. Double-layer potentials for a generalized biaxially symmetric Helmholtz equation. II, Complex Var. Elliptic Equ., 2020, vol. 65, no. 2, pp. 316–332. https://doi.org/10.1080/17476933.2019.1583219.
  20. Ergashev T. G. Third double-layer potential for a generalized bi-axially symmetric Helmholtz equation, Ufa Math. J., 2018, vol. 10, no. 4, pp. 111–121. https://doi.org/10.13108/2018-10-4-111.
  21. Ehrgashev T. G. The fourth double-layer potential for a generalized bi-axially symmetric Helmholtz equation, Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics, 2017, no. 50, pp. 45–56 (In Russian).
  22. Mukhlisov F. G., Nigmetzyanova A. M. Solution of boundary-value problems for a degenerating elliptic equation of the second kind by the method of potentials, Russian Math. (Iz. VUZ), 2009, vol. 53, no. 8, pp. 46–57. https://doi.org/10.3103/S1066369X09080088.
  23. Ergashev T. G. Potentials for three-dimensional singular equation and their application to the solving a mixed problem, Lobachevskii J. Math., 2020, vol. 41, no. 6, pp. 1067–1077. https://doi.org/10.1134/S1995080220060086.
  24. Bateman H., Erdélyi A. Vysshie transtsendentnye funktsii [Higher Transcendental Functions], vol. 1, Gipergeometricheskaia funktsiia. Funktsii Lezhandra [The Hypergeometric Function. Legendre Functions]. Moscow, Nauka, 1973, 296 pp. (In Russian)
  25. Gradshtein I. S., Ryzhik I. M. Tablitsy integralov, summ, riadov i proizvedenii [Table of Integrals, Series, and Products]. Moscow, Fizmatlit, 1962, 1100 pp. (In Russian)
  26. Sabitov K. B. Uravneniia matematicheskoi fiziki [Equations of Mathematical Physics]. Moscow, Fizmatlit, 2013, 352 pp. (In Russian)

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2021 Authors; Samara State Technical University (Compilation, Design, and Layout)

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».